МІНІСТЕРСТВО ВИЩОЇ середньої спеціальної
ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Стерлітамацький ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ
ІНСТИТУТ
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ
Ахтямов Рустам Расіховіч

РОЗРОБКА ТЕОРІЇ
Радіогеохімічних ЕФЕКТУ
ДИПЛОМНА РОБОТА
Науковий керівник: д. т. н.,
професор А.І. Філіппов.
Стерлітамак

Зміст

Введення. 3
Позначення. 4
1. Результати експериментального дослідження радіогеохімічних ефекту 6
1.1. Опис і способи реєстрації радіогеохімічних ефекту. 6
1.2. Приклади експериментального виявлення радіогеохімічних ефекту 7
1.3. Висновки .. 11
2. Основні рівняння. 12
2.1. Рівняння нерозривності. 12
2.2. Закон Фіка. 14
2.3. Рівняння конвективної дифузії. 16
2.4. Метод характеристик. 18
2.5 Слабкі розчини .. 26
2.6. Рівновага по відношенню до радіактивно речовини речовини. 28
2.7. Хімічний потенціал. 30
3. Розробка теорії радіогеохімічних ефекту. 32
3.1. Загальні припущення теорії. 32
3.2. Математичні моделі радіогеохімічних ефекту. 34
3.3. Рельзультати розрахунків та їх аналіз. 41
3.3.1. Графік моделі. 41
3.3.2 Умова виникнення радіогеохімічних ефекту. 43
Висновок. 44
Література. 45

Введення

В даний час до числа невирішених проблем у галузі контролю методами промислової геофізики за процесами обводнення слід віднести виділення колекторів, заводняемих закачиваемой водою, по свердловинах, що виходять з буріння, і по свердловинах, обвідних в період експлуатації закачиваемой чи пластової водою.
Перспективним напрямком досліджень з метою вирішення цих питань є використання ефекту збільшення природної гамма-активності в заводняемом пласті. Ефект був експериментально виявлений більше десяти років тому і отримав назву «радіогеохімічних», він полягає в багаторазовому збільшенні природного гамма активності порід в інтервалі продуктивних пластів у процесі їх обводнення, що проявляється у виникненні аномалій на кривих гамма-каротажу. Через недостатню вивченість умов відкладення радіоактивних речовин ефект не знаходить широкого застосування.
Мета даної роботи полягає в розробці теорії радіогеохімічних ефекту.
Завдання:
- Аналіз експериментальних досліджень опублікованих у пресі;
- Виведення основних рівнянь;
- Формулювання завдань математичної фізики, що описують динаміку радіоактивних домішок у разі витіснення нафти водою;
- Вирішення основних завдань і проведення чисельних розрахунків на їх основі;
- Визначення умов виникнення радіогеохімічних ефекту;
- Аналіз результатів розрахунків, дослідження залежності величини ефекту від пористості, коефіцієнта рівноваги розчиненої речовини між рідиною і скелетом і від щільності радіоактивних домішок в цих середовищах.
Практична значимість полягає в можливості використання результатів дослідження в нафтовидобувній промисловості.
Робота складається з двох розділів.
У першому розділі описується радіогеохімічних ефект, розглядаються способи реєстрації та приклади результатів експериментального виявлення радіогеохімічних ефекту.
У другому розділі вводяться основні поняття та рівняння: рівняння нерозривності, хімічний потенціал, закон Фіка, координати Ейлера і Лагранжа, слабкі розчини та рівноваги в них по відношенню до розчиненому речовині, рівняння конвективної дифузії, метод характеристик з розглядом окремих випадків.
У третьому розділі розробляється теорія ефекту. Тут будується математична модель: постановка завдань та їх вирішення методом характеристик. Виробляються розрахунки і на основі їх аналізу будуються графіки, виводиться умова виникнення радіогеохімічних ефекту. Глава завершується визначенням вирази для його величини ефекту.
Висловлюю глибоку вдячність за допомогу в написанні роботи професору А. І. Філіппову.

Позначення

- Об'єм займаний порами і скелетом відповідно, м ^3;
- Загальний обсяг, м ^3;
- Хімічний потенціал розчинених радіоактивних речовин щодо рідини і скелета, Дж / кг;
, - Щільність радіоактивних речовин у насичує рідини і скелеті, кг / м ^3;
- Коефіцієнт масообміну між скелетом і рідиною, кг ² / (Дж м ³ с);
- Швидкість фільтрації насичує рідини, м / c.

