B. А. Будников
Б 903 Рішення алгебраїчного рівняння n-го ступеня - Новосибірськ: Інтернет, Блоги: budnikov 57 @ mail. Ru, 2010. - 26 с.
У роботі запропоновано аналітичне рішення (в радикалів) алгебраїчного рівняння n - го ступеня. Вирішені Проблеми власних значень для знаходження Функцій від Матриць і стійкості розв'язків лінійних диференціальних та різницевих рівнянь. Метод рішення грунтується на послідовному отриманні алгебраїчного рівняння щодо квадратів незалежної змінної і його Рішенні з наступним поверненням до коріння вихідного рівняння. Метод характеризується простотою і вимагає тільки вміння вирішувати квадратні рівняння і витягувати коріння n - го ступеня з комплексного числа. Алгоритм рішення легко піддається програмуванню. Наведено конкретні приклади вирішення алгебраїчних рівнянь з третьої по восьму ступінь включно.
Стаття може бути корисна Фахівцям, які займаються вирішенням завдань Вищої Алгебри, а також Студентам вищих навчальних закладів, які цікавляться складними математичними Проблемами.
Введення
Проблема рішення в радикалах алгебраїчного рівняння довільного ступеня, так званого вікового рівняння, цікавила математиків всіх часів і народів. Удача Тартальї і Феррарі в рішенні рівнянь третього і четвертого ступенів внесла надію на успіхи в цьому напрямку і далі. Проте Рішення довгий час знайти не вдавалося / 1 /. Можу з упевненістю сказати, що всі Великі математики, протягом останніх п'ятисот років, займалися вирішенням рівнянь вищих ступенів. Рівняння п'ятого ступеня вирішували Ньютон, Лейбніц, Лагранж, Ейлер, Гаус, Тейлор, Абель, Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гільберт і багато інших (Список можна було б ще довго продовжувати). У довідниках з вищої Математики сказано, що НЕ ІСНУЄ рішення в радикалах алгебраїчних рівнянь вище четвертого ступеня / 2 /. Здавалося б, не існує і вирішувати не треба! Проте в Техніці дуже важливо вибирати параметри Систем у відповідність з принципами Оптимальності, щоб Об'єкти, що описуються системами диференціальних або різницевих рівнянь, відповідає заданим критеріям якості (наприклад, мінімуму споживаної Енергії або максимальному швидкодії).
Для пояснення подальших міркувань введемо систему умовних позначень.
ПОЗНАЧЕННЯ:
* - Знак множення,
** - Знак зведення в ступінь,
ABS (x) - абсолютна величина комплексної змінної x,
Re x, Im x - дійсна і уявна величини комплексної змінної x відповідно,
Mod x, Fi x - модуль і кут комплексної змінної x відповідно,
SIN (x), COS (x) - тригонометричні функції sinx і cosx,
ARCTAN (Im x, Re x) - зворотна тригонометрическая функція arctg ((Im x) / (Re x)).
SQRT (x) - операція витягання квадратного кореня з дійсного числа x.
PI = 3.1 41592653589793 - число π.
У 1683 році друг Г.В. Лейбніца Е.В. фон Чірнгауз (1651 - 1708) опублікував в журналі "Acta Eruditorum" метод перетворення алгебраїчного рівняння в рівняння тій же мірі з меншим числом членів.
Чірнгауз з рівняння
(X ** n) + A 1 * (x ** (n - 1)) + A 2 * (x ** (n - 2)) + ... + An = 0,
і рівняння з невизначеними коефіцієнтами
y = B 1 * (x ** (n - 2)) + B 2 * (x ** (n - 3)) + ... + Bn -1,
виключав x. Він вважав, що в отриманому рівнянні
(Y ** n) + C1 * (y ** (n - 1)) + C2 * (y ** (n - 2)) + ... + Cn = 0,
можна буде підібрати коефіцієнти Bi, від яких залежать Ci, так, що всі коефіцієнти Ci, крім одного, звернуться в нуль. Тоді останнє рівняння прийме вигляд
(Y ** n) + Cn = 0,
і вихідне рівняння щодо змінної x буде вирішується в радикалів.
Відзначимо, що в загальному випадку коефіцієнт Cn може бути комплексною величиною, для якої, у відповідність з теорією функцій комплексного змінного, існують поняття модуля і кута вектора на комплексній площині. Для спрощення міркувань будемо вважати коефіцієнт Cn дійсною величиною ((- Cn)> 0)
Нехай q = (- Cn) ** (1 / n), тоді рівняння щодо змінної yi легко може бути вирішено
yi = q * (COS (2 * (i - 1) * PI / n) + j * SIN (2 * (i - 1) * PI / n),
де q - арифметичний корінь n - го ступеня з числа (- Cn),
i - порядковий номер кореня рівняння, i = 1, n;
j - квадратний корінь з (- 1), уявна величина.
Вираз COS (2 * (i - 1) * PI / n) + j * SIN (2 * (2 * (i - 1) * PI / n) задає корені рівняння
((X ** n) - 1) / (x - 1) = 1 + x + (x ** 2) + ... + (x ** (n - 1)) = 0.
Остання являє собою вираз для суми n членів геометричної прогресії з основою x.
Чірнгаузу вдалося вирішити таким чином рівняння при n = 3, але в загальному випадку прийом до мети не наводив. Лейбніц, якому Чірнгауз повідомив листом в 1677 році ідею методу, зауважив, що нічого не виходить навіть для рівняння п'ятого ступеня.
Ісаак Ньютон (1643 - 1727) після безуспішних спроб точно вирішити рівняння п'ятого ступеня розробив наближений метод чисельного визначення дійсного кореня алгебраїчного рівняння довільного ступеня, що отримав його ім'я і використовується до цих пір (так званий метод дотичних Ньютона). Суть методу полягає в наступному: Припустимо, що дійсний корінь заданого алгебраїчного рівняння y 1 знаходиться в інтервалі (a, b).
