Ряди динаміки 4

Ряди динаміки

1. ПОНЯТТЯ І КЛАССІІКАЦІЯ РЯДІВ ДИНАМІКИ

2. 1.1 Поняття про статистичні рядах динаміки.

Ряди динаміки - статистичні дані, що відображають розвиток у часі досліджуваного явища. Їх також називають динамічними рядами, тимчасовими рядами.

У кожному ряду динаміки є два основні елементи:

1. показник часу t;

2. відповідні їм рівні розвитку досліджуваного явища y;

Як показань часу в рядах динаміки виступають або певні дати (моменти), або окремі періоди (роки, квартали, місяці, добу).

Рівні рядів динаміки відображають кількісну оцінку (міру) розвитку в часі досліджуваного явища. Вони можуть виражатися абсолютними, відносними або середніми величинами.

Ряди динаміки розрізняються за такими ознаками: 1) За часом. Залежно від характеру досліджуваного явища рівні рядів динаміки можуть відноситися або до певних дат (моментів) часу, або до окремих періодів. Відповідно до цього ряди динаміки підрозділяються на моментні та інтервальні.

Моментні ряди динаміки відображають стан досліджуваних явищ на певні дати (моменти) часу. Прикладом моментного ряду динаміки є наступна інформація про облікову кількість працівників магазину в 1991 році (таб. 1): Таблиця 1 [] Облікова чисельність працівників магазина в 1991 році

Особливістю моментного ряду динаміки є те, що в його рівні можуть входити одні й ті ж одиниці досліджуваної сукупності. Хоча і в моментном ряду є інтервали - проміжки між сусідніми в ряду датами, - величина того чи іншого конкретного рівня не залежить від тривалості періоду між двома датами. Так, основна частина персоналу магазину, складова Облікова чисельність на 1.01.1991, яка продовжує працювати протягом даного року, відображена в рівнях наступних періодів. Тому при підсумовуванні рівнів моментного ряду може виникнути повторний рахунок.

За допомогою моментних рядів динаміки в торгівлі вивчаються товарні запаси, стан кадрів, кількість обладнання та інших показників, що відображають стан досліджуваних явищ на окремі дати (моменти) часу.

Інтервальні ряди динаміки відображають підсумки розвитку (функціонування) досліджуваних явищ за окремі періоди (інтервали) часу.

Прикладом інтервального ряду можуть служити дані про роздрібний товарооборот магазину в 1987 - 1991 рр.. (Таб. 2): Таблиця 2 [] Обсяг роздрібного товарообороту магазину в 1987 - 1991 рр..

Кожен рівень інтервального ряду вже є сумою рівнів за коротші проміжки часу. При цьому одиниця сукупності, що входить до складу одного рівня, не входить до складу інших рівнів.

Особливістю інтервального ряду динаміки є те, що кожен його рівень складається з даних за коротші інтервали (субперіоди) часу. Наприклад, підсумовуючи товарообіг за перші три місяці року, отримують його обсяг за I квартал, а підсумовуючи товарообіг за чотири квартали, отримують його величину за рік, і т. д. За інших рівних умов рівень інтервального ряду тим більше, чим більше довжина інтервалу, до якого цей рівень належить.

Властивість підсумовування рівнів за послідовні інтервали часу дозволяє отримати ряди динаміки більш укрупнених періодів.

За допомогою інтервальних рядів динаміки в торгівлі вивчають зміни у часі надходження і реалізації товарів, суми витрат обігу та інших показників, що відображають підсумки функціонування досліджуваного явища за окремі періоди.

Статистичне відображення досліджуваного явища в часі може бути представлено рядами динаміки з наростаючими підсумками. Їх застосування обумовлене потребами відображення результатів розвитку досліджуваних показників не тільки за цей звітний період, але і з урахуванням попередніх періодів. При складанні таких рядів виробляється послідовне підсумовування суміжних рівнів. Цим досягається сумарне узагальнення результату розвитку досліджуваного показника з початку звітного періоду (року, місяця, кварталу і т. д.).