1. Результати експериментального дослідження
радіогеохімічних ефекту
У цьому розділі наводяться результати експериментальних досліджень отриманих при замірах свердловин в період і після їх експлуатації. Проводиться аналіз практичних матеріалів гамма-каротажу, який показує, що в процесі тривалої закачування стічних вод у продуктивні горизонти утворюються аномалії, пов'язані з радіогеохімічних ефектом.

1.1. Опис і способи реєстрації радіогеохімічних ефекту

У свердловинах, обводнюють внаслідок заводнения пластів закачиваемой чи пластової водою, з заколонного циркуляцією і працюють практично без води, часто спостерігається підвищення радіоактивного випромінювання, досягаючи максимального значення в інтервалі контакту нафти з водою. Звідси така назва - «радіогеохімічних ефект».
Виникнення гамма-аномалії на кордоні вода-нафту пов'язане з підвищенням концентрації радіоактивних речовин у пласті, джерелом яких є нерухома пористе середовище.
Існує кілька способів реєстрації радіогеохімічних ефекту. Але найбільш точним є гамма-кароттаж свердловин.
Гамма-кароттаж - Це метод дослідження геологічного розрізу свердловини по радіоактивному гамма випромінювання гірських порід. Він полягає в наступному. У свердловину опускається снаряд (рис.1), який містить в собі приймач гамма-випромінювання. Як приймач використовують лічильник Гейгера-Мюллера, який з'єднується з пультом управління і живлення. Лічильник являє собою металеву трубку, по осі якої натягнута металева нитка. Нитка і трубка з'єднані з полюсами джерела високої напруги. При попаданні в трубку гамма-випромінювання в ланцюзі трубки виникають імпульси струму, за якими можна судити про інтенсивність випромінювання.

Рис. 1.
Загальний вигляд приладу для дослідження радіогеохімічних ефекту.
За результатами досліджень будується діаграма залежності інтенсивності випромінювання від глибини. Діаграму, зареєстровану після певного періоду експлуатації свердловини, порівнюють з виміром, отриманим безпосередньо після виходу свердловини з буріння. В порівнянні цих двох діаграм визначаються інтервали гамма-аномалій.
За результатами виробничих вимірів можна говорити про зміну природного гамма-активності по розрізу свердловини в тому випадку,
якщо показники в інтервалі неколлекторов зросли практично до рівня глин або більше, а в інтервалі колекторів (глинисті різниці) - перевищують рівень глин не менше ніж на 30-50%.

1.2. Приклади експериментального виявлення
радіогеохімічних ефекту

На рис.2 наведені результати досліджень по трьох свердловинах. У свердловині 3890 в пласті пісковика 1740-1758 м водонафтової контакт перебуває на глибині 1751,3 м, інтервал перфорації 1740-1744 мм. Пласт «а» (1723-1725 м) представлений алевролітів, розкритий перфорацією, але в роботі свердловини участі він не приймає. Свердловина вступила в роботу з водою.