Обчислюють значення алгебраїчної функції F (a) або F (b), (F (a) = (a ** n) + A 1 * (a ** (n - 1)) + A 2 * (a ** (n - 2)) + ... + An), записують рівняння дотичної в цій точці і визначають точку перетину дотичної з віссю абсцис, якій присвоюють нове значення a або b.
Процес обчислень виконують до тих пір, поки не буде досягнута необхідна ступінь точності обчислень EPS (y 1 = a або y 1 = b в залежності від того з якого боку (ліворуч або праворуч) вирішено наблизитися до кореня y 1).
Метод завжди сходиться, але НІЧОГО не говорить про оптимальні значеннях коефіцієнтів рівняння, які безпосередньо пов'язані з параметрами Систем.
Наступний етап розвитку теорії розв'язання рівнянь пов'язаний з творчістю Леонарда Ейлера (1707 - 1783), який, як і всі попередники, вважав можливим вирішення рівнянь будь-якого ступеня.
Ейлер встановив, що рівняння другої, третьої, четвертої ступенів зводяться до рівнянь першої, другої і третьої ступенів, які він назвав "вирішуючими рівняннями", резольвентамі.
Резольвенту наведеного кубічного рівняння (x ** 3) + B 2 * x + B 3 = 0, Ейлер отримав, поклавши
x = (A ** (1 / 3)) + (B ** (1 / 3)).
Для наведеного рівняння четвертого ступеня (x ** 4) + B 2 * (x ** 2) + B 3 * x + B 4 = 0, він рекомендував підстановку
x = (A ** (1 / 4)) + (B ** (1 / 4)) + (C ** (1 / 4)).
Тим самим він відкрив ІНШИЙ спосіб вирішення рівняння четвертого ступеня, відмінний від рішення Феррарі.
Ейлер вважав, що наведене рівняння n-го ступеня
(X ** n) + B2 * (x ** (n - 2)) + B3 * (x ** (n - 3)) + ... + Bn = 0,
може бути вирішено за допомогою підстановки
x = (A ** (1 / n)) + (B ** (1 / n)) + ... + (G ** (1 / n)),
де число доданків дорівнює (n - 1). Їм використовувалися й інші підстановки. Однак рівняння вище четвертого ступеня Ейлера вирішити не вдалося.
При доказі неможливості вирішення рівняння п'ятого ступеня Н.Х. Абель (1802 - 1829) спирався на запропоновану Ейлером підстановку
x = w + A * ((v ** (1 / 5)) + B * ((v ** (2 / 5)) + C * ((v ** (3 / 5)) + D * (( v ** (4 / 5)),
застосувавши досвід великого Математика в своїй роботі.
Феліксом Клейном (1849 - 1925) написана монографія / 3 /, в якій найбільш повно показана складність знаходження точного рішення рівняння п'ятого ступеня. Книга містить 336 сторінок тексту, а рішення - ні! Відразу зазначу, що я зовсім не збираюся принижувати внесок Великих математиків в Науку, навпаки, схиляюсь перед їх Волею і Наполегливістю при вирішенні такого складного завдання. Вони, як всі кращі представники Людства, випереджали свій Час. При відсутності коштів обчислювальної техніки всі спроби були приречені: не було не тільки персональних комп'ютерів, але навіть простих калькуляторів. Точність обчислень на логарифмічною лінійці для цієї мети залишала бажати кращого.
Мені вдалося вирішити рівняння алгебри n - го ступеня в радикалах, але Рішення це - близьке і вимагає обчислень з високим ступенем точності. За все треба платити, безкоштовно НІЧОГО не дається! Для визначення коренів рівняння не потрібне знання інтервалу, де алгебраїчна функція змінює свій знак (інтервалу знаходження дійсного кореня), що відрізняє розроблений Метод рішення від чисельних методів розрахунку. Для визначення коренів рівняння не вимагається знання теорій груп Абеля, Галуа, Лі і пр. і застосування спеціальної математичної термінології: кілець, полів, ідеалів, ізоморфізму і т.д. Для вирішення алгебраїчного рівняння n - го ступеня потрібно тільки вміння вирішувати квадратні рівняння і витягувати коріння з комплексного числа. Коріння можуть бути визначені з будь-яким ступенем точності, якщо потужність персонального комп'ютера дозволяє уникнути впливу похибок округлення на обчислення.
Зазначимо також, що з Рішенням вікового рівняння вирішуються Проблеми власних значень при обчисленні Функцій від Матриць і Стійкості рішень лінійних диференціальних та різницевих рівнянь, що описують руху складних технічних Об'єктів з постійною і змінною структурою (наприклад, вентильних перетворювачів). У будь-якому підручнику з теорії автоматичного управління / 4 / можна прочитати: Рішення лінійного диференціального рівняння стійко, якщо всі корені характеристичного рівняння лежать у лівій півплощині комплексної площини коренів. Рішення різницевого рівняння стійко, якщо всі корені характеристичного рівняння знаходяться всередині кола одиничного радіуса на комплексній площині з центром на початку координат.
Оптимальне керування Системами вимагає окремого розгляду. Скажу лише, що Оптимальні параметри Систем можуть бути досягнуті на Кордоні стійкості.
Нижче наводяться СУТЬ методу Рішення алгебраїчних рівнянь і конкретні Приклади визначення коренів рівнянь з третьої по восьму ступінь включно, доводять ПРАВИЛЬНІСТЬ отриманих результатів і вже викладені автором в інших роботах / 5, 6 /.
ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
Загальний вигляд алгебраїчного рівняння n - го ступеня
(X ** n) + A1 * (x ** (n-1)) + A2 * (x ** (n-2)) + ... + A (n-1) * x + An = 0, (1 )
де
n - порядок алгебраїчного рівняння, ___
Ai - коефіцієнти рівняння, будь-які дійсні числа, i = 1, n.
Випадок комплексних коефіцієнтів рівняння в даній роботі не розглядається.
Оскільки Обчислення на персональному Комп'ютері мають кінцевою точністю, доцільно рівняння (1) нормувати за старшим коефіцієнтом An, щоб не відбувалося переповнення розрядної сітки. Нормуючий коефіцієнт RCn = (ABS (An)) ** (1 / n). Якщо n - непарна величина, знак абсолютної величини зазвичай опускають. Обчислення на персональному Комп'ютері завжди ведуться з певним ступенем точності EPS, яка задає Критерій закінчення Рахунку.
Критерій закінчення Рахунки: Якщо алгебраїчна функція, задана рівнянням (1), при обчисленні значення кореня xi менше величини ABS (EPS * An), то обчислення названого кореня припиняють. Д алеї знижують порядок вихідного рівняння до величини (n - 1), якщо корінь xi - дійсний, або до величини (n - 2), якщо xi належить парі комплексно - пов'язаних коренів. Вся процедура повторюється спочатку для отриманого рівняння нижчого порядку до тих пір, поки не будуть знайдені всі корені вихідного рівняння (1). Якщо можливості Комп'ютера не достатні, слід знизити ступінь точності EPS (на шкоду точності обчислення коренів) або придбати більш потужну персоналку. (Персоналка - персональна обчислювальна Машина для кожного Користувача)
Очевидно, що чим потужніший Комп'ютер, тим більше можливостей для вирішення рівнянь вищих Ступенів n.
Логіка міркувань.
У загальному випадку, коріння алгебраїчного рівняння відрізняються один від одного за величиною. Отже, ЗАВЖДИ можна виділити в Рішенні найбільший за модулем (домінуючий) і найменший коріння. (Доречно зазначити відразу, що найменший за модулем корінь буде домінуючим в рівнянні, зворотному пристрою).
Спробуємо послідовно зводити коріння в квадрат і порівнювати їх за величиною між собою. Після кількох таких операцій легко переконатися, що всі корені рівняння для квадратів щодо змінної xc = (x ** (2 ** J)) - мізерно малі, крім домінуючого кореня xc 1.
ВСЕ коефіцієнти рівняння, крім перших двох, будуть прагнути до нуля і, отже, ними можна знехтувати. Тоді корінь xc 1 може бути знайдений з квадратного рівняння, а корінь вихідного алгебраїчного рівняння визначиться виразом x 1 = (xc 1 ** (1 / (2 ** J))).
Найчастіше, при забезпеченні заданого ступеня точності EPS, раніше обчислюється домінуючий корінь зворотного рівняння, тому РЕКОМЕНДУЄТЬСЯ визначати домінуючі коріння як прямого, так і зворотного, рівнянь.
При цьому вдається мінімізувати витрати машинного часу і, отже, добитися максимальної швидкості обчислень.
Рівняння (1) є окремим випадком іншого алгебраїчного рівняння n - го ступеня для змінної xc = (x ** (2 ** J)), де J - крок перетворення, J = 1, m, m і n - будь-які натуральні числа.
(X с ** n) + B 1 * (x с ** (n -1)) + B 2 * (xc ** (n -2)) + ... + B (n -1) * xc + Bn = 0, (2)
де
B 1 = - ((C 1 ** 2) - (2 * C 2)),
B2 = (C2 ** 2) - (2 * C1 * C3) + (2 * C4),
B3 = - ((C3 ** 2) - (2 * C2 * C4) + (2 * C1 * C5) - (2 * C6)),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
B (n-1) = ((-1) ** (n-1)) * ((C (n-1) ** 2) - (2 * C (n-2) * Cn)),
Bn = ((-1) ** n) * (Cn ** 2).
Рівняння (2) може бути отримано множенням вихідного рівняння (1) на рівняння для коренів, взятих із зворотним знаком. Наприклад, для випадку n = 3 це виглядає наступним чином:
((X ** 3) + A1 * (x ** 2) + A2 * x + A3) * ((x ** 3) - A1 * (x ** 2) + A2 * x - A3) = 0.
Тоді щодо змінної xc = (x ** 2) отримують рівняння (2) при J = 1
(Xc ** 3) - ((A1 ** 2) - (2 * A2)) * (xc ** 2) + ((A2 ** 2) - (2 * A1 * A3)) * xc - (A3 ** 2) = 0.
Не викликає сумнівів, що
J = 0, Bi = Ai, xc = x.
J = 1, Ci = Ai, xc = (x ** 2).
J = 2, Ci = Bi для J = 1, xc = (x ** 4).
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
Нехай L = (2 ** J) - величина ступеня кореня xc 1 на J-му кроці перетворення,
xc 1 = (x 1 ** L).
Як вже зазначалося вище, на певному кроці перетворень J всі коефіцієнти рівняння (2), крім перших двох B 1 і B 2, стають зневажливо малі і їх можна відкинути. Тоді корінь xc 1 може бути знайдений з квадратного рівняння, одержуваного шляхом відкидання мізерно малих старших коефіцієнтів. (Не слід забувати, що вихідне рівняння (1) вже унормовано за старшим коефіцієнтом An).
(Xc 1 ** 2) + D 1 * (xc 1) + D 2 = 0, (3)
D 1 = B 1, D 2 = B 2 - для прямого рівняння,
D 1 = (Bn -1) / Bn, D 2 = (Bn -2) / Bn - для зворотного рівняння.