Ряди динаміки з наростаючими підсумками будуються при визначенні загального обсягу товарообігу в роздрібній торгівлі. Так, узагальненням товарно - грошових звітів за останні операційні періоди (п'ятиденки, тижня, декади і т. д.).

2) За формою представлення рівнів. Можуть бути побудовані також ряди динаміки, рівні яких є відносні і середні величини. Вони також можуть бути або моментними або інтервальними.

В інтервальних рядах динаміки відносних і середніх величин безпосереднє підсумовування рівнів саме по собі позбавлене сенсу, оскільки відносні і середні величини є похідними і обчислюються через розподіл інших величин.

По відстані між датами або інтервалам часу виділяють повні або неповні ряди динаміки.

Повні ряди динаміки мають місце тоді, коли дати реєстрації або закінчення періодів слідують один за одним з рівними інтервалами. Це рівновіддалені ряди динаміки. Неповні - коли принцип рівних інтервалів не дотримується.

4) За кількістю показників можна виділити ізольовані і комплексні (багатовимірні) ряди динаміки. Якщо ведеться аналіз у часі одного показника, маємо ізольований ряд динаміки. Комплексний ряд динаміки виходить в тому випадку, коли в хронологічній послідовності дається система показників, пов'язаних між собою єдністю процесу або явища.

1.2 Вимоги, що пред'являються до рядів динаміки

1) Порівнянність статистичних даних Основною умовою для отримання правильних висновків при аналізі рядів динаміки є порівнянність його елементів.

Ряди динаміки формуються в результаті зведення й угруповання матеріалів статистичного спостереження. Повторювані в часі (за звітним періодам) значення однойменних показників у ході статистичного зведення систематизуються в хронологічній послідовності.

При цьому кожен ряд динаміки охоплює окремі відокремлені періоди, в яких можуть відбуватися зміни, які призводять до непорівнянності звітних даних з даними інших періодів. Тому для аналізу ряду динаміки необхідно приведення всіх складових його елементів до порівнянної увазі. Для цього відповідно до завдань дослідження встановлюються причини, що обумовили неспівмірність аналізованої інформації, і застосовується відповідна обробка, що дозволяє здійснювати порівняння рівнів ряду динаміки.

Неспівмірність в рядах динаміки викликається різними причинами. Це можуть бути разновеликость показань часу, неоднорідність складу досліджуваних сукупностей у часі, зміни в методиці первинного обліку і узагальнення вихідної інформації, відмінності застосовуваних в різний час одиниць вимірювання і т. д.

Так, при вивченні динаміки товарообігу по внутрішньорічні періодам неспівмірність виникає при неоднаковою тривалості показань часу (місяців, кварталів, півріч) При відсутності інформації про фактичний час роботи для отримання порівнянних середньодобових показників використовується режимне час роботи. Останнє різна залежно від виконуваних торгівлею функцій і обслуговується контингенту.

Для роздрібної торгівлі можливі наступні варіанти режимного часу: Підприємства, що працюють без перерви у святкові та вихідні дні (наприклад, чергові продуктові і хлібобулочні магазини, ресторани, кафе). Їх фонд робочого часу відповідає календарному; Підприємства, які не працюють у святкові дні (наприклад, міські ринки). Їх фонд робочого часу менше календарного на число щорічних святкових днів; Підприємства, які не працюють у святкові та общевиходние дні (наприклад, міські промтоварні магазини, підприємства громадського харчування на фабриках, в установах і т. д.). Величина їх робочого часу залежить від розміщення в кожному календарному році святкових і вихідних днів; Підприємства, що працюють в окремі періоди часу, сезони року (наприклад, міські овочеві базари, торгівля в місцях масового літнього відпочинку і т. д.).

Величини часових інтервалів повинні відповідати інтенсивності досліджуваних процесів. Чим більше варіація рівнів у часі, тим частіше слід робити виміри. Відповідно для стабільних процесів інтервали можна збільшити.

