Розробка програмного забезпечення для пошуку коренів біквадратні рівняння

Зміст

Введення

1 Постановка завдання

2 Математичні та алгоритмічні основи рішення задачі

3 Програмна реалізація рішення задачі

4 Приклад виконання програми

Висновок

Список використаних джерел та літератури

Введення

У ті далекі часи, коли мудреці вперше стали замислюватися про равенствах містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Але зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідома кількість предметів. "Шукається купа, яка разом з двома третинами її, половиною і однієї сьомої становить 37 ...", - повчав в II тисячолітті до нової ери єгипетський переписувач Рінда. У древніх математичних задачах Межиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали число павичів в саду, кількість биків у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунку писарі, чиновники і посвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями. Дійшли до нас джерела свідчать, що стародавні вчені володіли якимись загальними прийомами розв'язання задач з невідомими величинами. Проте ні в одному папірусі, ні в одній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями на кшталт: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є "Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збори завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень. Однак першим керівництвом щодо вирішення завдань, котрі здобули широку популярність, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Кітаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставленні") - з часом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а сам твір аль-Хорезмі послужило відправною точкою в становленні науки про рішення рівнянь. Алгебраїчне рівняння четвертого ступеня.

,

де a, b, c - деякі дійсні числа, називається біквадратні рівнянням. Заміною рівняння зводиться до квадратного рівняння з наступним рішенням двох двочленних рівнянь і ( і - Коріння відповідного квадратного рівняння).

Якщо і , То біквадратні рівняння має чотири різних корені:

,

.

Якщо , то біквадратні рівняння має два різних корені і уявних сполучених кореня:

.

Якщо і , То біквадратні рівняння має чотири чисто уявних попарно сполучених кореня:

Випадок , аналогічний розібраною.

,

Метою даної курсової роботи є розробка програмного забезпечення для пошуку коренів біквадратні рівняння.

1. Постановка завдання

Біквадратні називається рівняння виду ax ⁴ + bx ² + c = 0, де a   0. Біквадратні рівняння вирішується методом введення нової змінної: поклавши x ² = y, прийдемо до квадратного рівняння ay ² + by + c = 0.

Потрібно розробити програмне забезпечення для пошуку коренів біквадратні рівняння.

Приклад 1.

Розв'язати рівняння

x ⁴ +4 x ² -21 = 0.

Рішення:

Поклавши x ² = y, одержимо квадратне рівняння y ² +4 y -21 = 0, звідки знаходимо y ₁ = -7, y ₂ = 3.

Тепер завдання зводиться до рішення рівнянь x ² = -7, x ² = 3. Перше рівняння не має дійсних коренів, з другого знаходимо

,

які є корінням заданого біквадратні рівняння..

Відповідь: .

Приклад 2.

Вирішити біквадратні рівняння.

2х ⁴ - 5х ² +2 = 0

Рішення:

Позначимо х ² = t. Тоді х ⁴ = (х ^{2) 2} = t ² і рівняння прийме вигляд:

2t ^2-5t +2 = 0

D = (-5) 2 - 4 (2) (2) = 25 - 16 = 9> 0,

t ₁ = (5 +3) / 4 = 2 і t ₂ = (5 - 3) / 4 = 1 / 2.

Так як t = x ^2, то коріння вихідного рівняння знайдемо в результаті рішення рівнянь

х ₁ = 2 і х ₂ = 1 / 2.

Маємо

Відповідь:

2. Математичні та алгоритмічні основи рішення задачі

Розглянемо біквадратні рівняння

ax ⁴ + bx ² + c = 0.

Введемо підстановку

y = x ^2.

Отримаємо квадратне рівняння загального вигляду

ay ² + by + c = 0.

Таким чином, для вирішення біквадратні рівняння необхідно пам'ятати, що воно звелося до системи двох рівнянь другого ступеня:

y = x ²

ay ² + by + c = 0.

Вирішимо квадратне рівняння відносно змінної "y". Отримаємо три можливі варіанти рішень:

дискримінант від'ємний: рівняння не має дійсних рішень;

дискримінант НЕ негативний і дорівнює нулю: рівняння має один дворазовий корінь;

дискримінант НЕ негативний і дорівнює нулю: рівняння має два різних кореня.