Рис. 2.
Підвищення природної гамма - активності в період експлуатації свердловини.
а - вкв. 3890; б - скв.3892; в - вкв. 3865.
1 - інтервал підвищення гамма - активності; 2 - інтервал перфорації.
Обводненість продукції пов'язана з надходженням води з водонасиченого частини пласта «гд». У 1963 р. обводненість продукції різко зросла в результаті почався заводнения пласта закачиваемой водою. У межах основної частини пласта відбулося різке збільшення природного гамма-активності, найбільш високий рівень випромінювання зареєстрований в інтервалі, розкритому перфорацією (у 10 разів перевищує рівень у глинах). Крім того, збільшення гамма-активності спостерігається і вище покрівлі цього пласта в інтервалі, представленому неколлектором (до глибини 1736 м). Можливо, дещо збільшилася гамма-активність і в інтервалі непрацюючого пласта «а». У свердловині 3892 перфорацією розкритий також пласт з підошовної водою (водонафтової контакт на глибині 1669 м). Свердловина вступила в роботу з водою. У 1964 р., судячи з різкого збільшення обводненості продукції, почалося заводнення колектора пластовою водою. У заводняемом пласті, в основному в межах інтервалу перфорації, відзначається збільшення гамма-активності до рівня глин. Крім того, підвищення гамма-активності відбулося в інтервалі 1752-1753 м, який представлений неколлектором. У свердловині 3865 працюють два верхніх пласта - «а» (1779-1786 м) і «б» (1789-1794 м). У 1965 р. пласт «а» почав заводняться закачиваемой водою. По виміру ГМ відкладення солей радіобаріта відбулося в підошовної частини заводняемого пласта і в аргілітів, що залягають над пластом «б».
При обводнюванні свердловин закачиваемой водою гамма-аномалії в інтервалі заводняемого пласта, виділені по 55% свердловин. У межах колекторів, заводняемих пластової водою, освіта гамма-аномалій відзначено по 75% свердловин, тобто в цьому випадку ймовірність відкладення солей радіобаріта більше. Відсутня будь-який зв'язок між імовірністю утворення гамма-аномалії в заводняемом пласті і кількістю відібраної води або нафти з цього пласта. Величина аномалії також не залежить від кількості відібраної води або нафти. При заводнении нижніх пластів підвищення гамма - активності в інтервалі пласта відзначено в 70% випадків, а при заводнении верхніх шарів - в 40% випадків. За нижнім шарам відкладення радіобаріта зазвичай спостерігається в інтервалі потужністю не менше 4 - 6 м (див. рис.1, а і б). Якщо заводняется верхній пласт, то підвищення показань ГМ звичайно відзначається в інтервалі потужністю до 2 м, який буває приурочений до підошовної частини колектора (рис.1, в).
При зіставленні результатів вимірювань природного гамма-активності по верхніх нижнім шарам створюється враження, що основним джерелом ізотопів радію є пласти з підошовної водою. Мабуть, на контакті нафти з водою вміст радію у воді істотно більше, ніж у пластах, значно віддалених від водонефтяного контакту. Наприклад, на Арланського родовищі по діаграмах ГМ, зареєстрованих після виходу свердловини з буріння, кордон нафта-вода в пласті виділяється характерним максимумом інтенсивності природного гамма-випромінювання. Можливо, на цьому родовищі існували найбільш-сприятливі умови для адсорбції радіоактивних-елементів на кордоні нафти з водою. Вміст ізотопів радію в зоні водонефтяного контакту має зростати на ділянках інтенсивного руху підошовної води. Наприклад, на Павлівській площі до початку розробки покладу швидкість фільтрації води по пласту була більше, ніж на Абдрахмановской і Південно-Ромашкинского площах. Цим можна пояснити, чому по свердловинах Павлівської площі ймовірність появи гамма-аномалій при заводнении колекторів більше і інтенсивність їх вище в порівнянні з даними, отриманими за Абдрахмановской і Південно-Ромашкинского площами.
По свердловинах, що експлуатують пласти з підошовної водою і обводнюють внаслідок надходження води по затрубному простору або пріскважінной зоні колектора, ймовірність утворення гамма-аномалій становить 50%, тобто менше, ніж у випадку заводнения колекторів в інтервалі нижніх пластів.
Підвищення природної гамма-активності часто спостерігається в інтервалах, які не є джерелом надходження води в свердловину. Гамма-аномалії, що не збігаються по глибині з інтервалом припливу води в свердловину, виділені по 158 свердловинах, причому 32 свердловини до часу проведення вимірювань працювали без води. З числа розглянутих-свердловин в 47 гамма-аномалії приурочені до працюючого пласту, з якого в свердловину надходить безводна нафту. У 47 свердловинах гамма-аномалії виділяються в інтервалі пластів, розкритих перфорацією, але ці пласти в роботі свердловини не беруть участь. У решті 64 свердловинах відкладення радіобаріта наголошується в інтервалі неколлекторов.Із наведених даних випливає, що в 70% випадків підвищення гамма-активності відзначається в інтервалах, з яких немає припливу рідини у свердловину (непрацюючі пласти та інтервали неколлекторов). У 30% випадків з пласта надходила безводна нафту, але в межах цього колектора виділяється гамма-аномалія. Можливо, в подібних випадках працює не вся потужність пласта і в непрацюючих інтервалах відбувається відкладення солей радіобаріта.
Аналіз утворення гамма-аномалій після певного періоду експлуатації свердловин показує, що відкладення солей радіобаріта не по всіх свердловинах відбувається в інтервалі заводняемого колектора і в 40% розглянутих свердловин заводняемие колектори не виділяються підвищенням природного гамма-активності.

