МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Чернігівський державний технологічний університет
Кафедра вищої математики
Контрольна робота
з дисципліни: Математичне програмування
Варіант 06
Чернігів 2009
Зміст
Завдання №1
Завдання №2
Завдання №3
Завдання №4
Завдання №5
Список використаних джерел
Завдання №1
Звести до канонічної форми задачу лінійного програмування:
Дана задача лінійного програмування задана в симетричній формі запису: умови, при яких функція F буде максимальною, задані у вигляді нерівностей. Для того, щоб отримати канонічну форму задачі лінійного програмування необхідно нерівності перетворити у рівності, використовуючи теорему, за якою нерівність
еквівалентна рівнянню
і нерівності
а нерівність вигляду
еквівалентна рівнянню
, в якому
Враховуючи наведене вище дану задачу запишемо у наступній канонічній формі:
Завдання №2
Визначити оптимальний план задачі лінійного програмування графічним методом (знайти максимум і мінімум функції):
Для задач з двома змінними можна використовувати графічний спосіб розв’язку задач лінійного програмування. Побудуємо область допустимих розв’язків системи лінійних нерівностей. Для цього будуємо відповідні даним нерівностям граничні прямі:
Потім знаходимо напівплощини, в яких виконуються задані нерівності (рисунок1).
Рисунок1– Графічне визначення максимального і мінімального значення функції
Область допустимих рішень визначається як загальна частина напівплощин, відповідних даним нерівностям, які при цьому знаходяться в першій четвертині, тобто обмежуються прямими і
. З малюнку 1 видно, що функція не має рішення, оскільки напівплощина, утворена прямими
не співпадає з площиною, утвореною обмеженнями
.
Завдання №3
Побудувати двоїсту задачу. Симплексним методом знайти оптимальний план початкової задачі. Використовуючи першу теорему двоїстості, визначити план другої задачі.
Для перетворення нерівностей в рівності вводимо змінні одиничні матриці х3, х4 і х5. Для розв’язку задачі симплексним методом необхідно мати три одиничних матриці при невід’ємних правих частинах рівнянь. Для отримання одиничної матриці в першій і третій нерівностях вводимо введемо штучні змінну х6 і х7 та отримаємо одиничні матриці А6 і А7. Де
і
В результаті наведених перетворень отримаємо наступну задачу:
У виразі функції величину М вважаємо достатньо великим додатнім числом, оскільки задача розв’язується на знаходження мінімального значення функції.
Запишемо задачу у векторній формі:
де
В якості базису вибираємо одиничні вектори А6, А4, А7. Вільні невідомі прирівнюємо нулю . В результаті отримаємо початковий опорний план розширеної задачі
,
якому відповідає розкладення
Для перевірки початкового опорного плану складаємо першу симплексну таблицю (таблиця1) і підраховуємо значення функції і оцінок
Маємо:
тобто оскільки М попередньо не фіксовано, то оцінки є лінійними функціями величини М, причому функція складається з двох доданків, одне з яких залежить від М, інше не залежить. Для зручності розрахунків в (F-C) рядок запишемо доданок, незалежний від М, а в (М) рядок – тільки коефіцієнти при М, які і дозволяють порівняти оцінки між собою. Для векторів базису оцінки дорівнюють нулю.
Таблиця1– Перша симплексна таблиця
| Базис | С базису | А0 | | | | | | | |
|
|
|
| х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 |
| х6 | М | 8 | 1 | | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| х4 | 0 | 20 | 3 | 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| х7 | М | 6 | 3 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| F-C | – | 0 | -5 | -2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| М | – | 14 | 4 | 4 | -1 | 0 | -1 | 0 | 0 |
В (М) рядку є додатні оцінки, тому опорний план Х0 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Оскільки у нас максимальне значення 4 належить двом векторам, то в базис включаємо вектор, якому відповідає мінімальне Сj. Розв’язувальним рядком вибирається той, в якому найменше відношення
Серед коефіцієнтів розкладання векторів А1 і А2 по базису є додатні, тому хоча б один з векторів існує.. Знайдемо ці значення:
;
Таким чином підтвердилося, що розв’язувальним стовпчиком буде другий, і визначилося, що розв’язувальним рядком буде перший. Тобто розв’язувальний елемент – число 3. Тоді вектор А2 включаємо в базис, а вектор А6 виключаємо з нього.
Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця2). При цьому елементи першого (розв’язувального) рядка ділимо на 3. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.
Таблиця2– Друга симплексна таблиця
| Базис | С базису | А0 | | | | | | | |
|
|
|
| х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 |
| х2 |
| 2 | 2,67 | 0,33 | 1 | -0,33 | 0 | 0 | 0,33 | 0 | |
| х4 | 0 | 9,33 | 1,67 | 0 | 1,33 | 1 | 0 | -1,33 | 0 |
| х7 | М | 3,33 | | 0 | 0,33 | 0 | -1 | -0,33 | 1 |
| F-C | – | 5,33 | -4,33 | 0 | -0,67 | 0 | 0 | 0,67 | 0 |
| М | – | 3,33 | 2,67 | 0 | 0,33 | 0 | -1 | -1,33 | 0 |
В (М) рядку є додатні оцінки, тому план, зображений в таблиці2 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Тобто за розв’язувальний стовпчик вибираємо перший. Мінімальне відношення
тому розв’язувальним рядком є третій. Таким чином розв’язувальний елемент – число 2,67. Тоді вектор А1 включаємо в базис, а вектор А7 виключаємо з нього.
Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця3). При цьому елементи третього (розв’язувального) рядка ділимо на 2,67. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.