Цілком очевидно
xc 1 = (- D 1 / 2) + (((- D 1 / 2) ** 2) - D 2) ** (1 / 2),
або
xc 1 = (- D 1 / 2) - (((- D1 / 2) ** 2) - D2) ** (1 / 2), (4)
Корінь вихідного рівняння
x 1 = (xc 1 ** (1 / L)). (5)
Якщо алгебраїчна Функція при обчисленні значення кореня x 1 F (x 1) не задовольняє Критерієві закінчення Рахунки, переходять до наступного кроку перетворення (J привласнюють значення J + 1) до тих пір, поки не буде досягнута необхідна точність обчислень EPS.
Доречно зазначити, що величина xc 1 може бути як дійсним, так і комплексною величиною. При обчисленні кореня x 1 випливає піддавати Перевірці ВСЕ КОРЕНІ ступеня L із змінної xc 1:
Якщо xc 1 - комплексна величина (загальний випадок), тоді
PI = 3.141592653589793, I2 = 1, L
Mod xc1 = SQRT ((Re xc1) ** 2) + ((Im xc1) ** 2)),
Fi xc1 = ARCTAN (Im xc1, Re xc1),
Re x1 = ((Mod xc1) ** (1 / L)) * COS (((Fi xc1) / L) + (2 * PI / L) * I2),
Im x1 = ((Mod xc1) ** (1 / L)) * SIN (((Fi xc1) / L) + (2 * PI / L) * I2).
Теорема:
Для будь-якого алгебраїчного рівняння при заданого ступеня точності EPS завжди існує така величина J, при якій корінь квадратного рівняння (3) збігається з одним з коріння вихідного рівняння (1).
При виборі формули розрахунку слід пам'ятати, що
Якщо I 1 = 1 або I 1 = 2, то обчислення xc 1 здійснюється за формулою (3) для прямого рівняння (2).
Якщо I 1 = 3 або I 1 = 4, то обчислення xc 1 відбувається за формулою (3) для рівняння, зворотного рівнянню (2).
Теорема може бути доведена за допомогою методу математичної індукції.
На закінчення відзначимо, що в роботі / 5 / коефіцієнти квадратного рівняння (3) визначені дещо інакше, однак коріння вихідного алгебраїчного рівняння (1) обчислюються з тією ж ступенем точності EPS. З огляду на те, що коефіцієнти А i алгебраїчного рівняння (1) є незалежними змінними, але можливі і ПРИВАТНІ ВИПАДКИ, вказати величину J заздалегідь не представляється можливим. Програми, використовувані для перевірочних розрахунків, складені автором на алгоритмічній мові FORTRAN - 90 і довели свою високу ефективність.
Перевірка завжди дозволяє уникнути помилок.
ПЕРЕВІРКА.
Дано алгебраїчне рівняння третього ступеня
(X ** 3) - 11 * (x ** 2) - 10 * x + 200 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0.00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 3 = 5,8480.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 1
Порядковий номер перетворення J = 3
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 10,000.
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = 5,0000; x 2 = - 4,0000.
Дано алгебраїчне рівняння третього ступеня
(X ** 3) - 25 * (x ** 2) + 216 * x - 580 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0.00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 3 = - 8,3396.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 5
Порядковий номер перетворення J = 3
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 5,0000.
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = 10,000; Im x1 = 4,0000;
Re x2 = 10,000; Im x2 = - 4,0000.
Дано рівняння алгебри четвертого ступеня
(X ** 4) + 6 * (x ** 3) - 57 * (x ** 2) - 110 * x + 600 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 4 = 4,9492.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Корінь x 4 - дійсний
x 4 = - 10,000.
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 5,0000.
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = 3,0000; x 2 = - 4,0000.
Дано рівняння алгебри четвертого ступеня
(X ** 4) + 0 * (x ** 3) + 67 * (x ** 2) - 808 * x + 1740 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 4 = 6,4586.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3, I 2 = 1.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = - 4,0000; Im x 3 = 10,000;
Re x 4 = - 4,0000; Im x 4 = - 10,000;
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = 3,0000; x 2 = 5,0000.
Дано рівняння алгебри четвертого ступеня
(X ** 4) + 4 * (x ** 3) - 66 * (x ** 2) + 76 * x + 1360 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 4 = 6,0727.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 1
Порядковий номер перетворення J = 0
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = - 10.000; x 4 = - 4.0000.
Коріння x 1, x 2 - комплексно - зв'язані
Re x 1 = 5,0000; Im x 1 = 3,0000;
Re x 2 = 5,0000; Im x 2 = - 3,0000.
Дано рівняння алгебри четвертого ступеня
(X ** 4) - 2 * (x ** 3) + 70 * (x ** 2) - 888 * x + 3944 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 4 = 7,9247.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 15.
Порядковий номер перетворення J = 4.
Коріння x 3, x 4 - комплексно - зв'язані
Re x 3 = 5,0000; Im x 3 = 3,0000;
Re x 4 = 5,0000; Im x 4 = - 3,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 4,0000; Im x1 = 10,000;
Re x2 = - 4,0000; Im x2 = - 10,000.
Дано алгебраїчне рівняння п'ятого ступеня
(X ** 5) + 18 * (x ** 4) - 96 * (x ** 3) - 1198 * (x ** 2) - 1425 * x + 2700 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 5 = 4,8559.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 1.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Корінь x 5 - дійсний
x 5 = 1,0000.
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 9,0000; x 4 = - 20,000;
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = - 3,0000; x 2 = - 5,0000.
Дано алгебраїчне рівняння п'ятого ступеня
(X ** 5) + 24 * (x ** 4) + 19 * (x ** 3) - 1646 * (x ** 2) - 9222 * x - 14040 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 5 = - 6,7526.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 1.
