Розвиток математичних здібностей учнів у процесі позакласної роботи з математики в початковій

Міністерство освіти Російської Федерації
Ярославський державний педагогічний університет
імені К.Д. Ушинського
Педагогічний факультет
Випускна кваліфікаційна робота
на тему:
Розвиток математичних здібностей учнів у процесі позакласної роботи з математики в початковій школі
Виконавець: студентка
652 групи Є.А. Бурмістрова
Наукові керівники:
І.В. Налімова, доцент,
кандидат пед. наук
В.А. Мазилов, професор,
доктор псих. наук
Ярославль
2003

Введення
Одна з основних завдань сучасної школи полягає в тому, щоб допомогти учням в повній мірі проявити свої здібності, розвинути ініціативу, самостійність, творчий потенціал.
Вивчення математичних здібностей школярів та умов їх формування і розвитку досить важливо для практики шкільного навчання, так як математика ¾ один з найбільш важливих предметів шкільного курсу. Математичні здібності найбільш детально були вивчені В. А. Крутецким ще в середині минулого століття. У своїх дослідженнях він вказав, що компоненти математичних здібностей у молодшому шкільному віці представлені лише в своєму зачатковому стані.
Тому питання їх розвитку найбільш гостро постає саме в цей період. В даний час, час повсюдного впровадження різних систем розвивального навчання, розвиток математичних здібностей забезпечується самим процесом шкільного курсу математики. Але не слід нехтувати і позанавчальних засобами, що сприяють зміцненню та розширенню математичної активності. Одним з них є проведення позакласної роботи з математики.
Позакласна робота з математики складає нерозривну частину навчально-виховного процесу навчання математики, складного процесу впливу на свідомість і поведінку школярів, поглиблення і розширення їх знань і навичок таких факторів, як зміст самого навчального предмета ¾ математики, всієї діяльності вчителя в сполученні з різносторонньою діяльністю учнів . Бажано почати проводити таку роботу якомога раніше, тому особливу увагу необхідно приділяти позакласної роботи в молодших класах.
Учні початкових класів найбільш потребують того, щоб їх первинне і наступне знайомство з математичними істинами носило не сухий характер, а породжувало б інтерес і любов до предмета, розвивало б у учнів здатність до правильного мислення, гострий розум і кмітливість і тим самим вносило б пожвавлення в викладання предмета.
Однак, на сьогоднішній день проблема розвитку математичних здібностей молодших школярів у процесі позакласної роботи ¾ одна з найменш розроблених методичних проблем. Цим, в першу чергу, і визначилася її актуальність, необхідність дослідження.
Тому, завдання нашого дослідження полягають у наступному:
Вивчити психолого-педагогічну літературу з метою з'ясування змісту поняття здібностей взагалі, математичних здібностей зокрема.
Вивчити навчально-методичну літературу, що стосується позакласної роботи з математики в початковій школі, з метою виявлення її основних форм.
Вивчити стан проблеми на практиці.
Розробити рекомендації до проведення позакласних занять з математики, а також методику роботи над випуском стінний математичної газети.
Перевірити ефективність запропонованих рекомендацій на практиці.
Завдання дослідження визначили його мету: розробити методику розвитку математичних здібностей в процесі різних форм позакласної роботи з математики в початковій школі.
Для вирішення поставлених вище завдань потрібно застосування різних методів дослідження:
аналіз психолого-педагогічної та навчально-методичної літератури, матеріалів періодичної преси, присвячених проблемі дослідження в її історичному розвитку і в її сучасному стані;
розробка навчального матеріалу на базі теоретичних положень і їх подальша експериментальна перевірка;
соціально-психологічні дослідження: анкетування, інтерв'ювання, опитування.
Рішення поставлених завдань здійснювалося з 2001 по 2003 рік. Базою дослідження послужили школи № 81, № 20, № 42 міста Ярославля, педагогічний факультет ЯГПУ імені К.Д. Ушинського. Власне експериментальне навчання проводилося на базі шкіл № 81 і № 20.
У цілому в дослідження було залучено 20 учителів початкових класів, 28 студентів-випускників педагогічного факультету, 78 учнів 2-ого класу, які навчаються за системою "Школа 2100".
Результати дослідження знайшли своє відображення у випускній кваліфікаційної роботи, що складається зі вступу, 3-ох розділів, висновків та додатків.
У вступі обгрунтовується актуальність проблеми, відбивається мета і завдання, вказуються методи роботи.
У першому розділі розкривається поняття здібностей, вказуються компоненти математичних здібностей, ступінь їх прояву в молодшому шкільному віці, а також розглядаються природні передумови і умови формування математичних здібностей. Главу закінчує формулювання основних висновків і рекомендацій.
Другий розділ містить опис основних форм проведення позакласної роботи з математики в початковій школі, а також вказівку про відмітні особливості і велику значимість подібної роботи. Зроблені основні висновки до розділу, дані рекомендації.
Третя глава є результатом проведеної нами дослідно-експериментальної роботи, в ній відображені результати анкетування вчителів початкових класів, студентів-випускників педагогічного факультету та молодших школярів, що стосуються проблеми розвитку математичних здібностей та застосування для досягнення цієї мети позакласної роботи з математики. У цьому розділі представлено опис формуючого експерименту та перевірки його ефективності, а також зроблені основні висновки і дані практичні рекомендації.
У висновку сформульовані основні висновки по всій роботі, надані практичні рекомендації щодо використання теоретичного та практичного матеріалу випускний кваліфікаційної роботи та розроблених нами методик.
У додатку подано конспекти проведених занять, наочний матеріал, роботи учнів, бланки опитувальників.

Глава 1. Математичні здібності та їх розвиток в молодшому шкільному віці
1.1 Поняття про здібності та їх природі
Велике значення в психології надається проблемі здібностей взагалі і проблеми здібностей школярів зокрема. Цілий ряд досліджень психологів спрямований на виявлення структури здібностей школярів до різних видів діяльності. Тут можна згадати таких, як Л.С. Виготський (17), С.Л. Рубінштейн (75, 76), Б.Г. Ананьєв (4), П.Я. Гальперін (18), В.Д. Шадріков (102, 103), Н.С. Лейтес (54, 55, 56, 57) та інших, а також авторів фундаментальних досліджень музичних здібностей Б.М. Теплова (90, 91, 92), здібностей до образотворчої діяльності В.І. Киреенко (35) і математичних здібностей В.А. Крутецкого (45, 46, 47, 48, 49). Однак серед психологів немає єдиного підходу до проблеми здібностей. У науці, зокрема, у психологічній, триває дискусія про саму сутність здібностей, їх структурі, походження і розвиток. Не вдаючись в деталі традиційних і нових підходів до проблеми здібностей, вкажемо на деякі основні спірні пункти різних точок зору вітчизняних психологів на здібності.
Різниця в розумінні сутності здібностей виявляється перш за все в тому, чи розглядаються вони як соціально придбані властивості (Б. М. Теплов [90, 91]) або ж визнаються і природні здібності (С. Л. Рубінштейн [75, 76]; В. Д. Шадриков [102, 103] та інші). Одні автори під здібностями розуміють комплекс індивідуально-психологічних особливостей людини, які відповідають вимогам даної діяльності і є умовою успішного її виконання, які не зводяться до підготовленості, до наявних знань, умінь і навичок (Б. М. Теплов [92]; В.А. Крутецкий [45, 46, 47, 48, 49], Н. С. Лейтес [54, 55, 56, 57]). Тут слід звернути увагу на кілька фактів. По-перше, здатності ¾ це індивідуальні особливості, тобто те, що відрізняє однієї людини від іншої. По-друге, це не просто особливості, а психологічні особливості. І, нарешті, здатності ¾ це не всякі індивідуально-психологічні особливості, а лише ті, які відповідають вимогам певної діяльності.
При іншому підході, найбільш яскраво вираженому у К.К. Платонова, здатністю вважається будь-якість "динамічної функціональної структури особистості" (11, с.19), якщо воно забезпечує успішне освоєння і виконання діяльності.
Однак, як зазначав В.Д. Шадриков, "при такому підході до здібностей онтологічний аспект проблеми переноситься на задатки, під якими розуміються анатомо-фізіологічні особливості людини, що є основою розвитку здібностей. Рішення психофізіологічної проблеми заводилася в глухий кут у контексті здібностей як таких, оскільки здібності ¾ психологічна категорія ¾ не розглядалися як властивість мозку. Не більше продуктивний і ознака успішності, бо успішність діяльності визначається і метою, і мотивацією, і багатьма іншими факторами ". (102, с.176) Відповідно до його теорії здібностей, продуктивно визначити здібності як особливості можна тільки по відношенню їх до одиничного і загального. Загальним (загальним) для кожної здібності В.Д. Шадріков називає властивість, на основі якого реалізується конкретна психічна функція. Кожна властивість являє собою сутнісну характеристику функціональної системи. Саме для того щоб реалізувати це властивість, формувалася конкретна функціональна система в процесі еволюційного розвитку людини, наприклад властивість адекватно відображати об'єктивний світ (сприйняття) або властивість запам'ятовувати зовнішні впливи (пам'ять) і так далі. Властивість проявляється в процесі діяльності. Таким чином, тепер можна визначити здібності з позиції загального як властивість функціональної системи, що реалізує окремі психічні функції.
Розрізняють два види властивостей: ті, які не володіють інтенсивністю і тому не можуть її змінювати, і ті, які володіють інтенсивністю, тобто можуть бути більше або менше. Гуманітарні науки мають справу головним чином з властивостями першого виду, природні ¾ з властивостями другого виду. Психічні функції характеризуються властивостями, які мають інтенсивністю, мірою вираженості. Це дозволяє визначити здібності з позиції одиничного (окремого, індивідуального). Одиничне буде представлено мірою вираженості властивості; міра ¾ наслідок діалектичної єдності якісного і кількісного проявів властивості.
Таким чином, відповідно до представленої вище теорії, здібності можна визначити як властивості функціональних систем, що реалізують окремі психічні функції, які мають індивідуальну міру виразності, що проявляється в успішності і якісному своєрідності освоєння і реалізації діяльності. При оцінці індивідуальної заходи вираженості здібностей доцільно використовувати ті ж параметри, що й при характеристики будь-якої діяльності: продуктивність, якість і надійність (в плані розглянутої психічної функції).
З різного розуміння сутності здібностей випливає різний підхід до розкриття їх структури, яка в різних авторів постає у вигляді набору різних якостей, що класифікуються з різних підставах і перебувають у різному співвідношенні.
Немає однозначної відповіді і на питання про генезис і розвитку здібностей, їх зв'язку з діяльністю. Поряд з твердженням, що здібності у своїй родової формі існують у людини до діяльності як передумова її реалізації (С. Л. Рубінштейн [75, 76]; В. Д. Шадриков [102, 103] та інші), висловлювалася й інша, суперечлива точка зору: здібності не існують до діяльності (Б. М. Теплов [90, 92]). Останнє положення заводить у глухий кут, тому що незрозуміло, яким чином починає відбуватися діяльність без здібностей до неї. У дійсності здібності на певному рівні їх розвитку існують до діяльності, а з початком її проявляються і потім розвиваються в діяльності, якщо вона висуває все більш високі вимоги до людини.
Для успішного оволодіння будь-якою діяльністю необхідне певне поєднання окремих приватних здібностей, що утворюють єдність, якісно своєрідне ціле. У цьому синтезі окремі здібності (компоненти) зазвичай об'єднуються навколо певного стрижневого особистісного утворення, свого роду центральної здібності. Таким чином, здібності ¾ складне, інтегральне, психічне утворення, своєрідний синтез властивостей, та компонентів.
Загальний закон освіти здібностей полягає в тому, що вони формуються в процесі оволодіння і виконання тих видів діяльності, для яких вони необхідні. Здібності не є щось раз і назавжди зумовлене (як вважали більшість зарубіжних психологів першої половини 20 століття), вони формуються і розвиваються в процесі навчання, в процесі вправи, оволодіння відповідною діяльністю. У звичайному житті здібності виступають для нас перш за все як характеристики конкретної людини. Звертаючись до конкретної особистості, особливо в освітньому процесі, ми бачимо, що здібності розвиваються, мають індивідуально своєрідне вираження. Здібності є прояв особистості. Вони завжди виражаються в рівні майстерності, в мистецтві, майстерності людини. Ми оцінюємо, як правило, вже реалізацію здібностей, а не самі здібності як такі. І ця реалізація здібностей може істотно спотворюватися в залежності від того, чи вільний чоловік у самореалізації, так само як вільний чи він у творчості. Ця реалізація детермінована зовнішнім світом. Але здібності розкриваються перш за все тоді, коли є свобода діяльності, свобода у виборі самої діяльності, свобода у формах її реалізації, в можливості творчості. Природна сила людини, природні здібності проявляються в більшій мірі в дитячому віці, коли вони багато в чому ще вільні від "впливу свідомості, до свідомості, до добра і істини, до оцінки й вибору". (103,, с.5) Тому потрібно формувати, розвивати, виховувати, навчати дітей по можливості у творчості, і не можна заздалегідь точно передбачити, як далеко може піти цей розвиток.
Однак, на відміну від прихильників особистісно-діяльнісного підходу, що розглядають здатність як сукупність особливостей людини, що впливають на ефективність певної діяльності, деякі психологи розглядають здібності як характеристику функції (обсягу або швидкості сприйняття, концентрації або перемикання уваги, сили або швидкості руху і так далі) , а відмінності людей з тих чи інших здібностям вважають результатом не стільки розвитку здібностей, скільки генетично зумовленими особливостями (вродженими задатками) (32). При функціонально-генетичному підході людина є носієм здібностей вже при народженні; при особистісно-діяльнісному підході здатності до тієї чи іншої діяльності з'являються тільки тоді, коли людина почне здійснювати цю діяльність, вони формуються по ходу діяльності. Прихильники першого підходу стверджують, що ніякого "формування" здібностей не відбувається: їх не треба формувати, так як вони вже задані від народження, треба створювати умови для їхнього прояву і розвитку.
Тим не менш, незважаючи на принципові розбіжності прихильників особистісно-діяльнісного і функціонально-генетичного підходу до здібностей, між ними є і подібність ¾ розуміння того, що відмінності між людьми за здібностями пов'язані з вродженими особливостями-задатками. Їх ми більш детально розглянемо в четвертому параграфі нашої роботи. А поки що більш докладно зупинимося на проблемі співвідношення здібностей зі знаннями, вміннями та навичками.
Слід підкреслити тісний і нерозривний зв'язок здібностей зі знаннями, вміннями, навичками. З одного боку, здібності залежать від знань, умінь і навичок ¾ в процесі придбання їх розвиваються здібності. З іншого боку, знання, вміння і навички залежать від здібностей: здібності дозволяють швидше, легше, міцніше і глибше опанувати відповідними знаннями, вміннями, навичками. Тобто здібності ¾ це такі індивідуальні особливості, які не зводяться до готівкових навичок, умінь і знань, але які можуть пояснити легкість і швидкість придбання цих знань і навичок.
Але ототожнення здібностей і знань, умінь і навичок було б грубою помилкою. Недостатнє знання або невміння не можна приймати за відсутність здібностей. "Здатність не зводиться до тих знань, умінь, навичок, які вже вироблені в даної людини," ¾ каже Б. М. Теплов вже в самому визначенні здібностей (92, с.130). Однак це не розкриває співвідношення навичок і здібностей. Вирішення цієї проблеми запропонував В.Д. Шадріков. Він вважає, що суть онтологічних відмінностей здібностей і навичок полягає в наступному: здатність описується функціональною системою, одним з її обов'язкових елементів є природний компонент, в якості якого виступають функціональні механізми здібностей, а навички описуються ізоморфної системою, одним з її головних компонентів є здібності, виконують у цій системі ті функції, які в системі здібностей реалізують функціональні механізми. Таким чином, функціональна система навичок як би виростає з системи здібностей. Це система вторинного рівня інтеграції (якщо прийняти систему здібностей за первинну) (102, 103).