1.3. Висновки

На основі всього вище сказаного можна зробити наступні висновки:
1. Радіогеохімічних ефект спостерігається на межі нафта-вода в пласті. Таким чином, в нафтовому пласті вміст радіоактивних речовин підвищується.
2. Імовірність появи гамма-аномалії при заводнении нижніх пластів більше, ніж при заводнении верхніх пластів.
3. Інтенсивність гамма-аномалій залежить від швидкості фільтрації води по пласту.
4. Аномальна радіоактивність часто спостерігається в пластах, які не є джерелами надходження води в свердловину. Освіта цих гамма-аномалій, мабуть, пов'язано з адсорбцією барію і радію з рідини, що рухається по стволу, на ділянках обсадної колони, які зазнали корозії, і на цементі за колоною в інтервалі пластів, розкритих перфорацією.
5. Радіогеохімічних ефект можна застосовувати при дослідженнях в інтервалі пластів, не розкритих перфорацією.

2. Основні рівняння
Змістом цієї глави є основні поняття та рівняння, і їх рішення, необхідні розробки теорії на основі математичної моделі.

2.1. Рівняння нерозривності

У замкнутої ізольованій системі повна маса залишається постійною, тобто вона не виникає і не зникає сама по собі.
Закон збереження маси означає, що для будь-якого з поверхнею   зміна маси в повинна дорівнювати кількості маси протікає через .
Щільністю в точці простору називають границя відношення маси в елементарному обсязі цього обсягу, який охоплює точку , При стягуванні його в цю точку, тобто:

,

(2.1)

Тоді

,

(2.2)

де m - інтегральний параметр, що задовольняє закону адитивності, - Локальний параметр.
Виділимо в просторі нерухому замкнуту поверхню   обмежує обсяг . Кожній точці виділеного обсягу зіставимо вектор .

Рис.3.
Виберемо на поверхні орієнтований елемент поверхні, де - Вектор зовнішньої нормалі, - Площа обраної майданчика.
Тоді через елемент площі входить або виходить кількість маси суцільного середовища , Де - Вектор потоку маси.
Через всю поверхню увійде або вийде кількість маси

(2.3)

Будемо припускати, що джерела і стоки відсутні, тоді закон збереження маси запишеться у вигляді:

(2.4)

У (2.4) знак мінус у правій частині пояснюється тим, що якщо утворює з гострий кут, тобто , То проходить через   зсередини назовні, тобто маса в убуває.

(2.5)

Рівняння (2.5) - рівняння нерозривності для маси в інтегральній формі.
Проведемо в першому інтегралі (2.5) диференціювання за як за параметром (оскільки не залежить від ), Тобто внесемо похідну під знак інтеграла і замінимо її приватної похідну, оскільки підінтегральна функція залежить від змінної інтегрування, отримаємо:

(2.6)

Далі розглянемо рівновагу між газом (який будемо вважати ідеальною) і його розчином в деякому конденсованому розчиннику. Умова рівноваги, тобто рівність хімічних потенціалів газу чистого і розчиненого напишеться (за допомогою (12) з 2.1.5) у вигляді

,

(2)

звідки

.

(4)

Функція характеризує властивість рідкого (або твердого) розчину, а проте при невеликих тисках властивості рідини дуже слабо залежать від тиску. Тому і залежність від тиску не грає ролі, і можна вважати, що коефіцієнт при в (4) є постійна, яка не залежить від тиску:

.

(4)

Таким чином, при розчиненні газу концентрація розчину (слабкого) пропорційна тиску (мається на увазі, що молекули газу переходять у розчин у незмінному вигляді. Якщо при розчиненні молекули розпадаються (наприклад, при розчиненні водню Н ₂ в деяких металах), то залежність концентрації від тиску виходить інший).

2.7. Хімічний потенціал

Для обліку зміни термодинамічних функцій при зміні кількості речовини в системі, необхідно до диференціалу кожного термодинамічного потенціалу додати член , Де - Число частинок речовини в системі, а - Коефіцієнт пропорційності.
У цьому випадку термодинамічні функції будуть описувати також і ті системи, в яких здійснюються процеси зі зміною кількості речовини.
Наприклад,

,

(1)

звідси

.

(2)

де - Теплова функція, або ентальпія ( ).
Так все термодинамічні потенціали мають розмірність енергії, то згідно з формулою (2) коефіцієнт пропорційності може бути визначений як енергія, віднесена до одного молю. Цей коефіцієнт отримав назву хімічного потенціалу.
Вираз (1) справедливо для системи, що складається з однорідних молекул. Якщо ж система складається з різнорідних речовин, останній член у формулі (1) треба представити у вигляді суми

.

