РОЗВИТОК МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ У ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
Що таке розвивальне навчання?
Термін «розвиваюче навчання» активно використовується в психологічній, педагогічній та методичній літературі. Тим не менш, зміст цього поняття залишається до цих пір дуже проблематичним, а відповіді на запитання: «Яке навчання можна назвати розвивають?» Досить суперечливі. Це, з одного боку, обумовлено багатоаспектністю поняття «розвиваюче навчання», а з іншого боку, деякою суперечливістю самого терміна, тому що навряд чи можна говорити про «не розвивається навчанні». Безперечно, будь-яке навчання розвиває дитину.
Проте не можна не погодитися з тим, що в одному випадку навчання як би надбудовується над розвитком, як говорив Л.С. Виготський, «пасе задніх» у розвитку, надаючи на нього стихійний вплив, в іншому - цілеспрямовано забезпечує його (веде за собою розвиток) і активно використовує для засвоєння знань, умінь, навичок. У першому випадку ми маємо пріоритет інформаційної функції навчання, у другому - пріоритет розвиваючої функції, що кардинально міняє побудова процесу навчання.
Як пише Д.Б. Ельконін - відповідь на питання, в якому співвідношенні знаходяться ці два процеси, «ускладнений тим, що самі категорії навчання і розвитку різні.
Ефективність навчання, як правило, вимірюється кількістю і якістю набутих знань, а ефективність розвитку вимірюється рівнем, якого досягають здібності учнів, тобто тим, наскільки розвинені в учнів основні форми їх психічної діяльності, що дозволяє швидко, глибоко і правильно орієнтуватися в явищах навколишнього дійсності.
Давно помічено, що можна багато знати, але при цьому не проявляти жодних творчих здібностей, тобто не вміти самостійно розібратися у новому явище, навіть з відносно добре відомої сфери науки »[1].
Не випадково термін «розвиваюче навчання» методисти використовують з великою обережністю. Складні динамічні зв'язки між процесами навчання і психічного розвитку дитини не є предметом дослідження методичної науки, в якій реальні, практичні результати навчання прийнято описувати мовою знань, умінь і навичок.
Так як вивченням психічного розвитку дитини займається психологія, то при побудові розвивального навчання методика безсумнівно повинна спиратися на результати досліджень цієї науки. Як пише В. В. Давидов, «психічний розвиток людини - це, перш за все, становлення його діяльності, свідомості і, звичайно, всіх« обслуговуючих »їх психічних процесів (пізнавальних процесів, емоцій і т. д.)» [2]. Звідси випливає, що розвиток учнів багато в чому залежить від тієї діяльності, яку вони виконують в процесі навчання.
З курсу дидактики вам відомо, що ця діяльність може бути репродуктивної і продуктивної. Вони тісно пов'язані між собою, але залежно від того, який вид діяльності переважає, навчання надає різний вплив на розвиток дітей.
Репродуктивна діяльність характеризується тим, що учень отримує готову інформацію, сприймає її, розуміє, запам'ятовує, потім відтворює. Основна мета такої діяльності - формування у школяра знань, умінь і навичок, розвиток уваги і пам'яті.
Продуктивна діяльність пов'язана з активною роботою мислення і знаходить своє вираження в таких розумових операціях, як аналіз і синтез, порівняння, класифікація, аналогія, узагальнення. Ці розумові операції в психолого-педагогічній літературі прийнято називати логічними прийомами мислення або прийомами розумових дій.
Включення цих операцій у процес засвоєння математичного змісту - одне з важливих умов побудови розвивального навчання, так як продуктивна (творча) діяльність справляє позитивний вплив на розвиток усіх психічних функцій. «... організація розвивального навчання передбачає створення умов для оволодіння школярами прийомами розумової діяльності. Оволодіння ними не тільки забезпечує новий рівень засвоєння, але дає істотні зрушення у розумовому розвитку дитини. Оволодівши цими прийомами, учні стають більш самостійними у вирішенні навчальних завдань, можуть раціонально будувати свою діяльність по засвоєнню знань »[3].
Розглянемо можливості активного включення в процес навчання математики різних прийомів розумових дій.
3.2. Аналіз і синтез
Найважливішими розумовими операціями є аналіз і синтез.
Аналіз пов'язаний з виділенням елементів даного об'єкта, його ознак або властивостей. Синтез - це з'єднання різних елементів, сторін об'єкта в єдине ціле.
У розумової діяльності людини аналіз і синтез доповнюють один одного, так як аналіз здійснюється через синтез, синтез - через аналіз.
Здатність до аналітико-синтетичної діяльності знаходить своє вираження не тільки в умінні виділяти елементи того чи іншого об'єкта, його різні ознаки чи з'єднувати елементи в єдине ціле, але і в умінні включати їх у нові зв'язки, побачити їх нові функції.
Формуванню цих умінь може сприяти: а) розгляд даного об'єкта з точки зору різних понять, б) постановка різних завдань до цього математичного об'єкту.
Для розгляду даного об'єкта з точки зору різних понять молодшим школярам при навчанні математики зазвичай пропонуються такі завдання:
Прочитай по-різному вираження 16 - 5 (16 зменшили на 5; різницю чисел 16 і 5; з 16 відняти 5).
Прочитай по-різному рівність 15-5 = 10 (15 зменшити на 5, отримаємо 10; 15 більше 10 на 5; різницю чисел 15 і 5 дорівнює 10;
15 - зменшуване, 5 - від'ємник, 10 - різниця, якщо до різниці (10) додати від'ємник (5), то отримаємо зменшуване (15); число 5 менше 15 на 10).
Як по-різному можна назвати квадрат? (Прямокутник, чотирикутник, багатокутник.)
Розкажи все, що ти знаєш про число 325. (Це тризначне число; воно записано цифрами 3, 2, 5, в ньому 325 одиниць, 32 десятка, 3 сотні, його можна записати у вигляді суми розрядних доданків так: 300 +20 +5; воно на 1 одиницю більше числа 324 і на 1 одиницю менше числа 326; його можна представити у вигляді суми двох доданків, трьох, чотирьох і т.д.)
Звичайно, не слід прагнути до того, щоб кожен учень виголошував цей монолог, але, орієнтуючись на нього, можна пропонувати дітям питання і завдання, при виконанні яких вони будуть розглядати даний об'єкт з різних точок зору.
Найчастіше це завдання на класифікацію чи на виявлення різних закономірностей (правил).
Наприклад:
1. За якими ознаками можна розкласти гудзики у дві коробки?
Розглядаючи гудзики з точки зору їх розмірів, ми покладемо в одну коробку 4 гудзики, а в іншу 3,
- З точки зору кольору: 1 і 6,
- З точки зору форми: 4 і 3.
2. Розгадай правило, за яким складено таблицю, і заповни пропущені клітини:
Побачивши, що в даній таблиці два рядки, учні намагаються виявити певне правило в кожній з них, з'ясовують, на скільки одне число менше (більше) іншого. Для цього вони виконують додавання і віднімання. Не виявивши закономірність ні у верхній, ні в нижньому рядку, вони намагаються аналізувати дану таблицю з іншої точки зору, порівнюючи кожне число верхнього рядка з відповідним (стоять під ним) числом нижній, рядки. Отримують: 4 <5 на 1; 6 <7 на 1; 9> 8 на 1; 3> 2 на 1. Якщо під числом 8 записати число 9, а під числом 6 - число 7, то маємо:
8 <9 на 1; 6 <7 на 1, значить, 5> П на 1, П> 4 на 1.
Аналогічно можна порівнювати кожне число нижній рядки з відповідним (що стояв над ним) числом верхнього рядка.
Можливі такі завдання з геометричним матеріалом.
• Знайди відрізок НД Що ти можеш розповісти про нього? (ВС - сторона трикутника ВСІ; НД - сторона трикутника DBC; НД менше, ніж DC; НД менше, ніж АВ; НД - сторона кута BCD і кута ВСІ).
• Скільки відрізків на цьому кресленні? Скільки трикутників? Скільки багатокутників?
Розгляд математичних об'єктів з точки зору різних понять є способом складання варіативних завдань. Візьмемо, наприклад, таке завдання: «Запишемо всі парні числа від 2 до 20 і всі непарні числа від 1 до 19». Результат його виконання - запис двох рядів чисел:
2, 4, 6, 8, 10,12,14,16,18,20 1,3,5,7,9, 11, 13, 15, 17, 19
Використовуємо тепер ці математичні об'єкти для складання завдань:
• Розбий числа кожного ряду на дві групи так, щоб в кожній були числа, схожі між собою.
• За яким правилом записаний перший ряд? Продовж його.
• Які числа треба викреслити в першому ряду, щоб кожне наступне було на 4 більше попереднього?
• Чи можна виконати це завдання для другого ряду?
• Підбери з першого ряду пари чисел, різниця яких дорівнює 10
(2 і 12, 4 і 14, 6 і 16, 8 та 18, 10 і 20).
• Підбери з другого ряду пари чисел, різниця яких дорівнює 10 (1 і 11,3 і 13, 5 і 15, 7 і 17, 9 і 19).
• Яка пара «зайва»? (10 і 20, у ній два двозначних числа, у всіх інших парах двозначне число і однозначне).
• Знайди в першому ряду суму першого і останнього числа, суму другий чисел від початку і від кінця ряду, суму третій чисел від початку і від кінця ряду. Чим схожі ці суми?
• Виконай це ж завдання для другого ряду. Чим схожі отримані суми?
• Завдання 80. Придумайте завдання, в процесі виконання яких учні будуть розглядати дані в них об'єкти з різних точок зору.
3.3. Прийом порівняння
Особливу роль в організації продуктивної діяльності молодших школярів у процесі навчання математики відіграє прийом порівняння. Формування вміння користуватися цим прийомом слід здійснювати поетапно, у тісному зв'язку з вивченням конкретного змісту. Доцільно, наприклад, орієнтуватися на такі етапи:
• виділення ознак чи властивостей одного об'єкта;
• встановлення подібності та відмінності між ознаками двох об'єктів;
• виявлення подібності між ознаками трьох, чотирьох і більше об'єктів.
Так як роботу з формування у дітей логічного прийому порівняння краще почати з перших уроків математики, то в якості об'єктів можна спочатку використовувати предмети або малюнки із зображенням предметів, добре їм знайомих, в яких вони можуть виділити ті чи інші ознаки, спираючись на наявні у них подання.
Для організації діяльності учнів, спрямованої на виділення ознак того чи іншого об'єкта, можна спочатку запропонувати таке питання:
- Що ви можете розповісти про предмет? (Яблуко кругле, велике, червоне; гарбуз - жовта, велика, зі смужками, з хвостиком; коло-великий, зелений; квадрат-маленький, жовтий).
У процесі роботи вчитель знайомить дітей з поняттями «розмір», «форма» і пропонує їм наступні питання:
- Що ви можете сказати про розміри (формах) цих предметів? (Великий, маленький, круглий, як трикутник, як квадрат і т. д.)