У першому випадку, коли дискримінант квадратного рівняння від'ємний, система не має рішення, тому що одне з вхідних в неї рівнянь, а саме квадратне рівняння ay ² + by + c = 0, не має рішення.

Останні два випадки відповідають невід'ємне дискримінант квадратного рівняння. Квадратне рівняння має дійсні рішення. Однак, зверніть увагу на той факт, що перше рівняння системи ax ² = y має сенс тільки при значеннях y> = 0. Тому, якщо обидва кореня квадратного рівняння ay ² + by + c = 0 негативні, система рівнянь так само не має рішення. Крім того, якщо хоча б один з коренів квадратного рівняння ay ² + by + c = 0 негативний, система рівнянь буде мати тільки два дійсних рішення.

І тільки в тому випадку, коли обидва кореня квадратного рівняння ненегативні, система рівнянь має чотири дійсних рішення. Дамо тепер словесний опис алгоритму.

Словесний опис алгоритму розв'язання задачі:

Ввести a, b, c.

Присвоїти d = b ² - 4ac

Якщо d <0 перейти до 15

Присвоїти y1 = (-b - SQRT (d)) / (2 * a)

Присвоїти y2 = (-b + SQRT (d)) / (2 * a)

Якщо y1 <0 і y2 <0 перейти до 15

Якщо y1 <0 і y2> = 0 перейти до 9

Якщо y1> = 0 і y2 <0 перейти до 13

Присвоїти x1 = SQRT (y2)

Присвоїти x2 =-x1

Видати "x1 ="; x1, "x2 ="; x2

Перейти до 16

Присвоїти y2 = y1

Перейти до 9

Видати "Дійсних рішень немає"

Закінчити

3. Програмна реалізація рішення задачі

Файл UBikvur. H

//------------------------------------------------ ---------------------------

# Ifndef UBikvurH

# Define UBikvurH

//------------------------------------------------ ---------------------------

# Include <Classes.hpp>

# Include <Controls.hpp>

# Include <StdCtrls.hpp>

# Include <Forms.hpp>

# Include "HandTuning.h"

# Include <ExtCtrls.hpp>

# Include <Menus.hpp>

//------------------------------------------------ ---------------------------

class TfrmBikvur: public TForm

{__published: / / IDE-managed Components

THandTuning * htA;

THandTuning * htB;

THandTuning * htC;

TButton * btnCalc;

TListBox * lbxX;

TLabel * Label1;

TLabel * Label2;

TButton * btnExit;

TButton * btnClear;

TMainMenu * MainMenu1;

TMenuItem * N1;

TMenuItem * N2;

TMenuItem * N3;

TMenuItem * N4;

TMenuItem * N5;

TLabel * Label3;

TLabel * Label4;

TLabel * Label5;

void __fastcall btnCalcClick (TObject * Sender);

void __fastcall btnExitClick (TObject * Sender);

void __fastcall btnClearClick (TObject * Sender);

private: / / User declarations

list <double> __fastcall Bikvur (double a, double b, double c);

public: / / User declarations

__fastcall TfrmBikvur (TComponent * Owner);};

//------------------------------------------------ ---------------------------

extern PACKAGE TfrmBikvur * frmBikvur;

//------------------------------------------------ ---------------------------

# Endif

Файл UBikvur.cpp

//------------------------------------------------ ---------------------------

# Include <vcl.h>

# Include <math.h>

# Include <list.h>

# Pragma hdrstop

# Include "UBikvur.h"

//------------------------------------------------ ---------------------------

# Pragma package (smart_init)

# Pragma link "HandTuning"

# Pragma resource "*. dfm"

TfrmBikvur * frmBikvur;

//------------------------------------------------ ---------------------------

list <double> __fastcall TfrmBikvur:: Bikvur (double a, double b, double c)

{Double y1, y2;

list <double> x;

/ / Обчислення d дискриминанта

double d = b * b - 4 * a * c;

/ / Коріння існують, якщо d> = 0

if (d> = 0)

{Y1 = (-b - sqrt (d)) / 2 * a;

y2 = (-b + sqrt (d)) / 2 * a;}

if (d <0 | | (y1 <0 & & y2 <0))

{Application-> MessageBoxA (L "Дійсних коренів немає", L "Інформація", MB_OK + MB_ICONINFORMATION);

return x;}

/ / Обчислення коренів біквадратні рівняння

else

{If (y1> = 0 & & y2> = 0)