Так, перепису населення досить проводити один раз на десять років; облік національного доходу, врожаю ведеться один раз на рік; щодня реєструються курси купівлі та продажу валют, і т. д.

3) Числові рівні рядів динаміки мають бути впорядкованими в часі. Не допускається аналіз рядів з пропусками окремих рівнів, якщо ж такі пропуски неминучі, то їх заповнюють умовними розрахунковими значеннями.

1.3 Тенденція і коливання в рядах динаміки

При порівнянні рівнів різних років можна відзначити, що в цілому показник зростає. Однак нерідкі випадки, коли, наприклад, рівень врожайності попереднього року буде вищою, ніж у наступному році. Іноді зростання в порівнянні з попереднім роком великий, іноді малий. Отже, зростання спостерігається лише в середньому, як тенденція. В останні ж роки відбуваються коливання, відхиляючись від даної основної тенденції.

Якщо розглядати динамічні ряди місячних рівнів виробництва молока, м'яса, ряди обсягу продажів різних видів взуття чи одягу, ряди захворюваності населення, виявляються регулярно повторюються з року в рік сезонні коливання рівнів. У силу сонячно - земних зв'язків частота полярних сяйв, інтенсивність гроз, ті ж зміни врожайності окремих сільськогосподарських культур і ряд інших процесів мають циклічну 10 - 11 річну коливання. Коливання числа народжень, пов'язані з втратами у війні, повторюються з згасаючої амплітудою через покоління, тобто через 20 - 25 років.

Тенденція динаміки пов'язана з дією довготривало існуючих чинників, причин і умов розвитку, хоча, звичайно, після якого - то періоду умови можуть змінитися і породити вже іншу тенденцію розвитку досліджуваного об'єкта. Коливання ж, навпаки, пов'язані з діями короткострокових або циклічних факторів, що впливають на окремі рівні динамічного ряду, і відхиляють рівні тенденції то в одному, то в іншому напрямку.

Наприклад, тенденція динаміки врожайності пов'язана з прогресом агротехніки, зі зміцненням економіки даної сукупності господарств удосконаленням організації виробництва. Коливання врожайності викликана чергуванням сприятливих по погоді і несприятливих років, циклами сонячної активності і т. д.

При статистичному вивченні динаміки необхідно чітко розділити два її основні елементи - тенденцію і коливання, щоб дати кожному з них кількісну характеристику за допомогою спеціальних показників. Змішання тенденції і коливання веде до невірних висновків про динаміку.

1.4 Структура ряду динаміки. Завдання, які вирішуються за допомогою рядів динаміки. Взаємопов'язані ряди динаміки.

Всякий ряд динаміки теоретично може бути представлений у вигляді складових:

1. тренд - основна тенденція розвитку динамічного ряду (до збільшення або зниження його рівнів);

2. циклічні (періодичні коливання, в тому числі сезонні);

3. випадкові коливання.

За допомогою рядів динаміки вивчення закономірностей розвитку соціально - економічних явищ здійснюється у таких основних напрямках:

1. Характеристика рівнів розвитку досліджуваних явищ у часі;

2. Вимірювання динаміки досліджуваних явищ за допомогою системи статистичних показників;

3. Виявлення та кількісна оцінка основної тенденції розвитку (тренду);

4. Вивчення періодичних коливань;

5. Екстраполяція і прогнозування.

Під взаємопов'язаними рядами динаміки розуміють такі, в яких рівні одного ряду в якій - то мірою визначають рівні іншого. Наприклад, ряд, що відображає внесення добрив на 1 га, пов'язаний з тимчасовим поруч врожайності, ряд рівнів середньої вироблення пов'язаний з рядом динаміки середньої заробітної плати, ряд середньорічного поголів'я молочного стада визначає річні рівні надоїв молока і т. д.

2. Показник, що розраховується на основі рядів динаміки

2.1Статістіческіе показники динаміки соціально - економічних явищ.

