Предмет:
"Теорія автоматичного управління"
Тема:
"Розрахунок перехідних процесів в дискретних системах управління"

Розглянемо схему дискретної системи автоматичного управління, наведену на рис. 1.

x (p) x * (p) y (p)

K (p)

x (t) x * (t) y (t)

T

T, e

y * (p)

Рис. 1
Для виходу системи можна записати наступні співвідношення між вхідним і вихідним сигналом
(1)
Вираз для вихідної величини в тимчасовій формі має вигляд
(2)

Визначимо перехідну функцію дискретної системи. Дискретне перетворення одиничного впливу x (t) = 1 (t) дорівнює x (z) = z / (z-1).

Перехідну функцію визначимо з співвідношень
(3)

Отримали вираз для розрахунку перехідної функції дискретної системи.
Визначимо функцію ваги дискретної системи. Дискретне зображення одиничного імпульсу x (t) = d (t) дорівнює x (z) = 1.
Вагову функцію визначимо з співвідношень
(4)
Отримали вираз для розрахунку функції ваги дискретної системи.
Стале значення тимчасових характеристик можна визначити за допомогою теореми про кінцевий значенні дискретної функції.
Для перехідної функції
. (5)
Для вагової функції
(6)

Визначимо зв'язок між перехідною функцією і функцією ваги дискретної системи. Для області z можна записати наступні співвідношення

Звідки

(7)
Як випливає з виразу (7) функція ваги в кожен дискретний момент часу може бути визначена як різниця між поточним і попереднім значенням перехідної функції

Приклад 1. Для заданої системи (рис. 2.) Розрахувати перехідний процес, якщо x (t) = 1 (t).

x (p) x * (p) y (p)

1 p

x (t) x * (t) y (t)

T

T, e

y * (p)

Рис. 2

Рішення
Вихідний дискретний сигнал дорівнює:
При цьому

Якщо x (t) = 1 (t) то . Для
Підставимо x (z) і K (z, e) у вираз для вихідного дискретного сигналу


Визначимо значення полюсів - z _k їх число - n і кратність - m: z ₁ = _1; n = 1; m = 2.
Вираз для перехідного процесу має вигляд:

Приклад 2. Розрахувати перехідний процес в заданій дискретній системі (рис. 3.), Якщо x (t) = 1 (t).

y * (p)

x (p) x * (p) y (p)

1 p 2

x (t) x * (t) y (t)

T

T, e

Рис. 3

Рішення:
Вихідний дискретний сигнал дорівнює:
При цьому
.
Якщо x (t) = 1 (t), то .

Для
Підставимо x (z) і K (z, e) у вираз для вихідного дискретного сигналу

Вираз для перехідного процесу має вигляд:

Приклад 3. Розрахувати перехідний процес в заданій дискретній системі (рис. 4), якщо x (t) = 1 (t).

x (p) x * (p) y (p)

y * (p)

1 p + a

x (t) x * (t) y (t)

T

T, e

Рис. 4
Рішення:
Вихідний дискретний сигнал дорівнює:
При цьому

Якщо x (t) = 1 (t), то .
Якщо , То , Де
Підставимо x (z) і K (z, e) у вираз для вихідного дискретного сигналу

Визначимо значення полюсів - z _k їх число - n і кратність - m:
z ₁ = _1; z ₂ = d; n = 2; m = 1.
Вираз для перехідного процесу має вигляд:

Приклад 4. Розрахувати перехідний процес в заданій дискретній системі (рис. 5), якщо x (t) = 1 (t).

y [nT, e]

T

1-e-pT       p

k v p

T, e

y (t)

x (t)

Рис. 5

Рішення:
Вихідний дискретний сигнал дорівнює:
При цьому

Якщо x (t) = 1 (t), то .
Передавальна функція з'єднання дорівнює:

Дискретна передатна функція з'єднання дорівнює:

Підставимо x (z) і K (z, e) у вираз для вихідного дискретного сигналу


Визначимо значення полюсів - z _k їх число - n і кратність - m: z ₁ = _1; n = 1; m = 2.
Вираз для перехідного процесу має вигляд:

Приклад 5. Розрахувати перехідний процес в заданій дискретній системі (рис. 6), якщо x (t) = 1 (t).

y [nT, e]

-

T

1-e-pT       p

k v p

T, e

y (t)

x

Рис. 6

Рішення:
Визначимо передавальну функцію розімкнутої безперервної частини:

Виконаємо дискретне перетворення:


Передавальна функція замкнутої дискретної системи:

Підставимо x (z) і K _з (z, e) у вираз для вихідного дискретного сигналу

Визначимо значення полюсів - z _k їх число - n і кратність - m:
z ₁ = _1, z ₂ = 1 - k _v T = A, n = 2, m = 1.
Вираз для перехідної функції має вигляд:

Приклад. Для заданої системи (рис. 7) розрахувати перехідний процес, якщо x (t) = 1 (t), а алгоритм функціонування цифрової частини описується рівнянням:

АЦП

ЦА

ЦАП

k v p

XY
Рис. 7
Рішення: Вихідну схему можна представити у вигляді (рис. 8)

Y *

T, e

k v p

1-e-pT p

T

T

X

YX

Рис. 8

Визначимо передавальну функцію розімкнутої безперервної частини

Виконаємо дискретне перетворення

Визначимо передавальну функцію цифрового автомата, відповідно до алгоритму його функціонування


Визначимо передавальну функцію розімкнутої дискретної системи:

Передавальна функція замкнутої дискретної системи:

де s _1, s ₂ корені характеристичного рівняння

при цьому s ₁ + s ₂ = 1 + a + k _v T; s ₁ s ₂ = a.
Підставимо x (z) і K _з (z, e) у вираз для вихідного дискретного сигналу

Визначимо значення полюсів - z _k їх число - n і кратність - m
z ₁ = _1, z ₂ = s _1, z ₃ = s _2, n = 2, m = 1.
Вираз для перехідної функції має вигляд:


Література
1. Бронштейн І.М., Семендяев К.Н. Довідник з математики для інженерів і студентів вузів. - М.: Наука, 1989
2. Васильєв В.І., Ільясов Б.Г. Інтелектуальні системи управління: Теорія і практика: Учеб. посібник для вузів. Видавництво: Радіотехніка, 2009. - 392 с.
3. Голенцев Е., Клименко С.В. Інформаційне забезпечення систем управління. ФЕНІКС, 2002. - 350 с.
4. Долятовская В.М., Долятовскій В.А. Дослідження систем управління, 2004. - 255 с.