I 2 = 5
Порядковий номер перетворення J = 3
Корінь x 5 - дійсний
x 5 = - 20,000.
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = - 3,0000; x 4 = 9,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 5,0000; Im x1 = 1,0000;
Re x2 = - 5,0000; Im x2 = - 1,0000.
Дано алгебраїчне рівняння п'ятого ступеня
(X ** 5) + 30 * (x ** 4) + 309 * (x ** 3) + 2510 * (x ** 2) + 6150 * x - 9000 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 5 = - 6,1780.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 2
Порядковий номер перетворення J = 1
Корінь x 5 - дійсний
x 5 = 1,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = - 5,0000; x 4 = - 20,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 3,0000; Im x1 = 9,0000;
Re x2 = - 3,0000; Im x2 = - 9,0000.
Дано алгебраїчне рівняння п'ятого ступеня
(X ** 5) + 36 * (x ** 4) + 496 * (x ** 3) + 4576 * (x ** 2) + 23 460 * x + 46 800 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 5 = 8,5911.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Корінь x 5 - дійсний
x 5 = - 20,000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x3 = - 3,0000; Im x3 = 9,0000;
Re x4 = - 3,0000; Im x4 = 9,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 5,0000; Im x 1 = 1,0001;
Re x2 = - 5,0000; Im x2 = - 1,0001.
Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 1 * (x ** 5) - 261 * (x ** 4) + 251 * (x ** 3) + 14708 * (x ** 2) - 13260 * x - 79200 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 6,5532.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 3,0000; x 6 = - 2,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 11,000; x 4 = - 15,000;
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = 10,000; x 2 = - 8,0000.
Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 13 * (x ** 5) - 29 * (x ** 4) - 660 * (x ** 3) - 17 300 * (x ** 2) - 79944 * x + 411 840 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 8,6256.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 1.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = - 8,0000; x 6 = 3,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = - 2,0000; Im x 3 = 10,000;
Re x 4 = - 2,0000; Im x 4 = - 10,000;
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = - 15,000; x 2 = 11,000.
4.3 Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 8 * (x ** 5) - 246 * (x ** 4) - 2592 * (x ** 3) + 35945 * (x ** 2) - 15176 * x - 190 740 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 7,5871.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 3,0000; x 6 = - 2,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 11,000; x 4 = 10,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно - зв'язані
Re x 1 = - 15,000; Im x 1 = 8,0000;
Re x 2 = - 15,000; Im x 2 = - 8,0000.
Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 9 * (x ** 5) - 44 * (x ** 4) + 1034 * (x ** 3) - 4800 * (x ** 2) - 170200 * x - 312 000 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 8,2355.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3, I 2 = 2.
Порядковий номер перетворення J = 1.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = - 15,000; x 6 = - 2,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 10,000; x 4 = - 8,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно - зв'язані
Re x 1 = 3,0000; Im x 1 = 11,000;
Re x 2 = 3,0000; Im x 2 = - 11,000.
Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 16 * (x ** 5) + 27 * (x ** 4) - 226 * (x ** 3) + 15462 * (x ** 2) - 343880 * x - 751 400 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 9,5348.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 2.
Порядковий номер перетворення J = 1.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 10,000; x 6 = - 2,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = - 15,000; Im x 3 = 8,0000;
Re x 4 = - 15,000; Im x 4 = - 8,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = 3,0000; Im x1 = 11,000;
Re x2 = 3,0000; Im x2 = - 11,000.
Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 21 * (x ** 5) + 284 * (x ** 4) + 4486 * (x ** 3) + 36328 * (x ** 2) + 298 480 * x + 1622400 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 10,840.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 9.
Порядковий номер перетворення J = 4.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = - 8,0000; x 6 = - 15,000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = 3,0000; Im x 3 = 11,000;
Re x 4 = 3,0000; Im x 4 = - 11,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 2,0000; Im x1 = 10,000;
Re x2 = - 2,0000; Im x2 = - 10,000.
Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 20 * (x ** 5) + 70 * (x ** 4) - 1784 * (x ** 3) - 12 879 * (x ** 2) - 279676 * x + 991 848 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 9,9864.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 1.
Порядковий номер перетворення J = 1.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 11,000; x 6 = 3,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = - 15,000; Im x 3 = 8,0000;
Re x 4 = - 15,000; Im x 4 = - 8,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 2,0000; Im x1 = 10,000;
Re x2 = - 2,0000; Im x2 = - 10,000.
Дано рівняння алгебри шостого ступеня
(X ** 6) + 28 * (x ** 5) + 439 * (x ** 4) + 5618 * (x ** 3) + 71090 * (x ** 2) + 375 544 * x + 3907280 = 0 .
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 6 = 12,550.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 19.
Порядковий номер перетворення J = 5.
Коріння x 5, x 6 - комплексно-зв'язані
Re x 5 = - 15,000; Im x 5 = 8,0000;
Re x 6 = - 15,000; Im x 6 = - 8,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x3 = 3,0001; Im x3 = 11,000;
Re x4 = 3,0001; Im x4 = - 11,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 2,0001; Im x 1 = 10,000;
Re x 2 = - 2,0001; Im x 2 = - 10,000.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) - 12 * (x ** 6) - 128 * (x ** 5) + 1950 * (x ** 4) - 2321 * (x ** 3) - 30 018 * (x ** 2 ) + 37 728 * x + 142 560 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = 5,4486.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = - 2,0000.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 11,000; x 6 = 9,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 5,0000; x 4 = - 12,000;
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = 4,0001; x 2 = - 3,0000.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) + 2 * (x ** 6) - 21 * (x ** 5) - 480 * (x ** 4) - 11 794 * (x ** 3) + 99364 * (x ** 2 ) - 38400 * x - 561 600 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = - 6,6275.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 1.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = - 2,0000.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 5,0000; x 6 = 4,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = - 12,000; x 4 = 9,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно - зв'язані
Re x1 = - 3,0000; Im x1 = 11,000;
Re x2 = - 3,0000; Im x2 = - 11,000.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) + 4 * (x ** 6) - 240 * (x ** 5) - 930 * (x ** 4) + 19919 * (x ** 3) + 22286 * (x ** 2 ) - 276240 * x - 475 200 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = - 6,4712.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 1.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = - 2,0000.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 5,0000; x 6 = - 3,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно - зв'язані
Re x3 = - 12,000; Im x3 = 4,0000;
Re x4 = - 12,000; Im x4 = - 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = 11,000; x 2 = 9,0005.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) - (x ** 6) - 80 * (x ** 5) - 160 * (x ** 4) - 7961 * (x ** 3) + 67 841 * (x ** 2) + 51960 * x - 673 200 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = - 6,8013.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 1.