Для виявлення ознак або властивостей якогось предмета вчитель зазвичай звертається до дітей з питаннями:
- У чому подібність і відмінність цих предметів? - Що змінилося?
Можливо познайомити їх з терміном «ознака» і використати його при виконанні завдань: «Назви ознаки предмета», «Назви схожі і різні ознаки предметів».
• Завдання 81. Підберіть різні пари предметів і зображень, які ви можете запропонувати першокласникам, щоб вони встановили схожість і відмінність між ними. Придумайте ілюстрації до завдання «Що змінилося ...».
Уміння виділяти ознаки і, орієнтуючись на них, порівнювати предмети учні переносять на математичні об'єкти.
V Назви ознаки:
а) вирази 3 +2 (числа 3, 2 і знак «+»);
б) вираження 6-1 (числа 6, 1 і знак «-»);
в) рівності х +5 = 9 (х - невідоме число, числа 5, 9, знаки «+» і «=»).
За цим зовнішніми ознаками, доступним для сприйняття, діти можуть встановлювати схожість і відмінність між математичними об'єктами і осмислювати ці ознаки з точки зору різних понять.
Наприклад:
У чому подібність і відмінність:
а) висловів: 6 +2 і 6-2; 9 • 4 і 9 • 5; 6 + (7 +3) і (6 +7) +3;
б) чисел: 32 і 45; 32 і 42; 32 і 23; 1 і 11, 2 і 12; 111 і 11; 112 і 12 і т. д.;
в) рівностей: 4 +5 = 9 та 5 +4 = 9; 3 • 8 = 24 і 8 • 3 = 24; 4 • (5 +3) = 32 і 4 • 5 +4 • 3 = = 32, 3 • (7 • 10) = 210 і (3 • 7) • 10 = 210;
г) текстів завдань:
Коля піймав 2 рибки, Петя - 6. На скільки більше зловив рибок Петя, ніж Коля?
Коля піймав 2 рибки, Петя - б. У скільки разів більше зловив рибок Петя, ніж Коля? д) геометричних фігур:
е) рівнянь: 3 + х = 5 і х +3 = 5; 10-х = 6 і (7 +3)-х = 6;
12-х = 4 та (10 +2)-х = 3 +1;
ж) обчислювальних прийомів:
9 +6 = (9 +1) +5 і 6 +3 = (6 +2) +1
Л Л
1 +5 2 +1
Прийом порівняння можна використовувати при знайомстві учнів з новими поняттями. Наприклад:
Чим схожі між собою все:
а) числа: 50, 70, 20, 10, 90 (розрядні десятки);
б) геометричні фігури (чотирикутники);
в) математичні записи: 3 +2, 13 +7, 12 +25 (вираження, які називаються сумою).
• Завдання 82. Складіть з даних математичних виразів:
9 +4, 520-1,9 • 4, 4 +9, 371, 520 • 1, 33, 13 • 1,520:1,333, 173, 9 +1, 520 +1, 222, 13:1 різні пари, в яких діти можуть виявити ознаки подібності та відмінності. При вивченні яких питань курсу математики початкових класів можна запропонувати кожне ваше завдання?
У навчанні молодших школярів велика роль відводиться вправам, які пов'язані з перекладом «предметних дій» на мову математики. У цих вправах вони зазвичай співвідносять Предметні об'єкти і символічні. Наприклад:
а) Якому малюнку відповідають запису 2 * 3, 2 +3?
б) Який малюнок відповідає запису 3 • 5? Якщо такого малюнка немає, то намалюй його.
в) Виконай малюнки, відповідні даними записів: 3 * 7, 4 • 2 +4 * 3, 3 +7.
• Завдання 83. Придумайте різні вправи на співвіднесення предметних і символічних об'єктів, які можна запропонувати учням при вивченні сенсу складання, ділення, таблиці множення, ділення із залишком.
Показник сформований ™ прийому порівняння - вміння дітей самостійно використовувати його для вирішення різних завдань, без вказівки: «порівняй ..., вкажи ознаки .., у чому подібність і відмінність ...».
Наведемо конкретні приклади таких завдань:
а) Прибери ліпший предмет ... (При виконанні його школярі орієнтуються на подібність і відмінність ознак.)
б) Розташуй числа в порядку зростання: 12, 9, 7, 15, 24, 2. (Для виконання цього завдання учні повинні виявити ознаки відмінності даних чисел.)
в) Сума чисел у першому стовпчику дорівнює 74. Як, не виконуючи складання в другому і третьому стовпчиках, знайти суми чисел:
21 22 23
30 31 32
11 грудня 1913
12 13 14 74
г)) Продовж ряди чисел: 2, 4, 6, 8, ..., 1, 5, 9, 13, ... (Основа встановлення закономірності (правила) запису чисел - також операція порівняння.)
• Завдання 84. Покажіть можливість застосування прийому порівняння при вивченні складання однозначних чисел в межах 20, додавання і віднімання в межах 100, правил порядку виконання дій, а також при знайомстві молодших школярів з прямокутником і квадратом.
3.4. Прийом класифікації
Уміння виділяти ознаки предметів і встановлювати між ними подібність і відмінність - основа прийому класифікації.
З курсу математики відомо, що при розбитті множини на класи необхідно виконувати наступні умови: 1) жодне з підмножин не порожньо, 2) підмножини попарно не перетинаються;
3) об'єднання всіх підмножин становить дане безліч. Пропонуючи дітям завдання на класифікацію, ці умови необхідно враховувати. Так само, як при формуванні прийому порівняння, діти спочатку виконують завдання на класифікацію добре знайомих предметів і геометричних фігур. Наприклад:
Учні розглядають предмети: огірок, помідор, капуста, молоток, цибуля, буряк, редька. Орієнтуючись на поняття «овоч», вони можуть розбити безліч предметів на два класи: овочі - не овочі.
• Завдання 85. Придумайте вправи різного змісту з інструкцією «Прибери зайвий предмет» або «Назви зайвий предмет», які ви могли б запропонувати учням 1-го, 2-го, 3-го класу.
Уміння виконувати класифікацію формується у школярів в тісному зв'язку з вивченням конкретного змісту. Наприклад, для вправ у рахунку їм часто пропонуються ілюстрації, до яких можна поставити питання, що починаються зі слова «Скільки ...?». Розглянемо малюнок, до якого можна поставити наступні питання:
- Скільки великих кіл? Маленьких? Синіх? Червоних? Великих червоних? Маленьких синіх?
Що таке розвивальне навчання?
Термін «розвиваюче навчання» активно використовується в психологічній, педагогічній та методичній літературі. Тим не менш, зміст цього поняття залишається до цих пір дуже проблематичним, а відповіді на запитання: «Яке навчання можна назвати розвивають?» Досить суперечливі. Це, з одного боку, обумовлено багатоаспектністю поняття «розвиваюче навчання», а з іншого боку, деякою суперечливістю самого терміна, тому що навряд чи можна говорити про «не розвивається навчанні». Безперечно, будь-яке навчання розвиває дитину.
Проте не можна не погодитися з тим, що в одному випадку навчання як би надбудовується над розвитком, як говорив Л.С. Виготський, «пасе задніх» у розвитку, надаючи на нього стихійний вплив, в іншому - цілеспрямовано забезпечує його (веде за собою розвиток) і активно використовує для засвоєння знань, умінь, навичок. У першому випадку ми маємо пріоритет інформаційної функції навчання, у другому - пріоритет розвиваючої функції, що кардинально міняє побудова процесу навчання.
Як пише Д.Б. Ельконін - відповідь на питання, в якому співвідношенні знаходяться ці два процеси, «ускладнений тим, що самі категорії навчання і розвитку різні.
Ефективність навчання, як правило, вимірюється кількістю і якістю набутих знань, а ефективність розвитку вимірюється рівнем, якого досягають здібності учнів, тобто тим, наскільки розвинені в учнів основні форми їх психічної діяльності, що дозволяє швидко, глибоко і правильно орієнтуватися в явищах навколишнього дійсності.
Давно помічено, що можна багато знати, але при цьому не проявляти жодних творчих здібностей, тобто не вміти самостійно розібратися у новому явище, навіть з відносно добре відомої сфери науки »[1].
Не випадково термін «розвиваюче навчання» методисти використовують з великою обережністю. Складні динамічні зв'язки між процесами навчання і психічного розвитку дитини не є предметом дослідження методичної науки, в якій реальні, практичні результати навчання прийнято описувати мовою знань, умінь і навичок.
Так як вивченням психічного розвитку дитини займається психологія, то при побудові розвивального навчання методика безсумнівно повинна спиратися на результати досліджень цієї науки. Як пише В. В. Давидов, «психічний розвиток людини - це, перш за все, становлення його діяльності, свідомості і, звичайно, всіх« обслуговуючих »їх психічних процесів (пізнавальних процесів, емоцій і т. д.)» [2]. Звідси випливає, що розвиток учнів багато в чому залежить від тієї діяльності, яку вони виконують в процесі навчання.
З курсу дидактики вам відомо, що ця діяльність може бути репродуктивної і продуктивної. Вони тісно пов'язані між собою, але залежно від того, який вид діяльності переважає, навчання надає різний вплив на розвиток дітей.
Репродуктивна діяльність характеризується тим, що учень отримує готову інформацію, сприймає її, розуміє, запам'ятовує, потім відтворює. Основна мета такої діяльності - формування у школяра знань, умінь і навичок, розвиток уваги і пам'яті.
Продуктивна діяльність пов'язана з активною роботою мислення і знаходить своє вираження в таких розумових операціях, як аналіз і синтез, порівняння, класифікація, аналогія, узагальнення. Ці розумові операції в психолого-педагогічній літературі прийнято називати логічними прийомами мислення або прийомами розумових дій.
Включення цих операцій у процес засвоєння математичного змісту - одне з важливих умов побудови розвивального навчання, так як продуктивна (творча) діяльність справляє позитивний вплив на розвиток усіх психічних функцій. «... організація розвивального навчання передбачає створення умов для оволодіння школярами прийомами розумової діяльності. Оволодіння ними не тільки забезпечує новий рівень засвоєння, але дає істотні зрушення у розумовому розвитку дитини. Оволодівши цими прийомами, учні стають більш самостійними у вирішенні навчальних завдань, можуть раціонально будувати свою діяльність по засвоєнню знань »[3].
Розглянемо можливості активного включення в процес навчання математики різних прийомів розумових дій.
3.2. Аналіз і синтез
Найважливішими розумовими операціями є аналіз і синтез.
Аналіз пов'язаний з виділенням елементів даного об'єкта, його ознак або властивостей. Синтез - це з'єднання різних елементів, сторін об'єкта в єдине ціле.
У розумової діяльності людини аналіз і синтез доповнюють один одного, так як аналіз здійснюється через синтез, синтез - через аналіз.
Здатність до аналітико-синтетичної діяльності знаходить своє вираження не тільки в умінні виділяти елементи того чи іншого об'єкта, його різні ознаки чи з'єднувати елементи в єдине ціле, але і в умінні включати їх у нові зв'язки, побачити їх нові функції.
