Міністерство освіти РБ
Установа освіти
«Гомельський Державний
університет імені Ф. Скорини »

Математичний факультет
Кафедра диференціальних рівнянь
Курсова робота
«Рівняння рівноваги»
Виконавець:
Студентка групи М-41 ____________ Поляк Є. М.
Науковий керівник:
Кандидат фізико-математичних наук
____________ Вересовіч П.П.
Г Омель 2006

Зміст
Вступ 3
Постановка задачі 4
Рівняння рівноваги 5
Рішення рівнянь рівноваги 12
Висновок 16
Список використаної літератури 17

Введення

Актуальним напрямком науково-технічного прогресу є розвиток та широке використання можливостей сучасних високопродуктивних комп'ютерів, мереж мультипрограмних ЕОМ і на цій основі - застосування математичних методів моделювання в наукових дослідженнях. Розвиток обчислювальної техніки в Республіці Білорусь призводить до необхідності створення систем і мереж ЕОМ, ефективно обслуговуючих запити різних користувачів. Завдяки завданням, пов'язаним з математичним моделюванням мультипрограмних обчислювальних систем і аналізом їх продуктивності, з проектуванням і аналізом мереж передачі даних та мереж ЕОМ теорія мереж масового обслуговування (СМО) є порівняно новим і швидко розвиваються розділом теорії масового обслуговування.
Вихідним матеріалом для аналітичного дослідження СМО є стаціонарне (інваріантне) розподіл ймовірностей станів. Зважаючи на складність і багатомірності випадкових процесів, що описують функціонування таких мереж, більшість аналітичних результатів пов'язане з отриманням стаціонарного розподілу у формі твору множників, що характеризують стаціонарний розподіл окремих вузлів мережі.
Актуальним питанням, пов'язаним з дослідженням СМО є доказ інваріатності стаціонарного розподілу таких мереж щодо функціонального виду розподілів тривалості обслуговування у вузлах, що дозволяє при проектуванні та експлуатації реальних мереж, вважати, що обслуговування у вузлах має найбільш простий для аналізу розподіл - експоненційний.

Постановка завдання

Мережа складається з двох приладів, на кожен з яких надходить найпростіший потік з параметрами і відповідно. У випадку, якщо прилад зайнятий, заявка, яка надходитиме до нього вибиває заявку знаходиться на приладі, і та стає в чергу на дообслужіваніе. Після обслуговування на I приладі заявка з ймовірністю йде з мережі, а з ймовірністю надходить на II прилад. Аналогічно, після обслуговування на II приладі заявка з ймовірністю йде з мережі, а з ймовірністю надходить на I прилад.
Нехай - Число заявок в черзі на I приладі, - Число заявок в черзі на II приладі, - Функція розподілу часу обслуговування -Ої заявки на I приладі, - Функція розподілу часу обслуговування -Ої заявки на II приладі. Передбачається, що
=
=
Потрібно довести, що стаціонарний розподіл не залежить від виду функцій розподілу часу обслуговування . При цьому можна вважати, що
,
де

, ,
тобто коли - Експоненціально.

Рівняння рівноваги

Введемо випадковий процес
,
де - Число заявок в черзі на I приладі в момент часу , - Число заявок в черзі на II приладі в момент часу , -Час, який ще буде дообслужіваться заявка з моменту , Що стоїть i-ою в черзі I приладу, -Час, який ще буде дообслужіваться заявка з моменту , Що стоїть j-ою в черзі II приладу.
Нехай існує стаціонарне ергодичної розподіл процесу та процесу , Тому що процес - Це процес , Доповнений безперервними компонентами до того, щоб бути марковским.
Вивчимо поведінка процесу в стійкому режимі. Нехай

Введемо в розгляд подія А, яке у тому, що



а) Припустимо, що за час від до не було надходження вимог. Тому, щоб не змінило за час свого значення і при цьому виповнилося подія А, відповідає вираз:


б) Тому, що за час від до на 1-му приладі обслужена заявка і пішла з мережі, відповідає доданок:


Тому, що за час від до на 2-му приладі обслужена заявка і пішла з мережі, відповідає доданок:


в) Тому, що за час від до на 1-ий прилад надійшла заявка. Кількість часу на дообслужіваніе цієї заявки має бути не більше, ніж , Де - Визначається моментом надходження заявки всередині інтервалу . Цьому випадку відповідає доданок:


Тому, що за час від до на 2-ий прилад надійшла заявка. Кількість часу на дообслужіваніе цієї заявки має бути не більше, ніж , Де - Визначається моментом надходження заявки всередині інтервалу . Цьому випадку відповідає доданок:


г) Якщо в інтервалі заявка закінчила своє обслуговування на I приладі і перейшла на II, той час на її дообслужіваніе II корпусом має бути не більше, ніж , Де - Визначається моментом надходження заявки всередині інтервалу .



Якщо в інтервалі заявка закінчила своє обслуговування на II приладі і перейшла на I, то час на її дообслужіваніе I корпусом має бути не більше, ніж , Де - Визначається моментом надходження заявки всередині інтервалу .



Нарешті, інші випадки, завдяки події А зводяться до того, що за час або надходило, або обслуговано більше однієї заявки, або заявки надходили і обслуговувалися. Для найпростішого вхідного потоку ймовірність надходження двох і більше заявок за час є . Якщо ж ми будемо розглядати складові, відповідні можливості закінчення обслуговування в поєднанні з надходженням заявок, то, очевидно, що ці складові є . Таким чином, приходимо до наступних співвідношеннях:












Вводячи позначення



і враховуючи, що








,
останнє співвідношення перепишеться у вигляді

























Розглядаючи всі складові в останньому співвідношенні як складні функції від , Розкладаємо їх в ряд Тейлора в околиці 0 з залишковим членом у формі Пеано:


.
Після чого наводимо подібні доданки і спрямовує до . Тоді вводячи позначення

і враховуючи, що
,
,
,
отримуємо, що вільні члени скоротилися, а доданки, що містять своїм співмножником утворюють рівнянням рівноваги.
Таким чином, приходимо до рівнянь рівноваги:













.

Рішення рівнянь рівноваги

Покажемо, що задовольняє нашим рівнянням рівноваги, де - Рішення для випадку, коли і - Експоненціально, тобто
,
.

Для цього розпишемо всі приватні похідні функції .





.
З урахуванням вигляду функції рівняння рівноваги перепишуть у вигляді






.

Підставивши в це рівняння і, враховуючи, що



приходимо до висновку, що функція

.
є невід'ємне, абсолютно-безперервне рішення вихідних рівнянь рівноваги.
Звідси випливає, що стаціонарний розподіл не залежить від виду функцій розподілу часу обслуговування і , Оскільки , При цьому можна вважати, що
,
де
, ,
тобто коли і - Експоненціально.

Висновок

Таким чином, для розглянутої мережі масового обслуговування встановлена ​​інваріантність стаціонарного розподілу щодо функціонального виду розподілів тривалості обслуговування у вузлах, тобто встановили, що стаціонарний розподіл не залежить від виду функцій розподілу часу обслуговування і , Якщо відомо, що для них виконується наступні обмеження:
=
=
При цьому, можна вважати, що функції розподілу часу обслуговування і мають експонентний вигляд.

Список використаної літератури

1. Бурик А.Д., Малінковскій Ю.В., Маталицкій М.А. / / Теорія масового обслуговування: Навчальний посібник з спецкурсу.-Гродно: 1984р.-108с.
2. Гнеденко Б.В., Коваленко І.М. / / Введення в теорію масового обслужіванія.-Москва: Наука. 1966р.-432с.