Для кількісної оцінки динаміки соціально - економічних явищ застосовуються статистичні показники: абсолютні темпи зростання і приросту, темпи нарощування і т. д.

В основі розрахунку показників рядів динаміки лежить порівняння його рівнів. Залежно від застосовуваного способу зіставлення показники динаміки можуть обчислюватися на постійної і змінної базах порівняння.

Для розрахунку показників динаміки на постійній базі кожен рівень ряду порівнюється з одним і тим же базисним рівнем. Обчислюються при цьому показники називаються базисними. Для розрахунку показників динаміки на змінної базі кожний наступний рівень ряду порівнюється з попереднім. Такі показники називаються ланцюговими.

Способи розрахунку показників динаміки розглянемо на даних товарообігу магазину в 1987 - 1991 рр.. (Див. таб. 2).

Абсолютний приріст - найважливіший статистичний показник динаміки, визначається в різницевої співвідношенні, зіставленні двох рівнів ряду динаміки в одиницях виміру вихідної інформації. Буває ланцюгової і базисний:

1. Базисний абсолютний приріст визначається як різниця між порівнюваним рівнем і рівнем, прийнятим за постійну базу порівняння

(Формула 1): (1) Ланцюговий абсолютний приріст - Різниця між порівнюваним рівнем і рівнем, який йому передує,

(Формула 2): (2) Абсолютний приріст може мати і негативний знак, що показує, наскільки рівень досліджуваного періоду нижче базисного.

Між засадничими і абсолютними приростами існує зв'язок: сума ланцюгових абсолютних приростів дорівнює базисному абсолютному приросту останнього ряду динаміки (Формула 3): (3) Прискорення - різниця між абсолютним приростом за даний період і абсолютним приростом за попередній період рівної тривалості (формула 4): (4) Показник абсолютного прискорення застосовується тільки в ланцюговому варіанті, але не в базисному. Негативна величина прискорення говорить про уповільнення зростання або про прискорення зниження рівнів ряду.

Темп зростання - поширений статистичний показник динаміки. Він характеризує відношення двох рівнів ряду і може виражатися у вигляді коефіцієнта або у відсотках.

1. Базисні темпи зростання обчислюються діленням порівнюваного рівня на рівень, прийнятий за постійну базу порівняння

, За формулою 5: (5) Ланцюгові темпи зростання обчислюються діленням порівнюваного рівня на попередній рівень

(Формула 6): (6) Якщо темп зростання більше одиниці (або 100%), то це показує на збільшення досліджуваного рівня в порівнянні з базисним. Темп зростання, рівний одиниці (або 100%), показує, що рівень досліджуваного періоду в порівнянні з базисним не змінився. Темп зростання менше одиниці (або 100%) показує на зменшення рівня досліджуваного періоду в порівнянні з базисним. Темп зростання завжди має позитивний знак.

Між засадничими і ланцюговими темпами росту є взаємозв'язок: твір послідовних ланцюгових темпів зростання одно базисному темпу зростання, а частка від ділення наступного базисного темпу росту на попередній одно відповідному ланцюговому темпу зростання.

Темпи приросту характеризують абсолютний приріст у відносних величинах. Обчислений у відсотках темп приросту показує, на скільки відсотків змінився порівнюваний рівень по відношенню до рівня, прийнятого за базу порівняння.

1. Базисний темп приросту обчислюється діленням порівнюваного базисного абсолютного приросту на рівень, прийнятий за постійну базу порівняння

(Формула 7): (7) Ланцюговий темп приросту - Це відношення порівнюваного ланцюгового абсолютного приросту до попереднього рівня

(Формула 8): = : (8) Між показниками темпу зростання і темпу приросту існує взаємозв'язок, виражена формулами 9 і 10: (%) = (%) - 100 (9) (при вираженні темпу зростання у відсотках).

= - 1 (10) (при вираженні темпу зростання в коефіцієнтах).