Формуванню цих умінь може сприяти: а) розгляд даного об'єкта з точки зору різних понять, б) постановка різних завдань до цього математичного об'єкту.
Для розгляду даного об'єкта з точки зору різних понять молодшим школярам при навчанні математики зазвичай пропонуються такі завдання:
Прочитай по-різному вираження 16 - 5 (16 зменшили на 5; різницю чисел 16 і 5; з 16 відняти 5).
Прочитай по-різному рівність 15-5 = 10 (15 зменшити на 5, отримаємо 10; 15 більше 10 на 5; різницю чисел 15 і 5 дорівнює 10;
15 - зменшуване, 5 - від'ємник, 10 - різниця, якщо до різниці (10) додати від'ємник (5), то отримаємо зменшуване (15); число 5 менше 15 на 10).
Як по-різному можна назвати квадрат? (Прямокутник, чотирикутник, багатокутник.)
Розкажи все, що ти знаєш про число 325. (Це тризначне число; воно записано цифрами 3, 2, 5, в ньому 325 одиниць, 32 десятка, 3 сотні, його можна записати у вигляді суми розрядних доданків так: 300 +20 +5; воно на 1 одиницю більше числа 324 і на 1 одиницю менше числа 326; його можна представити у вигляді суми двох доданків, трьох, чотирьох і т.д.)
Звичайно, не слід прагнути до того, щоб кожен учень виголошував цей монолог, але, орієнтуючись на нього, можна пропонувати дітям питання і завдання, при виконанні яких вони будуть розглядати даний об'єкт з різних точок зору.
Найчастіше це завдання на класифікацію чи на виявлення різних закономірностей (правил).
Наприклад:
1. За якими ознаками можна розкласти гудзики у дві коробки?
Розглядаючи гудзики з точки зору їх розмірів, ми покладемо в одну коробку 4 гудзики, а в іншу 3,
- З точки зору кольору: 1 і 6,
- З точки зору форми: 4 і 3.
2. Розгадай правило, за яким складено таблицю, і заповни пропущені клітини:
| 4 | 6 | 9 | 3 | 8 | 6 | 5 | 2 | ||
| 5 | 7 | 8 | 2 | 4 | 6 |
8 <9 на 1; 6 <7 на 1, значить, 5> П на 1, П> 4 на 1.
Аналогічно можна порівнювати кожне число нижній рядки з відповідним (що стояв над ним) числом верхнього рядка.
Можливі такі завдання з геометричним матеріалом.
• Знайди відрізок НД Що ти можеш розповісти про нього? (ВС - сторона трикутника ВСІ; НД - сторона трикутника DBC; НД менше, ніж DC; НД менше, ніж АВ; НД - сторона кута BCD і кута ВСІ).
• Скільки відрізків на цьому кресленні? Скільки трикутників? Скільки багатокутників?
Розгляд математичних об'єктів з точки зору різних понять є способом складання варіативних завдань. Візьмемо, наприклад, таке завдання: «Запишемо всі парні числа від 2 до 20 і всі непарні числа від 1 до 19». Результат його виконання - запис двох рядів чисел:
2, 4, 6, 8, 10,12,14,16,18,20 1,3,5,7,9, 11, 13, 15, 17, 19
Використовуємо тепер ці математичні об'єкти для складання завдань:
• Розбий числа кожного ряду на дві групи так, щоб в кожній були числа, схожі між собою.
• За яким правилом записаний перший ряд? Продовж його.
• Які числа треба викреслити в першому ряду, щоб кожне наступне було на 4 більше попереднього?
• Чи можна виконати це завдання для другого ряду?
• Підбери з першого ряду пари чисел, різниця яких дорівнює 10
(2 і 12, 4 і 14, 6 і 16, 8 та 18, 10 і 20).
• Підбери з другого ряду пари чисел, різниця яких дорівнює 10 (1 і 11,3 і 13, 5 і 15, 7 і 17, 9 і 19).
• Яка пара «зайва»? (10 і 20, у ній два двозначних числа, у всіх інших парах двозначне число і однозначне).
• Знайди в першому ряду суму першого і останнього числа, суму другий чисел від початку і від кінця ряду, суму третій чисел від початку і від кінця ряду. Чим схожі ці суми?
• Виконай це ж завдання для другого ряду. Чим схожі отримані суми?
• Завдання 80. Придумайте завдання, в процесі виконання яких учні будуть розглядати дані в них об'єкти з різних точок зору.
3.3. Прийом порівняння
Особливу роль в організації продуктивної діяльності молодших школярів у процесі навчання математики відіграє прийом порівняння. Формування вміння користуватися цим прийомом слід здійснювати поетапно, у тісному зв'язку з вивченням конкретного змісту. Доцільно, наприклад, орієнтуватися на такі етапи:
• виділення ознак чи властивостей одного об'єкта;
• встановлення подібності та відмінності між ознаками двох об'єктів;
• виявлення подібності між ознаками трьох, чотирьох і більше об'єктів.
Так як роботу з формування у дітей логічного прийому порівняння краще почати з перших уроків математики, то в якості об'єктів можна спочатку використовувати предмети або малюнки із зображенням предметів, добре їм знайомих, в яких вони можуть виділити ті чи інші ознаки, спираючись на наявні у них подання.
Для організації діяльності учнів, спрямованої на виділення ознак того чи іншого об'єкта, можна спочатку запропонувати таке питання:
- Що ви можете розповісти про предмет? (Яблуко кругле, велике, червоне; гарбуз - жовта, велика, зі смужками, з хвостиком; коло-великий, зелений; квадрат-маленький, жовтий).
У процесі роботи вчитель знайомить дітей з поняттями «розмір», «форма» і пропонує їм наступні питання:
- Що ви можете сказати про розміри (формах) цих предметів? (Великий, маленький, круглий, як трикутник, як квадрат і т. д.)
Для виявлення ознак або властивостей якогось предмета вчитель зазвичай звертається до дітей з питаннями:
- У чому подібність і відмінність цих предметів? - Що змінилося?
Можливо познайомити їх з терміном «ознака» і використати його при виконанні завдань: «Назви ознаки предмета», «Назви схожі і різні ознаки предметів».
• Завдання 81. Підберіть різні пари предметів і зображень, які ви можете запропонувати першокласникам, щоб вони встановили схожість і відмінність між ними. Придумайте ілюстрації до завдання «Що змінилося ...».
Уміння виділяти ознаки і, орієнтуючись на них, порівнювати предмети учні переносять на математичні об'єкти.
V Назви ознаки:
а) вирази 3 +2 (числа 3, 2 і знак «+»);
б) вираження 6-1 (числа 6, 1 і знак «-»);
в) рівності х +5 = 9 (х - невідоме число, числа 5, 9, знаки «+» і «=»).
За цим зовнішніми ознаками, доступним для сприйняття, діти можуть встановлювати схожість і відмінність між математичними об'єктами і осмислювати ці ознаки з точки зору різних понять.
Наприклад:
У чому подібність і відмінність:
а) висловів: 6 +2 і 6-2; 9 • 4 і 9 • 5; 6 + (7 +3) і (6 +7) +3;
б) чисел: 32 і 45; 32 і 42; 32 і 23; 1 і 11, 2 і 12; 111 і 11; 112 і 12 і т. д.;
в) рівностей: 4 +5 = 9 та 5 +4 = 9; 3 • 8 = 24 і 8 • 3 = 24; 4 • (5 +3) = 32 і 4 • 5 +4 • 3 = = 32, 3 • (7 • 10) = 210 і (3 • 7) • 10 = 210;
г) текстів завдань:
Коля піймав 2 рибки, Петя - 6. На скільки більше зловив рибок Петя, ніж Коля?
Коля піймав 2 рибки, Петя - б. У скільки разів більше зловив рибок Петя, ніж Коля? д) геометричних фігур:
е) рівнянь: 3 + х = 5 і х +3 = 5; 10-х = 6 і (7 +3)-х = 6;
12-х = 4 та (10 +2)-х = 3 +1;
ж) обчислювальних прийомів:
9 +6 = (9 +1) +5 і 6 +3 = (6 +2) +1
Л Л
1 +5 2 +1
Прийом порівняння можна використовувати при знайомстві учнів з новими поняттями. Наприклад:
Чим схожі між собою все:
а) числа: 50, 70, 20, 10, 90 (розрядні десятки);
б) геометричні фігури (чотирикутники);
в) математичні записи: 3 +2, 13 +7, 12 +25 (вираження, які називаються сумою).
• Завдання 82. Складіть з даних математичних виразів:
9 +4, 520-1,9 • 4, 4 +9, 371, 520 • 1, 33, 13 • 1,520:1,333, 173, 9 +1, 520 +1, 222, 13:1 різні пари, в яких діти можуть виявити ознаки подібності та відмінності. При вивченні яких питань курсу математики початкових класів можна запропонувати кожне ваше завдання?
У навчанні молодших школярів велика роль відводиться вправам, які пов'язані з перекладом «предметних дій» на мову математики. У цих вправах вони зазвичай співвідносять Предметні об'єкти і символічні. Наприклад:
а) Якому малюнку відповідають запису 2 * 3, 2 +3?
б) Який малюнок відповідає запису 3 • 5? Якщо такого малюнка немає, то намалюй його.
в) Виконай малюнки, відповідні даними записів: 3 * 7, 4 • 2 +4 * 3, 3 +7.
• Завдання 83. Придумайте різні вправи на співвіднесення предметних і символічних об'єктів, які можна запропонувати учням при вивченні сенсу складання, ділення, таблиці множення, ділення із залишком.
Показник сформований ™ прийому порівняння - вміння дітей самостійно використовувати його для вирішення різних завдань, без вказівки: «порівняй ..., вкажи ознаки .., у чому подібність і відмінність ...».
Наведемо конкретні приклади таких завдань:
а) Прибери ліпший предмет ... (При виконанні його школярі орієнтуються на подібність і відмінність ознак.)
б) Розташуй числа в порядку зростання: 12, 9, 7, 15, 24, 2. (Для виконання цього завдання учні повинні виявити ознаки відмінності даних чисел.)
в) Сума чисел у першому стовпчику дорівнює 74. Як, не виконуючи складання в другому і третьому стовпчиках, знайти суми чисел:
21 22 23
30 31 32
11 грудня 1913
12 13 14 74
г)) Продовж ряди чисел: 2, 4, 6, 8, ..., 1, 5, 9, 13, ... (Основа встановлення закономірності (правила) запису чисел - також операція порівняння.)
• Завдання 84. Покажіть можливість застосування прийому порівняння при вивченні складання однозначних чисел в межах 20, додавання і віднімання в межах 100, правил порядку виконання дій, а також при знайомстві молодших школярів з прямокутником і квадратом.
3.4. Прийом класифікації
Уміння виділяти ознаки предметів і встановлювати між ними подібність і відмінність - основа прийому класифікації.