Таблиця3– Третя симплексна таблиця
| Базис | С базису | А0 | | | | | | | |
|
|
|
| х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 |
| х2 | 2 | 2,25 | 0 | 1 | -0,375 | 0 | 0,125 | 0,375 | -0,125 |
| х4 | 0 | 7,25 | 0 | 0 | 1,125 | 1 | 0,625 | -1,125 | -0,625 |
| х1 | 5 | 1,25 | 1 | 0 | 0,125 | 0 | -0,375 | -0,125 | 0,375 |
| F-C | – | 10,75 | 0 | 0 | -0,125 | 0 | -1,625 | 0,125 | 1,625 |
| М | – | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | -1 |
В результаті проведеної ітерації з базису виключено штучні елементи, тому в рядку (М) всі оцінки, крім оцінки штучного вектору, перетворилися на нуль. Оскільки в рядках (F-C) і (М) не має додатних значень, то знайдене рішення
()
є оптимальним. Функція при цьому
Перевірка
Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність двоїсту задачу. Для цього першим кроком необхідно впорядкувати запис вихідної задачі. Оскільки у нас функція мінімізується, то всі умови-нерівності повинні бути вигляду . Виконання цієї умови досягаємо множенням відповідних умов на (1-). В результаті система обмежень матиме наступний вигляд:
Оскільки вихідна задача є задачею мінімізації, то двоїста буде задачею максимізації. Двоїста задача буде мати три змінні , оскільки вихідна задача має три обмеження. При цьому вектор, отриманий із коефіцієнтів при невідомих цільової функції вихідної задачі
, співпадає з вектором констант у правих частинах обмежень двоїстої задачі. Аналогічно пов’язані між собою вектори, утворені з коефіцієнтів при невідомих цільової функції двоїстої задачі
, і константи в правих частинах обмежень вихідної задачі. Кожній змінній
двоїстої задачі відповідає і-те обмеження вихідної задачі, і, навпаки, кожній змінній
прямої задачі відповідає j-те обмеження двоїстої задачі. Матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі
утворюється транспортуванням матриці А, складеної з коефіцієнтів при невідомих вихідної задачі. Якщо на j-ту змінну вихідної задачі накладена умова невід’ємності, то j-те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, в іншому випадку j-те обмеження буде рівністю; аналогічно пов’язані між собою обмеження вихідної задачі і змінні двоїстої.
Складаємо матрицю при невідомих вихідної задачі:
,
тоді матриця при невідомих двоїстої задачі матиме наступний вигляд:
На накладено умову невід’ємності, тому обмеження двоїстої задачі матимуть вигляд нерівності, а не рівності. Оскільки в початковій задачі всі обмеження мають вигляд нерівності, то накладаємо умови
Враховуючи все наведене, двоїста задача матиме наступний вигляд:
Якщо розглянути першу симплексну таблицю з одиничним додатковим базисом, то можна помітити, що в стовбцях записана вихідна задача, а в рядках – двоїста. Причому оцінками плану вихідної задачі є , а оцінками плану двоїстої задачі –
З таблиці3, отриманої в результаті рішення вихідної задачі знаходимо:
Завдання №4
Визначити оптимальний план транспортної задачі:
а) побудувати початковий опорний план методом "північно-західного" напрямку;
б) побудувати оптимальний план методом потенціалів:
Нехай в матриці А міститься інформація про кількість продукту в кожному місці виробництва, який необхідно доставити споживачам в кількості записаній в матриці В. Транспортні витрати, пов’язані з перевезенням одиниці продукту із одного місця виробництва одному споживачеві, записані в матриці С. Задані матриці і сказане вище для спрощення сприйняття узагальнимо в таблиці4.
Таблиця4–Поставка продукту із різних місць виробництва різним споживачам і пов’язані з цим витрати
-
Виробник
Споживач
Запаси продукту
8
3
3
4
60
5
2
7
5
20
5
4
8
2
30
7
1
5
7
20
Потреба в продукті
40
30
30
15
130
115
З таблиці4 видно, що запаси продукту у виробника на складах на 15 одиниць більші ніж необхідно споживачу, тобто маємо транспортну задачу з відкритою моделлю. Для розв’язку такої задачі введемо фіктивного споживача, якому необхідно отримати одиниць продукту. Всі тарифи на доставку продукту цьому споживачеві будемо вважати рівними нулю, і весь продукт потрібний цьому споживачеві залишаємо у місці виробництва. Для побудови початкового плану перевезень (таблиця5) використаємо метод "північно-західного" напрямку: заповнювати таблицю починаємо з лівого верхнього кута, рухаючись вниз по стовбцю або вправо по рядку (тарифи перевезень напишемо в правому верхньому куту кожної клітини, кількість продукту – в нижньому лівому). В першу клітину заносимо менше з чисел (min(40;60): 40. Тобто потреба в продукті першого споживача повністю задовільнено і інші клітини першого стовпця заповнювати не будемо. Рухаємося далі по першому рядку в другий стовпчик. В цю клітину записуємо менше з 30 і (60-40), тобто пишемо 20. Таким чином перший рядок заповнювати далі не будемо, оскільки запаси першого місця виробництва остаточно вичерпано: з нього ми повністю задовольняємо потребу у продукті першого споживача і частково (20 одиниць, а не 30) другого. Рухаємося по другому стовпчику на другий рядок. Сюди записуємо менше з (30-20) або 20: маємо 10, тобто другому споживачеві ми веземо 20одиниць продукту з першого місця виробництва і 10– з другого. Аналогічно заповнюємо інші клітини.
Таблиця5– Розподіл продукту по споживачам
-
Виробник
Споживач
Запаси продукту
8