Формули (7) і (8) використовують для знаходження темпів приросту за темпами зростання.

Важливим статистичним показником динаміки соціально - економічних процесів є темп нарощування, який в умовах інтенсифікації економіки вимірює нарощування у часі економічного потенціалу.

Обчислюються темпи нарощування Тн діленням ланцюгових абсолютних приростів на рівень, прийнятий за постійну базу порівняння, за формулою 11: (11)

2.2 Середні показники в рядах динаміки

Для одержання узагальнюючих показників динаміки соціально - економічних явищ визначаються середні величини: середній рівень, середній абсолютний приріст, середній темп зростання і приросту і пр.

Середній рівень ряду динаміки характеризує типову величину абсолютних рівнів.

В інтервальних рядах динаміки середній рівень у визначається діленням суми рівнів на їх число n (формула 12): (12) В моментном ряду динаміки з рівновіддаленими датами часу середній рівень визначається за формулою 13: (13) В моментном ряду динаміки з нерівновіддаленими датами середній рівень визначається за формулою 14: , (14) де - Рівні ряду динаміки, що збереглися без змін протягом проміжку часу .

Середній абсолютний приріст представляє собою узагальнену характеристику індивідуальних абсолютних приростів ряду динаміки. Для визначення середнього абсолютного приросту сума ланцюгових абсолютних приростів ділиться на їх число n (формула 15): (15) Середній абсолютний приріст може визначатися за абсолютними рівнями ряду динаміки. Для цього визначається різниця між кінцевим і базисним рівнями досліджуваного періоду, яка ділиться на m - 1 субперіодов (формула 16): (16) Грунтуючись на взаємозв'язку між ланцюговими і базисними абсолютними приростами, показник середнього абсолютного приросту можна визначити за формулою 17: (17) Середній темп росту - узагальнююча характеристика індивідуальних темпів зростання низки динаміки. Для визначення середнього темпу зростання застосовується формула 18: (18) де Тр1, Тр2 ,..., Трn - індивідуальні (ланцюгові) темпи росту (в коефіцієнтах), n - число індивідуальних темпів зростання.

Середній темп зростання можна визначити і за абсолютними рівнями ряду динаміки за формулою 19: (19) На основі взаємозв'язку між ланцюговими і базисними темпами зростання середній темп зростання можна визначити за формулою 20: (20) Середній темп приросту можна визначити на основі взаємозв'язку між темпами зростання і приросту. При наявності даних про середні темпи зростання для отримання середніх темпів приросту використовується залежність, виражена формулою 21: (21) (при вираженні середнього темпу зростання в коефіцієнтах)

Перевірка ряду на наявність тренда. Безпосереднє виділення тренда

Вивчення тренду включає в себе два основних етапи:

1. Ряд динаміки перевіряється на наявність тренда

2. Проводиться вирівнювання часового ряду і безпосереднє виділення тренду з екстраполяцією отриманих показників - результатів.

Перевірка на наявність тренда в ряду динаміки може бути здійснена за кількома критеріями.

1. Метод середніх. Досліджуваний ряд динаміки розбивається на кілька інтервалів (зазвичай на два), для кожного з яких визначається середня величина ( ). Висувається гіпотеза про істотне розходження середніх. Якщо ця гіпотеза приймається, то визнається наявність тренда.

2. Фазочастотной критерій знак першому різниці (критерій Валліса і Мура). Суть його полягає в наступному: наявність тренда в динамічному ряду стверджується в тому випадку, якщо цей ряд не містить або містить у прийнятному кількості фази - зміна знака різниці першого порядку (абсолютного ланцюгового приросту).

3. Критерій Кокса і Стюарта. Весь аналізований ряд динаміки розбивають на три рівні за кількістю рівнів групи (в тому випадку, коли число рівнів ряду не ділиться на три, відсутні рівні треба додати) і порівнюють між собою рівні першої і останньої груп.