З курсу математики відомо, що при розбитті множини на класи необхідно виконувати наступні умови: 1) жодне з підмножин не порожньо, 2) підмножини попарно не перетинаються;
3) об'єднання всіх підмножин становить дане безліч. Пропонуючи дітям завдання на класифікацію, ці умови необхідно враховувати. Так само, як при формуванні прийому порівняння, діти спочатку виконують завдання на класифікацію добре знайомих предметів і геометричних фігур. Наприклад:
Учні розглядають предмети: огірок, помідор, капуста, молоток, цибуля, буряк, редька. Орієнтуючись на поняття «овоч», вони можуть розбити безліч предметів на два класи: овочі - не овочі.
• Завдання 85. Придумайте вправи різного змісту з інструкцією «Прибери зайвий предмет» або «Назви зайвий предмет», які ви могли б запропонувати учням 1-го, 2-го, 3-го класу.
Уміння виконувати класифікацію формується у школярів в тісному зв'язку з вивченням конкретного змісту. Наприклад, для вправ у рахунку їм часто пропонуються ілюстрації, до яких можна поставити питання, що починаються зі слова «Скільки ...?». Розглянемо малюнок, до якого можна поставити наступні питання:
- Скільки великих кіл? Маленьких? Синіх? Червоних? Великих червоних? Маленьких синіх?
Вправляючись у рахунку, учні опановують логічним прийомом класифікації.
Завдання, пов'язані з прийомом класифікації, зазвичай формулюються у такому вигляді: «Розбийте (розкладіть) всі кола на дві групи по якомусь ознакою».
Більшість дітей успішно справляються з цим завданням, орієнтуючись на такі ознаки, як колір і розмір. У міру вивчення різних понять завдання на класифікацію можуть включати числа, виразу, рівності, рівняння, геометричні фігури. Наприклад, при вивченні нумерації чисел у межах 100 можна запропонувати таке завдання:
Розбийте дані числа на дві групи, щоб у кожній виявилися схожі числа:
а) 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53 (в одну групу входять числа, записані двома однаковими цифрами, в іншу - різними);
б) 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85 (підстава класифікації - число десятків, в одній групі чисел воно дорівнює 8, в іншій - 9);
в) 45, 36, 25, 52, 54, 61, 16, 63, 43, 27, 72, 34 (підстава класифікації-сума «цифр», якими записані дані числа, в одній групі вона дорівнює 9, в іншій - 7 ).
Якщо в завданні не вказано кількість груп розбиття, то можливі різні варіанти. Наприклад: 37, 61, 57, 34, 81, 64, 27 (дані числа можна розбити на три групи, якщо орієнтуватися на цифри, записані в розряді одиниць, і на дві групи, якщо орієнтуватися на цифри, записані в розряді десятків. Можлива і інше угруповання).
Завдання 86. Складіть вправи на класифікацію, які ви могли б запропонувати дітям для засвоєння нумерації п'ятизначних і шестизначних чисел.
При вивченні додавання і віднімання чисел в межах 10 можливі такі завдання на класифікацію:
Розбийте дані вирази на групи за якоюсь ознакою:
а) 3 +1, 4-1, 5 +1, 6-1, 7 +1, 8 - 1. (У цьому випадку підстава для розбиття на дві групи діти легко знаходять, так як ознака представлений явно в записі виразу.)
Але можна підібрати й інші вирази:
б) 3 +2, 6-3, 4 +5, 9-2, 4 +1, 7 - 2, 10 - 1, 6 +1, 3 +4. (Розбиваючи на групи дане безліч виразів, учні можуть орієнтуватися не тільки на знак арифметичної дії, але і на результат.)
Приступаючи до нових завдань, діти зазвичай спочатку орієнтуються на ті ознаки, які мали місце при виконанні попередніх завдань. У цьому випадку корисно вказувати кількість груп розбиття. Наприклад, до виразів: 3 +2, 4 +1, 6 +1, 3 +4, 5 +2 можна запропонувати завдання в такому формулюванні: «Розбий вираження на три групи за якоюсь ознакою». Учні, природно, спочатку орієнтуються на знак арифметичної дії, але тоді розбиття на три групи не виходить. Вони починають орієнтуватися на результат, але теж виходять тільки дві Групи. У процесі пошуку з'ясовується, що розбити на три групи можна, орієнтуючись на значення другого доданка (2, 1, 4).
В якості підстави для розбиття виразів на групи може виступати і обчислювальний прийом. З цією метою можна використовувати завдання такого типу: «За якою ознакою можна розбити дані вирази на дві групи: 57 +4, 23 +4, 36 +2, 75 +2, 68 +4, 52 +7,76 +7,44 +3,88 +6, 82 +6? »
Якщо учні не можуть побачити потрібне підставу для класифікації, то вчитель допомагає їм наступним чином: «В одну групу я запишу такий вислів: 57 +4, - говорить він, - в іншу: 23 +4. В яку групу ви запишете вираз 36 +9? ». Якщо і в цьому випадку діти не можуть, то вчитель може підказати їм підставу: «Яким обчислювальним прийомом ви користуєтесь для знаходження значення кожного виразу?».
Завдання на класифікацію можна застосовувати не тільки для продуктивного закріплення знань, умінь і навичок, а й при знайомстві учнів з новими поняттями. Наприклад, для визначення поняття «прямокутник» до безлічі геометричних фігур, розташованих на фланелеграфе, можна запропонувати таку послідовність завдань і питань:
Прибери «зайву» фігуру. (Діти прибирають трикутник і фактично розбивають безліч фігур на дві групи, орієнтуючись на кількість сторін і кутів у кожній фігурі.)
Чим схожі всі інші фігури? (У них 4 кута і 4 сторони) V Як можна назвати всі ці фігури? (Четирехугольнікі.)
Покажи чотирикутники з одним прямим кутом (6 і 5). (Для перевірки свого припущення учні використовують модель прямого кута, відповідним чином прикладаючи його до вказаної фігурі.)
Покажи чотирикутники: а) з двома прямими кутами (3 і 10);
б) з трьома прямими кутами (таких немає), в) з чотирма прямими кутами (2, 4, 7, 8, 9).
Розбий чотирикутники на групи за кількістю прямих кутів (1-я група - 5 і 6, 2-а група - 3 і 10, 3-а група - 2, 4, 7, 8, 9).
Чотирикутники відповідним чином розкладаються на фланелеграфе. У третю групу входять чотирикутники, в яких усі кути прямі. Це прямокутники.
Таким чином, при навчанні математики можна використовувати завдання на класифікацію різних видів:
1. Підготовчі завдання. До них відносяться: «Прибери (назви)" зайвий "предмет», «Намалюй предмети такого ж кольору (форми, розміру)», «Дай назву групі предметів». Сюди ж можна віднести завдання на розвиток уваги і спостережливості:
«Який предмет прибрали?» І «Що змінилося?».
2. Завдання, в яких на підставу класифікації вказує вчитель.
3. Завдання, при виконанні яких діти самі виділяють підставу класифікації.
• Завдання 87. Складіть різні види завдань на класифікацію, які ви могли б запропонувати учням при вивченні геометричного матеріалу, поділу з залишком, обчислювальних прийомів усного множення і ділення в межах 100, а також при знайомстві з квадратом.
3.5. Прийом аналогії
Поняття «аналогічний» в перекладі з грецької мови означає «подібний», «відповідний», поняття аналогія - подібність у будь-якому відношенні між предметами, явищами, поняттями, способами дій.
У процесі навчання математики вчитель досить часто говорить дітям: «Зробіть по аналогії» або «Це аналогічне завдання». Зазвичай такі вказівки даються з метою закріплення тих чи інших дій (операцій). Наприклад, після розгляду властивостей множення суми на число пропонуються різні вирази:
(3 +5) • 2, (5 +7) • 3, (9 +2) * 4 і т. д., з якими виконуються дії, аналогічні даного зразка.
Але можливий і інший варіант, коли, використовуючи аналогію, учні знаходять нові способи діяльності і перевіряють свою здогадку. У цьому випадку вони самі повинні побачити подібність між об'єктами в деяких відносинах і самостійно висловити здогад про подібність в інших відносинах, тобто зробити висновок за аналогією. Але для того, щоб учні змогли висловити «здогад», необхідно певним чином організувати їх діяльність. Наприклад, учні засвоїли алгоритм письмового складання двозначних чисел. Переходячи до письмового додаванню тризначних чисел, вчитель пропонує їм знайти значення виразів: 74 +35, 68 +13, 54 +29 і т. д. Після цього запитує: «Хто здогадається, як виконати складання таких чисел: 254 +129?». З'ясовується, що в розглянутих випадках складали два числа, те ж саме пропонується в новому випадку. При складанні двозначних чисел їх записували одне під іншим, орієнтуючись на їх розрядний складу, і складали поразрядно. Виникає думка - ймовірно, так само можна складати і тризначні числа. Висновок про правильність припущення може дати учитель чи запропонувати дітям порівняти виконані дії з зразком.
Умовивід за аналогією можливо також застосовувати при переході до письмового додавання і віднімання багатозначних чисел, порівнюючи його зі складанням і відніманням тризначних.
Умовивід за аналогією можна використовувати при вивченні властивостей арифметичних дій. Зокрема, переместительное властивості множення. Для цієї мети учням спочатку пропонується знайти значення виразів:
6 +3 7 +4 8 +4 3 +6 4 +7 4 +8
- Яким властивістю ви скористалися при виконанні завдання? (Переместительное властивістю додавання).
- Подумайте: як встановити, чи виконується переместительное властивість для множення?
Учні за аналогією записують пари творів та знаходять значення кожного, замінюючи твір сумою.
Для правильного умовиводи за аналогією необхідно виділити суттєві ознаки об'єктів, у противному випадку висновок може бути неправильним. Наприклад, деякі учні намагаються застосувати спосіб множення числа на суму при множенні числа на твір. Це говорить про те, що істотне властивість цього виразу - множення на суму, виявилося поза їх увагою.
Формуючи у молодших школярів уміння виконувати умовиводи за аналогією, необхідно мати на увазі наступне:
• Аналогія грунтується на порівнянні, тому успіх її застосування залежить від того, наскільки учні вміють виділяти ознаки об'єктів і встановлювати схожість і відмінність між ними.
• Для використання аналогії необхідно мати два об'єкти, один із яких відомий, другий порівнюється з ним з яких-небудь ознаками. Звідси, застосування прийому аналогії сприяє повторенню вивченого і систематизації знань і вмінь.
• Для орієнтації школярів на використання аналогії необхідно в доступній формі роз'яснити їм суть цього прийому, звернувши їхню увагу на те, що в математиці нерідко новий спосіб дій можна відкрити по здогаду, згадавши і проаналізувавши відомий спосіб дій і дане нове завдання.
• Для правильних дій за аналогією порівнюються ознаки об'єктів, істотні в даній ситуації. В іншому випадку висновок може бути невірним.
• Завдання 88. Наведіть приклади умовиводів за аналогією, які можливо використовувати при вивченні алгоритмів письмового множення і ділення.
