Реферат
На тему «Рух у центральному симетричному полі»Студента I-го курсу гр. 107
Шликовіча Сергія
Мінськ 2001
Трохи теорії.
Центральним називають таке силове поле, в якому потенційна енергія частки є функцією тільки від відстані r до певної точки - центру поля: U = U (r). Сила, що діє на частку в такому полі, теж залежить лише від відстані r і спрямована в кожній точці простору уздовж радіуса, проведеного в цю точку з центру поля.
Хоча частка, що рухається в такому полі, і не представляє собою замкнуту систему, тим не менш для неї виконується закон збереження моменту імпульсу, якщо визначати момент по відношенню до центру поля. Дійсно, оскільки напрям діє на частку сили проходить через центр поля, то дорівнює нулю плече сили щодо цієї точки, а тому дорівнює нулю і момент сили. Відповідно до рівняння звідси випливає, що L = const.
(Де L - вектор моменту імпульсу, а K момент сили K = [rF]. Рівняння виходить з рівняння L = [rp]. Визначимо похідну за часом від моменту імпульсу частинки. Відповідно до правила диференціювання твору маємо
Так як - Є швидкість v частинки, а p = m v, то перший член є m [vv] і дорівнює нулю, оскільки дорівнює нулю векторний добуток будь-якого вектора самого на себе. У другому члені похідна - є, як ми знаємо, що діє на частку сила F. Таким чином,.)
Оскільки момент L = m [rv] перпендикулярний напрямку радіусу-вектора r, то з постійності напрямки L випливає, що при русі частинки її радіус-вектор повинен залишатися весь час в одній площині - площині, перпендикулярній напрямку L. Таким чином, в центральному полі частинки рухаються по плоских орбітах - орбітах, які лежать в площинах, що проходять через центр поля.
Дане рівняння можна записати у вигляді:
де d s - вектор переміщення матеріальної точки за час dt. Величина векторного справиш двох векторів геометрично являє собою Коней побудованого на них паралелограма. Площа ж паралелограма, побудованого на векторах d s і r, є подвоєна площа нескінченно вузького сектору OAA ', описаного радіусом-вектором просувалася точки за час dt. Позначивши цю площу через dS, можна записати величину моменту у вигляді
Величина називається секториальная швидкість.
Завдання про рух у центральному полі особливо важлива тому, що до неї зводиться задача про відносному русі двох взаємодіючих один з одним матеріальних точок - так звана завдання двох тіл.
Якщо розглянути це рух у системі центра інерції обох часток. У цій системі відліку сумарний імпульс частинок дорівнює нулю:
m1 v 1 + m2 v 2 = 0,
де v 1, v 2 - швидкості частинок. Введемо також відносну швидкість частинок
v = v 1 - v 2.
З цих двох рівностей виходять такі формули формули
виражають швидкості кожної з частинок через їхню відносну швидкість.
Підставивши ці формули в вираз повної енергії частинок отримаємо
де U (r) - взаємна потенційна енергія частинок як функція їх відносної відстані r. Після простого приведення членів отримаємо
,
де m позначає величину
звану наведеної масою частинок.
Ми бачимо, що енергія відносного руху двох частинок така ж, як якщо б одна частинка з масою m рухалася зі швидкістю в центральному зовнішньому полі з потенційною енергією U (r). Іншими словами, задача про рух двох частинок зводиться до задачі про рух однієї «наведеної» частинки в зовнішньому полі.
Постановка завдання. Розглянемо енергію матеріальної точки в центральному полі сил. , Уявімо (швидкість) в полярних координатах
Розглянемо трикутник ABD:
ds ~ AB, отже
,
звідки отримуємо
Висловимо
(*)
Залишилося виразити характер траєкторії
(**)
Підставимо вираз (*) в (**)
Проінтегруємо
Ця формула є траєкторію руху частки в центральному симетричному полі.
Розглянемо рівняння руху для випадку кулонівського поля.
, Де
Спробуємо знайти цей інтеграл попередньо зробивши заміну
Зробимо заміну ,
тоді
Далі застосуємо формулу
У підсумку отримуємо
,
де ;
Це рівняння конічного перетину з фокусом у центрі поля.
При e> 1 - гіпербола;
e = 1 - парабола;
0 <e