4. Метод серій. За цим способом кожен конкретний рівень часового ряду вважається належить до одного з двох типів: наприклад, якщо рівень низки менше медіанного значення, то вважається, що він має тип А, в іншому випадку - тип В. Тепер послідовність рівнів виступає як послідовність типів. У утворилася послідовності типів визначається число серій (серія - будь-яка послідовність елементів однакового типу, з обох сторін межує з елементами іншого типу).

Якщо в ряду динаміки загальна тенденція до зростання чи зниження відсутня, то кількість серій є випадковою величиною, розподіленою наближено по нормальному закону (для n> 10). Отже, якщо закономірності у змінах рівнів немає, то випадкова величина R виявляється в довірчому інтервалі .

Параметр t призначається відповідно до прийнятого рівнем довірчої ймовірності Р.

Середнє число серій обчислюється за формулою 22: . (22) Середнє квадратичне відхилення числа серій обчислюється за формулою 23: . (23) тут n - число рівнів ряду.

Вираз для довірчого інтервалу набуває вигляду Отримані кордону довірчого інтервалу округляють до цілих чисел, зменшуючи нижню межу і збільшуючи верхню.

Безпосереднє виділення тренда може бути вироблено трьома методами.

1. Укрупнення інтервалів. Ряд динаміки поділяють на деякий досить велике число рівних інтервалів. Якщо середні рівні по інтервалам не дозволяють побачити тенденцію розвитку явища, переходять до розрахунку рівнів за великі проміжки часу, збільшуючи довжину кожного інтервалу (одночасно зменшується кількість інтервалів).

2. Змінна середня. У цьому методі вихідні рівні низки замінюються середніми величинами, які отримують з даного рівня і кількох симетрично його оточуючих. Ціле число рівнів, за якими розраховується середнє значення, називають інтервалом згладжування. Інтервал може бути непарним (3,5,7 і т. д. точок) або парних (2,4,6 і т. д. точок).

При непарному згладжуванні отримане середнє арифметичне значення закріплюють за серединою розрахункового інтервалу, при парному це робити не можна. Тому при обробці ряду парними інтервалами їх штучно роблять непарними, для чого утворюють найближчий більший непарний інтервал, але з крайніх його рівнів беруть тільки 50%.

Недолік методики згладжування ковзаючими середніми полягає в умовності визначення згладжених рівнів для точок на початку і кінці ряду. Отримують їх спеціальними прийомами - розрахунком середньої арифметичної зваженої. Так, при згладжуванні за трьома точками вирівняне значення на початку ряду розраховується за формулою 24: . (24) Для останньої точки розрахунок симетричний.

При згладжуванні по п'яти точках маємо такі рівняння (формули 25): (25) Для останніх двох точок низки розрахунок згладжених значень повністю симетричний згладжування у двох початкових точках.

Формули розрахунку по ковзної середньої виглядають, зокрема, наступним чином (формула 26): для 3 - членній . (26) Аналітичне вирівнювання. Під цим розуміють визначення основної виявляється в часі тенденції розвитку досліджуваного явища. Розвиток постає перед дослідником як би в залежності тільки від перебігу часу. У результаті вирівнювання часового ряду отримують найбільш загальний, сумарний, виявляється в часі результат дії всіх причинних факторів. Відхилення конкретних рівнів ряду від рівнів, що відповідають загальній тенденції, пояснюють дією факторів, що виявляються випадково або циклічно. В результаті приходять до трендовой моделі, вираженої формулою 27:

, (27) де f (t) - рівень, що визначається тенденцією розвитку; - Випадкове і циклічне відхилення від тенденції.

Метою аналітичного вирівнювання динамічного ряду є визначення аналітичної чи графічної залежності f (t). На практиці за наявним тимчасовому ряду задають вигляд і знаходять параметри функції f (t), а потім аналізують поведінку відхилень від тенденції. Функцію f (t) вибирають таким чином, щоб вона давала змістовне пояснення досліджуваного процесу.