3.6. Прийом узагальнення
Виділення істотних ознак математичних об'єктів, їх властивостей і відносин - основна характеристика такого прийому розумових дій, як узагальнення.
Слід розрізняти результат і процес узагальнення. Результат фіксується в поняттях, судженнях, правилах. Процес же узагальнення може бути організований по-різному. У залежності від цього кажуть про два типи узагальнення - теоретичному та емпіричному.
У курсі початкової математики найбільш часто застосовується емпіричний тип, при якому узагальнення знання є результатом індуктивних міркувань (умовиводів).
У перекладі на російську мову «індукція» означає «наведення», тому, використовуючи індуктивні умовиводи, учні можуть самостійно «відкривати» математичні властивості і способи дій (правила), які в математиці суворо доводяться.
Для отримання правильного узагальнення індуктивним способом необхідно:
1) продумати підбір математичних об'єктів і послідовність питань для цілеспрямованого спостереження та порівняння;
2) розглянути якомога більше приватних об'єктів, в яких повторюється та закономірність, яку учні повинні помітити;
3) варіювати види приватних об'єктів, тобто використовувати предметні ситуації, схеми, таблиці, вирази, відображаючи в кожному виді об'єкта одну і ту ж закономірність;
4) допомагати дітям словесно формулювати свої спостереження, задаючи навідні запитання, уточнюючи і корегуючи ті формулювання, які вони пропонують.
Розглянемо на конкретному прикладі, як можна реалізувати наведені рекомендації. Для того, щоб підвести учнів до формулювання переместительное властивості множення, вчитель пропонує їм такі завдання:
Розгляньте малюнок і спробуйте швидко підрахувати, скільки вікон у будинку.
Діти можуть запропонувати такі способи: 3 +3 +3 +3, 4 +4 +4 або 3 * 4 = 12; 4 * 3 = 12.
Учитель пропонує порівняти отримані рівності, тобто виявити їх подібність і відмінність. Відзначається, що обидва твори однакові, а множники переставлені.
Аналогічне завдання учні виконують з прямокутником, який розбитий на квадрати. У результаті отримують 9 * 3 = 27; 3 * 9 = 27 і словесно описують ті подібності та відмінності, які існують між записаними равенствами.
3 * 2 4 * 2 3 * 6 4 * 5 5 * 3 8 * 4 2 * 3 2 * 4 6 * 3 5 * 4 3 * 5 4 * 8
З'ясовується, чим схожі і чим відрізняються рівності в кожному стовпчику. Відповіді можуть бути такими: «Множники однакові, вони переставлені», «Твори однакові» або «Множники однакові, вони переставлені, твори однакові».
Учитель допомагає сформулювати властивість за допомогою навідного питання: «Якщо множники переставити, то що можна сказати про твір?»
Висновок: «Якщо множники переставити, то твір не зміниться» або «Від перестановки множників значення твору не зміниться».
• Завдання 89. Підберіть послідовність завдань, які можна використовувати для виконання індуктивних умовиводів при вивченні:
а) правила «Якщо твір двох чисел розділити на один множник, то отримаємо інший»:
б) переместительное властивості складання;
в) принципу освіти натурального ряду чисел (якщо до числа додати одиницю, то отримаємо наступне за рахунку число; якщо відняти 1, то отримаємо попереднє число);
г) взаємозв'язків між діленим, дільником і приватним;
д) висновків: «сума двох послідовних чисел є число непарне»; «якщо з наступного числа відняти попереднє, то вийде I», «твір двох послідовних чисел ділиться на 2», «якщо до будь-якого числа додати, а потім відняти з нього одне і те ж число, то отримаємо початкове число ».
Опишіть роботу з цими завданнями, враховуючи методичні вимоги до використання індуктивних міркувань при вивченні нового матеріалу.
Формуючи у молодших школярів уміння узагальнювати спостерігаються факти індуктивним способом, корисно пропонувати завдання, при виконанні яких вони можуть зробити невірні узагальнення.
Розглянемо кілька таких прикладів:
Порівняй вираження, знайди загальне в отриманих нерівностях і
зроби відповідні висновки:
2 +3 ... 2 * 3 4 +5 ... 4 * 5 3 +4 ... 3 * 4 5 +6 ... 5 * 6
Порівнявши дані вирази і відзначивши закономірності: зліва записана сума, праворуч твір двох послідовних чисел; сума завжди менше твори, більшість дітей роблять висновок: «сума двох послідовних чисел завжди менше твори». Але висловлене узагальнення помилково, тому що не враховано випадки:
0 +1 ... 0 * 1
1 +2 ... 1 * 2
Можна спробувати зробити правильне узагальнення, в якому будуть враховані певні умови: «сума двох послідовних чисел, починаючи з числа 2, завжди менше твори цих же чисел».
Знайди суму. Порівняй її з кожним доданком. Зроби відповідний висновок.
| Доданок | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Доданок | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| Сума |
V Перевір, чи буде ділитися кожний доданок на число 2, і зроби висновок.
(2 +4): 2 = 3 (4 +4): 2 = 4 (6 +2): 2 = 4 (6 +8): 2 = 7 (8 +10): 2 = 9
Аналізуючи запропоновані окремі випадки, діти можуть прийти до висновку, що: «якщо сума чисел ділиться на 2, то кожний доданок цієї суми ділиться на 2». Але цей висновок помилковий, оскільки його можна спростувати: (1 +3): 2. Тут сума ділиться на 2, кожний доданок не ділиться.
• Завдання 90. Використовуючи зміст курсу початкової математики, придумайте завдання, при виконанні яких учні можуть зробити невірні індуктивні ув'язнення.
Більшість психологів, педагогів та методистів вважають, що емпіричне узагальнення, в основі якого лежить дія порівняння, для молодших школярів найбільш доступно. Цим, власне, і обумовлено побудова курсу математики в початкових класах.
Порівнюючи математичні об'єкти або способи дій, дитина виділяє їх зовнішні загальні властивості, які можуть стати змістом поняття. Тим не менш, орієнтир на зовнішні, доступні для сприйняття властивості порівнюваних математичних об'єктів не завжди дозволяє розкрити сутність досліджуваного поняття чи засвоїти загальний спосіб дій. При емпіричному узагальненні учні часто зосереджуються на несуттєвих властивості об'єктів і на конкретних ситуаціях. Це негативно позначається на формуванні понять і загальних способів дій. Наприклад, формуючи поняття «більше на», вчитель зазвичай пропонує серію конкретних ситуацій, що відрізняються один від одного лише числовими характеристиками. На практиці це виглядає так: дітям пропонується покласти в ряд три червоних гуртка, під ними покласти стільки ж синіх, потім з'ясовується - як зробити так, щоб у нижньому ряду гуртків стало більше на 2 (додати 2 гуртка). Потім вчитель пропонує покласти в перший ряд 5 (4,6,7 ...) гуртків, у другий ряд на 3 (2,5,4 ...) більше. Передбачається, що в результаті виконання таких завдань у дитини сформується поняття «більше на», яке знайде своє вираження у способі дій: «взяти стільки ж і ще ...». Але, як показує практика, в центрі уваги учнів у цьому випадку, перш за все, залишаються різні числові характеристики, а не сам загальний спосіб дії. Дійсно, виконавши перше завдання, учень може зробити висновок тільки про те, як «зробити більше на 2», виконавши наступні завдання - «як зробити більше на 3 (на 4, на 5)» і т. д. У результаті, узагальнена словесна формулювання способу дії: «потрібно взяти стільки ж і ще» дається вчителем, і більшість дітей засвоюють поняття «більше на» лише в результаті виконання одноманітних тренувальних вправ. Тому вони здатні виконувати ті чи інші міркування тільки в рамках даної конкретної ситуації і на обмеженій області чисел.
На відміну від емпіричного, теоретичне узагальнення здійснюється шляхом аналізу даних про який-небудь одному об'єкті або ситуації з метою виявлення істотних внутрішніх зв'язків. Ці зв'язки одразу фіксуються абстрактно (теоретично - за допомогою слова, знаків, схем) і стають тією основою, на якій надалі виконуються приватні (конкретні) дії.
Необхідна умова формування в молодших школярів здатності до теоретичного узагальнення - спрямованість навчання на формування загальних способів діяльності. Для виконання цієї умови потрібно продумати такі дії з математичними об'єктами, в результаті яких діти зможуть самі «відкривати» істотні властивості досліджуваних понять і загальних способів дій з ними.
Розробка даного питання на методичному рівні становить певну складність. В даний час - це одна з найактуальніших проблем початкового навчання, вирішення якої пов'язане як зі зміною змісту, так і зі зміною організації навчальної діяльності молодших школярів, спрямованої на його засвоєння.
У курс початкової математики (В. В. Давидов), метою якого є розвиток у дітей здатності до теоретичного узагальнення, внесені істотні зміни. Вони стосуються і його змісту, та способів організації діяльності. Основу теоретичних узагальнень у цьому курсі складають предметні дії з величинами (довжина, об'єм), а також різні прийоми моделювання цих дій за допомогою геометричних фігур і символів. Це створює певні умови для виконання теоретичних узагальнень. Розглянемо конкретну ситуацію, яка пов'язана з формуванням поняття «більше на». Учням пропонуються дві банки. В одну (першу) налита вода, інша (друга) - порожня. Учитель пропонує знайти спосіб вирішення наступної проблеми: як зробити так, щоб у другий банку води було б ось на цей стаканчик (показує склянку з водою) більше, ніж у першій? У результаті обговорення різних пропозицій робиться висновок: треба перелити воду з першої банки в другу, тобто налити в другу стільки ж води, скільки її налито в першу банку, і потім вилити в другу ще стаканчик води. Створена ситуація дозволяє дітям самим знайти необхідний спосіб дії, а вчителю зосередити увагу на істотному ознаці поняття «більше на», тобто націлити учнів на оволодіння загальним способом дії: «стільки ж і ще».
Використання величин для формування у школярів узагальнених способів дій - один з можливих варіантів побудови початкового курсу математики. Але цю ж задачу можна вирішувати, виконуючи різні дії і з множинами предметів. Приклади таких ситуацій знайшли відображення в статтях Г. Г. Микулин [4].
Вона радить для формування поняття «більше на» використовувати ситуацію з множинами предметів: дітям пропонується пачка червоних карток. Потрібно скласти пачку із зелених карток так, щоб у ній було ось на стільки (показується пачка синіх карток) більше, ніж у пачці червоних. Умова: картки перераховувати не можна.
Користуючись способом встановлення взаємно-однозначного відповідності, учні викладають в зеленій пачці стільки ж карток, скільки їх у червоній, і додають до неї ще третю пачку (з синіх карток).
Поряд з емпіричним і теоретичним узагальненнями в курсі математики мають місце узагальнення-угоди. Прикладами таких узагальнень є правила множення на 1 і на 0, справедливі для будь-якого числа. Їх зазвичай супроводжують поясненнями:
«В математиці домовилися ...»,« в математиці прийнято вважати ...».
