Рівняння і функція Бесселя

Зміст
Завдання на курсову роботу .............................................. ......................... 2
Зауваження керівника ................................................ .............................. 3
1. Бесселеви функції з будь-яким індексом ............................................. ...... 5
2. Формули приведення для бесселевих функцій ..................................... 10
3. Бесселеви функції з напівцілим індексом ............................................. 13
4. Інтегральне представлення бесселевих функцій з цілим індексом .. 15
5. Ряди Фур'є-Бесселя .............................................. ................................... 18
6. Асимптотичне подання бесселевих функцій з цілим індексом для великих значень аргументу ....................................... ............................................... 23
Список літератури ................................................ ...................................... 30

1. Бесселеви функції з будь-яким індексом
Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Щоб пояснити походження бесселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа у просторі:
. (1)
Якщо перейти до циліндричних координатах за формулами:
, , ,
то рівняння (1) прийме наступний вигляд:
. (2)
Поставимо задачу: знайти всі такі рішення рівняння, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій, кожна з яких залежить тільки від одного аргументу, тобто знайти всі рішення види:
,
де , , передбачаються двічі безперервно диференційовними.
Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), отримаємо:
,
звідки (після поділу на )
.
Записавши це у вигляді:
,
знайдемо, що ліва частина не залежить від , Права не залежить від , ; Отже, загальна величина цих виразів є деяка постійна . Звідси:
; ;
; ;
.
В останньому рівності ліва частина не залежить від , Права не залежить від ; Отже, загальна величина цих виразів є деяка постійна . Звідси:
, ;
, .
Таким чином, , , повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
,
(3)
, ,
з яких друге і третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.
Зворотно, якщо , , задовольняють рівнянням (3), то є рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на , Отримаємо:
.
Таким чином, загальний вигляд всіх трьох рішень рівняння (2), які є твором трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , Де , , - Будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .
Перше з рівнянь (3) у разі , називається рівнянням Бесселя. Вважаючи в цьому випадку , Позначаючи незалежну змінну буквою (Замість ), А невідому функцію - буквою (Замість ), Знайдемо, що рівняння Бесселя має вигляд:
. (4)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє велику роль у додатках математики. Функції, йому задовольняють, називаються бесселевимі, ​​або циліндричними, функціями.
Бесселеви функції першого роду
Будемо шукати розв'язок рівняння Бесселя (4) у вигляді ряду:
.
Тоді
,
,
,

.
Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь
,
яка розпадається на дві системи:

Перша з них задовольниться, якщо взяти ... У другій системі можна взяти довільно; тоді ... Однозначно визначаються (якщо не є цілим від'ємним числом). Взявши
,
знайдемо послідовно:
,
,
,
і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (У разі цілого в області ).
Функція
(5)
називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Бесселя (4). У разі цілого невід'ємного індексу отримаємо:
, (5 `)
і, зокрема,
. (5 ``)
Загальне рішення рівняння Бесселя
У разі нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, так як початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у разі нецілого індексу спільне рішення рівняння Бесселя є:
. (6)
Якщо (Ціле від'ємне число), то функція, яка визначається формулою (5) (враховуючи, що дорівнює нулю для ...), Приймає вигляд:
(5 `` `)
або, після заміни індексу підсумовування на ,
, (7)
звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Бесселя
.
Але формула (6) у разі цілого вже не дає спільного рішення рівняння (4).
Вважаючи
( - Не ціле) (8)
і доповнюючи це визначення для (Ціле число) формулою:
, (8 `)
отримаємо функцію , Що задовольняє рівнянню Бесселя (4) і в усіх випадках лінійно незалежну від (У разі , Де - Ціле). Функція називається бесселевой функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Бесселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:
. (9)

2. Формули приведення для бесселевих функцій
Маємо:
; ;
, ;
.
Отже,
. (10)
Таким чином, операція (Що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), Застосована до , Підвищує в цьому виразі індекс на одиницю і змінює знак. Застосовуючи цю операцію разів, де - Будь-яке натуральне число, одержуємо:
. (10 `)
Маємо:
;

Отже,
. (11)
Таким чином, операція , Застосована до , Знижує в цьому виразі індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, отримуємо:
. (11 `)
З виведених формул можна отримати деякі слідства. Використовуючи (10), отримаємо:
; ; .
Звідси, зокрема, випливає, що . Використовуючи (11), отримаємо:
; ; .
Почленне додавання і віднімання отриманих рівностей дає:
, (12)
. (13)
Формула (13) дозволяє виразити всі бесселеви функції з цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (вважаючи ):
, (13 `)
звідки послідовно отримуємо:
,
, ... ... ... ... ... ... ...