Найчастіше при вирівнюванні використовуються наступний залежності: лінійна ; Параболічна ; Експоненціальна або ).

1. Лінійна залежність вибирається в тих випадках, коли у вихідному тимчасовому ряді спостерігаються більш-менш постійні абсолютні і ланцюгові прирости, не виявляють тенденції ні до збільшення, ні до зниження.

2. Параболічна залежність використовується, якщо абсолютні ланцюгові прирости самі по собі виявляють деяку тенденцію розвитку, але абсолютні ланцюгові прирости абсолютних ланцюгових приростів (різниці другого порядку) ніякої тенденції розвитку не виявляють.

3. Експоненціальні залежності застосовуються, якщо у вихідному тимчасовому ряді спостерігається або більш-менш постійна відносне зростання (стійкість ланцюгових темпів зростання, темпів приросту, коефіцієнтів росту), або, за відсутності такого сталості, - стійкість у зміні показників відносного зростання (ланцюгових темпів росту ланцюгових ж темпів зростання, ланцюгових коефіцієнтів росту ланцюгових же коефіцієнтів або темпів зростання і т. д.).

Оцінка параметрів ( ) Здійснюється наступними методами:

1. Методом обраних точок,

2. Методом найменших відстаней,

3. Методом найменших квадратів (МНК)

У більшості розрахунків використовується метод найменших квадратів, який забезпечує найменшу суму квадратів відхилень фактичних рівнів від вирівнюються: .

Для лінійної залежності ( ) Параметр звичайно інтерпретації не має, але іноді його розглядають, як узагальнений початковий рівень ряду; - Сила зв'язку, тобто параметр, який показує, наскільки зміниться результат при зміні часу на одиницю. Таким чином, можна уявити як постійний теоретичний абсолютний приріст.

Побудувавши рівняння регресії, проводять оцінку його надійності. Це робиться за допомогою критерію Фішера (F). Фактичний рівень ( ), Обчислений за формулою 28, порівнюється з теоретичним (табличним) значенням: , (28) де k - число параметрів функції, що описує тенденцію; n - число рівнів ряду; Інші необхідні показники обчислюються за формулами 29 - 31: (29) (30) (31) порівнюється з при ступенях свободи і рівні значущості a (зазвичай a = 0,05). Якщо > , То рівняння регресії значимо, тобто побудована модель адекватна фактичної тимчасової тенденції.

Аналіз сезонних коливань

Рівень сезонності оцінюється за допомогою:

1. індексів сезонності;

2. гармонійного аналізу.

Індекси сезонності показують, у скільки разів фактичний рівень ряду в момент або інтервал часу t більше середнього рівня або рівня, обчислюваного за рівнянням тенденції f (t). При аналізі сезонності рівні тимчасового ряду показують розвиток явища по місяцях (кварталами) одного або декількох років. Для кожного місяця (кварталу) отримують узагальнений індекс сезонності як середню арифметичну з однойменних індексів кожного року. Індекси сезонності - це, по яких рівень суті, відносні величини координації, коли за базу порівняння прийнятий або середній рівень ряду, або рівень тенденції. Способи визначення індексів сезонності залежать від наявності або відсутності основної тенденції.

Якщо тренда немає або він незначний, то для кожного місяця (кварталу) індекс розраховується за формулою 32: (32) де - Рівень показника за місяць (квартал) t; - Загальний рівень показника.

Як зазначалося вище, для забезпечення стійкості показників можна взяти більший проміжок часу. У цьому випадку розрахунок проводиться за формулами 33: (33) де - Середній рівень показника по однойменною місяців за ряд років; Т - число років.

При наявності тренда індекс сезонності визначається на основі методів, що виключають вплив тенденції. Порядок розрахунку наступний:

1. для кожного рівня визначають вирівняні значення по тренду f (t);

2. розраховують відносини ;

3. при необхідності знаходять середнє з цих відносин для однойменних місяців (кварталів) за формулою 34:

, (Т - число років). (34) Іншим методом вивчення рівня сезонності є гармонійний аналіз. Його виконують, представляючи тимчасової ряд як сукупність гармонійних коливальних процесів.