(3)

Тут

(4)

характеризує зміну енергії при зміні кількості даного компонента речовини в системі на один моль.
Зрозуміло, що хімічний потенціал можна визначити, виходячи не тільки з виразу теплової функції (2), але і з виразу будь-який інший термодинамічної функції. При цьому за означенням

.

(5)

Таким чином, хімічний потенціал характеризує зміну енергії при зміні кількості речовини в системі на один моль.

3. Розробка теорії радіогеохімічних ефекту
У цьому розділі сформульовано загальні припущення теорії радіогеохімічних ефекту, наведена його математична модель. Тут вирішується завдання для знаходження результуючої щільності радіоактивних речовин в пористому середовищі, які ілюструються на графіках. Визначаються величина цього ефекту і умова його виникнення.

3.1. Загальні припущення теорії

У даній роботі здійснена спроба дослідження особливостей формування радіогеохімічних ефекту на основі концепції, згідно з якою дифузія радіоактивних речовин визначається хімічним потенціалом та вивчення нових можливостей практичного використання цього ефекту.
В основу теорії покладено такі загальнонаукові припущення:
- Дифузія розчиненої речовини пропорційна градієнту хімічного потенціалу

(3.1)

де - Коефіцієнт дифузії хімічного потенціалу,
- Вектор густини потоку дифундують радіоактивних компонентів,
зокрема потік радіоактивних домішок між скелетом і насичують флюїдом визначається ньютоновским законом для хімічного потенціалу

(3.2)

- Щільність розчинених ізотопів передбачається малою в порівнянні з щільністю несучої фази, яка не змінюється в процесі фільтрації. Перенесення розчинених ізотопів визначається швидкістю фільтрації несучої фази. Динаміка розчиненого речовини визначається рівнянням нерозривності, що випливають з закону збереження маси

(3.3)

відповідно для щільності радіоактивних речовин у скелеті ρ _s має місце наступне рівняння

.

(3.4)

Дифузією радіоактивних домішок, крім масообміну рідини зі скелетом, в рівняннях (3) і (4) нехтується;
-Для несучої рідини, передбачуваної нестисливої, відповідне рівняння нерозривності передбачається квазістаціонарним

(3.5)

- Період напіврозпаду передбачається настільки великим, що за весь час процесу витіснення не відбувається помітної зміни щільності радіоактивних домішок за рахунок радіоактивного розпаду. Це дозволяє знехтувати відповідними джерелами в рівняннях нерозривності і спростити завдання.
Для простоти також передбачається поршневий режим витіснення водою нафти. Основні закономірності радіогеохімічних ефекту без обмеження спільності здійснені на основі плоского одновимірного течії, яке добре застосовне в шарах на великих відстанях від нагнітальної свердловини, тобто в зоні розташування видобувних свердловин, де зазвичай вказаний ефект і реєструється. Природним передбачається і зневага дифузійним масообмінний пласта з покривними і підстилаючих породами.
Зауважимо, що в передбачуваному підході до скелету віднесена реліктова вода і інші складові, не рухливі в процесі витіснення, тому щільність радіоактивного речовини у скелеті включає і вміст радіоактивних речовин в зазначених компонентах, що втім, покращує умови застосовності розробленої теорії.

3.2. Математичні моделі радіогеохімічних ефекту

Математична постановка задачі у зазначених вище припущеннях в одновимірному випадку включає рівняння для радіоактивних домішок в несучій рідині

(3.6)

і в скелеті пористої середовища

(3.7)

де - Пористість,

,	(3.8)
.	(3.9)

Складаючи (3.6) в (3.7), отримаємо ідентичні рівняння для щільності радіоактивної речовини в рідині

(3.10)

і скелеті пористої середовища

,

(3.11)

де швидкість конвективного переносу домішок визначається виразом

.

(3.12)

Так як хімічний потенціал є функцією від концентрації, то розкладемо його в ряд Тейлора поблизу точки рівноваги розчиненої речовини

.

(3.13)

Передбачається, що в рівновазі хімічні потенціали радіоактивних речовин рівні . Нехтуючи в (3.13) доданками порядку вище першого, отримуємо

,

(3.14)

де .
Для простоти вважаємо, що процес фільтрації рівноважний, так що концентрації радіоактивних речовин в рідині і скелеті пористої середовища визначаються з умови рівності хімічних потенціалів

.