I 2 = 1.
Порядковий номер перетворення J = 4.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = - 12,000.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 3,9999; x 6 = - 3,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 11,000; x 4 = 5,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 2,0000; Im x1 = 9,0000;
Re x2 = - 2,0000; Im x2 = - 9,0000.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) + 18 * (x ** 6) + 91 * (x ** 5) - 528 * (x ** 4) - 18 082 * (x ** 3) - 141180 * (x ** 2 ) + 720 800 * x + 1872000 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = 7,8712.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 2.
Порядковий номер перетворення J = 1.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = - 2,0000.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 9,0000; x 6 = 5,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x3 = - 12,000; Im x3 = 4,0000;
Re x4 = - 12,000; Im x4 = - 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 3,0000; Im x 1 = 11,000;
Re x 2 = - 3,0000; Im x 2 = - 11,000.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) + 13 * (x ** 6) + 181 * (x ** 5) + 1107 * (x ** 4) - 4492 * (x ** 3) - 130 * (x ** 2 ) - 725200 * x + 2652000 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = 8,2728.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 1.
I 2 = 17.
Порядковий номер перетворення J = 5.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = - 12,000.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 5,0001; x 6 = 3,9999;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x3 = - 3,0000; Im x3 = 11,000;
Re x4 = - 3,0000; Im x4 = - 11,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 2,0000; Im x 1 = 9,0000;
Re x 2 = - 2,0000; Im x 2 = - 9,0000.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) + 15 * (x ** 6) - 16 * (x ** 5) - 1392 * (x ** 4) - 14 233 * (x ** 3) - 101775 * (x ** 2 ) + 537 400 * x + 2244000 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = 8,0777.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = - 3,0000.
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 11,000; x 6 = 5,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x3 = - 2,0000; Im x3 = 9,0000;
Re x4 = - 2,0000; Im x4 = - 9,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 12,000; Im x 1 = 4,0000;
Re x 2 = - 12,000; Im x 2 = - 4,0000.
Дано рівняння алгебри сьомого ступеня
(X ** 7) + 29 * (x ** 6) + 469 * (x ** 5) + 5171 * (x ** 4) + 32180 * (x ** 3) + 59950 * (x ** 2 ) - 382000 * x - 8840000 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 7 = - 9,8254.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4, I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Корінь x 7 - дійсний
x 7 = 5,0000.
Коріння x 5, x 6 - комплексно-зв'язані
Re x5 = - 2,0000; Im x5 = 9,0000;
Re x6 = - 2,0000; Im x6 = - 9,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = - 12,000; Im x 3 = 4,0000;
Re x 4 = - 12,000; Im x 4 = - 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 3,0000; Im x1 = 11,000;
Re x2 = - 3,0000; Im x2 = - 11,000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 1 * (x ** 7) - 236 * (x ** 6) + 358 * (x ** 5) + 9757 * (x ** 4) - 26 423 * (x ** 3 ) - 59 346 * (x ** 2) + 127 440 * x + 151 200 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00003.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 4,4406.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = - 2,0000; x 8 = - 1,0000;
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = - 15,000; x 6 = 3,0002;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = - 7,0000; x 4 = 12,000;
Коріння x 1, x 2 - дійсні
x 1 = 5,0001; x 2 = 3,9997.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 14 * (x ** 7) + 77 * (x ** 6) + 1046 * (x ** 5) - 11 317 * (x ** 4) - 66 934 * (x ** 3 ) + 430 495 * (x ** 2) + 109 650 * x - 1827000 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 6,0634.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = 3,0001; x 8 = - 2,0000;
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 5,0001; x 6 = 3,9998;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = - 15,000; x 4 = - 7,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 1,0000; Im x 1 = 12,000;
Re x 2 = - 1,0000; Im x 2 = - 12,000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 20 * (x ** 7) - 125 * (x ** 6) - 3906 * (x ** 5) - 913 * (x ** 4) + 128248 * (x ** 3 ) + 33 893 * (x ** 2) - 698826 * x - 607 320 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 5,2836.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = - 2,0000; x 8 = - 1,0000;
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 5,0000; x 6 = 3,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = - 7,0001; x 4 = 12,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 15,000; Im x 1 = 3,9999;
Re x 2 = - 15,000; Im x 2 = - 3,9999.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 33 * (x ** 7) + 435 * (x ** 6) + 3925 * (x ** 5) + 21545 * (x ** 4) - 155 853 * (x ** 3 ) - 1297839 * (x ** 2) + 1818455 * x + 7338450 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 7,2144.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = 3,0000; x 8 = - 2,0000;
Коріння x 5, x 6 - комплексно-зв'язані
Re x 5 = - 15,000; Im x 5 = 4,0000;
Re x 6 = - 15,000; Im x 6 = - 4,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 5,0000; x 4 = - 7,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 1,0000; Im x1 = 12,000;
Re x2 = - 5,0004; Im x2 = - 12,000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 6 * (x ** 7) - 207 * (x ** 6) - 744 * (x ** 5) + 6135 * (x ** 4) + 18930 * (x ** 3 ) + 17 543 * (x ** 2) - 322320 * x - 327 600 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 4,8912.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = - 15,000; x 8 = - 1,0000;
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = - 7,0000; x 6 = 12,000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 3,9997; x 4 = 5,0002;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 2,0000; Im x 1 = 2,9999;
Re x 2 = - 2,0000; Im x 2 = - 2,9999.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 19 * (x ** 7) + 171 * (x ** 6) + 1821 * (x ** 5) - 3285 * (x ** 4) - 90 963 * (x ** 3 ) - 95 035 * (x ** 2) + 320 675 * x + 3958500 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00005.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 6,6787.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 17.