• Завдання 91. Використовуючи зміст курсу початкової математики, придумайте ситуації для теоретичного та емпіричного узагальнення при вивченні будь-якого поняття, властивості чи способу дії.
3.7. Способи обгрунтування істинності суджень
Неодмінною умовою розвиваючого навчання є формування в учнів здатності обгрунтовувати (доводити) ті судження, які вони висловлюють. У практиці цю здатність зазвичай пов'язують з умінням міркувати, доводити свою точку зору.
Судження бувають одиничними: у них щось стверджується або заперечується стосовно одного предмету. Наприклад: «Число 12-парне; квадрат АВСD не має гострих кутів; рівняння 23-х = 30 не має рішення (в рамках початкових класів) і т. д.».
Крім одиничних суджень розрізняють судження приватні і загальні. У приватних щось стверджується або заперечується відносно деякої сукупності предметів з даного класу чи щодо деякого підмножини даної множини предметів. Наприклад: «Рівняння х - 7 = 10 вирішується на основі взаємозв'язку між зменшуване, від'ємник і різницею». У цьому судженні йдеться про зрівняння приватного виду, що представляє собою підмножину множини всіх рівнянь, що вивчаються у початкових класах.
У загальних судженнях щось стверджується або заперечується відносно всіх предметів даної сукупності. Наприклад:
«У прямокутнику протилежні сторони рівні». Тут мова йде про будь-якому, тобто про всі прямокутниках. Тому судження є загальним, хоча в даному реченні слово «всіх» відсутня. Будь-яке рівняння в початкових класах вирішується на основі взаємозв'язку між результатами і компонентами арифметичних дій. Це також загальне судження, тому що охоплює різноманітні рівняння, що зустрічаються в курсі математики початкових класів.
Пропозиції, які виражають судження, можуть бути різними за формою: стверджувальними, негативними, умовними (наприклад: «Якщо число закінчується нулем, то воно ділиться на 10»).
Як відомо, у математиці всі пропозиції, за винятком вихідних, як правило, доводяться дедуктивно. Суть дедуктивних міркувань зводиться до того, що на основі деякого загального судження про предмети даного класу і деякого одиничного судження про даний об'єкт висловлюється нове одиничне судження про те ж об'єкті. Загальне судження прийнято називати загальною посилкою, перше одиничне судження - приватної посилкою, нове одиничне судження - ув'язненням. Нехай, наприклад, потрібно розв'язати рівняння: 7 * x = 14. Для знаходження невідомого множника використовується правило: «Якщо значення твору розділити на один множник (відомий), то отримаємо інший (значення невідомого множника)».
Це правило (загальне судження) - загальна посилка. У даному рівнянні добуток дорівнює 14, відомий множник 7. Це приватна посилка.
Висновок: «потрібно 14 розділити на 7, отримаємо 2». Особливість дедуктивних міркувань у початкових класах полягає в тому, що вони застосовуються в неявному вигляді, тобто загальна і приватні посилки в більшості випадків опускаються (не проговорюються), учні відразу приступають до дії, яке відповідає ув'язнення.
Тому, власне, і створюється враження, що дедуктивні міркування відсутні в курсі математики початкових класів.
Для свідомого виконання дедуктивних умовиводів необхідна велика підготовча робота, спрямована на засвоєння виведення, закономірності, властивості в загальному вигляді, пов'язана з розвитком математичної мови учнів. Наприклад, досить тривала робота по засвоєнню принципу побудови натурального ряду чисел дозволяє учням оволодіти правилом:
«Якщо до будь-якого числа додати 1, то отримаємо наступне за ним число; якщо з будь-якого числа віднімемо 1, то отримаємо попереднє йому число».
Складаючи таблиці П +1 і П - 1, учень фактично користується цим правилом як загальної посилкою, виконуючи тим самим дедуктивні міркування. Прикладом дедуктивних умовиводів у початковому навчанні математики є і таке міркування:
«4 <5 тому, що 4 за рахунку називається раніше, ніж 5». У даному випадку загальна посилка: якщо одне число називається за рахунку раніше іншого, то це число менше; приватна посилка: 4 при рахунку називають раніше, ніж 5; висновок: 4 <5.
Дедуктивні міркування мають місце в початковому курсі математики і при обчисленні значень виразів. В якості загальної посилки виступають правила порядку виконання дій у виразах, у вигляді приватної посилки - конкретне числове вираження, при знаходженні значення якого учні керуються правилом порядку виконання дій.
Аналіз шкільної практики дозволяє зробити висновок про те, що для формування у школярів умінь міркувати не завжди використовуються всі методичні можливості. Наприклад, при виконанні завдання:
Порівняй вираження, поставивши знак <. > Або =, щоб вийшла вірна запис:
6 +3 ... 6 +2 6 +4 ... 4 +6
учні воліють замінювати міркування обчисленнями:
«6 +2 <6 +3, тому що 8 <9». Цим відповідь обмежується, так як судження «8 <9» частіше за все не обгрунтовується. Хоча при виконанні даного завдання вони могли б порівняти доданки в сумах і зробити умовивід про те, який слід поставити знак, не вдаючись при цьому до обчислень. Цікавий досвід роботи з формування вміння міркувати відображений у роботі В. П. Леховой [5]. Вона пропонувала дітям два аркуші, на одному з яких були написані загальні посилки, на іншому - приватні. Потрібно встановити, якою загальною посилці відповідає кожна приватна. Учням дається інструкція: «Ви повинні виконати кожне завдання на аркуші 2, не вдаючись до обчислень, а лише скориставшись одним із правил, записаних на аркуші 1».
Завдання 92. Дотримуючись наведеної вище інструкції, виконайте дане завдання.
Лист 1
1. Якщо зменшуване збільшити на кілька одиниць, не змінюючи при цьому від'ємника, то різниця збільшиться на стільки ж одиниць.
2. Якщо дільник зменшити в кілька разів, не змінюючи при цьому діленого, то приватне збільшиться в стільки ж разів.
3. Якщо один з доданків збільшити на кілька одиниць, не змінюючи при цьому інше, то сума збільшиться на стільки ж одиниць.
4. Якщо кожний доданок ділиться на дане число, то сума теж розділиться на це число.
5. Якщо з даного числа відняти попереднє йому число, то отримаємо ...
Лист 2
Завдання розміщені в іншій послідовності, ніж посилки.
1. Знайди різницю 84 - 84, 32 - 31, 54 - 53.
2. Назви суми, які діляться на 3: 9 +27, 6 +9, 5 +18, +12 +24, 3 +4, '+6.
3. Порівняй вираження і постав знаки <. > Або =:
125-87 ... 127-87 246-93 ... 249-93 584-121 ... 588 - 121
4. Порівняй вираження і постав знаки <,> або =:
304:8 ... 3044 243:9 ... 243:3 1088:4. . 1088:2
5. Як швидко знайти суму в кожному стовпчику:
9999 12 15 12 16 30 30 32 32 40 40 40 40 Відповідь: 91.
Таким чином, дедуктивні міркування можуть бути одним із способів обгрунтування істинності суджень у початковому Курсі математики. Враховуючи, що вони доступні не всім молодшим школярам, в початкових класах використовуються і інші способи обгрунтування істинності суджень, які в строгому сенсі не можна віднести до доказів. До них відносяться експеримент, обчислення та вимірювання.
Експеримент зазвичай пов'язаний із застосуванням наочності і предметних дій. Наприклад, дитина може обгрунтувати судження 7> 6, виклавши в одному ряду 7 кіл, під ним - 6. Встановивши між колами першого і другого ряду взаємно-однозначна відповідність, він фактично обгрунтовує свою думку (в першому ряду одне коло без пари, «зайвий», значить, 7> 6). Дитина може звертатися до предметних дій і для обгрунтування істинності отриманого результату при складанні, відніманні, множенні і діленні, при відповіді на питання: «На скільки одне число більше (менше) іншого?», «У скільки разів одне число більше (менше) іншого ? ». Предметні дії можуть бути замінені графічними малюнками та кресленнями. Наприклад, для обгрунтування результату ділення 7:3 = 2 (ост.1) він може використовувати малюнок:
Для формування в учнів уміння обгрунтовувати свої судження корисно пропонувати їм завдання на вибір способу дії (при цьому обидва способи можуть бути: а) вірними, б) невірними, в) один вірним, інший невірним). У цьому випадку кожен запропонований спосіб виконання завдання можна розглядати як судження, для обгрунтування якого учні повинні використовувати різні способи доказів.
Наприклад, при вивченні теми «Одиниці площі» учням пропонується завдання (М2І):
У скільки разів площа прямокутника АВСD більше прямокутника КМЕО? Запиши відповідь числовим рівністю.
Маша записала такі рівності: 15:3 = 5, 30:6 = 5.
Миша - така рівність: 60:12 = 5.
Хто з них правий? Як міркували Міша і Маша?
Для обгрунтування суджень, висловлених Мішею і Машею, учні можуть використовувати як спосіб дедуктивних міркувань, де в якості загальної посилки виступає правило кратного порівняння чисел, так і практичний. У цьому випадку вони спираються на наведений малюнок.
Пропонуючи спосіб розв'язання завдання, учні також висловлюють судження, використовуючи для їх докази математичний зміст, дане в сюжеті завдання. Прийом вибору готових суджень активізує цю діяльність. Як приклад можна привести такі завдання:
Туристи в перший день пройшли 18 км, у другий день, рухаючись з тією ж швидкістю, вони пройшли 27 км. З якою швидкістю йшли туристи, якщо вони витратили на весь шлях 9 год?
Міша записав рішення задачі так:
1) 18:9 = 2 (км / ч)
2) 27:9 = 3 (км / ч)
3) 2 +3 = 5 (км / ч) Маша - так:
1) 18 +27 = 45 (км)
2) 45:9 = 5 (км / год) Хто з них правий: Михайло чи Маша?
Скільки картоплин зібрали з 10 кущів, якщо з трьох зібрали по 7 картоплин, з чотирьох по 9, з шести по 8, а з семи за 4 картоплини? Маша вирішила завдання так:
1) 7 * 3 = 21 (к.)
2) 4 * 7 = 28 (к.)
3) 21 +28 = 49 (к.) Відповідь: 49 картоплин зібрали з 10 кущів. А Мишко так вирішив завдання:
1) 9 • 4 = 36 (к.)
2) 8 * 6 = 48 (к.)
3) 36 +48 = 84 (к.) Відповідь: 84 картоплини зібрали з 10 кущів. Хто з них правий?
Процес виконання будь-якого завдання повинен завжди представляти ланцюжок думок (загальних, приватних, одиничних), для обгрунтування істинності яких учні використовують різні способи.
Покажемо це на прикладі завдань:
V Встав числа в «віконця», щоб вийшли вірні рівності:
П: 6 = 27054 П: 7 = 4083 (зуп. 4)
Учні висловлюють загальне судження: «якщо значення приватного помножимо на дільник, то отримаємо ділене». Приватне судження: «значення приватного - 27054, дільник - б». Висновок:
«27 054 * 6».