Один пан зустрів під час прогулянки знайому родину, що складається з діда батька і сина. Привітавшись з усіма, він запитав їх жартома, скільки їм років. «Нам всім разом 100 років» ¾ відповів за всіх дід і важливо покрокував у перед. Тоді пан продовжуючи цікавитися їхнім віком, запитав батька, «Ну, скажіть же, скільки вам років?» ¾ «Мені разом з сином 45 років,» ¾ відповідав батько, ¾ «а син на 25 років молодший за мене." Так цікавому пану і не довелося дізнатися скільки років кожному з них. Не зрозумієте Ви?
Одним з видів цікавості є поетична форма математичної інформації, призначена для одержання ефекту як художнього, так і педагогічного. Віршований текст застосовується, як один з мнемонічних прийомів запам'ятовування.
Наприклад, при вивченні з першокласниками геометричного матеріалу, можна використовувати такі вірші:
Без кінця, без краю ¾ лінія пряма.
Хоч сто років по ній йди,
Не знайдеш кінця шляху.
Ось мотузочка моя!
Прив'язав до неї каменя, я,
І мотузка моментально
Натягнулася вертикально!
Від вершини по променю, немов з гірки я кочу.
Тільки промінь тепер ¾ вона, і зветься «сторона».
У кола є одна подруга.
Знайома всім її зовнішність.
Йде вона по краю кола
І називається окружність!
Ще Б. Паскаль говорив: "Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати випадків робити його трохи цікавим". Однак слід уникати неправдивої цікавості, якщо вона призводить до неохайності в математичних виразах, до вульгаризації окремих математичних положень, до некоректності в викладі, до безглуздих рішень і міркувань.
Загальнодоступність.
Загальнодоступність - це одне з достоїнств математичних розваг, так як рішення більшості завдань цієї категорії спирається на досить скромну математичну базу, в основному арифметичну. Рішення деяких задач може бути простим, доступним для розуміння, але не кожен може збагнути, як вирішити цю задачу.
У однієї людини був золотий хрест, прикрашений діамантами. Ця людина ніколи не цікавився тим, скільки всього діамантів вставлено в хрест. Він знав лише одне: якщо почати рахувати з одного з бічних кінців або з верхнього кінця вниз, то завжди виявиться 6 діамантів.
Одного разу цей хрест був відданий в лагодження золотих справ майстру. Майстер втратив 2 діаманта і, не вставляючи на їхнє місце інших, повернув хрест полагодженим, лише розташувавши діаманти по-іншому. Власник перерахував діаманти «по-своєму» і нічого не помітив.
Як майстер ухитрився розташувати діаманти?
Значення завдань математичних розваг полягає також у тому, що майже всі вони не менше ніж шкільні вправи педагогічно цілеспрямовані: одні - на зміцнення навичок логічного мислення, інші - на зміцнення правильності математичної мови, треті - на розвиток обережності у судженнях "за аналогією", інші - на розширення уявлень про різноманітність і красу геометричних форм, уявлень про зв'язки математики з практичною діяльністю, на зміцнення конструктивних навичок самостійної роботи і так далі, а все в сукупності - на загальні підвищення математичної культури та розвитку математичних здібностей тих, хто систематично вправляється у вирішенні задач подібного роду.
Одним з видів математичних розваг є логічні вправи. На позакласних заняттях з математики в процесі логічних вправ діти практично вчаться порівнювати математичні об'єкти, виконувати найпростіші аналізу і синтезу, встановлювати зв'язки між родовими і видовими поняттями. Проводячи аналіз, учень в математичних об'єктах виділяє істотні ознаки, які повинні відповідати певним психічним і дидактичним вимогам.
Можливість їх операційного виявлення, тобто виявлення за допомогою деяких ¾ причому досить елементарних ¾ операцій.
Їх популярність для учнів.
Їх однозначність. При цьому однозначними ознаками слід вважати ті, які легко помітні, точно виділяються і в основному однаково оцінюються всіма людьми.
Гранично можлива легкість їх виявлення, зручності оперування ними.
Прикладами таких завдань можуть служити математичні ряди:
1, 3, 5, 7, 9,?
1, 3, 4, 7, 11, 18,?
Текстові задачі на розвиток логічного мислення, роботу над якими ми пропонуємо проводити з дітьми наступним чином:
Сьогодні ми будемо відгадувати цікаві загадки. Я розповім одну загадку і розповім те, про що в ній йдеться.
Завдання 1. Було три фігурки: трикутник, коло і квадрат (вчитель одночасно зображає це у лівій частині дошки). Кожна з них жила в одному з трьох будиночків: перший будиночок був з високим дахом і маленьким вікном, другий з високим дахом і великим вікном, третій з низьким дахом і великим вікном. (Вчитель малює будиночки, як на малюнку).
Трикутник і коло жили в будиночках з великим вікном, а коло і квадрат в будиночках з високим дахом (у міру розповіді вчитель дає схематичне зображення цих суджень праворуч від зображення будиночків). Потрібно відгадати, в якому будиночку живе кожна фігурка (зображення питання завдання дається ще правіше).
Рішення. Давайте подумаємо, як відгадати цю загадку. Що нам відомо про фігурки? Нам відомо, що трикутник і коло живуть в будиночках з великим вікном, а коло і квадрат в будиночках з високим дахом. Про яку фігурку відомо більше всього? Звичайно, про коло. Що відомо? Що коло живе в будиночку з високим дахом і великим вікном. Є у нас такий будиночок? Так, це будиночок 2. Напишемо цифру 2 у відповідь поруч з колом.
Що тепер можна дізнатися? Можна дізнатися, де живе трикутник. Він живе у будиночку 3. Чому? Тому що у загадці сказано, що трикутник живе в будиночку з великим вікном. А так як в одному такому будиночку живе коло, то в іншому живе трикутник. Напишемо у відповіді поруч з трикутником цифру 3.
А де живе квадрат? Квадрат живе у будиночку 1, тому що цей будиночок залишився вільним. Напишемо у відповіді поруч з квадратом цифру 1.
Коли учні добре освоять такі нескладні логічні завдання, їм можна запропонувати більш важкі.
Завдання 2. Міша, Сергій, Діма, Валера, Костя малювали машини. Хтось малював пожежну машину червоним олівцем, хтось гоночну машину синім фломастером, хтось вантажну машину коричневою ручкою, хтось легкову машину синім олівцем, хтось легкову машину коричневим фломастером. Миша і Сергій малювали олівцем, Сергій і Діма малювали однакові машини, Діма і Костя малювали однаковим кольором. Хто що малював?
Після вирішення завдань зазначеного виду з опорою на наочно представлене умова доцільно проводити роботу тільки з текстовою частиною умов цих завдань (тобто без зображення суджень), щоб діти практикувалися міркувати. Поряд з цим корисно також пропонувати дітям самостійно складати подібні завдання. Тут можливі два варіанти. На першому етапі вчитель пропонує дітям дві ланки умови, де говориться про предмети і їх ознаки, а судження, що характеризують зв'язку предметів та ознак, діти вигадують самі. На другому етапі діти самі вигадують всю задачу.
Для підвищення ефективності навчання і розвитку дітей слід подбати насамперед про зміст пропонованих завдань, їх потенціальн6их дидактичних можливостях і методикою роботи з ними. У цьому сенсі заслуговують уваги завдання, що допускають не одне можливе рішення, а декілька (тут маються на увазі не різні способи знаходження одного і того ж відповіді, а існування різних рішень-відповідей та їх пошук, тобто рішення розглядається не як процес, а як результат-відповідь).
Необхідність у використанні таких завдань особливо гостро відчувається в умовах диференційованого та індивідуалізованого навчання. Одна справа, коли дитина поставлений в рамки відшукання єдиного можливого рішення, і інше ¾ коли перед ним відкривається багатоходової, з багатьма виходами лабіринт. У першому випадку ¾ все або нічого, в другому ¾ рух по сходах різного рівня. У залежності від знань, здібностей та розвитку один учень може піднятися на одну сходинку, інший ¾ на дві, третій ¾ на три і так далі. Завдання в цьому випадку не сковує учня жорсткими рамками одного рішення, а відкриває йому можливість для пошуків і роздумів, досліджень і відкриттів, нехай на перший раз і маленьких. І оцінювати при цьому діяльність учня вдається залежно від того, хто скільки знайшов рішень.
Пропонуємо кілька таких завдань, які вважаємо за необхідне використовувати на позакласних заняттях з математики.
Незнайко намагався записати всі приклади на додавання трьох однозначних чисел, щоб в результаті кожен раз виходило 20 (деякі складові можуть бути однаковими), але весь час помилявся. Допоможіть йому вирішити цю задачу.
Це завдання має 8 рішень. Щоб не пропустити жодного з них, необхідно записувати приклади в певній послідовності. Наприклад, зробити запис із найбільших можливих двох перших доданків, а потім послідовно зменшуючи на одиницю другий доданок, а в двох випадках ¾ і перше.
Три богатиря ¾ Ілля Муромець, Добриня Микитич та Альоша Попович, захищаючи від навали рідну землю, зрубали Змію Гориничу всі 13 голів. Більше за всіх зрубав Ілля Муромець, а менше всіх ¾ Альоша Попович. Скільки голів міг зрубати кожен з них?
У прикладах на обчислення Незнайко переплутав знаки дій і числа, записавши:
1) 6 4 + 5 = 26
2) 42 7 + 3 = 21
Запишіть правильно приклади, використовуючи ті ж числа (знаки дій можна використовувати й інші).
Рішення:
1) 6 5 - 4 = 26 або 5 4 + 6 = 26
2) 42 - 7 3 = 21 або 42 3 + 7 = 21
Шпунтик і його друзі з даних фігур становили нові. Кожен з них з двох таких багатокутників, як показано на малюнку, склав новий і знайшов суму довжин його сторін. Відповіді у них вийшли різні, але у всіх правильні. Як це могло бути і які відповіді вони отримали?
Рішення:
І сказав Кощій Івану-Царевичу: «Жити тобі залишилося до ранку. А вранці я задумаю три цифри а, в і с, ти мені назвеш три числа м, н, і к. Тоді я назву тобі число ам + вн + ськ, і ти повинен відгадати, які цифри я задумав. Не відгадаєш ¾ голова з плечей ». Треба б допомогти Іванові-Царевичу. Що ви йому порадите?
Рішення: Учні, які добре вирішують завдання на представлення числа у вигляді суми розрядних доданків і зворотні їм завдання, зрозуміють ідею рішення запропонованого завдання. Найпростіше рішення ¾ назвати числа 100, 10 і 1. Можна назвати і числа 200, 20, 2 або 300, 30,3 і так далі, але тоді назване Кощієм число Іван-Царевич повинен ділити на 2, 3 і так далі. Останні рішення більш цікаві і вимагають від учнів більшої кмітливості.
Завдання з різноманітними рішеннями досить корисні для позакласних занять у якості олімпіадних завдань, тому що відкриваються можливості по-справжньому диференціювати результати кожного учасника. Такі завдання можуть з успіхом використовуватися і в якості додаткових індивідуальних завдань для тих учнів, які легко і швидко справляються з основними під час самостійної роботи на уроці, або для бажаючих в якості додаткових домашніх завдань.
Велике значення, особливо для самих юних математиків, мають завдання у віршах. Такі завдання цікаві й доступні дітям. Вони вносять деяку жвавість в заняття, сприймаються дітьми як деяка гра. Крім того, вони виховують і естетичні почуття. Такі віршовані завдання вчителеві не складно скласти і самому, взявши за основу будь-яку задачу, можна використовувати і вірші дитячих авторів, задавши після прочитання питання.
Котик з пахвою дружив, мишці тапочки купив.
І на всі 4 лапки натягнула мишка тапки.
Побігла по стежці, та спіткнулася об травинку.
З лапки Гапочка впала і кудись запропала.
Тапку мишка не знайшла і без тапочки пішла.
Скільки тапочок залишилося у мишки?
Мишка зерна збирала, по 2 зернятка тягала.
Принесла вже 9 разів. Який у мишки став запас?
На двох малятках-яблуньках росли чотири яблука.
У три рази більше на одній. А скільки яблук на інший?
У 9 сіли в електричку ми на станції «Піски»,
А в 12, як зазвичай, прибули на «Василик».
Скільки часу в дорозі були ми? Відповідь знайди.
Ми не візьмемося в цій роботі описувати всі види позанавчальних математичних завдань, зупинимося на розглянутих вище. Зазначимо лише, що вчителю слід пам'ятати при підборі завдань для проведення позакласної роботи з математики, наскільки важливо наділити математичне питання в цікаву для учнів форму або внести до вирішення завдання таке незначне, але цікаве утруднення, яке могло б привчити дитячий розум до самостійності, або, нарешті, запропонувати важку на перший погляд завдання, але вирішуються легко і несподіваним чином.
Таким чином, вивчивши навчально-методичну літературу з проблеми організації позакласної роботи з математики, можемо зробити наступні висновки:
Учні початкових класів найбільш потребують того, щоб їх первинне і наступне знайомство з математичними істинами носило не сухий характер, а породжувало б інтерес і любов до предмета, розвивало б у учнів здатність до правильного мислення, гострий розум і кмітливість і тим самим вносило б пожвавлення у викладання предмета.
Не варто применшувати значення позакласної роботи з математики в початковій школі, адже саме в цьому віці дитина визначає своє ставлення до предметів шкільного курсу. Позакласна ж робота з математики дозволить прищепити учням інтерес до предмету, підтримувати та культивувати його, розвивати загальні та творчі здібності і, звичайно ж, математичні, компоненти яких якраз і формуються найбільш активно в цьому віці.
Позакласна робота має деякі особливості, які вчителю необхідно враховувати, щоб ефективність проведеної ним роботи була максимальною.
Форми позакласної роботи з математики дуже різноманітні, вчителю, що проводить позакласну роботу систематично, можна їх комбінувати.
Позакласна робота залежить від індивідуальних інтересів учителя, його досвіду, смаків, особливостей учнів кожного конкретного класу. Однак при проведенні тієї чи іншої форми позакласної роботи з математики, вчителю необхідно враховувати деякі методичні рекомендації.
Розроблені нами і запропоновані авторами методичних посібників матеріали можуть бути використані вчителями при проведенні різних форм позакласної роботи, або взяті за основу власних розробок.
А розглянуті нами вимоги до позанавчальних математичним завданням, як і вказівка їх основних видів, допоможуть вчителю самому методично грамотно підібрати завдання для проведення позакласної роботи з математики у своєму класі.

Глава 3. Аналіз дослідно-експериментальної роботи
3.1 Зміст і аналіз анкетування вчителів, студентів і учнів
Як вже зазначалося, метою нашої роботи стало не тільки вивчення психолого-педагогічної та навчально-методичної літератури з проблеми виявлення та розвитку математичних здібностей, але і розробка системи позакласних занять з математики в початкових класах, які б розвивали математичні здібності учнів, а так само проведення анкетування вчителів початкових класів, студентів педагогічного університету педагогічного факультету та молодших школярів.
Характеристика методик та піддослідних.
Нами були розроблені і проведені анкети для студентів педагогічного факультету спеціалізації "Педагогіка і методика початкової освіти", практикуючих учителів початкових класів і молодших школярів. Анкета для студентів включала в себе два питання, один з яких про те, в чому, на їхню думку, полягає розвиток математичних здібностей школярів, а другий ¾ для з'ясування ставлення студентів до проведення позакласної роботи з математики в початкових класах. Анкета для викладачів мала своєю метою з'ясувати, чи проводять (а якщо проводять, то як часто) вчителя найбільш доступні та методично розроблені форми позакласної роботи з математики, такі як позакласні заняття, випуск математичних газет, чи проводять інші види позакласної роботи, а так само чи застосовують елементи цікавості на уроках математики. Анкета для школярів дозволила віднести шкільний предмет "математика" до числа улюблених або нелюбих дітьми, а також виявити ставлення до нього дітей з точки зору труднощі або легкості. Тексти даних анкет у додатку, де вони позначені, як "Анкета 1", "Анкета 2", "Анкета 3".
В анкетуванні взяло участь 18 студентів-випускників педагогічного факультету ЯГПУ імені К. Д. Ушинського, 20 вчителів початкових класів шкіл міста Ярославля, 78 учнів другого класу.
Результати анкетування, на наш погляд, мають таке практичне значення. По-перше, для викладачів-методистів це деяка оцінка виконаної роботи: чи опанували студенти суть, перейнялися чи важливістю проблеми, чи зможуть у своїй роботі не просто "нашпиговують" учнів математичними знаннями, а чітко визначити, що, чому і навіщо потрібно робити. По-друге, щоб встановити марність чи необхідність нашої роботи: адже якщо вчителі постійно проводять позакласні заняття з математики у своєму класі, використовують різноманітні організаційні форми такої роботи, чітко визначають головну мету ¾ розвивати математичні здібності учнів, то виконана нами робота марна, не має практичної значущості. І, нарешті, відповідь на останнє запитання дасть нам можливість визначити, в якому напрямку повинна вестися наша робота, з яким ступенем примусу і "розжовування" матеріалу.
Отримані результати.
Після проведення анкетування, нами були отримані наступні результати.
Під розвитком математичних здібностей студенти розуміють, перш за все, розвиток логічного мислення (84% опитаних), мислення взагалі (39% опитаних), пам'яті (28%) і уваги (17%). Були також є і такі компоненти, як інтерес до математики, потреба в математичних знаннях, розумові здібності взагалі, наполегливість у досягненні мети. Деякі вказали на необхідність розвитку спостережливості, уяви, вміння виконувати навчальні дії за планом, аналізувати і синтезувати отриману інформацію, розвитку обчислювальних навичок, навичок самоконтролю, а так само розвиток інтересу до предмета, прагнення до точності, ясності, до лаконічності. Результати анкетування представлені в даній таблиці.

Складова	%-Ве вираз
Логіка	84
Мислення	39
Пам'ять	28
Інтерес, потреба в мат. Знаннях	17
Наполегливість
Увага	17
Розумові здібності	11
Прагнення до точності, ясності	5
Прагнення до лаконічності	5
Уява	5
Вміння знаходити нестандартні рішення	5
Самоконтроль	5
Обчислювальні навички	5
Спостережливість	5
Уміння виконувати навчальні дії за планом	5
Вміння аналізувати та синтезувати	5

Більшість студентів-випускників вважають, що проводити позакласні заняття з математики в початковій школі можливо, але не знаходять це необхідним. Біля однієї третини респондентів розглядають позакласні заняття з математики, як необхідний компонент своєї майбутньої педагогічної діяльності. Проте знайшовся і невеликий відсоток тих, хто вважає ці заняття марними і непотрібними. Процентне співвідношення відповідей представлено на діаграмі: 1.

Діаграма 1.

Переважна більшість вчителів початкових класів (70%) позакласні заняття з математики не проводять взагалі, деякі проводять лише комплексні заняття, так само мало хто вказали, що проводять позакласні заняття з математики рідко і один раз на тиждень і зовсім малий відсоток тих, хто проводить позакласні заняття з математики два рази на тиждень. Процентне співвідношення цих груп представлено на діаграмме12.

Діаграма 2.
Ні один вчитель не використовує у своїй роботі таку форму проведення позакласних занять з математики, як спільний з дітьми випуск математичної газети. Лише один вчитель вказав, що учні його класу пишуть статті у загальношкільних математичну газету. Ці результати відображені на діаграмме13.

Діаграма 3.
Більш втішні результати були отримані при відповіді на питання про використання вчителями елементів цікавості на уроках математики. Трохи менше половини респондентів відповіли на питання позитивно, чверть використовують елементи цікавості на уроках, так як це передбачено програмою, п'ята частина ¾ рідко, проте є відсоток і тих, хто не використовує їх взагалі. Більш докладно результати відображені на діаграмі 4.

Діаграма 4.
Дітям подобається займатися математикою, більшість вказало, що це їхній улюблений шкільний предмет, приблизно п'ята частина опитуваних відносить його до числа не дуже полюбилися предметів, проте таких, хто б вказав математику як нелюбимий предмет серед наших респондентів не знайшлося. Ці результати знайшли відображення в гістограмі 1.