{X.push_back (sqrt (y1));

x.push_back (-sqrt (y1));

x.push_back (sqrt (y2));

x.push_back (-sqrt (y2));}

else

{If (y1 <0 & & y2> = 0)

{X.push_back (sqrt (y2));

x.push_back (-sqrt (y2));}

else

{X.push_back (sqrt (y1));

x.push_back (-sqrt (y1 ));}}}

return x;}

//------------------------------------------------ ---------------------------

__fastcall TfrmBikvur:: TfrmBikvur (TComponent * Owner)

: TForm (Owner)

{}

//------------------------------------------------ ---------------------------

void __fastcall TfrmBikvur:: btnCalcClick (TObject * Sender)

{LbxX-> Clear ();

list <double> res = Bikvur (htA-> Value, htB-> Value, htC-> Value);

int i = 1;

while (! res.empty ())

{LbxX-> Items-> Add ("x" + IntToStr (i) + "=" + FormatFloat ("0.000", res.front ()));

res.pop_front ();

i ++;}}

//------------------------------------------------ ---------------------------

void __fastcall TfrmBikvur:: btnExitClick (TObject * Sender)

{This-> Close ();}

//------------------------------------------------ ---------------------------

void __fastcall TfrmBikvur:: btnClearClick (TObject * Sender)

{HtA-> Value = 0;

htB-> Value = 0;

htC-> Value = 0;

lbxX -> Clear ();}

//------------------------------------------------ ---------------------------

4. Приклад виконання програми

Приклад 1.

Малюнок 1 - Рішення біквадратні рівняння

Приклад 2.

Малюнок 2 - Рішення біквадратні рівняння

Приклад 3.

Рисунок 3 - Рішення біквадратні рівняння

Приклад 4.

Малюнок 4 - Рішення біквадратні рівняння

Приклад 5.

Малюнок 5 - Рішення біквадратні рівняння

Приклад 6.

Малюнок 6 - Очищення з пункту меню

Приклад 7.

Малюнок 7 - Вихід з програми

Висновок

У рамках даної курсової роботи була поставлена ​​задача: побудувати алгоритм і реалізувати програмний продукт для знаходження коренів біквадратні рівняння.

В результаті проектування був складений принциповий алгоритм для вирішення поставленого завдання. Далі він був деталізована і реалізований на ЕОМ. В кінці, був проведений аналіз отриманих результатів, і зроблені необхідні висновки.

Програмний продукт був реалізований у середовищі візуального програмування CodeGear RadStudio 2009 під ОС типу Windows для IBM PC-сумісних комп'ютерів.

Створений програмний продукт дозволяє вирішити поставлену задачу. Також можна вказати про те, що програма має інтуїтивно зрозумілий інтерфейс, що додатково допомагає користувачеві з найбільшою результативністю використовувати програму.

На закінчення після аналізу отриманих результатів були зроблені висновки, згідно з якими алгоритм працює і застосуємо для поставленої задачі.

Список використаних джерел та літератури

1. Архангельський, А.Я. Програмування в С + + Builder 6. [Текст] / А. Я. Архангельський. - М.: Біном, 2003. С. 1154.

2. Ахо, А.. Побудова та аналіз обчислювальних алгоритмів [Електронний ресурс] / А. Ахо, Дж. Хопкрофта, Дж.. Ульман. - М.: Мир. 1999. С. 143.

3. Бронштейн, І.М. Довідник з математики для інженерів і учнів втузів [Текст] / І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 2007. - 708 с.

4. Кремер, Н.Ш. Вища математика для економістів: підручник для студентів вузів. [Текст] / Н. Ш. Кремер, 3-е видання - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

5. Каліткін, М.М. Чисельні методи. [Електронний ресурс] / М.М. Каліткін. - М.: Питер, 2001. С. 504.

6. Біквадратні рівняння [Електронний ресурс] - Режим доступу: http: / / fio. Ifmo. Ru / archive / group 34 / c 4 wu 2 / pege 3-2. Htm

7. Павловська, Т.А. Програмування на мові високого рівня. [Текст] / Т.А. Павловська. - М.: Питер, 2003. С. 461.

8. Семакін, І.Г. Основи програмування. [Текст] / І. Г. Семакін, А. П. Шестаков. - М.: Світ, 2006. C. 346.