Зміст:
Введення. 3
Теорія. 4
Практика. 10
Висновки .. 12
Список використаної літератури .. 13

Введення

Випадкові процеси в реальній фінансово-економічній практиці рідко бувають марковскими, оскільки на протікання процесу в майбутньому впливає не тільки його стан в даний момент часу, але й те, як він відбувався в минулому.
Але, тим не менше, використання наближених моделей на практиці дозволяє досить точно (з певною точністю) оцінювати різні системи. У даній теоретико-практичній роботі буде розглянута теорія про розгалужених циклічних процесах, за допомогою якої можна передбачати стан досліджуваної системи в майбутньому через досить тривалий проміжок часу.
У процесі даної роботи я розгляну основні положення теорії про розгалужених циклічних процесах; наведу приклад задачі, з якою можна зіткнутися в реальному житті, і її рішення за допомогою даної теорії.

Теорія

Введемо основні поняття, з якими нам належить працювати. Під системою S будемо розуміти всяку цілісне безліч взаємопов'язаних елементів, яке не можна розчленувати на незалежні підмножини. Якщо ця система з плином часу t змінює свої стани S (t) (усього можливих станів системи n штук) випадковим чином, при чому так, що для кожного моменту часу ймовірність стану S (t) системи S у майбутньому ( ) Залежить тільки від її стану S ( ) В сьогоденні і не залежить від того, як і скільки часу розвивався цей процес у минулому ( ), То говорять, що в системі S протікає марковський випадковий процес.
Процес є процесом з неперервним часом, якщо в ньому система може міняти свої статки в будь-який випадковий момент часу.
Щільністю ймовірності переходу системи S зі стану в стан в момент часу t називається величина

Якщо ж щільності ймовірностей переходів не залежить від часу t, то такий процес називається однорідним.
Марківський процес, що протікає в системі S з n станами, називається ветвящимся циклічним процесом, якщо його граф станів має вигляд:
Теорема:
Нехай в системі S протікає ветвящийся циклічний однорідний марковський процес з безперервним часом, причому можливий безпосередній перехід зі стану розгалужується на переходи в стани відповідно з ймовірностями , Сума яких дорівнює 1:
(1)
Переходи із станів сходяться в стан .
Тоді фінальні ймовірності [1] відповідних станів системи S визначаються наступними формулами:
де .
Доказ:
Оскільки ветвящийся циклічний процес можна представити у вигляді звичайного циклічного процесу і власне розгалуження, то, враховуючи властивість циклічного процесу, що щільність ймовірності переходу з неразветвленной стану в сусіднє праворуч дорівнює зворотного величиною середнього часу перебування (підряд) системи S в стані , Маємо
(2)
Інтенсивність потоку відходів з стану дорівнює , Де - середній час перебування (підряд) системи S у стані . Тоді буде представляти собою частку величини , Певну ймовірністю q _{m, m + k:}
(3)
Складемо по графу (на мал. 1) систему лінійних алгебраїчних рівнянь, невідомими в якій є фінальні ймовірності :
(4)
Підставляючи 2 і 3 в 4, отримаємо:
(5)
Складемо матрицю коефіцієнтів системи (5) з урахуванням того, що коефіцієнт при р _т в т-м рівнянні чинності (1) дорівнює
,

Стовпці Р

1

2

3

...

m-1

m

m +1

m +2

...

m + i

m + i +1

m + i +2

...

n-1

n

Рядки

Проведемо такі елементарні перетворення над рядками цієї матриці:
2-й рядок додамо до 3-му рядку;
отримання 3-й рядок додамо до 4-му рядку;
отриману 4-й рядок додамо до 5-му рядку;
і так далі;
отриману (m -1)-й рядок додамо до m-му рядку;
отриману m-й рядок помножимо послідовно на і додамо відповідно до (m +1)-й, (m +2)-ї ,..., (m + i) - й рядку;
суму отриманих (m +1)-й, (m +2)-ї ,..., (m + i) - й рядків додамо до (m + i +1)-му рядку, враховуючи рівність (1);
отриману (m + i +1)-й рядок додамо до (m + i +2)-му рядку;
отриману (m + i +2) рядок додамо до (m + i +3)-му рядку;
і так далі;
отриману (п -1)-й рядок додамо до п-й рядку.
У результаті цих перетворень отримаємо матрицю такого вигляду:

Перша і остання рядки цієї матриці пропорційні, а тому одну з них, наприклад першу, можна відкинути.
Отримана після відкидання 1-го рядка матриця породжує наступну систему лінійних рівнянь:

Звідси фінальні ймовірності можна виразити через фінальну ймовірність :
(6)
Підставимо вирази (6) в нормировочной умова і знайдемо :
.
Звідки або , Де . Підставляючи знайдене вираз в (6) отримуємо доказуваних формули.

Практика

У наш час будь-який банк має банкомати в різних точках міста для зручності своїх клієнтів. Для планування майбутніх витрат на утримання банкомату застосуємо теорію про розгалужених циклічних процесах.
В якості системи S візьмемо банкомат. Банкомат може бути у таких станах:
S ₁ - справний, працює;
S ₂ - несправний, ведеться пошук несправності;
S ₃ - несправність виявлена ​​і виявилася незначною, ремонтується місцевими засобами;
S ₄ - несправність виявлена ​​і виявилася серйозною, ремонт ведеться запрошеним з боку фахівцем;
S ₅ - ремонт законний, ведеться підготовка до включення банкомату.
Процес, що протікає в системі - однорідний, марковський, тому що всі потоки подій, під впливом яких відбуваються переходи банкомату зі стану в стан, - найпростіші.
Середній час справної роботи банкомату [2] дорівнює місяць; середній час пошуку несправності банкомата одно години; середній час ремонту місцевими засобами одно години; середній час ремонту банкомату фахівцем одно дня; середній час підготовки банкомату до роботи год.
Імовірність того, що несправність виявилася незначною і може бути усунена місцевими засобами р = 0,8. Імовірність же того, що несправність серйозна і без фахівця не обійтися 1-р = 0,2.
Якщо банкомат працює справно, то вартість його обслуговування становить 100 рублів на день [3]; одну годину роботи фахівця з усунення несправностей становить 200 рублів на годину. В інших станах вартість утримання банкомату дорівнює величині амортизації і становить 7 рублів на день.
Спрогнозуємо середня витрата на наступний рік, що йде на утримання банкомату.
Рішення: граф станів системи буде мати вигляд:
Наведемо дані в умові завдання до однієї одиниці, наприклад, доба:

Як вже було сказано вище процес, що протікає в системі, - однорідний, марковський і до того ж він є ветвящимся циклічним з безперервним часом, тоді ми можемо скористатися отриманими вище формулами:

Тоді ,
,
,
,

Тепер визначимо загальний витрата на утримання банкомату: рублів за добу, тоді за рік ця сума складе приблизно 70 100 рублів.

Висновки

Таким чином, ми на практиці переконалися, що теорія про розгалужених циклічних процесах, можливо і не має можливості для широкого застосування, але, тим не менш, є простим і дієвим інструментом при плануванні різних економічних процесів.
Але треба враховувати, що це всього лише маленький відгалуження теорії про марковських процесах, на якій, у свою чергу, базуються багато інші теорії, зокрема теорія про масове обслуговуванні в економічній сфері.

Список використаної літератури

1) Лабскер Л. Г. Ймовірнісний моделювання у фінансово - економічній галузі - К.: Паблішер, 2002. - 224 с.
2) http://www.gazeta.ru/2006/04/13/oa_195828.shtml
3) Журнал обчислювальної математики і математичної фізики т.46. № 03 - 2006
4) Свєшніков О. А. Прикладні методи теорії марковських процесів: Навчальний посібник. М.: Видавництво «Лань», 2007. - 192 с.