(3.15)

Така ж умова і для нафти в скелеті .
3.1.1. Постановка завдання
Дослідження динаміки домішок при поршневому витіснення нафти водою з пористого середовища призводить до крайових задач математичної фізики. У загальному випадку розробка даної теорії вимагає спільного розгляду рівнянь (3.10) і (3.11) з крайовими умовами. Проте щільності в скелеті і насичує рідини пов'язані рівністю . Це співвідношення дозволяє відшукувати рішення лише одну з рівнянь, оскільки друге рішення знаходиться множенням або розподілом на . Можна показати, що знайдене таким чином друге рішення буде задовольняти відповідних диференціальних рівнянь у частинних похідних.
Крайові умови завдання визначаються з очевидних міркувань.
Потрібно знайти розв'язок рівняння для рідини

,

(3.16)

у вигляді функції , Що задовольняють граничним умовам, в підобласті . Передбачається, що на лівому кінці стрижня підтримується постійна концентрація радіоактивного речовини , Тому для підобласті гранична умова має вигляд

.

(3.18)

Потрібно знайти розв'язок рівняння для скелета

,

(3.17)

у вигляді функції , Що задовольняють граничним умовам, в підобласті .
У підобласті на правій рухомий кордоні підтримується незмінною щільність радіоактивного речовини в скелеті, тому гранична умова для рівняння скелета має вигляд

(3.19)

Ця умова визначає перенесення радіоактивних речовин з нефтенасищенной зони пористого середовища у водонасичених.
3.1.2 Рішення задач
Знайдемо рішення рівняння (3.16) в більш загальному вигляді. Тобто для рівняння

,

з граничною умовою

.

(3.20)

для області
Рішення рівнянь (3.16) знаходиться методом характеристик.

(3.21)

Інтегруючи перше рівняння системи (16), отримуємо

(3.22)

З другого рівняння випливає, що , Де - Деяка постійна. Але тому , То .
Знайдемо межі області у якому є рішення.
Нехай при , Тоді
Для початкового моменту, при і

(3.23)

Рівняння (3.23) являє собою кордон.
Параметрізуем рівняння (3.22).
Задамо так, щоб отримати значення при , Т. е. .
При ,

(3.24)

(3.25)

Підставляючи значення параметра в (15) отримаємо

(3.26)

Так як , То

(3.27)

Таким чином це вираз (3.27) є рішення рівняння (3.16) в більш загальному вигляді.
Для окремого випадку, тобто не залежить від , Рішення

(3.28)

Отримане рішення (8) для щільності радіоактивної речовини в витісняючої рідини, задовольняє граничній умові для рідини в підобласті .
Рішення для щільності радіоактивної речовини в скелеті в тій же області отримаємо з умови рівності хімічних потенціалів

.

(3.29)

Таким же чином, в більш загальному вигляді вирішимо рівняння для скелета

,

(3.30)

з граничною умовою

,

(3.31)

для області .

(3.32)

Інтегруючи перше рівняння (3.32), отримуємо

.

(3.33)

З другого рівняння випливає, що , Де - Деяка постійна. Але тому , То .
Параметрізуем рівняння (3.33): при , . Тоді

;

;

Так як

.

.

.

(3.34)

Підставимо значення параметра (3.34) в граничну умову для скелета пористої середовища

,

То тепер

,

(3.35)

Вираз (3.35) є рішення рівняння для скелета (3.30) у загальному вигляді. Приватне рішення отримуємо з (3.35) виключаючи .

.

(3.36)

Отримане рішення (3.36) для густини радіоактивної речовини в скелеті, задовольняє граничній умові підобласті .
Використовуючи співвідношення (3.15) знаходимо рішення для щільності радіоактивної речовини в витісняючої рідини підобласті отримаємо з умови рівності хімічних потенціалів

.

(3.37)

Перевірка значень на кордонах підобласті
При , на правій межі

;

(3.38)

при і на лівій межі

.