Гістограма 1.
Також більшість дітей стверджує, що їм легко дається математика і не відчуває при навчанні особливих труднощів, але є невеликий відсоток і тих, кому важко і тяжко опановувати математичними знаннями. Дані опитування так само наведені в гістограмі 1.
Висновки та рекомендації
1. Результати, отримані при обробці анкет студентів, показали, що майбутні вчителі не зовсім ясно розуміють, які саме цілі вони повинні ставити перед собою у своїй майбутній роботі з розвитку математичних здібностей. Адже такі пізнавальні процеси, як мислення, пам'ять, увагу, уяву необхідно розвивати як на будь-якому позакласному занятті, так і на будь-якому уроці, і розвиток лише цих пізнавальних процесів не передбачає розвитку математичних здібностей. Хоча, розвиваючи математичні здібності, ми, безумовно, розвиваємо і пам'ять, і уява, і мислення, і увага учнів. Розвиток математичних здібностей також не є розвиток розумових здібностей взагалі. Крім того, знайшлися й такі студенти, які розвиток математичних здібностей підміняють розвитком лише обчислювальних навичок. Також були зазначені й такі якості, які впливають на успішність виконання математичної діяльності, а значить, їх розвиток як би створює грунт для розвитку власне математичних здібностей. До таких якостей можна віднести наступні із зазначених нашими респондентами: спостережливість, наполегливість у досягненні мети, самоконтроль, прагнення до точності, ясності в міркуваннях, вміння виконувати навчальні дії за планом і, найголовніше, знайшлися й такі, хто вважає за потрібне розвивати у дітей інтерес до математики, потреба в математичних знаннях. Великий відсоток вказав на необхідність розвитку логічного мислення, але ж не тільки його ми розуміємо під розвитком математичних здібностей. Лише малий відсоток відзначив необхідність розвитку таких компонентів математичних здібностей, як прагнення до лаконічності в міркуваннях, винахідливість, уміння знаходити нестандартні рішення, вміння аналізувати й синтезувати.
Таким чином, у роботі зі студентами математикам-методистам необхідно приділяти більше уваги психології математичного мислення. Основою навчання математики на початкових етапах повинно стати розвиток інтересу до математики, захопленості нею, а це значить, що студентів треба вчити не формально, а творчо підходити до проблеми розвитку математичних здібностей. Але для цього вони повинні чітко уявляти собі, що саме вони повинні розвивати, знати не тільки компоненти математичних здібностей, а й умови їх формування, знати і розвивати і ті якості, які впливають на успішність здійснення математичної діяльності школяра.
Результати анкетування вчителів показали, що вчителі початкових класів практично не проводять позакласних занять з математики, не приділяють їм належної уваги. Проводячи усні бесіди, ми з'ясували, що причина тому ¾ брак часу. Програми насичені, предметів стає все більше, а кількість навчальних годин не збільшується. Багато вчителів не бачать можливості проводити позакласні заняття з-за високої завантаженості учнів та їх підвищеної стомлюваності до кінця навчального дня. Ці причини об'єктивні, проблема перезавантаженням учнів дійсно існує в сучасній початковій школі, а й проблема розвитку математичних здібностей не зникає. І хоча в даний час, час повсюдного впровадження різних систем розвивального навчання, розвиток математичних здібностей забезпечується самим процесом вивчення шкільного курсу математики, не варто нехтувати і позанавчальних засобами, що сприяють зміцненню та розширенню математичної активності ¾ позакласною роботою з математики.
Беручи до уваги зазначені вище проблеми, що виникають у вчителів при проведенні позакласних занять з математики, ми виділили таку форму позакласної роботи, яка не витрачає багато часу і не вимагає великої мобілізації розумових сил. Такою формою позакласної роботи з математики ми вважаємо випуски математичних газет. Однак подібна робота вчителями початкових класів, судячи з нашого дослідження, не проводиться взагалі. Можливо, причина цього в недостатній методичної розробки подібного роду занять. При аналізі навчально-методичної літератури ми не раз зустрічали опис самої математичної газети, але ніде не знайшли докладного опису самої роботи над газетою, подальшої роботи класу з газетою і методики підбиття підсумків роботи класу.
Найбільш поширеним серед вчителів виявилося введення елементів цікавості в сам урок математики. Це найбільш проста, але в той же час дієва форма позакласної роботи, адже вона дозволяє досягти головної мети в період первісного розвитку математичних здібностей ¾ розвитку інтересу до математики, потреби займатися нею.
Таким чином, проблеми розвитку математичних здібностей у початковій школі на практиці приділяється зовсім мало часу, а перед деякими вчителями така проблема не стоїть взагалі. Тим більше важливою ми знаходимо свою роботу, це і надає їй актуальність, цим і пояснюється наша зацікавленість нею.
Більшість дітей люблять математику, їм подобається займатися нею, в цьому вони знаходять задоволення. Так само більшість зовсім не вважають цей предмет важким, а, навпаки, відносять його до числа найбільш легко даються. Це все говорить про те, що інтерес до математики у дітей в цьому віці достатньо високий, і вчителю важливо, щоб дитина не втратив його в процесі шкільного навчання, а перебільшив, щоб інтерес переріс у страсну захопленість, в потребу займатися математикою. А для плідних занять повинна бути створена плідна грунт, тобто дитина повинна володіти певним набором знань, умінь і навичок, а для цього і необхідно розвивати його математичні здібності.
Зміст і аналіз експериментальної роботи.
Дослідно-експериментальна робота була проведена в трьох других класах, що навчаються за системою "Школа 2100" в загальноосвітніх школах міста Ярославля № 20, № 42 і № 81.
2 «Г» класу школи № 81 ¾ експериментальний;
2 «Б» клас школи № 20 ¾ експериментальний;
2 «А» класу школи № 42 ¾ контрольний.
Всього в класах навчається: 2 «Г» ¾ 20 чоловік;
2 «Б» ¾ 24 людини;
2 «А» ¾ 34 людини.
Мета дослідження: виявити рівень розвитку математичних здібностей учнів, при навчанні яких застосовувалися різні форми позакласної роботи з математики.
Первинний констатуючий експеримент.
Для виявлення рівня математичних здібностей школярів була використана серія з 24 завдань, в основу якої покладена методика О.З. Зака. Дана методика була нами обрана не випадково. Відповідно до визначення математичних здібностей, ми виявляли прояви деяких їхніх компонентів у учнів. Усі завдання можна віднести до тієї групи завдань, для вирішення яких не потрібно ніяких спеціальних знань, але потрібно вміння логічно міркувати, проявляючи при цьому відому винахідливість. Так, група з перших чотирьох завдань дозволила визначити здатність до оборотності розумового процес ¾ здатність до перебудови спрямованості розумового процесу, до переходу з прямого на зворотний хід думки. При цьому завдання ускладнюються від 1 до 4. Завдання з 5 по 10 представляють собою систему завдань з поступовою трансформацією з конкретного в абстрактний план. Діти повинні помітити структурну спільність цих завдань з попередніми. Вони дозволяють визначити здатність вирішувати задачі в загальному вигляді, відволікаючись від конкретних даних, також дозволяють визначити здатність до оперування числовою і знаковою символікою. Ці ж мети (крім останньої) переслідує і наступна група завдань, завдання з 11 по 16. Крім того, при їх вирішенні діти повинні не піддатися безпосередньому враженню від їх умови, виділити в задачі лише відносини. Завдання 17 і 18 дозволяють визначити рівень розвитку рефлексії, здатність учнів контролювати свою роботу. Завдання з 19 по 22 визначають рівень розвитку дій в умі, здатність планувати хід та етапи свого міркування. Крім того, завдання цієї групи досить складні і заплутані, містять велику кількість даних, складні відносини. І, нарешті, завдання 23 та 24 з взаємопроникних елементами. В основу їх покладено думку Б. Журавльова про "математичному зорі" як здатності "бачити на кресленні не тільки те, що кидається в очі, але і все те, що на ньому взагалі є". Ці завдання спрямовані на дослідження деяких особливостей аналітико-синтетичного сприйняття геометричних фігур учнями, зокрема, вміння розглядати й оцінювати взаємопроникні елементи геометричних фігур з різних точок зору, виділяти елементи фігур і фігури з фону, включати один і той же елемент в різні фігури і відповідно давати йому різні інтерпретації.
Завдання з 1 по 22 були запропоновані для роботи у двох варіантах, їхні тексти видавалися кожному учневі, завдання 23 та 24 ¾ в одному варіанті, написані на дошці.
Тексти обох варіантів завдань:
Варіант 1
Світла веселіше, ніж Наташа. Наташа веселіше, ніж Олена. Хто веселіше всіх?
Діма сильніше, ніж Ліза. Ліза сильніше, ніж Віра. Хто слабший всіх?
Даша темніше, ніж Катя. Даша світліше, ніж Поліна. Хто темніше всіх?
Петя важче, ніж Мишко. Петя легше, ніж Саша. Хто легше всіх?
Гнат іаее, ніж Коля. Коля іаее, ніж Тарас. Хто іаее всіх?
Міла тпрк, ніж Олена. Олена тпрк, ніж Зоя. Хто тпрк всіх?
Дмкл веселіше, ніж Шбрд. Дмкл сумніше, ніж Нгрл. Хто сумніше всіх?
Квсм слабкіше, ніж Прмт. Квсм сильніше, ніж Лдзк. Хто слабший всіх?
Мстр уіее, ніж Вкмт. Вкмт уіее, ніж Длгт. Хто уіее всіх?
Фкст прст, ніж Млгд. Млгд прст, ніж Зпсм. Хто прст всіх?
Кішка легше, ніж метелик. Кішка важче, ніж крокодил. Хто легше всіх?
Кабан нижче, ніж тарган. Кабан вище, ніж олень. Хто вище всіх?
Іванов на 48 років молодше, ніж Петров. Іванов на 5 років старше, ніж Сидоров. Хто молодша за всіх?
Бєлкін на 7 кг легше, ніж Палкін. Бєлкін на 51 кг важче, ніж Мошкін. Хто важче за всіх?
Данило набагато слабкіше, ніж Алік. Данило трохи сильніше, ніж Гоша. Хто слабший всіх?
Маша трохи темніше, ніж Юля. Маша набагато світліше, ніж Тамара. Хто світліше всіх?
Женя повільніше, ніж Андрій. Валера швидше, ніж Женя. Хто швидше?
Юра важче, ніж Борис. Вітя легше, ніж Юра. Хто легше?
Кіра веселіше, ніж Катя, і легше, ніж Ліда. Кіра сумніше, ніж Ліда, і важче, ніж Катя. Хто найсумніший і найважчий?
Раїса темніше, ніж Люба, і молодше, ніж Наташа. Раїса світліше, ніж Наташа, і старше, ніж Люба. Хто самий темний і наймолодший?
Аня веселіше, ніж Олена. Олена легше, ніж Світу. Світла сильніше, ніж Аня. Аня важче, ніж Світу. Світла сумніше, ніж Олена. Олена слабкіше, ніж Аня. Хто самий веселий, самий легкий і найсильніший?
Тимур темніше, ніж Макар. Макар молодше, ніж Вітя. Вітя нижче, ніж Тимур. Тимур старше, ніж Вітя. Вітя світліше, ніж Макар. Макар вище, ніж Тимур. Хто самий світлий, хто старший за всіх і хто найвищий?
Варіант 2
Толя веселіше, ніж Катя. Катя веселіше, ніж Алік. Хто веселіше всіх?
Саша сильніше, ніж Віра. Віра сильніше, ніж Ліза. Хто слабший всіх?
Міша темніше, ніж Коля. Міша світліше, ніж Вова. Хто темніше всіх?
Віра важче, ніж Катя. Віра легше, ніж Оля. Хто легше всіх?
Катя іаее, ніж Ліза. Ліза іаее, ніж Олена. Хто іаее всіх?
Коля тпрк, ніж Діма. Діма тпрк, ніж Боря. Хто тпрк всіх?
Трсн веселіше, ніж Лдвк. Трсн сумніше, ніж Квшр. Хто сумніше всіх?
Вснч слабкіше, ніж Рптн. Вснч сильніше, ніж Гшдс. Хто слабший всіх?
Мпрн уіее, ніж Мврк. Мврк уіее, ніж Сптв. Хто уіее всіх?
Вшпп КЛМН, ніж Двтс. Двтс КЛМН, ніж Нпрл. Хто КЛМН всіх?
Собака легше, ніж жук. Собака важче, ніж слон. Хто легше всіх?
Кінь нижче, ніж муха. Кінь вище, ніж жираф. Хто вище всіх?
Попов на 68 років молодшою, ніж Бобров. Попов на 2 роки старший, ніж Семенов. Хто молодша за всіх?
Уткін на 3 кг легше, ніж Гусєв. Уткін на 74 кг важче, ніж Комаров. Хто важче за всіх?
Маша набагато слабкіше, ніж Ліза. Маша трохи сильніше, ніж Ніна. Хто слабший всіх?
Віра трохи темніше, ніж Люба. Віра набагато світліше, ніж Катя. Хто світліше всіх?
Петя повільніше, ніж Коля. Вова швидше, ніж Петя. Хто швидше?
Саша важче, ніж Мишко. Діма легше, ніж Саша. Хто легше?
Віра веселіше, ніж Катя, і легше, ніж Маша. Віра сумніше, ніж Маша, і важче, ніж Катя. Хто найсумніший і хто найважчий?
Рита темніше, ніж Ліза, і молодше, ніж Ніна. Рита світліше, ніж Ніна, і старше, ніж Ліза. Хто самий темний і хто наймолодший?
Юля веселіше, ніж Ася. Ася легше, ніж Соня. Соня сильніше, ніж Юля. Юля важче, ніж Соня. Соня сумніше, ніж Ася. Ася слабкіше, ніж Юля. Хто самий веселий, самий легкий і найсильніший?
Толя темніше, ніж Мишко. Міша молодше, ніж Вова. Вова нижче, ніж Толя. Толя старше, ніж Вова. Вова світліше, ніж Мишко. Миша вище, ніж Толя. Хто самий світлий, хто старший за всіх і хто найвищий?
На дошці
Перший констатуючий експеримент проводився на початку першої чверті навчального року.
Робота проводилася у 2 «Г» класі школи № 81 ¾ 26. 09.2002,
2 «Б» класі школи № 20 ¾ 30. 09. 2002,
2 «А» класі школи № 42 ¾ 9. 10. 2002
Робота проводилася на третьому уроці, час, відведений дітям на її виконання ¾ 45 хвилин. Було запропоновано 2 варіанти роботи. Перед виконанням завдання дітям була дана така інструкція:
"Діти, вам дані листи з умовою 22 завдань. Подивіться на них. Перші чотири завдання прості: для їх вирішення достатньо прочитати умова, подумати і написати у відповіді ім'я тільки однієї людини, того, хто, на вашу думку, буде найвеселіше, найсильніший з тих, про кого йдеться в задачі.
Тепер подивіться на завдання з 5 по 10. У них використані штучні слова, безглузді буквосполучення. Вони замінюють наші звичайні слова. У завданнях 5 і 6 безглузді буквосполучення, наприклад "іаее", позначають такі слова, як веселіше, швидше, темніше і тому подібні. У завданнях 7 і 8 штучні слова заміняють імена людей, а в задачах 9 і 10 вони замінюють всі. Коли ви будете вирішувати ці шість завдань, то можете про себе замість безглуздих слів підставляти зрозумілі, звичайні слова. Але у відповідях завдань з 7 по 10 потрібно писати безглузде слово, яке замінює ім'я.
Далі йдуть завдання 11 та 12. Ці завдання "казкові", тому що в них про відомих усім нам звірів розповідається щось дивне, незвичайне. Ці завдання потрібно вирішувати, користуючись тільки тими відомостями про тварин, які є в задачі.
У завданнях 13-16 у відповіді потрібно писати тільки одне ім'я, а завданнях 17 і 18 ¾ хто як вважає правильним: або одне ім'я, або два. У завданнях 19 і20 обов'язково писати у відповіді два імені, а в останніх двох завданнях ¾ три, навіть якщо одна з них буде повторюватися ".
Дітям так само дається установка на те, що завдання не такі складні, якими здаються на перший погляд, що оцінка нікому ставитися не буде, та й підписувати листочок не треба, тому ніхто не дізнається, як вони впоралися із завданням. Не треба боятися помилитися, ніхто не покарає за неправильну відповідь. Після того, як діти справлялися із завданнями 1-22, їм пропонувалося поглянути на дошку. Ті, хто не встиг виконати попереднє завдання, пропускали його, щоб закінчити пізніше, і приєднувалися до більшості. Дітям давалася така інструкція: "Подивіться на дошку і напишіть на листочках після всіх завдань, скільки ви бачите квадратів на дошці. Відступіть клітку вниз і напишіть, скільки на дошці намальовано трикутників. У вас має бути записано тільки два числа ".
Перший експериментальний клас (2 «Г» школи № 81) впорався із завданням за 45 хвилин, другий експериментальний клас (2 «Б» школи № 20) ¾ за 35 хвилин, контрольний клас ¾ за 45 хвилин.
Результати проведеної роботи відображені в таблицях 1-3.
Таблиця 1.
Результати виконання роботи учнями першого експериментального класу.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	+	+	-	-	-	-	+	-	+	+	-У	-	+	-	-	-	-	-	-	-
2	+	+	-	+	+	Про	-	-З	-	-	+	-	-	-	-	-	-	-	+	Про
3	+	+	-	-	+	+	-З	+	-З	-	+	+	-	-	+	+	-	-	-	-
4	+	-	-	+	-	-	-З	-З	-З	-З	-	+	-	-	+	-	-	-	Про	-
5	+	-	-	-	+	+	-	-	+	+	-	+	-	-	-	-	-	-	-	+
6	+	-	-	+	+	+	-З	-З	-З	-З	+	+	-	-	-	+	-	-	-	-
7	+	+	Про	+	+	+	-З	-З	-З	-З	-У	-У	+	-	+	-	-	-	-
8	+	+	-	+	+	-	-З	-З	-З	-З	-У	-	-	-	+	-	-	-	-	-
9	+	+	-	-	+	-	-	+	+	-	-У	-	-	+	-	-	-	-	-	-
10	+ +	+	-	-	-	+	-З	-З	-З	-З	-	-	-	-	-	-	-	-	-	Про
11	++++++++	-	-	-	+	+	-	-	+	-	-У	-У	-	-	-	-	-	-	-	-
12	+	+	-	-	-	-	-З	-	-	-	-	-	+	-	+	-	-	-	-	-
13	+	-	-	-	+	+	-З	-З	-З	-	+	-У	-	-	-	-	-	-	-	-
14	+	+	-	+	+	Про	-З	-З	-	-	+	-	-	+	-	+	-	-	-	-
15	+	+	-	-	+	+	-З	-	+	+	-У	-У	-	-	-	-	-	-	-	Про
16	+	-	-	-	+	-	-З	-З	-З	-З	-	-	-	-	-	-	-	-	-	Про
17	+	+	-	-	+	+	-	-	+	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
18	+	-	-	-	+	+	-	-	+	+	-	-	+	-	-	+	-	-	-	-
19	+	+	-	-	+	+	-З	-З	-З	-З	-У	-	-	-	-	-	-	-	-	-
20	+	-	+	+	+	+	-З	-З	-З	Про	Про	Про	Про	Про	Про	Про	Про	Про	Про	Про

Таблиця 2.
Результати виконання роботи учнями другого експериментального класу.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
1	+	-	-	-	-	+	-З	-З	-З	-З	-У	-	-	-	-	+	-	-	-	-	+	-	+
2	-	-	-	-	Про	-	Про	-	-	-	-	-	-	+	-	-	-	-	Про	-	-	-	+
3	-	+	-	-	Про	-	+	-	Про	+	-У	-	-	-	-	-	-	Про	Про	Про	Про	Про	+
4	+	-	-	+	-	-	-	+	-	+	-У	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+
5	-	-	-	-	-	-	-З	-З	-З	-З	-У	-У	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+
6	-	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-У	+	-	-	-	+	-	-	Про	Про	Про	Про	+
7	+	+	-	-	+	+	-	-	+	+	-У	-У	+	-	+	-	-	-	-	-	+	-	+
8	+	-	-	-	+	+	-З	-З	-З	-З	-У	-У	+	-	+	+	-	+	Про	Про	Про	-	+
9	-	+	-	-	-	-	-З	-З	-З	-З	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+	+	+
10	+	+	-	+	+	-	-З	-З	Про	Про	-У	-	+	+	+	-	-	-	-	-	-	-	+
11	+	+	+	-	+	+	-З	-З	-З	-З	-У	-У	-	-	+	+	-	-	-	-	+	-	+
12	-	-	Про	-	Про	Про	Про	-	Про	Про	-У	-	Про	+	-	+	-	-	-	-	-	-	+
13	-	+	-	-	-	-	-	-	+	Про	-У	-У	-	-	-	-	-	-	-	-	Про	Про	+
14	+	+	-	-	+	+	-З	-З	-З	-З	-У	-	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+
15	+	+	-	-	+	+	-З	-З	-З	-З	+	+	+	+	+	+	-	-	-	-	-	-	+
16	+	+	-	+	+	+	-	Про	Про	Про	-У	-У	+	-	Про	-	Про	Про	Про	Про	Про	Про	+
17	+	-	-	-	+	+	-З	-З	-З	-З	-У	-У	-	-	-	-	-	-	-	Про	Про	Про	+
18	+	+	-	+	+	+	-	+	+	+	+	-	+	-	-	+	-	-	-	-	+	-	+
19	+	+	Про	Про	+	+	Про	-	+	+	-	-У	Про	-	Про	Про	-	-	Про	Про	Про	Про	+
20	+	-	-	-	+	+	-З	-З	-З	-З	-У	-У	+	-	-	+	-	-	-	-	-	-	+
21	+	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-У	-У	-	-	-	-	-	Про	Про	Про	Про	Про	+
22	+	+	+	-	+	+	+	-	+	+	-У	-У	+	+	+	+	-	-	Про	Про	Про	Про	+
23	+	+	-	-	+	+	-	-	+	+	-У	-У	+	-	+	+	-	-	-	Про	Про	Про	+

Таблиця 3.
Результати виконання роботи учнями контрольного класу.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
1	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	Про
2	+	+	+	+	+	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	-	+	-	-	-	-	+
3	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	Про
4	+	+	+	+	+	-	-	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	Про	Про	Про	Про
5	+	+	+	-	+	+	-	-	+	-	+	+	+	-	Про	+	Про	Про	Про	Про	+	+
6	+	+	+	-	+	+	-З	Про	-З	-З	-У	+	+	Про	-	+	Про	Про	Про	Про	-	Про
7	+	+	-	-	+	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	+	+	-	Про	Про	Про	Про
8	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	-У	-	-	-	+	-	-	-	-	Про	-	-
9	+	+	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	-	+	-	+	-	-	-	+	-	+
10	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	-У	-	-	-	+	-	-	-	-	Про	-	-
11	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+	-	-	-	+
12	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	-	-	-	-	-	+	+
13	+	+	-	-	-	+	-	-	+	-	-У	-	-	-	-	-	-	-	-	-	Про	Про
14	+	+	+	-	+	+	-	-	+	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	-	+	+
15	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	-	-	-	-	-	Про	Про
16	-	+	-	+	-	+	-	-	-	-	-У	-	+	+	-	+	-	-	-	-	-	-
17	+	+	-	-	-	-	-	-	Про	-	-У	-	-	-	-	-	-	-	-	-	Про	Про
18	-	+	-	+	-	+	-	-	-	-	-У	-	+	+	-	+	+	-	-	+	Про	-
19	-	-	-	-	+	-	-З	-З	-З	-З	-У	-У	-	-	-	-	-	-	-	-	+	-
20	+	+	+	+	+	+	-З	-З	-З	-З	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	-
21	+	+	+	+	+	-	-	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
22	+	+	+	-	+	+	-	+	-	+	+	-	-	-	+	-	-	-	+	-	Про	Про
23	-	+	+	+	+	+	-С	-С	-С	-С	-У	-	+	+	-	-	-	-	+	-	Про	Про
24	-	+	+	+	+	+	-С	-С	-С	-С	-У	-	+	+	-	-	-	-	-	-	Про	-
25	+	+	-	+	+	+	-	-	+	+	+	-	+	-	+	+	+	-	+	-	-	-
26	+	+	-	+	+	+	Про	-	+	+	+	-	+	-	+	+	+	-	+	-	-	-
27	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	Про	+	+	+
28	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	+	-	-	-	-	-	-	+
29	-	+	+	+	-	-	-	-	-	-	+	+	-	+	+	-	-	-	-	-	-	+
30	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
31	+	+	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	-	+	-	-	+	-	-	-	+	-
32	-	-	+	+	+	+	+	-	-	+	+	-	-	-	+	-	+	+	-	-	-	-
33	Про	+	+	Про	-	+	-	+	+	+	-У	-	+	-	+	+	-	-	Про	-	Про	-
34	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	+	-	-	-	-	-	-	+

У даних таблицях використані такі умовні позначення:
«+» ¾ учень впорався із завданням,
«-» ¾ не впорався із завданням,
«-С» ¾ у відповіді вказав власне підставлене ім'я,
«-У» ¾ дитина вирішила задачу, керуючись життєвим досвідом, а не відносинами, заданими в умові самого завдання,
«О» ¾ учень відмовився від виконання завдання.
З таблиці видно, що помилок і недоліків у роботі допущено багато. При цьому обидва експериментальних класу показали однаково середні результати, контрольний клас впорався із завданням набагато краще. Якщо врахувати, що всі три класи навчаються по одній системі навчання і експеримент проводився приблизно в один і той же час, то однією з можливих причин такого явних відмінностей в результатах, за нашими припущеннями, міг з'явитися педагогічний стаж роботи вчителів. У перших двох випадках вчителі працюють у школі лише другий рік, в останньому ¾ 21 рік.
У всіх роботах можна виділити основні помилки, допущені у другій групі завдань, у четвертій і в п'ятій групах. Це помилки в завданнях, пов'язаних із здатністю мислити абстрактно і з умінням аналізувати умову задачі, з наявністю навичок самоконтролю і з рівнем розвитку дій в умі. Причини цього ми бачимо в наступному:
¾ у дітей в цьому віці погано розвинене вміння аналізувати умова, вони не змогли виділити структурну спільність цих завдань з попередніми. Не всі можуть вирішувати задачі в загальному вигляді, дітям у цьому віці важко відірватися від конкретних даних. Про це говорить і той факт, що багато у відповідях до завдань 7-10 написали придумані ними самими імена, особливо великий відсоток таких дітей в експериментальних класах (близько 50%);
¾ недостатньо розвинена рефлексія, діти не перевіряють себе, погано аналізують умову задачі, не розвинені навички самоперевірки;
¾ діти боятися завдань з довгими і заплутаними умовами, з кількома запитаннями. За зовнішньою заплутаністю завдання не змогли розгледіти простоту рішення, тому більшість просто відмовилося від вирішення. Є й такі, хто взявся вирішувати завдання, знайшов один з відповідей правильно, а потім заплутався і вирішив завдання на половину (таких у першому експериментальному класі 40%, в контрольному ¾ близько 25%) або третина (таких учнів великий відсоток у всіх трьох класах , достатньо вказати, що не впоралися взагалі із завданнями 21 та 22 ¾ 13%, 26% і 26% у класах відповідно).
В обох експериментальних класах багато помилок допущено при виконанні 3 і 4 завдань. Це говорить те, що дитина може діяти в умі в мінімальному ступені, відношення об'єктів на зворотні він може замінити лише наприкінці міркування (що було потрібно в задачі 2). Діти пішли на поводу зовнішньої схожості формулювань цих завдань з попередніми.
Так само типовими для учнів експериментальних класів стали помилки в завданнях 11 і 12. Причина тому ¾ діти діють на основі безпосередніх вражень від умови задачі, основними для них в задачі є факти, а не відносини. Багато помилок допущено і при вирішенні завдань 14 і 15. Тут причини ті ж, до того ж дітей заплутали числові дані, які в задачі не були основними.
В останніх двох завданнях геометричного характеру великі складнощі виникли в учнів першого експериментального класу, лише малий відсоток учнів впорався з ними, тоді як в інших класах таких труднощів не виникло. Можливо, причина цього в тому, що вчителі останніх класів проводять подібні вправи зі своїми учнями, дітям вони не нові.
Для більшої наочності результати роботи представимо у вигляді графіків.

Графік 1.

Графік 2.