Тепер як загальної посилки виступає алгоритм письмового множення, знаходиться результат: 162324. Висловлюється думка: 162324:6 = 27054.
Істинність цього судження можна перевірити, виконавши розподіл «куточком» або скориставшись калькулятором.
Аналогічно поступають з другої записом.
Склади вірні рівності, використовуючи числа: 6, 7, 8, 48, 56.
Учні висловлюють судження:
6 * 8 = 48 (обгрунтування - обчислення) 56 - 48 = 8 (обгрунтування - обчислення)
8 * 6 = 48 (для обгрунтування судження можна скористатися загальною посилкою: «від перестановки множників значення твору не зміниться»).
48:8 = 6 (теж можлива загальна посилка і т.д.) "Таким чином, в більшості випадків для обгрунтування істинності суджень в початковому курсі математики учні звертаються до обчислень і дедуктивним міркувань. Так, обгрунтовуючи результат при вирішенні прикладу на порядок дії, вони мають спільну посилкою у вигляді правила порядку дій, потім виконують обчислення.
Вимірювання як спосіб обгрунтування істинності суджень зазвичай застосовується при вивченні величин і геометричного матеріалу. Наприклад, судження: «синій відтинок довший червоного», «сторони чотирикутника рівні», «одна сторона прямокутника більше інший» діти можуть обгрунтувати виміром.
• Завдання 93. Опишіть способи обгрунтувань істинності суджень. висловлених учнями при виконанні наступних завдань. При вивченні яких питань курсу математики початкових класів доцільно запропонувати ці завдання 9
Чи можна, не виконуючи обчислень, стверджувати, що значення виразів в кожному стовпчику однакові:
9 * 7 +9 +5 8 * 6 +8 +3 7 * 9 +9 +5 8 * 7 +3 9 * 8 +5 7 * 8 +3
Чи можна стверджувати, що значення виразів в кожному стовпчику 'однакові:
12 * 5 16 * 4 (8 +4) * 5 (8 +8) * 4 (7 +5) * 5 (9 +7) * 4 (10 +2) * 5 (10 +6) * 4
Встав знаки <,> або =, щоб вийшли вірні записи:
(14 +8) * 3 ... 14 * 3 +8 * 3 (27 +8) * 6 ... 27 * 6 +8 (36 +4) * 18 ... 40 * 18.
Які знаки дій потрібно вставити у «віконця», щоб отримати вірні рівності
8 * 8 = 8П7П8 8 * 3 = 8П4П8 8 * 6 = 6П8П0 8 * 5 = 8П0П32
Чи можна стверджувати, що значення виразів в кожному стовпчику однакові:
8 * (4 * 6) (9 * 3) * 3 8 * 24 2 * 27 (8 * 4) * 6 9 * (3 * 2) 6 * 32 (2 * 3) * 9
3.8. Взаємозв'язок логічного і алгоритмічного мислення школярів
Уміння послідовно, чітко і несуперечливо викладати свої думки тісно пов'язане з умінням представляти складна дія у вигляді організованої послідовності простих. Таке вміння називається алгоритмічним. Воно знаходить своє вираження в тому, що людина, бачачи кінцеву мету, може скласти алгоритмічне припис або алгоритм (якщо він існує), в результаті виконання якого мета буде досягнута.
Складання алгоритмічних приписів (алгоритмів)-складна задача, тому початковий курс математики не ставить за мету її рішення. Але певну підготовку до її досягнення він може і повинен взяти на себе, сприяючи тим самим розвитку логічного мислення школярів.
Для цього, починаючи з 1-го класу, потрібно, перш за все, вчити дітей «бачити» алгоритми і усвідомлювати алгоритмічну сутність тих дій, які вони виконують. Починати цю роботу слід з найпростіших алгоритмів, доступних і зрозумілих ім. Можна скласти алгоритм переходу вулиці з нерегульованим та регульованим перехрестям, алгоритми користування різними побутовими приладами, приготування якого-небудь блюда (рецепт приготування), представити у вигляді послідовних операцій шлях від дому до школи, від школи до найближчої зупинки автобуса і т. д.
Спосіб приготування кавового напою написаний на коробці і являє собою наступний алгоритм:
1. Налити склянку гарячої води в каструлю.
2. Взяти чайну ложку напою.
3. Засипати (всипати) кавовий напій у каструлю з водою.
4. Нагріти вміст каструлі до кипіння.
5. Дати напою відстоятися.
6. Налити напій у склянку.
Розглядаючи такі інструкції, сам термін «алгоритм» можна не вводити, а говорити про правила, в яких виділені пункти, що вказують на певні дії, в результаті виконання яких вирішується поставлене завдання.
Слід зауважити, що сам термін «алгоритм» можна вживати тільки умовно, тому що ті правила і приписи, які розглядаються в курсі математики початкових класів, не володіють всіма властивостями, його характеризують. Алгоритми в початкових класах описують послідовність дій на конкретному прикладі не в загальному вигляді, в них знаходять відображення не всі операції, що входять до складу виконуваних дій, тому їх послідовність суворо не визначена. Наприклад, послідовність дій при множенні чисел, які нулями, на однозначне число (800 * 4) виконується так:
1. Уявімо перший множник у вигляді твору однозначного числа і одиниці, що кінчається нулями: (8 * 100) • 4;
2. Скористаємося сполучним властивістю множення:
(8 * 100) * 4 = 8 * (100 * 4);
3. Скористаємося переместительное властивістю множення:
8 * (100 * 4) = 8 * (4 * 100);
4. Скористаємося сполучним властивістю множення:
8 * (4 * 100) = (8 * 4) * 100;
5. Замінимо твір у дужках його значенням:
(8 * 4) * 100 = 32 * 100;
6. При множенні числа на 1 з нулями потрібно приписати до числа стільки нулів, скільки їх у другому множник:
32 * 100 = 3200.
Безумовно, молодші школярі не можуть засвоїти послідовність дій у такому вигляді, але, представляючи чітко всі операції, вчитель може пропонувати дітям різноманітні вправи, виконання яких дозволить дітям усвідомити спосіб діяльності. Наприклад:
Чи можна, не виконуючи обчислень, стверджувати, що значення виразів в кожному стовпчику однакові:
9 * (8 * 100) 800 * 7 (9 * 8) * 100 (8 * 7) * 100 (9 * 100) * 8 8 * (7 * 100) 9 * 100 8 * 700 72 * 100 56 * 100
Поясни, як отримано вираз, записане справа:
4 * 6 * 10 = 40 * 6 2 * 8 * 10 = 20 * 8 8 * 5 * 10 = 8 * 50 5 * 7 * 10 = 7 * 50
Чи можна стверджувати, що значення творів в кожній парі однакові:
45 * 10 54 * 10 32 * 10 9 * 50 60 * 9 8 * 40
Для усвідомлення дітьми алгоритмічної суті виконуваних ними дій потрібно переформулювати дані математичні завдання у вигляді певної програми.
Наприклад, завдання «знайти 5 чисел, перше з яких дорівнює 3, кожне наступне на 2 більше попереднього» можна представити у вигляді алгоритмічного розпорядження так:
1. Запиши число 3.
2. Збільш його на 2.
3. Отриманий результат збільш на 2.
4. Повторюй операцію 3 до тих пір, поки не запишеш 5 чисел. Словесне алгоритмічне припис можна замінити схематичним:
Це дозволить учням більш чітко представити кожну операцію і послідовність їх виконання.
• Завдання 94. Сформулюйте у вигляді алгоритмічних приписів наступні математичні завдання і уявіть їх у вигляді схеми
дій:
а) напиши 4 числа, перше з яких дорівнює 1, кожне наступне
в 2 рази більше попереднього;
б) напиши 4 числа, перше з яких 0, друге більше першого на 3 січня більше другого на 2, четверте більше третього на 3;
в) напиши 6 чисел: якщо перше дорівнює 9, друге 1, а кожне наступне дорівнює сумі двох попередніх.
Поряд зі словесними і схематичними приписами можна задати алгоритм у вигляді таблиці.
Наприклад, завдання: "Запиши числа від 1 до 6. Кожне збільш:
а) на 2, б) на 3 »можна представити у такій таблиці:
Таким чином, алгоритмічні приписи можна задавати словесним способом, схемою і таблицею.
Діючи з конкретними математичними об'єктами та узагальненнями у вигляді правил, діти опановують умінням виділяти елементарні кроки своїх дій і визначати їх послідовність.
Наприклад, правило перевірки складання можна сформулювати у вигляді алгоритмічного припису наступним чином. Для того, щоб перевірити складання відніманням, потрібно:
1) із суми відняти один з доданків;
2) порівняти отриманий результат з іншим доданком;
3) якщо отриманий результат дорівнює інших складових, то складання виконано вірно;
4) у противному випадку шукай помилку.
• Завдання 95. Складіть алгоритмічні приписи, якими молодші школярі зможуть користуватися при: а) складання однозначних чисел з переходом через розряд; б) порівняно багатозначних чисел; в) рішенні рівнянь; г) письмовій множенні на однозначне число.
Для формування вміння складати алгоритми потрібно навчити дітей: знаходити спільну спосіб дії; виділяти основні, елементарні дії, з яких складається дане; планувати послідовність виділених дій; правильно записувати алгоритм.
Розглянемо завдання, мета яких - виявлення способу дії:
Дано числа (див. малюнок). Склади висловлювання і знайди їх значення. Скільки всього прикладів на додавання можна скласти? Як треба міркувати при цьому, щоб не пропустити жодного випадку?
При виконанні даного завдання учні усвідомлюють необхідність виділення загального способу дій. Наприклад, фіксувати перший доданок 31, в якості другого додавати всі числа другого стовпчика, потім в якості першого доданка фіксувати, наприклад, число 41 і знову вибирати всі числа з другого стовпчика, і т. д. Можна фіксувати другий доданок і перебирати всі числа першого стовпчика. Важливо, щоб дитина зрозуміла, що, дотримуючись якогось певного способу дії, він не упустить жодного випадку і жоден з випадків не запише двічі.
У залі три люстри і 6 вікон. До свята для прикраси від кожної люстри до кожного вікна протягнули гірлянду. Скільки всього повісили гірлянд? (При вирішенні можна використовувати схематичний малюнок.)
Для формування в учнів уміння виявляти спосіб дії корисні комбінаторні завдання. Їх особливість в тому, що вони мають не одне, а безліч рішень, і при їх виконанні Необхідно здійснювати перебір в раціональній послідовності. Наприклад:
Скільки різних п'ятизначних чисел можна записати, використовуючи цифри 55522 (цифру 5 можна повторювати три рази, 2 - два рази).
Для вирішення цієї комбінаторної задачі можна скористатися побудовою «дерева». Виписується спочатку одна цифра, з якої можна почати запис числа. Подальший алгоритм дій зводиться до запису цифр, які можна поставити після кожної цифри, поки не отримаємо п'ятизначне число. Дотримуючись даного алгоритму, необхідно комбінувати і підраховувати, скільки разів повторилися цифри 5 і 2.