3. Бесселеви функції з напівцілим індексом
Бесселеви функції, взагалі кажучи, є новими трансцендентними функціями, не виражаються через елементарні функції. Виняток становлять бесселеви функції з індексом , Де - Ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.
Маємо:
,
,
отже,
.
Але , Означає:
. (14)
Далі
,
,
отже,
.
Але , Тому
. (15)
За допомогою (10 `) знаходимо:
,
а з огляду на (14)
,
отже, при цілому позитивному
. (14 `)
За допомогою (11 `) знаходимо:
,
але в силу (15)
,
і, отже, при цілому позитивному
. (15 `)

4. Інтегральне представлення бесселевих функцій з цілим індексом
Твірна функція системи функцій
Розглянемо систему функцій (З будь-якої спільної областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд
,
де - Комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (Що належить області визначення даних функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може представляти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і ∞.
Функція
(16)
(Де x лежить в області визначення функцій системи , - Всередині кільця збіжності, відповідного розглядався значенням ) Називається генератрисою системи .
Зворотно, нехай задана функція , Де пробігає деякий безліч, знаходиться усередині деякого кільця, що залежить від , З центром 0 і містить усередині себе одиничну коло. Тоді, якщо при кожному аналітичне щодо всередині відповідного кільця, то є генератриса деякої системи функцій. У самому справі, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана за ступенями :
,
знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканої системою .
Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють висловити функції розглянутої системи через виробляє функцію. Застосовуючи ці формули і перетворюючи потім інтеграл вздовж одиничному колі в простій інтеграл, одержимо:
. (17)
Твірна функція системи бесселевих функцій з цілими індексами
Покажемо, що для системи бесселевих функцій першого роду з цілими індексами ( ...) Генератриса є:
.
Маємо:
, ,
звідки після почленного перемножування цих рівностей знайдемо:

(Так як в передостанній внутрішньої сумі і були пов'язані залежністю , То ми могли покласти , Отримавши підсумовування по одному індексом ). В останній внутрішньої сумі підсумовування проводиться по всіх цілим , Для яких , Отже, при це буде ; При це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є чинності формул (5 `) і (5 ```). Отже,
, (18)
але це і доводить, що є генератриса для системи .
Виведемо деякі наслідки з формули (18). Вважаючи в ній , Отримаємо:
,
звідки після поділу дійсної та уявної частини (враховуючи, що )
(18 `)
(18 ``)
Замінюючи у (18 `) і (18 ``) на , Знайдемо:
, (18 `` `)
. (18 ````)
Інтегральне представлення J _n (x)
Так як, за доведеним, при маємо , То за формулою (17) отримуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято до уваги, що є парна функція від є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа
. (19)
Формула (19) дає уявлення бесселевих функцій з цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Бесселя для , Права частина формули називається інтегралом Бесселя. Зокрема, при знайдемо:
. (19 `)

5. Ряди Фур'є-Бесселя
Розглянемо на якому-небудь інтервалі (Кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння
, , (20)
де і - Безперервні функції на . Нехай і - Ненульові рішення цих рівнянь. Множення на і на і подальше віднімання дають
.
Нехай і належать і , Тоді після інтегрування в межах від до отримаємо
. (21)
Якщо і - Сусідні нулі рішення , То між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на ( , ) (У противному випадку слід замінити на ), Тоді , (Рівність нулю виключено, так як - Ненульовий розв'язок диференціального рівняння другого порядку). Якщо на , То повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і , Бо інакше збереже постійний знак на ( , ). Нехай, наприклад, на ( , ) (У противному випадку замінюємо на ), І тоді з (21) отримаємо протиріччя, бо ліва частина ≤ 0, а права> 0. Таким чином доведена теорема порівняння Штурма: якщо P (x) <Q (x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z - ненульові рішення рівнянь (20), то між кожними двома сусідніми нулями y (x) перебуває принаймні один нуль z (x).
З теореми порівняння Штурма випливають нижченаведені слідства. Якщо на , То кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти і взяти ). Якщо на (Де ), То для будь-яких двох сусідніх нулів і ( ) Кожного ненульового розв'язку рівняння маємо (Це легко бачити, якщо покласти , Взяти і помітити, що нулями будуть тільки числа виду , ціле). Якщо на (Де ), То для будь-яких двох сусідніх нулів кожного ненульового розв'язку рівняння маємо (Це легко бачити, якщо покласти і взяти ). Зі сказаного випливає, що якщо на , То для будь-яких двох сусідніх нулів і ( ) Кожного ненульового розв'язку рівняння маємо .
Викладене показує, що якщо неперервна на і перевищує деяке позитивне число поблизу + ∞, то кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворюють нескінченну зростаючу послідовність , Що має межею + ∞, а якщо, крім того, , Де , То .