Порядковий номер перетворення J = 5.
Корінь x 8 - дійсний
x 8 = - 15,000;
Коріння x 6, x 7 - комплексно-зв'язані
Re x6 = - 1,0000; Im x6 = 12,000;
Re x7 = - 1,0000; Im x7 = - 12,000.
Коріння x 4, x 5 - дійсні
x 4 = 5,0000; x 5 = - 7,0000;
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 2,0000; Im x1 = 3,0000;
Re x2 = - 2,0000; Im x2 = - 3,0000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 25 * (x ** 7) - 1 * (x ** 6) - 3997 * (x ** 5) - 22 165 * (x ** 4) + 27671 * (x ** 3 ) + 429 697 * (x ** 2) + 1699693 * x + 1315860 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 5,8197.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Корінь x 8 - дійсний
x 8 = - 1,0000;
Коріння x 6, x 7 - комплексно-зв'язані
Re x6 = - 15,000; Im x6 = 3,9999;
Re x7 = - 15,000; Im x7 = - 3,9999.
Коріння x 4, x 5 - дійсні
x 4 = - 6,9978; x 5 = - 7,0000;
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 4,9984;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 2,0004; Im x1 = 2,9971;
Re x2 = - 2,0004; Im x2 = - 2,9971.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 38 * (x ** 7) + 624 * (x ** 6) + 6946 * (x ** 5) + 53590 * (x ** 4) + 76618 * (x ** 3 ) - 1243008 * (x ** 2) - 6182290 * x - 15899980 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 7,9465.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 1.
I 2 = 16.
Порядковий номер перетворення J = 5.
Коріння x 7, x 8 - комплексно-зв'язані
Re x 7 = - 15,000; Im x 7 = 4,0001;
Re x 8 = - 15,000; Im x 8 = - 4,0001.
Коріння x 5, x 6 - комплексно-зв'язані
Re x5 = - 1,0002; Im x5 = 12,000;
Re x6 = - 1,0002; Im x6 = - 12,000.
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 5,0015; x 4 = - 7,0057;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 1,9978; Im x 1 = 3,0071;
Re x 2 = - 1,9978; Im x 2 = - 3,0071.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 13 * (x ** 7) - 139 * (x ** 6) - 2139 * (x ** 5) - 3282 * (x ** 4) + 68366 * (x ** 3 ) + 41 148 * (x ** 2) - 348192 * x - 319 680 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 4,8763.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 9.
Порядковий номер перетворення J = 4.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = - 1,0000; x 8 = - 15,000;
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = 3,0000; x 6 = - 2,0000;
Коріння x 3, x 4 - дійсні
x 3 = 12,000; x 4 = 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 7,0000; Im x 1 = 5,0000;
Re x 2 = - 7,0000; Im x 2 = - 5,0000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 26 * (x ** 7) + 330 * (x ** 6) + 3410 * (x ** 5) + 13755 * (x ** 4) - 56 128 * (x ** 3 ) - 750358 * (x ** 2) + 719 700 * x + 3862800 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 6,6583.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = 3,0000; x 8 = - 2,0000;
Коріння x 5, x 6 - дійсні
x 5 = - 15,000; x 6 = 4,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = - 1,0000; Im x 3 = 12,000;
Re x 4 = - 1,0000; Im x 4 = - 12,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 7,0000; Im x1 = 5,0000;
Re x2 = - 7,0000; Im x2 = - 5,0000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 32 * (x ** 7) + 200 * (x ** 6) - 3456 * (x ** 5) - 50 935 * (x ** 4) - 192 668 * (x ** 3 ) + 364 414 * (x ** 2) + 1793820 * x + 1284048 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 5,8019.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = - 2,0000; x 8 = - 1,0000;
Корінь x 6 - дійсний
x 6 = 3,0000;
Коріння x 4, x 5 - комплексно-зв'язані
Re x4 = - 15,000; Im x4 = 3,9999;
Re x5 = - 15,000; Im x5 = - 3,9999.
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 12,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 7,0000; Im x1 = 5,0002;
Re x2 = - 7,0000; Im x2 = - 5,0002.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 45 * (x ** 7) + 916 * (x ** 6) + 12200 * (x ** 5) + 116345 * (x ** 4) + 630537 * (x ** 3 ) + 925 550 * (x ** 2) - 7666718 * x - 15515580 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 7,9222.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 3.
I 2 = 5.
Порядковий номер перетворення J = 3.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = 3,0000; x 8 = - 2,0000;
Коріння x 5, x 6 - комплексно-зв'язані
Re x 5 = - 7,0000; Im x 5 = 5,0000;
Re x 6 = - 7,0000; Im x 6 = - 5,0000;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x3 = - 15,000; Im x3 = 4,0000;
Re x4 = - 15,000; Im x4 = - 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x 1 = - 1,0000; Im x 1 = 12,000;
Re x 2 = - 1,0000; Im x 2 = - 12,000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 18 * (x ** 7) - 50 * (x ** 6) - 2468 * (x ** 5) - 16 413 * (x ** 4) - 3790 * (x ** 3 ) + 169 678 * (x ** 2) + 852 096 * x + 692 640 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 5,3711.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 4.