Графік 3.
Опис формуючого експерименту.
Протягом навчального року в обох контрольних класах нами проводилася позакласна робота з математики, метою якої став розвиток математичних здібностей учнів.
Для першого експериментального класу нами була розроблена система позакласних занять, які передбачають гурткову роботу, в якій ми спробували дотримати всі необхідні умови для розвитку здібностей. По-перше, ми намагалися, щоб діяльність викликала у дітей сильні і стійкі позитивні емоції. Для цього по можливості створювали для дітей ситуації успіху, пред'являючи для роботи спочатку більш простий матеріал, з яким все легко справлялися, і, переконуючи дітей у їх можливостях, переходили до все більш важкого. Крім того, на своїх заняттях ми намагалися розвивати інтерес до самої математики за допомогою історичних екскурсів. На заняттях широко застосовувалися змагання, математичні ігри, різний цікавий матеріал. Все це, на нашу думку, і повинно було викликати позитивні емоції, які є необхідною умовою розвитку здібностей.
По-друге, ми прагнули до того, щоб діяльність дітей на заняттях була по можливості творчої. І тут ми розглядали не тільки безпосередньо математичне творчість, яке виявлялося в знаходженні нестандартних рішень, в пошуку закономірностей, але й творчість в цілому. Для занять діти готували доповіді та короткі повідомлення, складали математичні казки, завдання, розігрували сценки математичні і завдання, створювали з геометричних фігур.
По-третє, намагалися організувати діяльність дитини так, щоб він переслідував мети, трохи перевершують його готівку можливості. Тут, безумовно, повинна вестися мова про індивідуальний підхід до кожного учня, чого, на жаль, у своїй роботі нам досягти не вдалося. Причина того в тому, що приходить на одну годину на тиждень педагог ніяк не зможе, нехай навіть за півроку, вивчити можливості кожного зі своїх учнів. Однак для практикуючих учителів цієї проблеми не виникне, і в цьому випадку ми можемо рекомендувати індивідуальні картки, групову роботу, роботу в парах, домашні завдання та доручення (хоча позакласна робота і не передбачає завдань додому). Крім того, допоможуть у здійсненні індивідуального підходу математичні заліки, де групи завдань складені індивідуально для кожного учня (докладніше про це у розділі 2 даної роботи). Проте свої заняття ми намагалися побудувати так, щоб діти дізнавалися щось нове і поки ще важко доступне, але в дещо спрощеною, зрозумілій формі. До того ж цей матеріал намагалися викласти в такій формі, щоб дітям захотілося більше дізнатися про це і розповісти іншим про те, що він знає і вміє. Прикладом такої роботи може служити таблиця множення на 9 на пальцях, результат якої легко перевірити за останній сторінці зошита, знайомство з системами числення і записом чисел у двійковій системою числення допомогою одягання в чобітки тварин, знайомство з математичними фокусами.
Заняття замислювалися як подорожі по дивовижній країні Математики. На кожному занятті ми відвідували одне з міст цієї країни і дізнавалися щось нове про неї. При цьому на кожному занятті, крім обов'язкового розповіді вчителя з історії математики або знайомства з невідомими математичними поняттями, проводилися наступні вправи: гра «Увага» і гра «Робот». На початку заняття учні підбирали ключ до міських воріт і замальовували його в зошиті (гра «Увага»), а потім замальовували екскурсовода, який допоможе не заблукати в математичному місті, він же є наскрізним персонажем всього заняття, пропонує завдання, ігри, конкурси. Мета першої гри в тому, щоб активізувати увагу учнів, налаштувати їх на робочий лад. Друга гра закріплює навички орієнтації в просторі, розвиває алгоритмічне мислення і уява.
Примірне планування позакласних занять з математики.
Заняття 1.
Гра «Увага»
Гра «Робот»
Як люди навчилися рахувати (вчитель)
Живий абак
Як люди навчилися записувати числа (вчитель)
Знайомство з магічним квадратом (діти)
Сценка про трикутник і квадраті (діти)
Заняття 2.
3. Як і коли з'явилися арифметичні дії (вчитель)
Математична естафета
З історії нуля (діти)
Твір кінця математичної казки про нулі
Твір власної математичної казки (будинку)
Заняття 3.
3. Математичний брейн-ринг
Заняття 4.
Системи числення (вчитель)
Запис чисел у двійковій системі числення
Знайомство з танграмом (діти)
Змагання пар «Хто швидше складе фігуру»
Заняття 5.
3. Що таке негативні числа (вчитель)
4. Рішення логічних задач
5. Робота в мікрогрупах «Придумай завдання»
6. Математичні фокуси
Заняття 6.
3. Математичне багатоборстві
Заняття 7.
3. Як виникла геометрія (вчитель)
4. Малюнки з геометричних фігур
5. Змагання «Кращий геометр»
Заняття 8.
3. Числові забобони (вчитель + діти)
4. Рішення цікавих завдань казкового характеру
5. Математичні фокуси
Заняття 9. 3. Знайомство з ребусами (діти)
4. Ігрова робота в парах
5. Підсумки роботи гуртка
Заняття 10.
Математичний чай
Опис занять наведено у додатку.
Заняття проводилися з жовтня по травень один раз на два тижні по четвергах четвертим (останнім) уроком. При проведенні занять ми не дотримали одне з основних правил проведення позакласних занять з математики. Заняття в нашому математичному клубі виявилися максимально наближеними в груповим занять після уроків за принципом залучення гуртківців. Заняття проводилися не за принципом добровільності, а в обов'язковому порядку для всіх учнів. Це пов'язано в першу чергу з тим, що діти в молодшому шкільному віці ще не можуть вибрати для себе пріоритети, їх інтереси їх нестійкі. Тому в цьому віці ми вважаємо за доцільне проводити обов'язкові заняття для всіх учнів. Однак на занятті сам учень вибирав, брати участь йому в роботі чи ні, не було ніякого примусу з боку вчителя.
Так як заняття проводилися в общеурочное час, то записи велися у звичайному зошиті з математики, ніяк не виділяючись з інших робіт. Зараз в цьому ми бачимо великий недолік: діти не можуть наочно бачити результати своєї роботи, їм важко підвести підсумки. Та й викладачеві також необхідний звітний матеріал про проведені заняттях: він допоможе чіткіше спланувати подальшу роботу, намітити шляхи індивідуальної роботи з деякими учнями. З усього вищесказаного можна зробити висновок, що для позакласних занять з математики в учня повинна бути заведена окрема зошит. Добре, якщо діти будуть займатися в ній і самостійно вдома: виписувати цікаві завдання, вирішувати їх, прикрашати зошит малюнками з геометричних фігур та інше. Вчителю ж в кінці навчального року (в кінці роботи гуртка) можна організувати виставку зошитів, влаштувати конкурс на кращу зошит.
Крім цього, беручи до уваги результати проведеної нами анкети для практикуючих вчителів та усних розмов із деякими з них, ми вирішили в другому експериментальному класі провести такий вид позакласної роботи як випуск стінної математичної газети. Причини вибору нами саме такої форми позакласної роботи вказані в попередньому параграфі даної роботи. Перед нами стояла мета не лише провести дану позакласну роботу і перевірити її ефективність з точки зору розвитку математичних здібностей школярів, але і розробити методику проведення подібного роду роботи. Необхідність цього ми бачимо у зв'язку з недоліком подібних рекомендацій у навчально-методичній літературі, про що теж говорилося вище.
Отже, враховуючи чуйність дітей молодшого шкільного віку і бажання брати участь у всіх і відразу, ми запропонували дітям працювати над випусками математичних газет не всім класом, а по рядах. Перевага цього ми бачимо в наступному:
¾ кожен бажаючий дитина може долучитися до роботи над яким-небудь з випусків;
¾ при роботі над випуском невеликої кількості людей, кожен може яким-небудь чином проявити себе, роботи вистачить на всіх;
випуск газети по рядах вносить і змагальний мотив, що посилює прагнення кожного виконати свою роботу якнайкраще.
Крім того, випуск стінної математичної газети ¾ це і змагання всіх учнів
класу, адже за підсумками роботи ми виявляли не тільки кращу редакційну групу, але і "Кращого математика". Перша ¾ вибиралася методом незалежної експертизи в особі батьків учнів класу, а кращого математика вдалося виявити за допомогою таблиці "Математичні гонки", в якій відбивається активність кожного учня у випусках газети і у вирішенні запропонованих завдань. У нашому випадку окуляри розподілялися наступним чином: за участь у випуску газети ¾ 3 бали за кожний підготовлений матеріал, за правильне рішення завдання ¾ 3 бали, за участь (неправильно вирішена завдання) ¾ 1 бал. Така таблиця може носити будь-яке з запропонованих учнями, що сподобалося більшості і вивішується в класі на видному місці. Краще, якщо таблиця буде барвисто оформленої і дійсно буде відображати результати роботи, в нашому випадку поруч з прізвищами трьох лідируючих на даний час учнів прикріплялися значки різного кольору (червоний ¾ найкращий результат, зелений і жовтий). Однак тут, після проведеної роботи, було б доречніше, на наш погляд, заповнювати таблицю не набраними балами, а, з так званим, просуванням. Це, на нашу думку, має виглядати приблизно так:
Ця таблиця результатів здається нам більш зручною, тому що в ній наочно видно результати роботи учнів, явно виділяються лідери, дітям не доведеться довго вираховувати кількість набраних балів, адже один бал дорівнює одній зафарбованої осередку.
Робота безпосередньо над випуском самої математичної газети будувалася нами наступним чином. На випуск номера хлопцям відводилося 3 тижні. За цей час діти повинні придумати назву своїй газеті, що з учителем розподілити обов'язки між усіма учасниками групи, при цьому повинні враховуватися як можливості учня, так і його побажання. Після цього учні готують матеріали будинку або після уроків, маючи можливість проконсультуватися з учителем. Можливі завдання при підготовці до випуску математичної газети:
¾ знайди цікаві математичні задачі, нехай тобі допоможуть батьки;
¾ склади завдання, схожу на цю;
¾ вибери з цих завдань саму, на твій погляд, цікаву;
¾ придумай завдання із малюнка;
¾ намалюй малюнок до задачі;
¾ сховай цифру (малюнки, в основі яких різні цифри);
¾ придумай, як незвично прикрасити газету.
Коли хлопці готують весь матеріал, призначається день збору редакційної колегії. У цей час всі учні ряду приносять свої напрацювання, вчитель видає їм ватман, клей, ножиці та інші приналежності. Спільно з учителем і під його керівництвом діти оформляють газету. Коли газета готова, всі завдання в ній нумеруються. Газета вивішується на початку навчального тижня і на першому уроці в цей день учні, які брали участь в роботі над газетою, повинні її "прорекламувати". У цьому учні вільні: вони можуть придумувати девіз своєї газети, оголошувати додаткові конкурси, розповісти про завдання, запропонованих у номері, скласти вірші про свою газеті, тобто вони повинні привернути увагу до газети інших учнів класу. Так проходить презентація газети, на якій оголошується, кому з хлопців треба здавати відповіді до завдань. Потім всі відповіді аналізуються разом з учителем і в кінці тижня проставляються в таблиці бали.
Бали так само проставляються і в кінці наступних тижнів, поки не вийде новий випуск газети. Лідери визначаються після кожного виставлення балів.
У кінці навчального року, як уже зазначалося вище, визначається краща редакційна колегія, тобто ряд-переможець, і найкращий математик, який отримує приз. В ідеалі їм могла б стати книга з цікавими завданнями з математики.
Вторинний констатуючий експеримент.
У кінці навчального року, після проведеної роботи з розвитку математичних здібностей у двох експериментальних класах, нами був проведений повторний констатуючий експеримент.
Мета: визначення ефективності формуючого експерименту.
Учням була запропонована та ж робота, що і на початку року, тільки завдання 23, 24 мали інший вигляд.

Висновки та рекомендації
Таким чином, проведений нами експеримент дозволив зробити наступний висновок: проведена нами протягом року робота з розвитку математичних здібностей за допомогою проведення різних форм позакласної роботи з математики в початковій школі справила позитивний вплив на розвиток математичних здібностей школярів. Причому цьому розвитку більшою мірою сприяло проведення системи позакласних занять з математики, ніж випуск стінних математичних газет.
Наша робота довела, що позакласна робота з математики є сильнодіючим педагогічним засобом, що дозволяє значно поліпшити рівень математичного мислення учнів і розвивають їх математичні здібності. Тому вчителям необхідно цілеспрямовано і систематично проводити роботу подібного роду, для чого можна використовувати і наші розробки.

Висновок
У нашій дипломній роботі хотілося б ще раз підкреслити наступні факти: Проблема розвитку математичних здібностей школярів найбільш гостро постає саме в період початкового навчання. Тому розвиток математичних здібностей учнів повинно здійснюватися не тільки в процесі шкільного навчання, а й поза ним.
Основним засобом розвитку математичних здібностей школярів має стати позакласна робота з математики, з різноманіття форм якої кожен вчитель зможе вибрати ті, що найбільше підходять для його класу.
Як показав проведене нами експеримент, практикуючі вчителі в більшості не проводять позакласну роботу з математики зі своїми учнями, за винятком внесення елементів цікавості в сам урок. Майбутні ж учителі непогано засвоїли, що саме слід розуміти під математичними здібностями учнів, проте не до кінця усвідомили необхідність проведення цілеспрямованої і систематичної позакласної роботи. Учні ж початкових класів люблять цей предмет, більшості він дається без особливих труднощів.
Основними результатами роботи були:
Теоретично та експериментально обгрунтовано значення позакласної роботи з математики для розвитку математичних здібностей школярів.
Розроблено загальні та приватні положення, що визначають побудову деяких форм позакласної роботи з математики в початковій школі.
Розроблено комплекс навчально-методичних матеріалів для проведення різних форм позакласної роботи з математики з метою розвитку математичних здібностей учнів.
Матеріал роботи може бути корисним студентам педагогічних факультетів, вчителям початкової школи і методистам-предметникам.

Додаток
Примірне планування позакласних занять з математики
Заняття 1.
Гра «Увага»
Гра «Робот»
Як люди навчилися рахувати (вчитель)
Живий абак
Як люди навчилися записувати числа (вчитель)
Знайомство з магічним квадратом (діти)
Сценка про трикутник і квадраті (діти)
Заняття 2.
3. Як і коли з'явилися арифметичні дії (вчитель)
Математична естафета
З історії нуля (діти)
Твір кінця математичної казки про нулі
Твір власної математичної казки (будинку)
Заняття 3.
3. Математичний брейн-ринг
Заняття 4.
Системи числення (вчитель)
Запис чисел у двійковій системі числення
Знайомство з танграмом (діти)
Змагання пар «Хто швидше складе фігуру»
Заняття 5.
3. Що таке негативні числа (вчитель)
4. Рішення логічних задач
5. Робота в мікрогрупах «Придумай завдання»
6. Математичні фокуси
Заняття 6.
3. Математичне багатоборстві
Заняття 7.
3. Як виникла геометрія (вчитель)
4. Малюнки з геометричних фігур
5. Змагання «Кращий геометр»
Заняття 8.
3. Числові забобони (вчитель + діти)
4. Рішення цікавих завдань казкового характеру
5. Математичні фокуси
Заняття 9.
3. Знайомство з ребусами (діти)
4. Ігрова робота в парах
5. Підсумки роботи гуртка
Заняття 10.
Математичний чай