(3.39)

Остаточне вираз для густини радіоактивної речовини в витісняючої рідини має вигляд:

(3.40)

і для щільності радіоактивної речовини в скелеті в тій же області отримаємо

(3.41)

Для області , Займаної витісняється нафтою щільності радіоактивної речовини в скелеті та нафти залишаються незмінними:

(3.42)

Результуюча щільність радіоактивних речовин в пористому середовищі ρ ⁺ складається з густини в насичує рідини, скелеті та нафти, тому остаточне вираз має вигляд

(3.43)

3.3. Рельзультати розрахунків та їх аналіз

3.3.1. Графік моделі

На малюнку приведена залежність відносної щільності радіоактивної речовини від координати у фіксований момент часу. У розрахунках прийнято: = 0.2, μ / μ _s = 0.05, μ _o / μ _w = 10, ρ _{s 0} / ρ _w0 = 5. Суцільною лінією зображено графік залежності відносної результуючої щільності радіоактивних речовин, а пунктирною - їх щільність у скелеті.
З малюнка видно, що в області утворюється зона II з підвищеним вмістом радіоактивних речовин. Відзначимо, що на межах зон спостерігається стрибкоподібне зміна щільності радіоактивної речовини. У реальних умовах ці стрибки нівелюються дифузією, яка в даному випадку для простоти не враховується.

Рис.5. Залежність відносної щільності радіоактивної речовини в пористому середовищі від просторової координати в фіксований момент часу: I - промита зона, II - зона радіогеохімічних ефекту; III - нефтенасищенной зона; 1 - результуючі значення щільності в пористому середовищі, 2 - складова щільності в скелеті

З аналізу кривих, наведених на малюнку, випливає, що виникнення зони з підвищеною радіоактивністю пояснюється вимиванням радіоактивних речовин, спочатку зосереджених в скелеті, водою.
З викладеного вище випливає, що область радіогеохімічних ефекту представляє зону зворотного масового впливу витісняється рідини на витісняючу. Це відбувається за рахунок взаємодії рідин через скелет. Справа полягає в тому, що швидкість руху межі витіснення перевищує швидкість конвективного переносу домішок в пористому середовищі , З якої тільки й можливий рух розривів. У результаті розміри області радіогеохімічних ефекту збільшуються з часом зі швидкістю , Яка, як показують оцінки, в кілька разів перевищує швидкість . Процеси, аналогічні описуваних, відбуваються при формуванні черенковського випромінювання.
У реальних умовах можливість вимірювання розподілу радіоактивності в пласті обмежена лише певним числом свердловин, в області розташування яких відбувається обводнення пласта. У цих свердловинах можливе вимірювання залежності радіоактивності від часу. Відзначимо, що спостерігається при цьому тимчасова розгортка радіоактивності відповідає просторової, зображеної на малюнку.

3.3.2 Умова виникнення радіогеохімічних ефекту

Умова виникнення радіогеохімічних ефекту полягає у підвищенні радіоактивного фону, математичним виразом якого є нерівність , Звідки з використанням (20) отримаємо

(3.44)

Після відповідних перетворень отримаємо

.

(3.45)

Нерівність (3.45) визначає співвідношення похідних хімічного потенціалу, при якому спостерігається радіогеохімічних ефект. До умови (3.45) не входить пористість, це означає, що радіогеохімічних ефект повинен спостерігатися в пластах з будь-якою пористістю. Відзначимо, однак, що величина ефекту згідно запропонованої теорії пропорційна пористості

,

(3.46)

де - Коефіцієнт, що залежить від вибору одиниць вимірювання.

Висновок
Таким чином, запропонована теорія в достатній мірі відображає механізм перекачування радіоактивних речовин і утворення зони радіогеохімічних ефекту. Отримані результати можуть бути використані при інтерпретації результатів геолого-промислових досліджень для визначення приймаючих і віддають інтервалів пластів. Вони дозволяють також більш глибоко зрозуміти процеси, що відбуваються з розчиненими речовинами при русі прісних питних вод в підземних пластах.

Література
1. Ландау Л.Д., Ліфшиц Е.М. Гідродинаміка. - М.: Наука. - 1986. - 773 с.
2. Орлинське Б.М. Котроль за розробкою нафтових родовищ. - М.: Надра, 1982.
3. Хуснуллін М.Х. Геофізичні методи контролю розробки нафтових пластів. -М: Надра, 1989.
4. Валиуллин Р.А., Шарафутдінов Р.Ф., Азізов Ф.Ф., Нікіфоров А.А., Зеле М.Х. Дослідження закономірностей формування радіогеохімічних ефекту в пласті / / Изв. ВНЗ. Нафта і газ. № 3, 2000. З 26-31.
5. Радянський енциклопедичний словник. - М.: «Радянська енциклопедія», 1985. Під ред. Прохорова А.М.