Вийшли «гілочки» з різними числами: 55522, 55252, 55225, 52552, 52525, 52255. Потім виписується цифра 2.
Записуємо числа, рухаючись по «гілочках»: 22555, 25525, 25552, 25255. Відповідь: можна записати 10 чисел.
• Завдання 96. Підберіть комбінаторні задачі, які ви б могли запропонувати учням першого, другого і третього класу при вивченні різних понять початкового курсу математики.
ГЛАВА 4.Обучение МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ
4.1. Поняття «завдання» в початковому курсі математики
Будь-яке математичне завдання можна розглядати як завдання, виділивши в ньому умову, тобто ту частину, де містяться відомості про відомих і невідомих значеннях величин, про відносини між ними, і вимога (тобто вказівка на те, що потрібно знайти) . Розглянемо приклади математичних завдань з курсу початкових класів:
•> Постав знаки <,>, =, щоб вийшли вірні запису: 3 ... 5, 8 ... 4.
Умова задачі - числа 3 і 5, 8 і 4. Вимога - порівняти ці числа.
*> Виріши рівняння: х + 4 = 9.
У умови дано рівняння. Вимога - вирішити його, тобто підставити замість х таке число, щоб вийшло справжнє рівність.
<* Вибери з даних фігур ті, з яких можна скласти прямокутник.
Тут в умові дані трикутники. Вимога - скласти прямокутник.
Для виконання кожної вимоги застосовується певний метод або спосіб дії, в залежності від якого виділяють різні види математичних задач: на побудову, доку-
Для цього, починаючи з 1-го класу, потрібно, перш за все, вчити дітей «бачити» алгоритми і усвідомлювати алгоритмічну сутність тих дій, які вони виконують. Починати цю роботу слід з найпростіших алгоритмів, доступних і зрозумілих ім. Можна скласти алгоритм переходу вулиці з нерегульованим та регульованим перехрестям, алгоритми користування різними побутовими приладами, приготування якого-небудь блюда (рецепт приготування), представити у вигляді послідовних операцій шлях від дому до школи, від школи до найближчої зупинки автобуса і т. д.
Спосіб приготування кавового напою написаний на коробці і являє собою наступний алгоритм:
1. Налити склянку гарячої води в каструлю.
2. Взяти чайну ложку напою.
3. Засипати (всипати) кавовий напій у каструлю з водою.
4. Нагріти вміст каструлі до кипіння.
5. Дати напою відстоятися.
6. Налити напій у склянку.
Розглядаючи такі інструкції, сам термін «алгоритм» можна не вводити, а говорити про правила, в яких виділені пункти, що вказують на певні дії, в результаті виконання яких вирішується поставлене завдання.
Слід зауважити, що сам термін «алгоритм» можна вживати тільки умовно, тому що ті правила і приписи, які розглядаються в курсі математики початкових класів, не володіють всіма властивостями, його характеризують. Алгоритми в початкових класах описують послідовність дій на конкретному прикладі не в загальному вигляді, в них знаходять відображення не всі операції, що входять до складу виконуваних дій, тому їх послідовність суворо не визначена. Наприклад, послідовність дій при множенні чисел, які нулями, на однозначне число (800 * 4) виконується так:
1. Уявімо перший множник у вигляді твору однозначного числа і одиниці, що кінчається нулями: (8 * 100) • 4;
2. Скористаємося сполучним властивістю множення:
(8 * 100) * 4 = 8 * (100 * 4);
3. Скористаємося переместительное властивістю множення:
8 * (100 * 4) = 8 * (4 * 100);
4. Скористаємося сполучним властивістю множення:
8 * (4 * 100) = (8 * 4) * 100;
5. Замінимо твір у дужках його значенням:
(8 * 4) * 100 = 32 * 100;
6. При множенні числа на 1 з нулями потрібно приписати до числа стільки нулів, скільки їх у другому множник:
32 * 100 = 3200.
Безумовно, молодші школярі не можуть засвоїти послідовність дій у такому вигляді, але, представляючи чітко всі операції, вчитель може пропонувати дітям різноманітні вправи, виконання яких дозволить дітям усвідомити спосіб діяльності. Наприклад:
Чи можна, не виконуючи обчислень, стверджувати, що значення виразів в кожному стовпчику однакові:
9 * (8 * 100) 800 * 7 (9 * 8) * 100 (8 * 7) * 100 (9 * 100) * 8 8 * (7 * 100) 9 * 100 8 * 700 72 * 100 56 * 100
Поясни, як отримано вираз, записане справа:
4 * 6 * 10 = 40 * 6 2 * 8 * 10 = 20 * 8 8 * 5 * 10 = 8 * 50 5 * 7 * 10 = 7 * 50
Чи можна стверджувати, що значення творів в кожній парі однакові:
45 * 10 54 * 10 32 * 10 9 * 50 60 * 9 8 * 40
Для усвідомлення дітьми алгоритмічної суті виконуваних ними дій потрібно переформулювати дані математичні завдання у вигляді певної програми.
Наприклад, завдання «знайти 5 чисел, перше з яких дорівнює 3, кожне наступне на 2 більше попереднього» можна представити у вигляді алгоритмічного розпорядження так:
1. Запиши число 3.
2. Збільш його на 2.
3. Отриманий результат збільш на 2.
4. Повторюй операцію 3 до тих пір, поки не запишеш 5 чисел. Словесне алгоритмічне припис можна замінити схематичним:
Це дозволить учням більш чітко представити кожну операцію і послідовність їх виконання.
• Завдання 94. Сформулюйте у вигляді алгоритмічних приписів наступні математичні завдання і уявіть їх у вигляді схеми
дій:
а) напиши 4 числа, перше з яких дорівнює 1, кожне наступне
в 2 рази більше попереднього;
б) напиши 4 числа, перше з яких 0, друге більше першого на 3 січня більше другого на 2, четверте більше третього на 3;
в) напиши 6 чисел: якщо перше дорівнює 9, друге 1, а кожне наступне дорівнює сумі двох попередніх.
Поряд зі словесними і схематичними приписами можна задати алгоритм у вигляді таблиці.
Наприклад, завдання: "Запиши числа від 1 до 6. Кожне збільш:
а) на 2, б) на 3 »можна представити у такій таблиці:
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | ||||||
| 3 |
Діючи з конкретними математичними об'єктами та узагальненнями у вигляді правил, діти опановують умінням виділяти елементарні кроки своїх дій і визначати їх послідовність.
Наприклад, правило перевірки складання можна сформулювати у вигляді алгоритмічного припису наступним чином. Для того, щоб перевірити складання відніманням, потрібно:
1) із суми відняти один з доданків;
2) порівняти отриманий результат з іншим доданком;
3) якщо отриманий результат дорівнює інших складових, то складання виконано вірно;
4) у противному випадку шукай помилку.
• Завдання 95. Складіть алгоритмічні приписи, якими молодші школярі зможуть користуватися при: а) складання однозначних чисел з переходом через розряд; б) порівняно багатозначних чисел; в) рішенні рівнянь; г) письмовій множенні на однозначне число.
Для формування вміння складати алгоритми потрібно навчити дітей: знаходити спільну спосіб дії; виділяти основні, елементарні дії, з яких складається дане; планувати послідовність виділених дій; правильно записувати алгоритм.
Розглянемо завдання, мета яких - виявлення способу дії:
Дано числа (див. малюнок). Склади висловлювання і знайди їх значення. Скільки всього прикладів на додавання можна скласти? Як треба міркувати при цьому, щоб не пропустити жодного випадку?
При виконанні даного завдання учні усвідомлюють необхідність виділення загального способу дій. Наприклад, фіксувати перший доданок 31, в якості другого додавати всі числа другого стовпчика, потім в якості першого доданка фіксувати, наприклад, число 41 і знову вибирати всі числа з другого стовпчика, і т. д. Можна фіксувати другий доданок і перебирати всі числа першого стовпчика. Важливо, щоб дитина зрозуміла, що, дотримуючись якогось певного способу дії, він не упустить жодного випадку і жоден з випадків не запише двічі.
У залі три люстри і 6 вікон. До свята для прикраси від кожної люстри до кожного вікна протягнули гірлянду. Скільки всього повісили гірлянд? (При вирішенні можна використовувати схематичний малюнок.)
Для формування в учнів уміння виявляти спосіб дії корисні комбінаторні завдання. Їх особливість в тому, що вони мають не одне, а безліч рішень, і при їх виконанні Необхідно здійснювати перебір в раціональній послідовності. Наприклад:
Скільки різних п'ятизначних чисел можна записати, використовуючи цифри 55522 (цифру 5 можна повторювати три рази, 2 - два рази).
Для вирішення цієї комбінаторної задачі можна скористатися побудовою «дерева». Виписується спочатку одна цифра, з якої можна почати запис числа. Подальший алгоритм дій зводиться до запису цифр, які можна поставити після кожної цифри, поки не отримаємо п'ятизначне число. Дотримуючись даного алгоритму, необхідно комбінувати і підраховувати, скільки разів повторилися цифри 5 і 2.
Вийшли «гілочки» з різними числами: 55522, 55252, 55225, 52552, 52525, 52255. Потім виписується цифра 2.
Записуємо числа, рухаючись по «гілочках»: 22555, 25525, 25552, 25255. Відповідь: можна записати 10 чисел.
• Завдання 96. Підберіть комбінаторні задачі, які ви б могли запропонувати учням першого, другого і третього класу при вивченні різних понять початкового курсу математики.
ГЛАВА 4.Обучение МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ
4.1. Поняття «завдання» в початковому курсі математики
Будь-яке математичне завдання можна розглядати як завдання, виділивши в ньому умову, тобто ту частину, де містяться відомості про відомих і невідомих значеннях величин, про відносини між ними, і вимога (тобто вказівка на те, що потрібно знайти) . Розглянемо приклади математичних завдань з курсу початкових класів:
•> Постав знаки <,>, =, щоб вийшли вірні запису: 3 ... 5, 8 ... 4.
Умова задачі - числа 3 і 5, 8 і 4. Вимога - порівняти ці числа.
*> Виріши рівняння: х + 4 = 9.
У умови дано рівняння. Вимога - вирішити його, тобто підставити замість х таке число, щоб вийшло справжнє рівність.
<* Вибери з даних фігур ті, з яких можна скласти прямокутник.
Тут в умові дані трикутники. Вимога - скласти прямокутник.
Для виконання кожної вимоги застосовується певний метод або спосіб дії, в залежності від якого виділяють різні види математичних задач: на побудову, доку-
[2] Давидов В В Проблеми розвивального навчання - М, Педагогіка, 1986, з 9
[3] Якиманська І.С. Розвивальне навчання. - М., Педагогіка, 1979, с. 70.
[5] Лехова У П Дедуктивні міркування в курсі математики початкових класів. - Початкова школа, 1988, № 5, с. 28-31.