Говорячи про здібності взагалі, слід вказати, що здібності бувають різного рівня ¾ навчальні та творчі. Навчальні здібності пов'язані з засвоєнням вже відомих способів виконання діяльності, набуттям знань, умінь і навичок. Творчі здібності пов'язані зі створенням нового, оригінального продукту, з перебуванням нових способів виконання діяльності. З цієї точки зору розрізняють, наприклад, здібності до засвоєння, вивчення математики і творчі математичні здібності. Але, як писав Ж. Адамара, "між роботою учня, вирішального завдання ..., і творчою роботою різниця лише в рівні, так як обидві роботи аналогічного характеру" (2, с. 27).
Але перш ніж перейти до питання про математичні здібності та їхній структурі, важливо зазначити, що в психології розрізняють загальні розумові здібності і спеціальні здібності. Загальні розумові здібності ¾ це здібності, які необхідні для виконання ні якоїсь однієї, а багатьох видів діяльності. До загальних розумовим здібностям відносять, наприклад, такі якості розуму, як розумова активність, критичність, систематичність, зосереджена увага. Людина від природи наділена загальними здібностями. Будь-яка діяльність освоюється на фундаменті загальних здібностей, які розвиваються у цій діяльності. Як зазначає В.Д. Шадриков, "спеціальні здібності є загальні здібності, що придбали риси оперативності під впливом вимог діяльності" (102, с.239). Спеціальні здібності ¾ це здібності, які необхідні для успішного оволодіння якої-небудь однієї певною діяльністю. Ці здібності також являють собою єдність окремих приватних здібностей. Наприклад, у складі математичних здібностей велику роль грає математична пам'ять, здатність до логічного мислення в області кількісних і просторових відносин; швидке і широке узагальнення математичного матеріалу; легке і вільне перемикання від однієї розумової операції до іншої; прагнення до ясності, економічності, раціональності міркувань і так далі. Всі приватні здібності об'єднуються стрижневою здатністю ¾ математичної спрямованістю розуму (під якою розуміють тенденцію виокремлювати при сприйнятті просторові і кількісні відношення, функціональні залежності), пов'язаної з потребою в математичній діяльності.
1.2 Математичні здібності та їх структура
Так у чому ж полягають математичні здібності? Або вони є ні що інше, як якісна спеціалізація загальних психічних процесів і властивостей особистості, тобто загальні інтелектуальні здібності, розвинені стосовно до математичної діяльності? Чи є математична здатність унітарною чи інтегральним властивістю? В останньому випадку можна говорити про структуру математичних здібностей, про компоненти цього складного утворення. Відповіді на ці питання шукали психологи і педагоги ще початку століття, але до цих пір немає єдиного погляду на проблему математичних здібностей. Спробуємо розібратися в цих питаннях, проаналізувавши роботи деяких провідних фахівців, які працювали над цією проблемою.
Намагаючись розібратися в психології математичного мислення, Д. Мордухай-Болтовська виділяє в ньому два процеси: постановку проблеми та її рішення, і вказує властивості розуму, необхідні для успішного здійснення цих процесів. Для успішної постановки проблеми головним необхідною умовою він вважає творчу уяву: "При самому виборі проблеми іноді необхідно робити гіпотезу, необхідна не точна ланцюг силогізмів, а уява" (65, с.495). Другою складовою називає пам'ять на схеми міркувань і несвідомі розумові процеси. "Мислення математика ... глибоко впроваджується в несвідому сферу, то спливаючи на її поверхню, то занурюючись у глибину" (65, с.496). Так само Д. Мордухай-Болтовська виділяє дотепність, як одне з характерних властивостей математичної здібності ¾ "здатність обіймати розумом одночасно два абсолютно різнорідних предмета" (65, с.496) (тобто дотепність ¾ це здатність поєднувати в одному судженні поняття з двох малосвязанних областей) ¾ і, нарешті, швидкість математичного мислення. При цьому він особливо відзначає, що при аналізі математичної здатності слід різко відрізняти схильність до відомого роду занять від здібностей (65, 66).
А. Пуанкаре прийшов до висновку, що найважливіше місце в математичних здібностях займає вміння логічно вибудувати ланцюг операцій, які приведуть до вирішення завдання. Крім того, для математика недостатньо мати хорошу пам'ять та увагу. На думку Пуанкаре, людей, здатних до математики, відрізняє вміння вловити порядок, в якому повинні бути розташовані елементи, необхідні для математичного докази. Наявність інтуїції такого роду ¾ є основний елемент математичного творчості (74).
Л.А. Венгер відносить до математичних здібностям такі особливості розумової діяльності, як узагальнення математичних об'єктів, відносин і дій, тобто здатність бачити загальне в різних конкретних виразах і завданнях; здатність мислити "згорнутими", великими одиницями і "ощадливо", без зайвої деталізації; здатність перемикання з прямого на зворотний хід думки (13).
Б.А. Кордемский не говорить про математичні здібності, а виділяє елементи математичного мислення. До них він відносить ініціативність (бажання самому осягнути проблему, прагнення до самостійного пошуку способів і засобів вирішення завдання), гнучкість і критичність розуму (вигадування та застосування нешаблонних, оригінальних, дотепних прийомів вирішення завдань і методів міркувань з постійною перевіркою їх правильності, строгості і практичної цінності) (42, 43). Крім цього, він виділяє і такий елемент, як вольові зусилля, під якими розуміє "завзятість і наполегливість, які проявляються в подоланні труднощів, що виникають у процесі оволодіння математичними методами при вирішенні завдань" (42, с.34).
Для того щоб зрозуміти, які ще якості потрібні для досягнення успіхів у математиці, дослідниками аналізувалася математична діяльність: процес вирішення завдань, способи доказів, логічних міркувань, особливості математичної пам'яті. Цей аналіз привів до створення різних варіантів структур математичних здібностей, складних за своїм компонентного складу. При цьому думки більшості дослідників сходилися в одному: що ні, і не може бути єдиною яскраво вираженою математичної здібності ¾ це сукупна характеристика, у якій відображаються особливості різних психічних процесів: сприйняття, мислення, пам'яті, уяви.
Серед найбільш важливих компонентів математичних здібностей виділяються специфічна здатність до узагальнення математичного матеріалу, здатність до просторових уявлень, здатність до відверненого мислення. Деякі дослідники виділяють також як самостійного компонента математичну пам'ять на схеми міркувань і доказів, методи вирішення задач і способи підходу до них. Одним з них є В.А. Крутецкий. Він так визначає математичні здібності: "Під здібностями до вивчення математики ми розуміємо індивідуально-психологічні особливості (перш за все особливості розумової діяльності), що відповідають вимогам навчальної математичної діяльності і обумовлюють на інших рівних умовах успішність творчого оволодіння математикою як навчальним предметом, зокрема відносно швидке, легке і глибоке оволодіння знаннями, вміннями і навичками в області математики "948, с.41). У своїй роботі ми, головним чином, будемо спиратися на дослідження саме цього психолога, так як його дослідження цієї проблеми і на сьогоднішній день є найбільш глобальними, а висновки найбільш експериментально обгрунтованими. Отже, В.А. Крутецкий розрізняє дев'ять здібностей (компонентів математичних здібностей):
Здатність до формалізації математичного матеріалу, до відділення форми від змісту, абстрагування від конкретних кількісних відносин і просторових форм і оперування формальними структурами, структурами відносин і зв'язків;
Здатність узагальнювати математичний матеріал, виділяти головне, відволікаючись від несуттєвого, бачити загальне в зовні різному;
Здатність до оперування числовою і знаковою символікою;
Здатність до "послідовному, правильно расчлененному логічного міркування", пов'язаному з потребою в доказах, обгрунтуванні, висновках;
Здатність скорочувати процес міркування, мислити згорнутими структурами;
Здатність до оборотності розумового процесу (до переходу з прямого на зворотний хід думки);
Гнучкість мислення, здатність до перемикання від однієї розумової операції до іншої, свобода від сковуючого впливу шаблонів і трафаретів;
Математична пам'ять. Можна припустити, що її характерні особливості також випливають з особливостей математичної науки, що це пам'ять на узагальнення, формалізовані структури, логічні схеми;
Здатність до просторових уявлень, яка прямим чином пов'язана з наявністю такої галузі математики, як геометрія.
Більшість психологів і педагогів, кажучи про математичні здібності, спираються саме на цю структуру математичних здібностей В.А. Крутецкого. Проте в процесі різних досліджень математичної діяльності учнів, які виявляють здібності до цього шкільного предмету, деякими психологами були виділені і інші компоненти математичних здібностей. Зокрема, нас зацікавили результати дослідницької роботи З.П. Горельченко (20). Він зазначив у здатних до математики учнів такі особливості. По-перше, він уточнив і розширив компонент структури математичних здібностей, званий в сучасній психологічній літературі "узагальнення математичних понять" і висловив думку про єдність двох протилежних тенденцій мислення учня до узагальнення і "звуження" математичних понять. У зазначеному компоненті можливо бачити відображення єдності індуктивного і дедуктивного методів пізнання учнями нового в математиці. По-друге, діалектичні зачатки в мисленні учнів при засвоєнні нових математичних знань. Це проявляється в тому, що майже в будь-якому окремому математичному факт найбільш здібні учні прагнуть побачити, зрозуміти факт, йому протилежний, або, принаймні, розглянути граничний випадок досліджуваного явища. По-третє, він відзначив особливе підвищену увагу до виникаючих новим математичним закономірностям, протилежним раніше встановленими. Мислення захоплених математикою школярів відрізняється особливою сприйнятливістю до математичних контрастів, не пов'язаними з попередніми розглянутими явищами, що не випливають з них, а іноді й набирають у суперечність з ними. Зазначена особливість математичного поведінки найбільш здібних учнів тісно пов'язана з виникненням у них елементів діалектичного мислення і разом з ними служить великим стимулом, що спонукає учнів до нових математичним роздумів, посилює зміцнює їх великий інтерес до математики. Він так само відзначив і особливе захоплення здібних учнів складними математичними проблемами. З.П. Горельченко відзначає, що "справжнє захоплення серйозними математичними завданнями характерно тільки для учнів, закоханих у математику і виявляють підвищені здібності до успішних занять нею. Цим учням властиве прагнення спробувати свої сили перш за все на змістовних задачах, які вирішували багато математиків і вирішення яких до цих пір не знайдено "(20, с.11). Таким чином, природний потяг окремих учнів до найбільш важким математичним завданням свідчить про схильність їх до серйозної математичної роботі, про наявність у них здібностей до успішних занять математикою. Відзначається і така характерна особливість здатних до математики учнів, як переувлеченіе математичної роботою з неможливістю швидко виключитися з процесу математичних роздумів. Як правило, для перемикання на нову, не математичну роботу захопленим математикою учням потрібно часу набагато більше, ніж учням, що не відрізняються особливою схильністю до такого роду занять. Одним з характерних ознак підвищених математичних здібностей учнів і переходу їх до зрілого математичного мислення може вважатися і щодо раннє розуміння потреби аксіом як вихідних істин при доказах. Доступне вивчення аксіом і аксіоматичного методу в значній мірі сприяє прискоренню розвитку дедуктивного мислення учнів. Помічено також, що естетичне почуття в математичній роботі у різних учнів проявляється по-різному. По-різному різні учні відповідають і на спробу виховати і розвинути у них естетичне почуття, відповідне їх математичного мислення. Найбільш здатних до математики учнів відрізняє особливий естетичний склад математичного мислення. Він дозволяє їм порівняно легко розуміти деякі теоретичні тонкощі в математиці, вловлювати бездоганну логіку і красу математичних міркувань, фіксувати найменшу шорсткість, неточність у логічному ладі математичних концепцій. Самостійне стійке прагнення до оригінального, непересічно, витонченому рішенням математичної задачі, до гармонійного єдності формальних і семантичних компонентів рішення задачі, блискучі здогади, іноді випереджають логічні алгоритми, іноді важко переложімие на мову символів, свідчать про наявність в мисленні почуття добре розвиненого математичного передбачення, що є однієї зі сторін естетичного мислення в математиці. Підвищені естетичні емоції при математичному міркуванні притаманні в першу чергу учням з високо розвиненими математичними здібностями і спільно з естетичним складом математичного мислення можуть служити істотною ознакою наявності математичних здібностей у школярів. Слід відзначити і порівняно велику швидкість просування здатних учнів в оволодінні математичними знаннями і підвищену швидкість розв'язання математичних задач. Як правило, у найбільш здібних до математичної роботі учнів швидкість сприйняття і засвоєння нових знань підвищена. Вважаючи це якість з великою ймовірністю одним з необхідних, хоч і далеко не достатньою умовою наявності математичних здібностей, слід розглядати це умова, як компонент їх структури, причому такий, за яким найбільш легка первісна орієнтація у виявленні найбільш здібних до математики учнів. І, нарешті, виділяється такий компонент структури математичних здібностей, як характерні особливості пам'яті учнів здібних до математики. Найбільш здібні до математики в процесі математичної роботи орієнтують своє мислення перш за все на хороше розуміння пізнаваного і тільки потім на запам'ятовування його. При цьому вони прагнуть якомога глибше усвідомити, зрозуміти не тільки окремі математичні факти, а й основні ідеї, що зв'язують їх одне з одним і іншим засвоєним раніше математичним матеріалом, чітко визначити логічне місце нових пізнаваних фактів в загальній системі певних математичних знань.
Крім зазначених компонентів математичних здібностей, які можна і треба розвивати, необхідно враховувати ще й те, що успішність проведення математичної діяльності є похідним певного поєднання якостей:
Активного позитивного ставлення до математики, інтересу до неї, прагнення займатися нею, переходять на високому рівні розвитку в пристрасну захопленість.
Ряду характерологічних рис; насамперед працьовитості, організованості, самостійності, цілеспрямованості, наполегливості, а також стійких інтелектуальних якостей, почуття задоволення від напруженої розумової роботи, радість творчості, відкриття і так далі.
Наявності в часі здійснення діяльності сприятливих для її виконання психічних станів, наприклад, стан зацікавленості, зосередженості, хорошого "психічного" самопочуття і так далі.
Певного фонду знань, умінь і навичок у відповідній галузі.
Певних індивідуально-психологічних особливостей в сенсорній і розумової сферах, що відповідають вимогам даної діяльності.
Таким чином, під здібностями до вивчення математики ми будемо розуміти індивідуально-психологічні особливості, що відповідають вимогам навчальної математичної діяльності і обумовлюють при інших рівних умовах успішність творчого оволодіння математикою як навчальним предметом, зокрема відносно швидке, легке і глибоке оволодіння знаннями, вміннями та навичками в області математики.
1.3 Виразність компонентів математичних здібностей у молодшому шкільному віці
Здібності людини не бувають дано від народження в готовому вигляді. Не підлягає сумніву, що всі здібності, в тому числі і математичні, розвиваються в процесі взаємодії дитини з навколишнім світом, під впливом навчання і виховання в найширшому значенні цих слів. Не менш безсумнівно і те, що навіть у відносно однакових умовах життя і діяльності психічні властивості дітей неоднакові і розвиваються в різному ступені. Відомо, що здібності дітей розвиваються за багатьма напрямами. Дитина оволодіває побутовими навичками, промовою, в подальшому ¾ знаннями основ наук, трудовими вміннями, тобто всім необхідним для життя в суспільстві. При цьому школярі, освоюючи самі різні навчальні предмети, виявляють не тільки ті чи інші спеціальні дані, але і широту своїх можливостей.
Математичні здібності дітей, як і інші сторони їх особистості, знаходяться в процесі становлення і пов'язані з ходом вікового розвитку. Вікові особливості мають саме безпосереднє відношення до формування здібностей та індивідуальних відмінностей за здібностями. Дуже важливо ¾ саме у зв'язку з питанням про здібності ¾ не упускати з уваги, що кожен дитячий вік має свої особливі, неповторні гідності. Саме в дитячі роки в кожного нормального дитини спостерігається незвичайна допитливість (так званий вік "чомучки"), свіжість і гострота сприйняття ¾ здатність дивуватися, яскравість уяви (виступає, зокрема, у творчих іграх), деякі риси ясності, конкретності мислення і так далі . У цьому плані молодший шкільний вік, початкові роки власне вчення ¾ це період накопичення, засвоєння переважно. Зупинимося трохи докладніше на вікові особливості молодших школярів та їх розвитку для розвитку здібностей.
З точки зору педагогів, молодший шкільний вік ¾ це самий слухняний вік у житті людини. Такі психологічні особливості, як віра в істинність всього, чого навчають, довірлива старанність, є важливою передумовою початкового навчання в школі, являють собою як би заставу навченості і вихованості. З цими особливостями пов'язаний процес швидкого залучення дітей до культури, до її вихідним елементам. Відомі також свіжість, яскравість дитячого сприйняття і надзвичайна чуйність дітей на навколишнє. Учні початкових класів всім єством відгукуються на окремі моменти висловлювань вчительки, вони дуже жваво реагують на те, що є скільки-небудь новим для них, на кожну жарт, на який-небудь приклад з життя. По самому незначного, здавалося б, приводу у них виникає стан повної зацікавленості та розумової активності. Ні один епізод уроку не залишає їх байдужими. Імпульсивність дітей, їх схильність відразу реагувати надають занять стрімкість і напруга, зумовлюють їх насиченість. Щоб учні не нудьгували, необхідні часті переходи від одних занять до інших; щоб увага їх було напружене, не слід затягувати паузи.
Молодші школярі особливо активно реагують на безпосередні враження, що доставляються органами чуття. Наочні посібники, які застосовуються на заняттях, завжди викликають жадібна цікавість. Готовність до прийому все нових вражень поєднується у дітей даного віку з швидким звиканням до нового. У них іноді можна спостерігати дивно швидкі переходи від здивованого і цікавого сприйняття до спокійно-діловому відношенню. Наочні посібники, які викликають загальний інтерес, займають учнів в основному тільки один урок або одну зміну ¾ за цей час ознайомлення з ними вже закінчено. Мабуть, таке швидке звикання (адаптація) і робить можливою надзвичайну широту сприйнятливості. Діти цього віку надзвичайно легко освоюються з незвичною обстановкою і новими обставинами.
Таким чином, гострота, рухливість сприйняття, наявність необхідних передумов словесного мислення, спрямованість розумової активності на те, щоб повторити, внутрішньо прийняти, швидкість звикання створюють найсприятливіші умови для збагачення і розвитку психіки дітей.
Дітям цього віку не властиво замислюватися про які-небудь складнощі і труднощі. Вони особливо легко, безтурботно ставляться до всього, що не пов'язане з їхніми безпосередніми справами. Долучаючись до сфери пізнання, вони продовжують грати. Засвоєння багатьох понять, запозичених у дорослих, в значній мірі зовнішнє, формальне, і поки не може бути іншим. Показово, що молодші школярі найчастіше не виявляють інтересу до з'ясування причин або сенсу повідомляються ним правил. Як говорив Н.С. Лейтес, "вони як би відчувають, що знаходяться у самого краю нескінченної громади знання і не можуть на всі зазіхати" (55, с.37). Сама допитливість їх у тих випадках, коли вона стосується об'єктів, що виходять за межі їх досвіду, виявляється досить відносною. Діти цього віку люблять ставити на уроках питання, але, як вже зазначалося, що стосуються головним чином того, що і як їм належить робити. У розумової допитливості учнів немає впевненості та наполегливості. З порівняно невеликого числа питань молодших школярів, що стосуються суті явищ, далеко не всі висловлюють дієву потребу в чомусь розібратися. Нерідко питання, особливо зачіпають складні поняття, вимовляються для того, щоб "себе показати", або представляють собою випадковий, на мить виникає хід думки. Найчастіше "глибокодумне запитування" лише своєрідна розумова гра, до того ж не дуже поширена серед дітей цього віку. Діти опановують зовнішньою стороною, формою багато чого з того, сто залишається їм чужим, не освоєним по суті. Доступне їм наївно-формальне знання життєво важливих понять виявляється включеним як би в дитячий контекст, отримує у них, перш за все, ігрове оформлення. Дуже суттєво те, що наївно-ігровий характер пізнання, органічно властивий дітям розглянутого віку, виявляє разом з тим величезні формальні можливості дитячого інтелекту. При недостатності життєвого досвіду і лише зародковому теоретико-пізнавальних інтересів особливо очевидно виступають розумова сила дітей, їх особлива прихильність до засвоєння.
У молодшому шкільному віці діти дуже легко освоюють дуже складні розумові навички і форми поведінки. Діти цього віку на короткий час можуть бути чудовими співрозмовниками дорослого, активними і чуйними. Їх розважливість, здатність до висновків буває разюча. Але їх вікова наівность проявляється в тому, що вони не розташовані замислюватися про складнощі, які перебувають за межами їх маленького світу, і не усвідомлюють обмеженості своїх висловлювань. Їм чужа рефлексія. У їх відношенні до навколишнього ще багато чого йде від веселої, безтурботним, в міру затрудняющей ігри, як ніби розігрується кимось складеним правилами. Неправильно було б думати, що дитяча наївність може бути подолана більш раціональним та швидким навчанням, елементи ігрового ставлення до пізнання все ж залишається визначальними.
Поєднання в розумових здібностях молодших школярів правильності, формальної виразності суджень і одночасно, у деяких відносинах, крайньої однобічності і нереальності суджень, тобто наявність того, що вище було позначено як наївно-ігрове ставлення до навколишнього, являє собою як би форму існування дитячого розуму в нескінченно складному світі дорослих. Це неминучий, необхідний етап вікового розвитку, який дозволяє безболісно і навіть весело оволодівати все новим досвідом і долучатися до життя дорослих, не боячись, не помічаючи труднощів. Розглянута вікова особливість ¾ дорогоцінний якість дитячості ¾ дає необмежений простір для тренування формальної сторони мислення, багато в чому обумовлює природність, легкість засвоєння всіляких вражень.
Таким чином, молодший шкільний вік ¾ період вбирання, накопичення знань, період засвоєння переважно. Успішному виконанню цієї важливої життєвої функції сприяють характерні особливості дітей цього віку: довірливе підпорядкування авторитету, підвищена сприйнятливість, вразливість, наївно-ігрове ставлення до багато чого з того, з чим вони зіштовхуються. У молодших школярів кожна із зазначених особливостей виступає головним чином своєю позитивною стороною, і в цьому неповторну своєрідність даного віку. Деякі з особливостей молодших школярів у наступні роки сходять нанівець, інші багато в чому змінюють своє значення.
Слід враховувати при цьому різну ступінь виразності в окремих дітей тієї чи іншої вікової риси. Але, безсумнівно, що розглянуті особливості істотно позначаються на пізнавальних можливостях дітей і обумовлюють подальший розвиток загального розвитку. Висока сприйнятливість до оточуючих впливам, прихильність до засвоєння дуже важлива сторона інтелекту, характеризує розумові гідності і надалі.
Вікові особливості багато в чому є передумови здібностей ¾ вони найістотнішим чином впливають на розвиток, і збереження таких особливостей у подальшому може бути дуже цінним для особистості (40).
Перейдемо тепер до розгляду власне вираженості компонентів математичних здібностей у молодшому шкільному віці. Це неможливо зробити без опори на структуру математичних здібностей у шкільному віці. Схему такої ми можемо знайти у В.А. Крутецкого (47). Він виводить таку загальну схему структури математичних здібностей у шкільному віці:
Отримання математичної інформації
А) Здатність до формалізованому сприйняття математичного матеріалу, схоплюванню формальної структури задачі.
Переробка математичної інформації
А) Здатність до логічного мислення у сфері кількісних і просторових відносин, числової і знакової символіки. Здатність мислити математичними символами.
Б) Здатність до швидкого і широкого узагальнення математичних об'єктів, відносин і дій.
У) Здатність до згортання процесу математичного міркування і системи відповідних дій. Здатність мислити згорнутими структурами.
Г) Гнучкість розумових процесів в математичній діяльності.
Д) Прагнення до ясності, простоті, економності та раціональності рішень.
Е) Здатність до швидкої і вільної перебудові спрямованості розумового процесу, переключення з прямого на зворотний хід думки (оборотність розумового процесу при математичному міркуванні).
Зберігання математичної інформації
А) Математична пам'ять (узагальнена пам'ять на математичні відношення, типові характеристики, схеми міркувань і доказів, методи вирішення задач і принципи підходу до них).
Загальний синтетичний компонент
А) Математична спрямованість розуму.
Виділені компоненти тісно пов'язані, впливають один на одного і утворюють у своїй сукупності єдину систему, цілісну структуру, математичний склад розуму.
Крім перерахованих, є і такі компоненти, наявність яких у структурі математичних здібностей, хоча і корисно, не обов'язково. Вчителю, перш ніж відносити учня до числа здатних або нездатних до математики, необхідно це враховувати. Не є обов'язковими у структурі математичної обдарованості наступні компоненти:
Швидкість розумових процесів як тимчасова характеристика. Індивідуальний темп роботи не має вирішального значення. Учень може міркувати неквапливо, повільно, але грунтовно і глибоко.
Здібності до швидких і точним обчисленням (зокрема в умі). Насправді обчислювальні здібності далеко не завжди пов'язані з формуванням справді математичних (творчих) здібностей.
Пам'ять на цифри, числа, формули. Як вказував академік О.М. Колмогоров, багато видатні математики не мали скільки-небудь видатної пам'яттю такого роду (40).
Здатність до просторових уявлень.
Здатність наочно уявити абстрактні математичні відносини і залежності.
Зрозуміло, конкретне утримання структури здібностей в чималому ступені залежить від методів навчання, так як вона складається у процесі навчання. Але зазначені вище компоненти обов'язково повинні входити в цю структуру, незалежно від системи навчання.
Аналізуючи схему структури математичної діяльності школяра взагалі і вікові особливості молодшого школяра, можемо виявити вираженість компонентів математичних здібностей у молодшому шкільному віці.
Безумовно, до початку шкільного навчання ми навряд чи можемо говорити про скільки-небудь виражених математичних здібностях, виключаючи випадки особливої обдарованості. І це зрозуміло, що по відношенню до дитини правильніше говорити не про самі здібностях (великих або видатних), а про їх передумови: далеко не у всіх дітей, які залучали до себе увагу тими чи іншими ознаками математичної обдарованості, сформується справжній талант, розвинуться видатні математичні здібності. Проте помітний розвиток окремих компонентів математичних здібностей у процесі шкільного навчання і під впливом його спостерігається від 2 до 4 класу.
Формалізоване сприйняття математичного матеріалу.
Спостерігається в "зародкової" формі у 2-3 класі. У цей час у дітей з'являється прагнення розібратися в умові завдання, зіставити її дані. Їх починають цікавити в завданні не просто окремі величини, а відносини. Тенденція до "згорнутому" сприйняття посилюється від 2 до 4 класу. При цьому мало здатні до математики учні бачать в задачі лише конкретний зміст, не відступають від даних.
Узагальнення математичного матеріалу.
Його прояви можна спостерігати вже в 1 класі, але це лише загальна здатність до узагальнення. У молодшому шкільному віці спостерігається відносно більш простий вид узагальнення ¾ рух від приватного до відомого загальному ¾ вміння побачити в приватному вже відоме загальне, підвести окремий випадок під загальне правило.
Згорнутість мислення.
Згорнутість, скорочено міркувань і системи відповідних дій у процесі математичної діяльності є специфічною для здібних до математики учнів в основному старшого шкільного віку. У молодшому шкільному віці цей компонент математичних здібностей виявляється лише в самій елементарній формі.
Гнучкість.
У зародковій формі цей компонент був виявлений лише у здатних до математики молодших школярів. Дітям в цьому віці неприйнятна сама думка про те, що завдання може мати кілька рішень. Лише до 4 класу здібні учні демонструють гнучкість, але лише після навідних питань.
Прагнення до економії розумових сил.
Тенденція до оцінки ряду можливих способів рішення і вибору з них найбільш ясного, простого та економного, найбільш раціонального рішення в молодшому шкільному віці ще чітко не виражена.
Математична пам'ять.
Проявів власне математичної пам'яті в її розвинутих формах (коли пам'ятав би лише узагальнення і розумові схеми) в молодшому шкільному віці не спостерігається. У їхній пам'яті зберігаються з однаковою міцністю загальне і часткове, істотне і неістотне, потрібне і непотрібне. Але поступово основним для них все-таки стають відносини даних завдання.
Розглядаючи вікову динаміку розвитку структури математичних здібностей, В.А. Крутецкий так охарактеризував цей вік: "Поняття" математичних здібностей "певною мірою умовно в застосуванні до молодшим школярам, і при дослідженні компонентів математичних здібностей в цьому віці мова звичайно може йти лише про елементарні формах цих компонентів. Але окремі компоненти математичних здібностей формуються вже і в початкових класах "(48, с.115). Однак це формування не повинно бути пущено на самоплив. Математичні здібності в молодшому шкільному віці повинні формуватися в результаті цілеспрямованої діяльності вчителя.
Хотілося б відзначити в цьому розділі і такі вікові характеристики молодших школярів, які не мають прямого відношення до математичних здібностям, але які неодмінно треба пам'ятати вчителю в роботі з розвитку математичних здібностей, щоб цей розвиток був максимально можливим. У 6 ¾ 7летнего віці діти вже готові до сприйняття і переробки значного потоку інформації, вони можуть підпорядковувати свої дії мовним словесним інструкцій. Проте, за обсягом і рівнем уваги і здатності до його розподілу молодший школяр не набагато відрізняється від старшого дошкільника.
У 9-10 років відбувається різка зміна; діти можуть працювати довго, зосереджено, без відволікання і помилок. Але довільну увагу неміцно, і якщо з'являється щось цікаве, то увага тут же перемикається. Для дітей 6-7 років характерні висока емоційність і велика значущість емоційної реакції. Неможливість довго зберігати і утримувати увагу в процесі діяльності, яка позбавлена безпосереднього інтересу, висока відволікання тягнуть за собою труднощі навчання. Діти 6-7 років дуже люблять слухати мову дорослих, але поріг чутності і гострота слуху досягнуть своєї найбільшої величини, лише в підлітковому віці, а зараз тони і звуки дитина сприймає гірше, ніж слова. Пам'ять у 6-7 років мимовільна: дитина добре запам'ятовує які з ним події, відомості, факти. При цьому переказати буквально йому набагато простіше, ніж "своїми словами". Крім того, добре запам'ятовується те, що мотивовано, значимо. Ефективність мимовільного запам'ятовування різко зростає і збільшується від першого до четвертого класу. Характер мислення в 6-7 років наочно-образний, або чуттєвий, тобто при аналізі подій, ситуацій, явищ, діти спираються на реальні події, а висновки роблять, як правило, схоплюючи якийсь одиничний зовнішня ознака. Вони ще не можуть оцінювати, хоча вже вміють порівнювати, не вміють класифікувати, але вміють виділяти загальне і відмінне, правда, по одному найбільш яскравого ознакою. У їх міркуваннях є своя логіка, вони навіть намагаються робити висновки, але їм заважає обмеженість знань і досвіду.
Крім того, індивідуальні особливості особистості учня також мають велике значення при оволодінні математикою. Діти з сильним типом нервової системи можуть досить довго і напружено працювати, у них, як правило, високий емоційний тонус, стійке (в межах вікової норми) увага, гарна здатність орієнтуватися у незвичних ситуаціях. Вони досить швидко переключаються на новий вид діяльності, у них високий темп і інтенсивність роботи. Безумовно, таким дітям математика в школі дається значно легше, ніж учням зі слабким типом нервової системи. Такі діти мляві, уповільнені у всіх діях, повільно включаються в роботу, довго переключаються і відновлюються. Вони швидко відволікаються, не можуть довго і інтенсивно працювати. Взагалі ж, темперамент, поряд із здібностями і характером, утворюють як би ланцюг взаємопов'язаних підструктур в структурі особистості та індивідуальності, що мають єдину природну основу.
У відповідності з цими особливостями і тими, що були зазначені на початку параграфа, вчителям можна дати наступні рекомендації, які необхідно враховувати при розробці занять з розвитку математичних здібностей:
приділяти більше уваги не словесному поясненню, а показу;
використовувати наочні посібники, які вчителю необхідно якомога частіше оновлювати;
чергувати види діяльності людей, не пропонувати довго і інтенсивно працювати;
не "ковтати" закінчення, чітко вимовляти всі звуки бути точним у емоційного забарвлення, а головне ¾ темп мови повинен бути доступний і зрозумілий дітям;
не слід затягувати паузи, щоб увага дітей було постійно напружене;
залучати дітей в активну діяльність, особливо при поясненні нового матеріалу;
будь-яку діяльність дитини мотивувати;
розвивати кругозір дітей, збагачувати їх запас знань.
1.4 Природні передумови розвитку математичних здібностей
Дослідження математичних здібностей включає в себе і вирішення однієї з найважливіших проблем ¾ пошуку природних передумов, або задатків, даного виду здібностей. До завдаткам відносяться вроджені анатомо-фізіологічні особливості індивіда, які розглядаються як сприятливі умови для розвитку здібностей. Довгий час задатки розглядалися як фактор, фатально зумовлює рівень і напрямок розвитку здібностей. Класики вітчизняної психології Б.М. Теплов (91, 92) і С.Л. Рубінштейн (76) науково довели неправомірність такого розуміння задатків і показали, що джерелом розвитку здібностей є тісна взаємодія зовнішніх і внутрішніх умов. Вираженість того чи іншого фізіологічного якості жодною мірою не свідчить про обов'язкове розвитку конкретного виду здібностей. Воно може бути лише сприятливою умовою для цього розвитку.
Типологічні властивості, що входять до складу задатків і є важливою їх складовою, відображають такі індивідуальні особливості функціонування організму, як межа працездатності, швидкісні характеристики нервового реагування, здатність перебудови реакції у відповідь на зміни зовнішніх впливів. Б.Г. Ананьєв, розвиваючи уявлення про загальну природній основі розвитку характеру і здібностей, вказував на формування в процесі діяльності зв'язків здібностей і характеру, що призводять до нових психічним утворенням, що позначається термінами "талант" і "покликання" (4). Таким чином, темперамент, здібності й характер утворюють як би ланцюг взаємопов'язаних підструктур в структурі особистості та індивідуальності, що мають єдину природну основу.
Які ж властивості нервової системи (які розглядаються в якості задатків математичних здібностей), особистісні особливості і особливості інтелекту притаманні математично обдарованим учням? Перш за все, це високий рівень загального інтелекту, переважання вербального інтелекту над невербальних. Необхідною умовою для математичних здібностей є висока ступінь розвитку словесно-логічних функцій. В.А. Крутецкий, вивчаючи математичну діяльність здатних до математики учнів, звертав увагу на їх характерну особливість ¾ здатність до тривалого підтримання напруги, коли учень може довго і зосереджено займатися, не виявляючи втоми. Ці спостереження дозволили йому припустити, що така властивість, як сила нервової системи, може бути однією з природних передумов, сприятливих для розвитку математичних здібностей (45, 46, 47, 48, 49). Крім того, учням, здатним до математики, притаманні такі особистісні особливості, як розумність, розсудливість, завзятість, а також незалежність, самостійність.
Математичні здібності дуже складні і багатогранні за своєю структурою, тим не менш, виділяються як би два основних типи людей з їх проявом ¾ це "геометри" і "аналітики". В історії математики яскравими прикладами цього можуть бути такі імена, як Піфагор і Евклід (найбільші геометри), Ковалевська і Клейн (аналітики, творці теорії функцій). В основі такого поділу лежать, перш за все, індивідуальні особливості сприйняття дійсності, в тому числі і математичного матеріалу. Воно визначається не предметом, над яким працює математик: аналітики і в геометрії залишаються аналітиками, тоді як геометри будь-яку математичну реальність воліють сприймати образно.
У шкільній практиці ці відмінності проявляються не тільки в різній успішності оволодіння різними розділами математики, але і в бажаному відношенні до принципів вирішення завдань. Причому ці відмінності є досить стійкими. Це також необхідно враховувати при роботі, спрямованій на розвиток математичних здібностей.
З усього вищесказаного можемо зробити висновок, що за наявності сприятливих задатків і при оптимальних умовах життя і діяльності математичні здібності в дитини можуть формуватися дуже рано і розвиватися досить швидко. Однак слід зауважити, що відсутність ранніх досягнень не свідчить про відсутність здібностей.
Вчителю слід пам'ятати, що математика є одним з тих предметів, де індивідуальні особливості психіки (увага, сприйняття, пам'ять, уява, мислення) дитини мають вирішальне значення для його засвоєння. За важливими характеристиками поведінки, за успішністю (або неквапливістю) навчальної діяльності часто ховаються ті природні динамічні особливості, про які говорилося вище. Нерідко вони породжують і відмінності в знаннях ¾ їх глибині, міцності, узагальненості. За цим якостям знань, які належать (поряд з ціннісними орієнтаціями, переконаннями, навичками) до змістовний бік психічного життя людини, зазвичай судять про обдарованість дітей.
Таким чином, індивідуальні типологічні особливості особистості учня окремо, під якими розуміється і темперамент, і характер, і задатки і соматична організація особистості в цілому, справляють істотний вплив на формування і розвиток математичного стилю мислення дитини, який, безумовно, є необхідною умовою збереження природного потенціалу (задатків) дитини в математиці і його подальшого розвитку в яскраво виражені математичні здібності.
1.5 Умови формування математичних здібностей
З чим же пов'язана різна швидкість оволодіння математичними знаннями? Зустрічаються різні типи вікового розумового розвитку.
"Ранній підйом" (в дошкільному чи молодшому шкільному віці). Він обумовлений наявністю яскравих природних здібностей і задатків відповідного типу. В подальшому може статися закріплення і збагачення розумових достоїнств, що послужить стартом для становлення видатних розумових здібностей. Але може статися і "вирівнювання" з однолітками. Ми вважаємо, що воно багато в чому обумовлено відсутністю грамотного і методично активного індивідуального підходу до дитини в ранній період.
"Уповільнений і розтягнутий підйом", тобто поступове накопичення інтелекту. Відсутність ранніх досягнень у цьому випадку не означає, що передумови великих або видатних здібностей не виявляться надалі. Таким можливим підйомом є вік 16-17 років, коли чинником "інтелектуального вибуху" служить соціальна переорієнтація особистості, спрямовуюча її активність у це русло. Проте це може відбутися і пізніше.
Для вчителя початкових класів найбільш актуальною є проблема "раннього підйому", яка припадає на вік 6-9 років. Один такий яскраво здібна дитина в класі, що володіє до того ж сильним типом нервової системи, здатний, в буквальному сенсі слова, нікому з дітей і рота розкрити не дати. У результаті вчитель повинен його "пригальмовувати". Таке "пригальмовування", якщо воно йде систематично, і може призвести до того, що за 3-4 роки дитина "вирівнюється" з однолітками. А оскільки математичні здібності відносяться до групи "ранніх здібностей", то, можливо, саме математично здібних дітей ми втрачаємо в процесі цього "пригальмовування" і "вирівнювання".
Здібна дитина в найбільшій мірі потребує інструктивному стилі відносин з учителем, що вимагає більшої інформативності і обгрунтованості висунутих вимог з боку вчителя. Інструктивний стиль в протилежність імперативного стилю, пануючому в початковій школі, передбачає апелювання до особистості учня, врахування його індивідуальних особливостей і орієнтацію на них. Такий стиль відносин сприяє розвитку незалежності, ініціативності та творчої потенції, що є благотворним грунтом для розвитку власне математичних здібностей.
Так як метою нашої роботи є не просто список рекомендацій, необхідних для успішного оволодіння дітьми математичними знаннями, а розробка рекомендацій до занять, метою яких є розвиток математичних здібностей, то зупинимося детальніше на умовах формування власне математичних здібностей. Як вже зазначалося, здібності формуються і розвиваються тільки в діяльності. Однак, для того, щоб діяльність позитивно впливало на здібності, вона повинна відповідати деяким умовам.
По-перше, діяльність повинна викликати у дитини сильні і стійкі позитивні емоції, задоволення. Дитина повинна відчувати почуття радісного задоволення від діяльності, тоді в нього виникає прагнення з власної ініціативи, без примусів займатися нею. Жива зацікавленість, бажання виконати роботу якнайкраще, а не формальне, байдуже, байдуже ставлення до неї ¾ необхідні умови того, щоб діяльність позитивно впливала на розвиток здібностей.
Якщо дитина припускає, що йому не впоратися з завданням, він прагне її обійти, формується негативне ставлення до завдання і до предмета взагалі. Щоб цього уникнути, вчитель має створювати для дитини "ситуацію успіху", повинен помічати і схвалювати будь-які досягнення учня, підвищувати її самооцінку. Це особливо стосується математики, так як цей предмет більшості дітей дається нелегко.
Оскільки здібності можуть принести плоди лише в тому випадку, коли вони поєднуються з глибоким інтересом і стійкою схильністю до відповідної діяльності, вчителю треба активно розвивати інтереси дітей, прагнучи до того, щоб ці інтереси не носили поверхневого характеру, а були серйозними, глибокими, стійкими і дієвими.
По-друге, діяльність дитини повинна бути по можливості творчої. Творчість дітей при заняттях математикою може виявлятися в незвичайному, нестандартному виконанні завдання, в розкритті дітьми способів і прийомів обчислень. Для цього вчитель повинен ставити перед дітьми посильні проблеми і добиватися того, щоб діти з допомогою навідних питань самостійно вирішували їх.
По-третє, важливо організувати діяльність дитини так, щоб він переслідував мети, завжди трохи перевершують його готівку можливості, вже досягнутий ним рівень виконання діяльності. Тут ми можемо говорити про орієнтуванні на "зону найближчого розвитку" учня. Але щоб дотримати цю умову, необхідний індивідуальний підхід до кожного учня.
Таким чином, досліджуючи структуру здібностей взагалі і математичних здібностей зокрема, а також вікові та індивідуально характерологічні особливості дітей молодшого шкільного віку, можемо зробити наступні висновки:
У психологічній науці ще не вироблено єдиного погляду на проблему здібностей, їх структури, походження і розвитку.
Якщо під математичними здібностями увазі все індивідуально-психологічні особливості людини, сприяють успішному оволодінню математичної діяльністю, то потрібно виокремити такі групи здібностей:
самі загальні здібності (умови), необхідні для успішного здійснення будь-якої діяльності:
¾ працьовитість;
¾ наполегливість;
¾ працездатність;
крім того, добре розвинені довільна пам'ять і довільну увагу, інтерес і схильність займатися даною діяльністю;
загальні елементи математичних здібностей ¾ ті загальні
особливості розумової діяльності, які необхідні для дуже широкого кола діяльності;
специфічні елементи математичних здібностей ¾ особливості розумової діяльності, які властиві тільки математику, специфічні саме для математичної діяльності на відміну від усіх інших.
Останні і є власне математичні здібності.
Математичні здібності ¾ це складне, інтегроване освіта, основними компонентами якого є:
¾ здатність до формалізації математичного матеріалу;
¾ здатність до узагальнення математичного матеріалу;
¾ здатність до логічного міркування;
¾ здатність до оборотності розумового процесу;
¾ гнучкість мислення;
¾ математична пам'ять;
¾ прагнення до економії розумових сил.
Компоненти математичних здібностей у молодшому шкільному віці представлені лише у своєму "зародковому" стані. Однак у процесі шкільного навчання відбувається помітне їх розвиток, молодший ж шкільний вік є найбільш плідним для цього розвитку.
Існують також і природні передумови розвитку математичних здібностей, до яких треба віднести
¾ високий рівень загального інтелекту;
переважання вербального інтелекту над невербальним;
висока ступінь розвитку словесно-логічних функцій;
сильний тип нервової системи;
деякі особистісні особливості, такі як розумність, розсудливість, завзятість, незалежність, самостійність.
При розробці занять з розвитку математичних здібностей слід враховувати не тільки вікові та індивідуально типологічні особливості дітей, але і дотримувати певні умови, щоб цей розвиток був максимально можливим:
¾ діяльність повинна викликати у дитини сильні і стійкі позитивні емоції;
¾ діяльність повинна бути по можливості творчої;
¾ діяльність повинна бути орієнтована на "зону найближчого розвитку" учня.