Для кожної точки цього ряду справедливо вираз, записане у вигляді формули 35: (35) при t = 1,2,3 ,..., Т.

Тут - Фактичний рівень ряду в момент (інтервал) часу t; f (t) - вирівняний рівень ряду в той же момент (інтервал) t - Параметри коливального процесу (гармоніки) з номером n, в сукупності оцінюють розмах (амплітуду) відхилення від загальної тенденції і зрушення коливань щодо початкової точки.

Загальне число коливальних процесів, які можна виділити з ряду, що складається з Т рівнів, одно Т / 2. Зазвичай обмежуються меншим числом найбільш важливих гармонік. Параметри гармоніки з номером n визначаються за формулами 36 -38:

1. ; (36)

2. 

(37) при n = 1,2 ,..., (T / 2 - 1), 3) (38)

Аналіз взаємозалежних рядів динаміки.

У найпростіших випадках для характеристики взаємозв'язку двох або більше рядів їх призводять до загального основи, для чого беруть як базисних рівні за один і той же період і обчислюють коефіцієнти випередження за темпами зростання або приросту.

Коефіцієнти випередження за темпами зростання - це відношення темпів росту (ланцюгових або базисних) одного ряду до відповідних за часом темпами зростання (також ланцюговим або базисним) іншого ряду. Аналогічно перебувають і коефіцієнти випередження за темпами приросту.

Аналіз взаємозалежних рядів представляє найбільшу складність при вивченні тимчасових послідовностей. Проте нерідко збіг загальних тенденцій розвитку може бути викликане не взаємної зв'язком, а іншими невраховуваних факторами. Тому в зіставляються рядах заздалегідь слід позбутися впливу існуючих в них тенденцій, а після цього провести аналіз взаємозв'язку за відхиленнями від тренду. Дослідження включає перевірку рядів динаміки (відхилень) на автокореляції і встановлення зв'язку між ознаками.

Під автокореляцією розуміється залежність наступних рівнів ряду від попередніх. Перевірка на наявність автокореляції здійснюється за критерієм Дарбіна - Уотсона (формула 39): , (39) де - Відхилення фактичного рівня ряду в точці t від теоретичного (вирівняного) значення.

При К = 0 є повна позитивна автокорреляция, при К = 2 автокорреляция відсутній, при К = 4 - повна негативна автокорреляция. Перш ніж оцінювати взаємозв'язок, автокореляції необхідно виключити. Це можна зробити трьома способами.

1. Виняток тренда з авторегресії. Для кожного з взаємозалежних рядів динаміки Х і У отримують рівняння тренду (формули 40):

(40) Далі виконують перехід до нових рядах динаміки, збудованим з відхилень від трендів, розрахованим за формулами 41: (41) Для послідовностей виконується перевірка на автокореляції за критерієм Дарбіна - Уотсона. Якщо значення близько до 2, то даний ряд відхилень залишають без змін. Якщо ж До помітно відрізняється від 2, то за таким ряду знаходять параметри рівняння авторегресії за формулами 42: (42) Більш повні рівняння авторегресії можна отримати на основі аналізу автокореляційної функції, коли визначаються число параметрів () і відповідні цим параметрам величини кроків.

Далі за формулою 43 підраховуються нові залишки: (t = 1 ,..., T) (43) і, за формулою 44, коефіцієнт кореляції ознак:. (44) Кореляція перших різниць. Від вихідних рядів динаміки Х і У переходять до нових, побудованим за першими разностям (формули 45):

(45) По D Х і D У визначають за формулою 46 напрям і силу зв'язку в регресії: (46) Включення часу в рівняння зв'язку:

. У найпростіших випадках рівняння виглядає наступним чином (формула 47): (47) З перерахованих методів виключення автокореляції найбільш простим є другою, однак більш ефективний перший.