Розглянемо рівняння Бесселя

на інтервалі . Підстановка призводить до рівняння
.
Очевидно, і мають одні й ті ж нулі. Так як , Де - Ціла функція, то не має нулів на при достатньо малому , І так як при , То при кожному нулі на утворюють нескінченну зростаючу послідовність

причому .
Якщо , То задовольнить рівнянню

на інтервалі (0, + ∞). Підстановка призводить до рівняння

і, отже, задовольняє цього рівняння. Таким чином, за будь-яких позитивних і маємо
, Де ,
, Де ,
звідки
,
отже,
, Де . (22)
Нехай тепер . Розкладання за ступенями починається з члена, що містить , Розкладання за ступенями починається з члена, що містить , Оскільки коефіцієнт дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при отримаємо
,
тобто
, (23)
звідки видно, що якщо і є різними нулями функції , То
. (23 `)
Цим доведено, що при система функцій

на інтервалі є ортогональною щодо ваги .
Переходячи до границі при у співвідношенні

і використовуючи правило Лопіталя, отримаємо при всякому
, (24)
отже, якщо є нулем функції , То
. (24 `)
Таким чином, при кожному всякої безперервної функції на , Що задовольняє вимогу
,
поставлений у відповідність ряд Фур'є-Бесселя
, (25)
коефіцієнти якого визначаються формулами
. (25 `)
Можна довести, що система функцій на , Ортогональна щодо ваги , Замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Бесселя (25) рівномірно збігається до породжує його безперервної функції .
Можна показати, що якщо і неперервна на і кусково-гладка на функція, то ряд Фур'є-Бесселя цієї функції сходиться до неї при .

6. Асимптотичне подання бесселевих функцій з цілим індексом для великих значень аргументу
Нехай - Позитивна функція і - Яка-небудь (взагалі комплекснозначная) функція, визначені для досить великих значень . Запис
при
означає, що знайдуться такі числа і M, що при маємо .
Подібна запис вживається і в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо - Позитивна функція і - Яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , То запис
при
означає, що знайдуться такі числа і , Що на .
Допоміжна лема
Якщо двічі неперервно диференційовна на , То для функції

має місце асимптотичну уявлення
при .
Доведемо цю лему. Замінюючи на , Отримаємо:
. (26)
Розглянемо інтеграл, що фігурує в першому доданку правої частини формули (20). Замінюючи на , Знайдемо:
,
але, замінивши на , Отримаємо:
.
Якщо позитивна, убуває і прагнути до нуля при , То і , А отже, і є при , Тому
при ,
звідки
при .
Отже, отримуємо асимптотичну уявлення:
при . (27)
Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує у другому доданку правої частини формули (20). Маємо:
,
.
Очевидно, двічі неперервно диференційовна на , Але існують і , Тому стає неперервно диференційовна на . Інтегрування по частинах дає:
,
де перший доданок правої частини є при , А інтеграл в другому доданку невласний при нижній межі мажоріруется інтегралом
,
який сходиться, так як
при ;
отже, другий доданок є теж при .
Отже, маємо:
при . (28)
З (26), (27), (28) отримуємо шукане асимптотичну уявлення:
при . (29)
З цієї формули, переходячи до зв'язаних величинам, знайдемо ще:
при . (29 `)
Формули (29) та (29 `) вірні і для комплекснозначних функцій .
Висновок асимптотичної формули для J _n (x)
Замінюючи на , Отримаємо:

(Враховуючи, що є парна функція від , А є непарна функція від ). Підстановка дає:
,
де Тобто, очевидно, поліном n-го ступеня (поліном Чебишева), так як з формули Муавра видно, що є поліном n-го ступеня щодо . Але

і, замінюючи в першому з цих інтегралів на , Отримаємо:

Так як і на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралам застосовні формули (29) та (29 `), і ми отримуємо:
;
але ; , Отже,
.
Отже, маємо шукане асимптотичну подання бесселевой функції першого роду з цілим індексом для великих значень аргументу:
при . (30)
Ця формула показує, що з точністю до доданка порядку є затухаючої гармонікою з хвилею постійної довжини і амплітудою, спадної назад пропорційно квадратному кореню з абсциси.
Зокрема,
при ; (30 `)
при . (30 ``)
Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.
Розглянемо кілька прикладів розв'язання рівняння Бесселя.
1. Знайти рішення рівняння Бесселя при
,
задовольняє початковим умовам при , і .
Рішення.
На підставі формули (5 `) знаходимо одне приватне рішення:
.
2. Знайти одне з рішень рівняння:
, .
Рішення.
Зробимо заміну
.
При отримаємо:
.
При будемо шукати рішення у вигляді узагальненого статечного ряду:
.
Рівняння на має вигляд ;
, , , , Тому
,
, .

Рисунок 1 - Графік функції y = J ₀ (x)

Рисунок 2 - Графік функції y = J ₁ (x)

Список літератури
1. Піскунов Н. С. «Диференціальне та інтегральне числення», навчальний посібник для втузів, М: Наука, 1985., 560 стор
2. Романовський П. І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласа », навчальний посібник для втузів, М: Наука, 1983., 336 стор