Глава 2. Зміст різних форм позакласної роботи з математики в початковій школі
2.1 Значення позакласної роботи
Позакласна робота з математики складає нерозривну частину навчально-виховного процесу навчання математики, складного процесу впливу на свідомість і поведінку молодших школярів, поглиблення і розширення їх знань і навичок.
На думку авторів методичного посібника з позакласної роботи з математики в 4-5 класах, "в молодших і середніх класах передчасне проведення факультативних занять або додаткове, поглиблене вивчення будь-яких навчальних дисциплін було б абсолютно невиправданим" (26, с.5). Вони вказують, що найбільш природною і перевіреною формою дофакультатівной підготовки в цей період, що відповідає віковим особливостям і можливостям дітей, є позакласна робота.
Дійсно, проводити позакласні заняття з дітьми з математики треба починати якомога раніше, щоб у одних пробудити, а в інших зміцнити інтерес до математики і бажання займатися нею. Тому основними цілями позакласної роботи повинні стати розвиток в учнів інтересу до предмета, накопичення певного запасу математичних фактів і відомостей, умінь і навичок, які доповнюють і поглиблюють знання, що здобуваються в основному курсі. На жаль, поки що немає достатньо узагальненого досвіду організації позакласної роботи з математики з молодшими школярами; майже немає сучасних посібників, адресованих вчителям початкової школи, які враховували б зміни в навчальному плані, а наявні не впроваджуються в шкільні програми.
Розвиток і виховання математичної ініціативи сприяє виникненню в людини інтересу до математики, піднімає на вищий щабель загальну якість розуму і волі. Навчання математики - це основне, але не єдиний засіб розвитку математичної ініціативи. Активно сприяє математичного розвитку і в не навчальні засоби (сюди можна віднести масові популярні математичні журнали, збірники математичних розваг, ігор і цікавих завдань, математичні олімпіади шкільного, міського та більш високих рівнів, пропаганда математичних знань по телебаченню), основним з яких є позакласна робота з математики в школі.
Таким чином, позакласна робота з математики мають таке значення:
Різні види цієї роботи в їх сукупності сприяють розвитку пізнавальної діяльності учнів: сприйняття, уявлень, уваги, пам'яті, мислення, мовлення, уяви.
Вона допомагає формуванню творчих здібностей учнів, елементи яких проявляються в процесі вибору найбільш раціональних способів вирішення завдань, в математичній або логічній кмітливості, при проведенні на позакласних заняттях групових ігор.
Деякі види позакласної роботи дозволяють дітям глибше зрозуміти роль математики в житті.
Позакласна робота сприяє вихованню товариства і взаємодопомоги.
У результаті такої роботи відбувається виховання культури почуттів, а так само розвиток і таких інтелектуальних почуттів, як справедливості, честі, обов'язку, відповідальності.
Головне ж значення позакласної роботи з математики в тому, що вона сприяє розвитку математичних здібностей школярів.