I 2 = 3.
Порядковий номер перетворення J = 2.
Коріння x 7, x 8 - дійсні
x 7 = - 15,000; x 8 = - 1,0000;
Корінь x 6 - дійсний
x 6 = 12,000;
Коріння x 4, x 5 - комплексно-зв'язані
Re x4 = - 7,0000; Im x4 = 5,0000;
Re x5 = - 7,0000; Im x5 = - 5,0000;
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 2,0000; Im x1 = 3,0000;
Re x2 = - 2,0000; Im x2 = - 3,0000.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 18 * (x ** 7) - 50 * (x ** 6) - 2468 * (x ** 5) - 16 413 * (x ** 4) - 3790 * (x ** 3 ) + 169 678 * (x ** 2) + 852 096 * x + 692 640 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,00005.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 7,3339.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 2.
I 2 = 17.
Порядковий номер перетворення J = 5.
Корінь x 8 - дійсний
x 8 = - 15,000;
Коріння x 6, x 7 - комплексно-зв'язані
Re x6 = - 1,0000; Im x6 = 12,000;
Re x7 = - 1,0000; Im x7 = - 12,000;
Коріння x 4, x 5 - комплексно-зв'язані
Re x 4 = - 7,0000; Im x 4 = 5,0000;
Re x 5 = - 7,0000; Im x 5 = - 5,0000;
Корінь x 3 - дійсний
x 3 = 4,0000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 2,0000; Im x1 = 3,0001;
Re x2 = - 2,0000; Im x2 = - 3,0001.
Дано рівняння алгебри восьмому ступені
(X ** 8) + 50 * (x ** 7) + 1165 * (x ** 6) + 17914 * (x ** 5) + 201957 * (x ** 4) + 1563958 * (x ** 3 ) + 7735883 * (x ** 2) + 21352090 * x + 33617090 = 0.
Рішення:
Ступінь точності EPS = 0,001.
Нормуючий коефіцієнт для вихідного рівняння RC 8 = 8,7261.
Коефіцієнт вибору формули розрахунку I 1 = 1.
I 2 = 16.
Порядковий номер перетворення J = 5.
Коріння x 7, x 8 - комплексно-зв'язані
Re x 7 = - 15,000; Im x 7 = 4,0002;
Re x 8 = - 15,000; Im x 8 = - 4,0002;
Коріння x 5, x 6 - комплексно-зв'язані
Re x5 = - 2,0026; Im x5 = 2,9975;
Re x6 = - 2,0026; Im x6 = - 2,9975;
Коріння x 3, x 4 - комплексно-зв'язані
Re x 3 = - 0,9999; Im x 3 = 12,000;
Re x 4 = - 0,9999; Im x 4 = - 12,000;
Коріння x 1, x 2 - комплексно-зв'язані
Re x1 = - 6,9976; Im x1 = 4,9993;
Re x2 = - 6,9976; Im x2 = - 4,9993.
Висновки
Запропоновано Метод наближеного рішення алгебраїчного рівняння n-го ступеня в радикалах, що характеризується простотою й доступністю для практичного застосування.
Метод заснований на послідовному отриманні загального алгебраїчного рівняння щодо квадратів незалежної змінної і його Рішенні з наступним поверненням до коріння вихідного рівняння.
Для вирішення рівнянь розробленим Методом не вимагається знання спеціальних розділів Вищої Алгебри: теорій груп Абеля, Галуа, Лі і пр. і спеціальної математичної термінології: полів, кілець, ідеалів, ізоморфізму і т.д., потрібно лише вміння вирішувати квадратні рівняння і витягувати коріння n - го ступеня з комплексного числа.
Розроблений Метод рішення може бути використаний при проведенні оптимізаційних розрахунків і визначенні Оптимальних параметрів складних технічних Систем, частина яких може бути досягнута на Кордоні стійкості.
На конкретних прикладах доведено ПРАВИЛЬНІСТЬ розробленого Методу та приведені Приклади розв'язання алгебраїчних рівнянь з третьої по восьму ступінь включно.
Рішення може бути перевірено Студентами, що володіють математичними знаннями в обсязі інститутського курсу та мають навички програмування на мовах високого рівня.
Література
В.А. Никифоровский. Світ рівнянь - Москва, Видавництво "Наука", (Серія "Історія науки і техніки") АКАДЕМІЯ НАУК СРСР, 1987. - 176 с.
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев. Довідник з математики для інженерів і учнів ВТУЗ. - Москва, "Наука", Головна редакція фізико-математичної літератури, 1980. - 976 с., Мул.
Ф. Клейн. Лекції про ікосаедра і вирішенні рівнянь п'ятого ступеня: Пер. з йому. / Под ред. А.Н. Тюріна. - Москва, "Наука", Головна редакція фізико-математичної літератури, 1989. - 336 с.
Довідник з теорії автоматичного управління / Под ред. А.А. Красовського. - Москва, "Наука", Головна редакція фізико-математичної літератури, 1987. - 712 с.
В.А. Будников. Класична Алгебра. - Новосибірськ, Друкарня ТОВ "ЮГУС - ПРИНТ", 2008. - 16 с.
В.А. Будников. Метод вирішення алгебраїчних рівнянь. Рішення вікового рівняння. - СТАТТІ депонувати в "СІБКОПІРАЙТ", № 2480 від 02.09.08., Новосибірськ, 2008. - 21 с.