Завдання 1. Утворює чи лінійний простір заданий безліч, в якому визначені сума будь-яких двох елементів і
і твір будь-якого елементу
на будь-яке число
?
Безліч всіх сходяться послідовностей ,
; Сума
, Твір
.
Перевіримо виконання аксіом для лінійного простору:
- Виконується,
- Виконується,
в якості нуля візьмемо
виконується,
в якості протилежного елемента візьмемо
,
- Виконується,
- Виконується,
- Виконується,
- Виконується.
Тобто множина всіх сходяться послідовностей з введеними операціями додавання і множення на число є лінійним простором.
Завдання 2. Дослідити на лінійну залежність систему векторів.
Складаємо визначник з координат даних векторів.
Т.к. визначник дорівнює нулю, то дана система векторів лінійно залежна.
Завдання 3. Знайти спільне рішення для кожної з даних систем і проаналізувати його структуру (вказати базис простору рішень однорідної системи, встановити розмірність простору, виділити приватне рішення неоднорідної системи).
Рішення системи 1.
Виписуємо матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень приводимо її до трикутного виду.
Вважаємо ,
,
.
Базис:
,
,
.
Розмірність лінійного простору рішень дорівнює 3.
Рішення системи 2.
Виписуємо матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень приводь її до трикутного виду.
Вважаємо ,
, Тоді:
Загальне рішення:
Приватне рішення при :
Задача 4. Знайти координати вектора в базисі
, Якщо він заданий в базисі
.
,
,
;
;
значить координати базисом
будуть
.
Задача 5. Нехай . Чи є лінійними наступні перетворення:
Тут лінійним перетворенням буде перетворення А, т. к. при лінійному перетворенні координати отриманого вектора будуть лінійними комбінаціями координат вихідного вектора.
Матриця лінійного оператора А:
.
Задача 6. Нехай Знайти:
,
тобто
Завдання 7. Знайти матрицю лінійного оператора в базисі , Де
, Якщо вона задана в базисі
.
,
.
Знайдемо .
,
.
Значить матриця в базисі має вигляд
.
Завдання 8. Довести лінійність, знайти матрицю (в базисі ), Образ і ядро оператора повороту щодо осі
в позитивному напрямі на кут
.
Якщо то
.
Оператор є лінійним, якщо
і
.
.
.
Тобто оператор А є лінійним і його матриця .
Область значень оператора А - це множина всіх векторів .
Ядро лінійного оператора - безліч векторів, які А відображає в нуль-вектор:
.
Задача 9. Знайти власні значення та власні вектори матриці.
Складає характеристичне рівняння і знаходимо його рішення.
Власні значення:
Знайдемо власні вектора.
,
;
,
.
Власні вектори:
Завдання 10. Привести квадратичну форму до канонічного вигляду методом Лагранжа.
де .
Задача 11. Привести квадратичну форму до канонічного вигляду ортогональним перетворенням.
,
Завдання 12. Дослідити криву другого порядку і побудувати її.