2.2 Особливості позакласної роботи у 1-4 класах
Позакласна робота тому так і називається, що, маючи безпосереднє відношення до роботи класною, все ж таки суттєво відрізняється від неї. Основні особливості позакласної роботи полягають у наступному:
Деяка довільність вибору тематики занять, вони не регламентовані за змістом, але матеріал, пропонований дітям, повинен відповідати наявним у них знань, умінь та навичок.
Різноманітність форм та видів роботи з учнями.
Особливий цікавий матеріал, широке використання ігрових форм та елементів змагання.
Заняття не регламентовані за часом, на одну і ту ж тему відводиться порівняно невеликий навчальний час.
Заняття проводяться в групах, кількість осіб в яких не регламентовано, так само як і їх вік.
При проведенні позакласних занять з математики, також як і при класно-урочної роботі, необхідно дотримуватися основних дидактичні принципи: науковості, свідомості і активності учнів, наочності, повинен здійснюватися і індивідуальний підхід.
Позакласна робота в початкових класах має свої додаткові особливості. Одна з них ¾ недостатньо розвинений, що не сформувався і ще нестійкий інтерес до предмета в більшості учнів, які беруть участь у цій роботі. Разом з тим саме на цьому етапі в учнів такий інтерес може і повинен почати формуватися. Звичайно, результати успішних занять математикою часто не залежать від терміну початку позакласної роботи. Математична обдарованість або здатності конкретної людини розвиваються в будь-якому віці, аби тільки були сприятливі для цього умови. При цьому необхідно враховувати, що різноманіття математичних теорій та їх застосувань вимагають здібностей різного характеру. Щоб виявити, які саме здібності можуть розвиватися у даного учня, йому корисно прийняти участь у найрізноманітнішої математичної діяльності. Звичайно, для перевірки здібностей дітей на різному матеріалі потрібно багато навчального часу. Неможливо не враховувати такі особливості молодших школярів, як обов'язковість, старанність, які дозволяють вчителю ще до "пустотливого" віку 5-7 класів зацікавити учнів предметом. Без уваги вчителя до організації позакласної роботи в початковій ланці багато підлітків ніколи не прийдуть в математику.
Ці обставини підказують ще одну особливість проведення позакласних занять з математики в самому юному віці ¾ на заняття треба запрошувати, не чекаючи пробудження у них власної ініціативи. Позакласна робота з математики в 1 - 4 повинна бути масовою.
Однією з особливостей проведення позакласної роботи в початковій школі є особлива увага вчителя до заохочення учнів. У молодших класах особливо важливо не пропустити непоміченим ні один успіх школярів у їх додаткової математичної діяльності. У доброзичливості вчителя, умінні дивуватися, здавалося б, самим незначним зрушень у роботі своїх вихованців проявляється педагогічна майстерність, ступінь впливу вчителя на формування і розвиток інтересу до предмета в учнів.
Також вчитель повинен уважно стежити за настроєм учнів під час занять, повинен прагнути до найбільшого ефекту ¾ розвитку в учнів віри у свої сили. Це властивість характеру важливо виховувати на ранніх ступенях навчання, так як це перший паросток творчої, дослідницької роботи, який веде до розвитку інтересу до предмета. У зв'язку з віковими особливостями молодших школярів, вправи краще пропонувати у формі гри.
При роботі необхідно враховувати й інші особливості учнів цього віку ¾ діти, як правило, дуже люблять посильні індивідуальні доручення, учнів цікавить також і змагальний мотив. Крім того, у проведенні позакласної роботи необхідно також спиратися на любов учнів цього віку до казок і різним цікавим, веселим історіям.
2.3 Основні організаційні форми
Позакласна робота з математики зароджується, по суті, на заняттях у класі. Завдання підвищеної труднощі, логічні завдання і цікавий матеріал, пропонований у підручниках (особливо багато таких завдань у підручниках з розвиває системам), ¾ це власне вправи для позакласних занять. Однак частина цих вправ може бути і повинна бути вирішена в класі при всіх учнів. Саме ці вправи (або їм подібні) пов'язують зміст і форми класних і позакласних занять.
Позакласна робота з учнями самою своєю назвою передбачає, що її проводять поза уроків, обов'язкових для всіх. Її основні форми:
¾ групові заняття після уроків;
¾ гурткові заняття;
¾ вечора і збори;
¾ математичні олімпіади;
¾ добровільні заліки;
¾ години та хвилини цікавої арифметики;
¾ математичні ігри;
¾ написання математичних казок і творів;
¾ математичні куточки;
¾ математичні стінгазети;
¾ математичні виставки та інше.
Неможливо не вказати на те, що позакласна робота з математики у початкових класах ¾ сильнодіючий педагогічний засіб. Воно може принести користь, але в руках неуважно ставиться до справи педагога ця робота може обернутися проти учнів, відлякуючи їх від занять математикою, роблячи шкідливий вплив на здоров'я дітей. Тому, зовсім немає потреби змушувати кожного учня вирішувати всі заплановані вчителем вправи. Нехай вони самі обирають стільки завдань, скільки можуть. Цього буде достатньо для поступового математичного розвитку кожного учня окремо і всього класу в цілому.
2.4 Методичні рекомендації
Позакласна робота залежить від індивідуальних інтересів учителя. Математична і загальнопедагогічна кваліфікація організатора позакласної роботи також не може не впливати на її якість і науково-методичний рівень. Велике значення мають і особисті смаки вчителя. Крім того, матеріал для позакласних занять повинен підбиратися з урахуванням особливостей учнів кожного конкретного класу. Тому-то й важко давати конкретні методичні вказівки з позакласної роботи, обов'язкові для всіх. Ймовірно, з цим і пов'язана відсутність методичних посібників з позакласної роботи з математики в початковій школі. Проте все ж таки можуть бути висловлені деякі загальні міркування, пов'язані з методикою ведення гурткових занять, організації ігор, вечорів, вікторин та інше.
2.4.1 Групові заняття після уроків
Групові заняття після уроків частіше називають позакласними заняттями з математики. Їх відмінна особливість в тому, що вони мають найбільшу схожість із звичайним шкільним уроком. По суті вони і є шкільними уроками, в основі яких лежать цікаві історії, подорожі, змагання, тобто це уроки, які проходять в ігровій атмосфері. Позакласні заняття близькі до уроків тим, що використовується на заняттях математичний матеріал ¾ матеріал шкільної програми, може бути трохи ускладнений і розширений.
Метою таких занять може бути закріплення пройденого шкільного матеріалу, перевірка знань, умінь і навичок учнів, розширення і збагачення пройденого матеріалу.
Створення ігрової атмосфери на заняттях розвиває пізнавальний інтерес і активність учнів, знімає втому, дозволяє утримувати увагу.
При розробці занять треба стежити за тим, щоб завдання пропонувалися таким чином, щоб діти сприймали їх саме як завдання, але при виконанні їх все-таки грали. У гру завдання перетворює метод їх проведення ¾ емоційність, невимушеність, цікавість.
На заняттях-подорожі ненав'язливо збагачується словниковий запас дітей, розвивається мова, активізується увагу, розширюється кругозір, прищеплюється інтерес до предмета, розвивається творча фантазія, виховуються моральні якості. І головне ¾ дітям цікаво займатися, вони не відволікаються, прагнуть скоріше виконати завдання, щоб продовжити так сподобалося подорож. Діти грають, а граючи, мимоволі закріплюють, вдосконалюють і доводять до рівня автоматизованого досвіду математичні знання.
Як приклад наведемо власну розробку гри-подорожі, мета якої ¾ закріплення знання табличних випадків додавання і віднімання в межах 20 з переходом через розряд.
Ми сьогодні з вами, хлопці, зробимо незвичайну подорож. Давайте все уявімо, що ми з вами опинилися на безлюдному острові, де нас підстерігає багато небезпек і несподіванок, багато дивовижних пригод. Але перш ніж відправлятися вивчати наш чудовий острів, нам треба трохи підкріпитися. Чим ми поласуємо? (Бананами) Але для цього нам треба влізти на пальму, вирішивши приклади.
6 + 5
8 + 4
5 + 8
8 + 7
Молодці! А тепер вперед, на пошуки, на пошуки пригод! А ось, дивіться, на горі ¾ мудра Черепаха. Вона хоче нам щось дуже важливе сказати. Але що ж? Нічого не чутно. Як же піднятися на таку круту гору? Ми з вами підемо по серпантину: так називають дорогу до вершини крутої гори. Хто здогадається, чому дорога в горах так називається?
Ой, хлопці, неприємні новини принесла нам Черепаха. Її друзі потрапили в біду, вони ховалися від дощу в печері і їх завалило камінням. Їм ніяк не вибратися. Треба їм допомогти. Допоможемо, хлопці? Тоді вирушаємо рятувати наших бідних друзів. Ось вона, ця печера. Але щоб дістатися до неї, треба перейти по містку через величезну прірву. Щоб не провалитися, давайте перевіримо, чи всі містки цілі.
Молодці, хлопці! Спритно перебралися через прірву. Ось ми біля входу в печеру. Як же зрушити ці важезні камені? Щоб камені зникли, треба вирішити чарівні приклади і записати на каменях відсутні в цих прикладах числа.
12 - = 8 6 = вересня 1915 - 8 = 5 = 7 9 + = 12
Подивіться, кого ми врятували! Це чудові тваринки Свіночка і Курочка. Вони нам дуже вдячні, радіють свого порятунку. Вони хлопці, в якості подяки хочуть поставити вам цікаві задачки. Вони впевнені, що ви з легкістю їх вирішите. Отже, перше завдання від Свіночкі:
Визначте, скільки мені років. А мені стільки, скільки зображено на малюнку (вчитель показує ілюстрацію із зображенням сороки), тільки без останнього знаку.
Молодці! А ось впораєтеся ви з задачкою від Курочки?
Коли я стою на одній лапці, то важу 2 кг. Скільки ж я буду важити, якщо встану на обидві лапки?
От молодці! Ви, хлопці, дуже добре навчилися рахувати, думати, міркувати, з честю витримали всі випробування, а, саме головне, придбали надійних і вірних друзів. Так давайте всі разом грати і веселитися.
Вчитель проводить гру «Повторюй за мною».
Можна, як вже зазначалося, провести позакласне математичне заняття з метою перевірки знань, умінь і навичок учнів, ступеня засвоєння ними нового матеріалу. Таке заняття доцільніше проводити у формі змагання, індивідуального або групового. Не слід при цьому забувати і про невимушеній формі проведення такої перевірки, про необхідність використовувати на занятті ігрові моменти. Пропонуємо наступну, розроблену нами, сюжетну окантовку для позакласного заняття, з метою перевірки вміння розв'язувати задачі. Вона може бути використана для будь-якого класу, вчителю лише необхідно підібрати потрібний математичний матеріал. Це групова гра, яка в той же час передбачає і індивідуальний контроль над кожним учнем. Дітям видаються листочки з завданнями або без (на розсуд учителя). Якщо листи заповнені, то все це дублюється і на дошці.
Ми сьогодні всі пілоти. Небо нас до себе кличе.
На чарівної на ракеті вирушаємо в політ.
Хто тут найрозумніший? Хто тут найсміливіший?
Хто з вас зуміє підкорити космос цілий?
Наш сьогоднішній політ
З вами Петя проведе.
Космонавт він найкращий,
Так що ти його послухай.
Він завдань вам задасть.
Хто впоратися ¾ іспит космонавтскій здасть!
Отже, ми вирушаємо в політ.
Кожен ряд ¾ одна команда, славний екіпаж.
За найшвидший відповідь ¾ корабель ваш!
(Ряд, швидше за інших впорався із завданням, одержує очко ¾ космічний корабель. Вчителю необхідно не тільки враховувати швидкість виконання завдання, але і його правильність. Для цього після виконання кожного завдання потрібно здійснювати перевірку.)
Ось задачка вам проста. Ти її скоріше виріши,
Тільки от по-новій схему ти, приятель, запиши.
(Тут дітям дається завдання і схема до неї. Учням необхідно придумати нову схему, більш зручну для вирішення саме цього завдання.)
Ну і ну! Ніяк не думав, що під силу це вам.
Я зараз ще складніше вам завдання поставлю!
Ось завдання, ось вам схема. Тільки ось одна проблема:
Де на схемі розміститься те, про що в задачі йдеться?
(Діти на слух сприймають завдання і її дані заносять у схему, яка заздалегідь намальована на виданих ним на початку заняття листочках.)
Ось ще одне завдання. Ну, ніхто ще не плаче?
Вам не впоратися з заданьем, дуже складне воно:
І придумати, і вирішити, і уважними бути.
(Це завдання полягає в тому, що дітям дана схема завдання з підписаними даними. Учні повинні придумати завдання за схемою і вирішити її)
Ну й молодці, хлопці! Хіба думав я колись,
Що мудровані задачки ви вирішите так легко?
І за це вам у подарунок пограємо в «Молоко».
Ось і скінчився політ. Вам тепер на зореліт
Всім сідати, і вперед!
Ви, хлопці, молодці, розумні і спритні,
Ви іспит з честю здали, з толком і вправністю.
Всім польоти дозволяю! І від усієї душі бажаю
Всім хлопцям без сумніву святкового настрою,
Радість, сміх, посмішок море, щоб ви не знали горя,
Щоб оцінки тільки «5» потрапляли вам у зошит!
Всім вчитися на «відмінно», ніколи не сумувати!
Підбиваються підсумки змагання, нагороджується перемогла команда. «Кращий пілот», переможець в індивідуальному заліку виявляється після перевірки вчителем робіт. На наступному занятті або на одному з уроків він оголошується і нагороджується теж.
Позакласні заняття з математики можуть проводитися й поза навчального матеріалу, тобто не залежати від наявних у дітей на даний момент навчальних умінь і навичок. Цікавими позакласні заняття може зробити історичний матеріал, покладений в їх основу. Відомий французький математик, філософ, фізик, Ж. А. Пуанкаре відзначав, що при виборі методів викладання історія науки повинна бути головним провідником, бо будь-яке навчання стає яскравішим, багатша від кожного дотику з історією досліджуваного предмета (74). Щоб учні виявляли підвищений пізнавальний інтерес до математики, щоб вона не здавалася їм нудною, сухий, труднопреодолімим наукою, доцільно в систему позакласних занять включати елементи історії математики. Здійснення принципу історичного підходу дає можливість усвідомити, що процес пізнання є історичний процес, зрозуміти зв'язок теорії з практикою, побачити, що математика розвивалася на основі практики і що критерієм достовірності теорії є практика.
Ознайомлення учнів з історією математики як раз і треба проводити на позакласних заняттях, які будуть сприяти розвитку пізнавальних інтересів до математики; поглибленню розуміння досліджуваного фактичного матеріалу; розширенню кругозору учнів, підвищенню їхньої загальної культури.
Необхідно починати таку роботу з 2 класу і проводити її систематично. Зміст, обсяг і стиль викладу питань з історії математики повинні відповідати віковим можливостям учнів. Форма повідомлення відомостей може бути різною: це і коротка бесіда, і лаконічна довідка, це вирішення завдання і екскурс, доповідь одного з учнів чи театральна мініатюра, показ фрагмента діафільму або роз'яснення малюнка.
Спираючись на психологічні дослідження проблеми навчання та механізми розумового розвитку молодших школярів, Л. С. Виготський зазначає, що не слід боятися піднести учням щось більш складне, взяте з майбутнього матеріалу. Їм було встановлено, що розумовий розвиток здійснюється успішніше, якщо навчання будується не тільки на досягнутому рівні розвитку учнів, а й на механізмах пізнання, які ще не дозріли, але можуть функціонувати. «Тільки те навчання є хорошим, яке забігає вперед розвитку» (17, с. 449), воно надає уроку розвиваючий характер і викликає активну розумову діяльність учнів.
Тематика таких позакласних занять повинна відповідати порядку ознайомлення школярів з різними математичними фактами і поняттями у шкільному курсі. Так, після проходження теми «Міри довжини», на позакласних заняттях відбувається поглиблення знань по темі в процесі проведення бесід і практичних вправ з вимірювання довжини відрізків старовинними способами. У доступній формі здійснюється ознайомлення дітей з походженням різних одиниць вимірювання.
Аналогічна робота можлива при вивченні теми «Міри часу». Короткі відомості про походження годин, деяких одиниць виміру часу, про зародження календаря та шляхи його вдосконалення, можна на занятті і розкрити взаємозв'язок заходів часу з природними явищами.
Не менш цікаві відомості можуть отримати школярі та в ході вивчення теми «Багатозначні числа». Бесіди про те, як люди навчилися вести рахунок, записувати числа, виконувати з ними операції обов'язково викличуть інтерес у дітей.
Таким чином, створюється можливість систематично поєднувати досліджуваний розділ програми з математики з позакласною роботою, поглиблювати знання учнів, розвивати та їх математичні здібності.
При цьому не слід вимагати від дітей запам'ятовування історичних відомостей. Важливо, щоб вони зрозуміли, що математика пов'язана з життям, а поняття, якими ми оперуємо, є відображенням предметів і явищ реального світу.
Наведемо конспект одного з таких занять, головна роль в якому належить не вчителю, а учням-акторам. До подібного заняття слід заздалегідь підготуватися, кілька разів прорепетирувати, продумати наочність. Це не так-то просто, зате ефект від такого заняття буде набагато більший, ніж якщо б вчитель просто викладав історичні факти. На заняття навіть можна запросити батьків, це додасть йому елемент урочистості і більшої значущості.
Вже в 1 класі при вивченні математики ви по-різному записуєте одні й ті самі числа. Так, виконуючи дії, порівнюючи вирази, числа один, два, три позначаєте знаками: 1, 2, 3. Але записуючи коротко завдання, перераховуючи пункти плану, ви ці ж числа записуєте інакше:,,. Чому одне і те ж число ми записуємо по-різному?
Це відбувається тому, що до сьогоднішніх днів, поряд з індійською системою запису чисел, люди користуються римською нумерацією. На цьому занятті ми дізнаємося про те, які римські цифри існують і як ними користуватися для позначення чисел. А розкажуть нам про це герої книги В.А. Левшина «Три дні в Карліканіі».
Отже, Сева, Таня і Олег подорожують по Карліканіі. Побувавши в країні Арабелла, де живуть Нулік й інші цифри, вони вирушили до Риму. Супроводжує їх по цій країні перекладач.
Виходять діти-актори. На грудях у кожного гурток з паперу, на якому написана перша буква імені його героя.
Після багатьох церемоній, що супроводжують знайомство, Сева, нарешті, поставив найголовніше питання:
Сівби: Чи немає у вас Нуліка?
Перекладач: Повторіть, будь ласка, ще раз. Я не розчув.
Сівби: Я питаю, чи немає у вас Нуліка?
Перекладач: Якого Нуліка? Ви, напевно говорите про той маленький кружечку, який невідомо для чого живе в Арабелли і рівно нічого із себе не представляє? Ні, ні, у нас немає нуліков! Вони абсолютно марні. Крім того, ніколи не розбереш, де у них початок, а де кінець. Ми, римляни, визнаємо тільки прямі лінії. Це дуже зручно. Відразу видно, де ноги, а де голова.
Таня: Як же ви складаєте числа, наприклад, десять, сто, якщо у вас немає нуліков?
Перекладач: Все це можна зобразити одними паличками.
Олег: Навіть велике число?
Перекладач: Навіть велике. Дивіться.
(Виходять учні, на грудях яких намальовані палички. Перекладач ляскає в долоні, діти встали по стійці «струнко» на рівній відстані один від одного, вчитель в цей час читає авторський текст:
Перекладач плеснув у долоні і стояли на площі сірникові воїни миттєво утворили кілька правильних рядів.)
Сівби: Як фізкультурники на стадіоні.
Перекладач: Кожен з цих воїнів одиниця. Нічого більше. Але з цих одиниць я можу скласти все, що завгодно. Зараз я змушу їх перетворитися на двійки. Раз, два!
(Діти перебудовуються парами. Вчитель: На площі відбулася перегрупування. Всі сірники розташувалися парами)
Перекладач: Тепер ви бачите перед собою число два. Прошу далі. Раз, два, три!
Олег: Не встигли ми оком моргнути, як в кожному ряду стало по три сірники.
(Діти перебудовуються по троє)
Перекладач: Ось вам і число три!
Таня: А чотири?
Перекладач: Спочатку познайомтеся з нашою п'ятіркою.
(Діти стають по двоє. Через деякий час з-за них виходять діти, на грудях у яких ¾ римська. Вчитель: Сірники знову перегрупувалися по двоє, впритул наблизилися один до одного і відкинулися в різні сторони.)
Олег: Ми побачили фігуру, яку у нас зазвичай називають галочкою.
Перекладач: Тепер неважко отримати і четвірку, і шестірку. Поставимо паличку ліворуч від п'ятірки, отримаємо чотири, поставимо її праворуч ¾ отримаємо шість.
(Діти показують звані числа і записують їх на дошці)
Таня: Значить, вся справа в тому, щоб з п'ятірки або відняти одиницю, або додати. Якщо одиниця ліворуч, значить, її треба відняти, якщо праворуч ¾ треба додати.
Олег: Розумію! Якщо приставити до п'ятірки праворуч дві палички, буде сім, а три палички ¾ вісім.
Перекладач: Ми так і робимо. Бачите, як просто.
Сівби: Тоді я знаю, як отримати дев'ятку.
Перекладач: Чи не збираєтеся ви для цього додати чотири палички? Цю помилку роблять багато хто. Між тим дев'ятку у нас зображають по-іншому. Адже вона стоїть ближче до десятки, ніж до п'ятірці. Значить, простіше поставити одиницю ліворуч від десятки ... Ось вам і дев'ятка!
Сева: Але як у вас зображують десятку?
(Учитель: Перекладач подав знак, і пташки-сірники перетворилися в спритних акробатів. Одні п'ятірки перекинулися і стали догори ногами, інші спритно схопилися на них. Виходять діти, на грудях яких намальовані десятки.)
Олег: Чудово!
Перекладач: Красиво і просто! А далі наше звичайне правило: одиниця ліворуч ¾ дев'ять, одиниця праворуч ¾ одинадцять. Потім дванадцять, тринадцять, чотирнадцять і так далі.
(Усі названі числа вчитель записує на дошці)
Потім дві десятки ¾ двадцять, три десятки ¾ тридцять ...
Таня: Чотири десятки ¾ сорок.
Перекладач: Стоп! Я забув вам повідомити, що, крім паличок, у нас є чотири латинські літери: M, D, С і L. М ¾ це тисяча і, як найбільша цифра, наш ватажок. Його помічники: D ¾ п'ятсот, З ¾ сто і L ¾ п'ятдесят. Отже, сорок ¾ це п'ятдесят мінус десять. Значить зображується це так ...
(Записує на дошці)
А тепер, хлопці, давайте разом з Севою, Танею і Олегом повправлятися у записі таких чисел.
2.4.2 Гурткові заняття
Проведення гурткових занять значною мірою близько до уроків. Подібність класних і позакласних занять визначається організаційною формою колективної навчальної роботи, коли вчитель веде заняття з групою учнів, проводить необхідні пояснення, запитує учнів і тому подібне. При цьому бажано учням надавати більше ініціативи, давати їм більше можливостей висловлювати власні судження з обговорюваного питання. Треба врахувати, що іноді помилкові міркування та їх спростування, тренування в "розмові" на математичні теми дає учням більше користі, ніж виклад учителем готових рішень. Хлопці потребують розвитку власної ініціативи, свого особистого підходу до вирішення даної задачі. Важливо заохочувати різні способи вирішення задач, не прагнути нав'язувати своє рішення. Разом з тим, вчителю необхідно стежити за тим, щоб тематика занять і методи роботи в гуртку були різноманітною. Цінність змісту позакласної роботи та визначається різноманітністю тематики і методів розв'язання завдань, новизною по відношенню до змісту уроку математики в класі. Але основною відмітною особливістю гурткової роботи є принцип добровільності залучення в роботу.
На гурткових заняттях школярів обов'язково треба вчити орієнтуватися в незнайомих ситуаціях і областях, вирішувати завдання на незнайому фабулу, з незвичним для них математичним змістом. Темп проведення гурткових занять повинен поступово зростати. Недоцільно на заняттях гуртка проводити систематичне повторення раніше пройдених питань, так як основне завдання гурткової роботи - розвиток творчого підходу, підвищення рівня математичної підготовки, але не повідомлення учням певних математичних фактів, що підлягають обов'язковому засвоєнню. Учитель на заняттях не повинен обмежувати ініціативи і винахідливості учнів у пошуках рішення задачі, полегшення обчислень. Крім того, для занять необхідно підбирати такі завдання, які являють собою розвиток типових завдань, передбачених або непередбачених програмою.
До заняття вчителю необхідно готуватися. Слід обмірковувати план кожного заняття гуртка, з огляду на різноманітність методів роботи з учнями. Включати в цей план окремі фрагменти бесід вчителя, оповідань, виступів учнів з короткими повідомленнями з історії математичної теорії, біографії вчених, цікавими рішеннями завдань, повідомленнями про самостійні "дослідженнях" і так далі. Це допоможе узагальнення досвіду позакласної роботи, систематичного поліпшенню її організації та методики.
Вчителю, що вирішив створити на базі свого класу математичний гурток, не обов'язково продумувати методику роботи самому. У цьому можуть допомогти методичні посібники, розроблені різними авторами. Однак, як правило, в них описано систему роботи лише на один навчальний рік. Вчителю в такому випадку важко забезпечити спадкоємність гурткових занять. Одним з небагатьох авторів, які вирішили цю проблему, є В. П. Найважче (95). Ми представляємо зразкову тематичне планування гурткових занять з 1 по 3 клас.
1класс
Заняття 1. 1. Цікава завдання на складання. 2. Вправа на перевірку знання нумерації. 3. Загадки. 4. Гра «Веселий рахунок» (в межах 20).
Заняття 2. 1. Вправи у вимірі на-віч. 2. Завдання у віршах. 3. Завдання-кмітливість. 4. Завдання-жарт. 5. Загадки. 6. Гра «задумав число» (в основі ¾ а + х = в, х + а = в).
Заняття 3. 1. Вправа на порівняння фігур. 2. Ребуси. 3. Завдання у віршах. 4. Завдання-кмітливість. 5. Загадка. 6. Гра «на 5 більше і на 5 менше».
Заняття 4. 1. Гра «задумав число» (в основі віднімання числа із суми виду: (х + а) - х = а). 2. Завдання у віршах на різницеве порівняння. 3. Завдання-кмітливість. 4. Цікавий квадрат. 5. Завдання-жарт. 6. Загадка. 7. Гра «Дізнайся, на який парті прапорець» (на знаходження зменшуваного).
Заняття 5. 1. Випуск математичної газети. 2. Логічна гра «Яка математична постать зникла?».
Заняття 6. Підсумки роботи гуртка. 2. Виставка кращих робіт учнів.
3. Математичні ігри.
2 клас
Заняття 1. 1. Ребуси. 2. Цікаві задачі на додавання. 3. Вправи на знання нумерації. 4. Завдання-кмітливість. 5. Завдання-жарт. 6. Загадки. 7. Гра «Веселий рахунок» (в межах 24).
Заняття 2. 1. Ребуси. 2. Завдання у віршах на додавання. 3. Аналіз геометричних фігур. 4. Завдання-кмітливість. 5. Завдання-жарт. 6. Загадки. 7. Гра «Число додавай, а сам не зівай!».
Заняття 3. 1. Танграм. 2. Завдання у віршах. 3. Завдання-кмітливість на зміну різниці. 4. Загадка. 5. Гра «задумав число».
Заняття 4. 1. Випуск математичної газети. 2. Гра «Не зіб'юся».
Заняття 5. 1. Підсумки випуску газети. 2. Завдання у віршах. 3. Логічні вправи з відносинами «більше», «менше», «дорівнює». 4. Завдання-жарт. 5. Гра "Таблицю знаю».
Заняття 6. 1. Ребуси. 2. Завдання у віршах на додавання. 3. Логічні вправи на порівняння фігур. 4. Завдання-кмітливість. 5. Завдання-жарт. 6. Загадка. 7. Логічна гра «Дізнайся, який значок на твоїй шапочці».
Заняття 7. 1. Таблиця множення на пальцях. 2. Завдання у віршах. 3. Завдання-кмітливість. 4. Завдання-жарт. 5. Загадка. 6. Гра «Телефон».
Заняття 8. 1. Випуск математичної газети. 2. Ігри.
Заняття 9. 1. Підсумки випуску газети. 2. Завдання на обчислення часу. 3. Завдання-жарт. 4. Завдання-кмітливість. 5. Загадка на міри часу. 6. Гра «Чарівний циферблат».
Заняття 10. Виставка кращих робіт учнів. 2. Ігри. 3. Підведення підсумків роботи гуртка.
3 клас
Заняття 1. 1. Ребуси. 2. Завдання у віршах. 3. Завдання-кмітливість. 4. Загадка. 5. Гра "Таблицю знаю».
Заняття 2. 1. Числа-велетні. 2. Колективний рахунок. 3. Завдання-кмітливість. 4. Завдання-жарт. 5. Загадка. 6. Гра «Знай свій розряд».
Заняття 3. 1. Логічна завдання на порівняння фігур. 2. Завдання у віршах. 3. Наочна алгебра. 4. Логічна завдання. 5. Завдання-жарт. 6. Загадка. 7. Гра «У кого яка цифра?».
Заняття 4. 1. Випуск математичної газети. 2. Ігри.
Заняття 5. 1. Підсумки випуску газети. 2. Завдання на рух. 3. Логічне вправу на засвоєння змісту слова «одночасно». 4. Завдання у віршах. 5. Завдання-кмітливість. 6. Загадка. 7. Гра «Дивний квадрат».
Заняття 6. 1. Ребуси. 2. Завдання у віршах. 3. Завдання-кмітливість (знаходження цілого по частці). 4. Завдання про зустрічні поїздах. 5. Завдання-жарт. 6. Загадка. 7. Логічна гра «Молодці і хитруни».
Заняття 7. 1. Сценка про С. В. Ковалевської. 2. Завдання у віршах. 3. Завдання-кмітливість. 4. Завдання-жарт. 5. Загадка. 6. Гра «задумане число за формулою (х 3): х + 7 = 10»
Заняття 8. 1. Випуск математичної газети. 2. Ігри.
Заняття 9. 1. Підсумки випуску газети. 2. Завдання у віршах. 3. Завдання-кмітливість. 4. Завдання-жарт. 5. Загадка. 6. Гра «На 40 більше і на 40 менше»
Заняття 10. 1. Підсумки роботи гуртка. 2. Виставка кращих робіт учнів. 3. Ігри.
Подібна система занять може бути взята вчителем за основу, однак заняття ми рекомендували б кожному вчителю трохи вдосконалити і перебудувати відповідно до особливостей своїх учнів. До того ж заняття, розроблені В.П. Трудневим, кілька «сухуваті», на наш погляд, їм не вистачає жвавості, в них немає динаміки. Не зовсім зрозуміло і відсутність (за винятком невеликого оповідання про життя С. В. Ковалевської) історичних відомостей, адже автор визнає їх важливість у розвитку математичних здібностей та інтересу до предмета.
Набагато цікавіше, на нашу думку, допомога В.А. Ігнатьєва, яке, до речі, спробував перетворити В.П. Важче, взявши його за основу. Пропоновані В.А. Ігнатьєвим заняття цікаві, різноманітні і захоплюючі, на них учні дізнаються багато нового і цікавого (30, 31).
Для малюків цікаві системи заняття розроблені В.Г. Житомирським і Л.М. Шеврин (23, 24). Так само нас зацікавила робота В.Г. Іванова та О.П. Іванової (29). Ми так само знаходимо цікавою їх систему занять, розроблену для математичного гуртка. Цікаві авторські розробки можна знайти і в журналі «Початкова школа», раніше публікацій, що стосуються позакласної роботи з математики, був присвячений великий розділ у кожному шостому номері. Зараз ситуація дещо змінилася. На жаль, на сторінках журналу все менше з'являється статей такого роду, але вони все ж є.
Так що самому скласти систему занять в математичному гуртку творчому вчителю не так вже й складно, важливо правильно відібрати й розподілити матеріал і точно слідувати поставленим перед собою цілей: прищеплювати інтерес до математики, розвивати творчі математичні здібності школярів.
2.4.3 Математичні вечора
Мета і характер проведення математичних вечорів (ранків) дещо відмінні від звичайних цілей і звичного способу дій, коли учень "займається" математикою ¾ вирішує завдання, доводить теореми, виконує геометричні побудови або є глядачем і слухачем літературно-мистецького вечора.
Перш за все, на таких вечорах, як правило, присутні не тільки ті учні, які проявили свої здібності в математиці, але й школярі, які такого інтересу до математики ще не мають, а їх успіхи з цього предмету вельми скромні. Ступінь їх участі в математичному вечорі найчастіше обмежується лише таким видом діяльності, який прямо не пов'язаний з предметом: підготовкою оформлення вечора, випуском газети, виконанням ролей у інсценуваннях, підготовкою квитків і премій, декламацією віршів, роздачею матеріалу для гри і так далі.
Організація математичних вечорів для школярів молодшого віку має на меті:
¾ зацікавити предметом;
¾ представити серйозні математичні ідеї у цікавій формі;
¾ викликати здивування, бажання помріяти;
¾ викликати прагнення самому сформулювати і вирішити задачу.
Звичайно, потрібно при цьому пам'ятати, що надмірне захоплення цікавою стороною математики не дасть бажаного результату. На одних жартах і зовнішнім ефектом не прівьешь учню сьогодення і стійкого інтересу до занять математикою.
Цінність математичних вечорів не тільки і не, скільки в їх математичному змісті, скільки в характері діяльності на цих вечорах. Це вечір, на якому діти фантазують, вчаться міркувати, правильно мислити і говорити. Таким чином, час, проведений на математичному вечорі, для учнів працює не на одну лише математику, а має загальнокультурну цінність і виховне значення.
Форми математичних вечорів бувають різними. Вони можуть проходити у вигляді
¾ вікторин,
¾ КВНів,
¾ змагань однієї групи учнів з іншого,
¾ ранків.
При цьому зміст вечора не може обмежуватися одними лише математичними питаннями. Математична тематика постає перед учнями в ігровій формі ¾ у вигляді ребусів, кросвордів, вікторин, цікавих питань і відповідей, загадок, софізмів і ретельно замаскованих помилок у міркуваннях, які учні повинні виявити, і інші.
Заняття такого виду викликають гострий інтерес в учнів, дають їм можливість вдосталь пофантазувати, спираючись як на інтуїцію і здоровий глузд, так і на міркування, що підкоряються логіці, прийнятої в математичних доказах.
Прикладом такої роботи може служити проведення математичного КВНу, який буде цікавий учням 3-4 класів. Ця форма роботи цікава якраз тим, що діти можуть не тільки проявити себе в галузі математичних знань, але і пофантазувати, пограти, проявити себе в багатьох інших областях. Ми пропонуємо провести такий, розроблений нами, математичний вечір.
Привітання команд (команди сформовані з учнів одного ряду, діти готуються до привітання заздалегідь, їм може допомагати вчитель). Команди представляють себе і розповідають про роль математики в житті.
Розминка. Командам по черзі ставлять запитання, на обдумування яких дається 30 секунд. Якщо не відповідає команда, якій адресувався питання, право відповіді має інша команда. Зразкові питання:
¾ одне яйце вариться 3 хвилини. Скільки будуть варитися 4 яйця? (3 хвилини)
¾ коли півень стоїть на двох ногах, він важить 4 кг. Скільки буде важити півень, якщо постане на одну ногу?
¾ Яка буває кінь, коли її купують?
Твір математичних історій. Командам задається тема і даються опорні слова.
Згадуй-ка. Згадати прислів'я, приказки та назви казок, в яких зустрічаються числа.
Індивідуальний залік. Одна людина від команди, стрибаючи на одній нозі, згадує таблицю множення.
Страждання за ребусів. Відгадування ребусів, вивішених на дошці (яка команда більше ребусів відгадає за 5 хвилин).
Конкурс капітанів. Капітани загадують одне одному загадки, в яких зустрічаються числа (загадки готуються заздалегідь).
Музичний конкурс. Команди вирішують приклади, за допомогою відповідей до яких зашифрована на дошці назву пісні. Хто перший заспіває цю пісню ¾ той переміг у цьому конкурсі.
Підведення підсумків КВНу, нагородження переможців.
Слід зазначити, що окуляри повинні виставлятися після кожного конкурсу членами журі, якими можуть бути учні-старшокласники, батьки, інші вчителі.
Тематика і методика проведення математичних вечорів вельми різноманітні. Зміст вечорів може групуватися навколо історичної теми (історія математичної ідеї, теорії, математичного відкриття, біографії великих математиків), прикладів застосування математики в різних галузях науки і техніки. Прикладом таких занять може служити вікторина, присвячена життю якого-небудь великого математика. Пропонуємо розроблену нами вікторину, присвячену життю і творчості першої російської жінки-математика Софії Василівни Ковалевської, проводити яку пропонуємо в 4 класі або в математичному клубі.
Хлопці, сьогодні ми познайомимося з життям дивовижну людину, дивовижної жінки. Її існування ¾ захоплююча історія про дівчину, що полюбила свободу і математику, історія про жінку, проклала дорогу в науку жінкам Росії і Європи. Давайте дізнаємося її ім'я.
1. Складіть всілякі двозначні числа з допомогою цифр 1, 2, 3. Скільки їх вийшло?
Барто Агнія Львівна ¾ 3,
Марія Склодовська-Кьюрі ¾ 15,
Ковалевська Софія Василівна ¾ 27.
Батько Софії Василівни, генерал-лейтенант артилерії, вийшов у відставку і виїхав з сім'єю з Москви у свій родовий маєток, яке знаходилося на кордоні з Литвою. Краса маєтку була незвичайною: навколо нього на сотні кілометрів простягалися ліси, багаті ягодами, грибами, зайцями, птахами і борсуки. Великий панський будинок стояв на пагорбі. Він був оточений садом з альтанками, що потопають у бузку і жасмині, а з північного боку заростав травами великий ставок. Дізнайтеся, як називалася ця маєток.
2. Скільки вийде, якщо скласти найменше двозначне число, найменше тризначне і найменше чотиризначне числа?
Зарічне ¾ 1233,
Палібін ¾ 1110,
Жайворонки ¾ 11220.
Мати Соні, Єлизавета Федорівна, була онукою Петербурзького академіка, який був великим ученим і військовим діячем, відомим своїми роботами з геодезії та виданням географічних карт Росії. За професією він був ...
3. Один насос за одну хвилину викачує 5 тонн води. За скільки хвилин 5 таких насосів викачають 10 тонн води?
Географом ¾ 5 хвилин,
Астрономом ¾ 2 хвилини,
Військовим ¾ 1 хвилина.
Перші уроки математики Соня і її старша сестра Ганна отримали в сім'ї у свого домашнього вчителя. Це був талановитий педагог. До своєї праці він ставився із захопленням, любив дітей і до кожного знаходив особливий підхід. Він вважав, що російська мова ¾ найважливіший з предметів, тому Соня писала під диктовку, вивчала самостійно усно і письмово, вчила вірші напам'ять, читала твори російських авторів. До 10 з половиною років вона вивчала і арифметику. Потім Софія Василівна говорила, що саме це дало їй основу математичних знань. Як звали домашнього вчителя Соні та Ані?
4. У кошику лежало декілька яблук, їх було менше 15. Якщо розділити їх порівну на двох, то 1 яблуко залишиться. Якщо розділити на трьох хлопців ¾ теж 1 яблуко залишиться. Якщо розділити на чотирьох, то знову залишиться 1 яблуко зайвим. Скільки в кошику яблук?
Йосип Гнатович ¾ 13,
Макар Семенович ¾ 11,
Модест Карпович ¾ 5.
Одного разу в кімнаті Соні вирішили робити ремонт. Грошей на шпалери не вистачило, і стіни в кімнаті обклеїли сторінками з книги з вищої математики. Коли дівчинка залишалася в кімнаті одна, щоб не нудьгувати, вона читала те, що було написано на стінах. Їй навіть стало подобається читати незрозумілі слова і роздивлятися формули. Дівчинці захотілося розібратися у всьому і вона самостійно стала займатися математикою. Ось так з маленької дівчинки, яка читає написи на стінах своєї кімнати, Софія Василівна перетворилася на знаменитого вченого. Вона стала першою російською жінкою-математиком. Правда, жила Ковалевська не в Росії. Вона вийшла заміж за іноземного вченого-біолога і поїхала з ним жити закордон. Де ж жила Софія Василівна Ковалевська зі своїм чоловіком?
5. У 5-іетажном будинку 112 квартир. Перший поверх зайнятий під магазин, а на інших поверхах квартири розміщені рівномірно. На якому поверсі знаходиться квартира з номером 84?
Англія ¾ 3,
Німеччина ¾ 4,
Франція ¾ 5.
Зміст питань, які обговорюються на вечорі, не обов'язково має бути присвячене власне математичної тематики. Вони можуть охопити області суміжних дисциплін, у тому числі тих із них, які будуть вивчатися в майбутньому.
У методиці проведення вечора слід враховувати особливості віку учнів 1-4 класів, а саме, дітям необхідна постійна активна діяльність. Тому велика частина часу в учнів має бути зайнята виконанням вправ, рішення яких не вимагає великих міркувань, тривалого часу, не пов'язане з громіздкими обчисленнями і тотожними перетвореннями. Стислість рішення, несподіванка результату, цікавість, зв'язок з іншими предметами ¾ ось основні напрямки при розробці змісту конкретного математичного вечора.
При організації вечора необхідно домагатися активної участі школярів у роботі, викликати дискусії, суперечки, публічний обмін думками, твердженнями і докладний і популярний розбір правильного вирішення питання, оприлюднення прізвищ учнів, які сприяли відшукання істини.
Зміст вечора має перегукуватися зі шкільним курсом математики і частково відбивати зміст занять у гуртку і в достатній мірі бути доступним і знову які прийшли учням, не приділяв до цього великого уваги занять математикою.
Прикладом такого вечора можуть бути математичні ранки. Ці заходи можна проводити спільно з батьками. Ми пропонуємо сценарій ранку-чаювання "Математичний чай". Ідею такого вечора ми знайшли у С. П. Ісхановой (33). У вчителя повинна припасено бути печиво у вигляді квадратів, прямокутників, трикутників, ромбів, кіл і подібне. Учні розбиті на кілька команд по 4-5 чоловік. Можна в кожну команду додати по батькові, а можна створити цілу команду з батьків, тоді змагання пройде цікавіше і веселіше. За кожну правильну відповідь кожен учасник команди отримує по печінкою, з яким після закінчення змагання і буде пити чай.
Математичні вечори недоцільно проводити часто. Їх підготовка займає чимало часу, в неї залучені багато учнів, тому таких вечорів повинно бути один-два на рік. Доцільніше включати їх у загальношкільний план роботи.
Можна також влаштовувати вечори для всіх класів паралелі. У цьому випадку вечір можна провести як змагання команд від кожного класу. Учні, які не зайняли місце в команді, повинні організувати групу підтримки, можна придумати навіть кричалки. Найбільш доречним кінцем такого вечора може з'явитися дискотека. Сценарієм такого вечора може служити сценарій класного КВНу, вікторини або ранку.
Весь порядок проведення вечора повинен бути детально спланований і розписаний: матеріал і завдання учнями повинні бути заздалегідь дані. Необхідний і чіткий порядок контролю за виконанням завдань. Тут на допомогу слід залучати старших учнів, вчителів суміжних класів, які спільно готують вечір. У дорученнях необхідно врахувати: оформлення залу, запрошення гостей, проведення окремих фрагментів вечори, виставки робіт учнів (класні зошити, кращі контрольні роботи, оригінальні рішення завдань; кращі завдання, складені самими учнями, кращі газети).
Вечір цікавої математики замишляється як певний звіт про стан математичної освіти в класах даної паралелі.
Одним з розділів вечора може бути оголошення результатів роботи гуртківців, результатів проведеного математичного конкурсу, а наприкінці року та оголошення результатів проведеного заліку. Не слід забувати і різні цікаві фокуси, відгадки задуманих чисел та інше.
Організація вечора або проведення математичної вікторини вимагає значної підготовчої роботи. При цьому не слід забувати, що сама підготовка не менш корисна для учнів, ніж проведення заходу, особливо якщо в цій підготовці беруть участь багато учнів.
2.4.4 Математичні олімпіади
Нова для учнів форма позакласної роботи ¾ олімпіада ¾ повинна постати перед ними захоплюючим змаганням, прививающим інтерес і любов до цього предмета, які розширюють кругозір і систематизирующим знання і навички.
Тому настільки відповідальна роль організаторів перших у житті школяра олімпіад. Невміло складені задачі можуть відлякати учня своєю складністю і незвичністю, непривабливістю формулювань, передчасністю ознайомлення з використовуваним матеріалом. З іншого боку, якщо олімпіадні завдання мало відрізняються від звичайних "шкільних", то олімпіада перетворюється на додаткову контрольну роботу, а це може послабити прагнення дітей до поглиблення знань з математики, охолодити учнів.
Отже, олімпіади в 1 - 4 класах з математики сприяють знайомству учнів з цією захоплюючою формою позакласного навчання; сприяють розширенню математичних знань учнів; знайомлять їх з цікавими завданнями і витонченими, часом несподіваними методами їх вирішення.
Можлива наступна організація олімпіади в 1-4 класах. Для участі в олімпіаді запрошують всіх охочих. Учасникам змагання надаються умови певної кількості завдань, на вирішення яких виділяють певний час. Підбір завдань здійснюють таким чином: перше завдання повинна бути загальнодоступною за своїм рішенням та оригінальною за формулюванням, заснованої на життєвих спостереженнях учнів; наступні ¾ поєднувати математичні факти і терміни з різних розділів курсу; повинні бути представлені і логічні задачі. Олімпіада має бути складною, розрахованої на нестандартний прийом мислення.
Підібрані нами завдання ми пропонуємо використовувати, як конкурсні олімпіадні для учнів 3 (4) класів.
3 людини снідали в кафе. Двоє їли сосиски, двоє ¾ вінегрет, а двоє ¾ виноград. Той, хто не їв сосисок, не їв і виноград, а той, який не їв виноград, не їв і вінегрет. Хто що їв?
Маленький Мук і королівський скороход змагалися з бігу по доріжці довгою - 30 км, яка йшла навколо лісу. За умовами змагання виграє той, хто обжене іншого, пробігши на коло більше. Скороход робить коло за 10 хв, а маленький мук за 6 хв. Обидва біжать рівномірно. Через скільки хвилин Маленький Мук обжене скорохода?
У Московському Кремлі зберігаються старовинні гармата і дзвін. За велику величину їх назвали: цар-дзвін і цар-гармата. Разом вони важать 240 тонн. Цар-дзвін у 5 разів важче цар-пушки. Скільки важать окремо цар-дзвін і цар-гармата?
Як поставити 16 стільців у чотирьох стін кімнати, щоб у кожної стіни стояло по 5 стільців?
Одна людина помічав всі числові співвідношення. Він знав, що в тому кафе, в яке він ходить снідати, в одній чашці кави з вершками 6 ковтків. Одного разу, зробивши один ковток, він підкликав офіціанта: «Кава без вершків. Долийте їх ». Його прохання офіціант виконав. Після ще двох ковтків людина залишився незадоволений: «Доповніть ще». Потім він відпив півчашки і знову попросив доповнити її вершками. Тільки тепер він випив всю чашку до дна. Чого ж більше випив чоловік ¾ кави або вершків?
Через 8 років Наді буде на 14 років більше, ніж Наташі буде через 17 років, а Міші буде на 7 років більше, ніж Тарасу буде через 9 років. Хто молодший з дівчаток і хто молодше з хлопчиків? Чи можна дізнатися, хто з хлопців наймолодший?
Поштовий індекс кожного з районів казкової країни Задзеркалля виражається чотиризначним числом, у записі якого цифри не повторюються. Крім того, сума однозначних чисел, позначених двома середніми цифрами, дорівнює 15, а число, записане крайній лівій цифрою, в 3 рази менше числа, записаного крайньої правої. Визначте всі можливі різні індекси. Скільки районів може бути в Задзеркаллі?
Останнє завдання з багатоваріантним рішенням дозволить диференціювати результати кожного учня. Визначення успішності її виконання пропорційно кількості рішень.
У період підготовки до олімпіади вчитель повинен повідомляти учням про те, як правильно розподілити свої сили і час на олімпіаді, як самостійно готуватися. Слід знайомити учасників олімпіади з новими, нестандартними методами вирішення завдань.
Розбирати вирішення завдань олімпіади слід своєчасно, коли ще свіжі в пам'яті учня відчуття, пов'язані із змаганням; в строгій і урочистій обстановці.
2.4.5 Математичні добровільні заліки
Будь-яке важливе справу немислимо без обліку та інформації про результати роботи. Якими б методами ми не користувалися, і в яких би умовах ні проводилося навчання, не можна обійтися без перевірки отриманих учнями знань і навичок, без перевірки проведеної роботи, без так званої зворотного зв'язку отримання інформації про хід та якість засвоєння матеріалу, що вивчається.
Перевірка якості навчальної роботи учнів необхідна і в позакласній роботі. Звичайно, в процесі роботи вчитель чує відповіді та виступи дітей, отримує інформацію про окремі успіхи того чи іншого учня. Однак ця інформація часто неоднорідна в різних вчителів, керівників гуртків, вона не дає можливості порівнювати роботу різних гуртків і створити у вчителя сформовану думку про загальноприйняті критерії оцінки їх ефективності, про те, які результати учнів слід високо розцінювати безвідносно до рівня роботи конкретного гуртка. Тому необхідні конкретні пропозиції з перевірки знань, умінь, навичок та розвитку учнів. Цій меті можуть служити математичні заліки та олімпіади. Цілями такої роботи, як проведення заліків, є
¾ розвиток самостійності в роботі,
¾ розвиток готовності добровільно і самостійно виконати велике завдання за великий термін, що вимагає від учнів більш високого рівня розвитку інтересу до вивчення математики.
Така форма звітності відповідає віковим особливостям учнів, їх бажанням брати участь у змаганнях і домагатися успіху, прагненню показати свої досягнення перед товаришами.
Проведення заліків створює умови для вдосконалення індивідуального підходу вчителя в роботі з учнями. Така форма роботи дає можливість охопити і тих учнів, які з якої-небудь причини зовсім не відвідували або пропустили частину занять.
Заліки дають можливість надати всієї позакласній роботі завершену форму, підвести підсумки, ліквідувати наявні прогалини, організувати повторення. Крім того, проведення подібних заліків хіба що готує учнів до залікової формою навчання у старшій ланці. Учні, які виявляють інтерес і здібності до занять з математики, повинні вміти звітувати у виконану роботу.
Проведення заліків поряд з гурткової роботою і олімпіадами дає можливість виявити найбільш здібних, працьовитих і цікавляться математикою учнів.
Організація заліків ¾ досить важливий елемент у роботі. Ми вважаємо оптимальним проведення двох заліків на рік. На кожному заліку учень повинен вміти вирішувати заздалегідь запропоновані вчителем 15 завдань.
Ми розробили цікаву, на наш погляд, добірку завдань для проведення математичного добровільного заліку в 3 (4) класі.
Світла, Зіна і Катя повинні розфарбувати кожну з чотирьох картинок трьома кольорами: синім, зеленим і червоним. Світла розфарбовує кожну картинку синім, Зіна ¾ зеленим, а Катя ¾ червоним кольором. На розмальовку однієї картини кожної фарбою потрібно одна хвилина. Обрану картинку може розфарбовувати лише одна дівчинка. Чи можуть дівчинки розфарбувати всі картинки за чотири хвилини, як?
У 16-ти клітинах квадрата розставте числа 0, 1, 2, 3, 4, ... 15 так щоб сума чисел по горизонталі, вертикалі і діагоналях дорівнювала 30.
Два Ведмедика знайшли головку сиру. Вони довго сперечалися, як її поділити але ніхто не хотів поступатися. Повз пробігала Лиса. Дізнавшись про що суперечка, вона запропонувала допомогти. Поламавши головку сиру на дві частини так, щоб вона з них була півкілограма, а інша менше, вона запитала, усміхаючись:
¾ шматки рівні?
Жадібні Ведмежата дали негативну відповідь. Тоді Лиса відкусила від більшої частини, але так, щоб від неї залишився шматок менший, ніж інша частина і повторила питання. І на цей раз Ведмежата повідомили, що вийшли нерівні частини. Після цього Лисиця повторила откусиваніе ще 9 разів, щоразу відкушуючи однакову кількість сиру. У результаті залишилися маленькі шматочки, при чому один з них виявився на 20 г більше іншого. Лисиця заявила, що ведмежатам важко догодити. Вона відправила обидва шматочка в рот і вильнувши хвостом, зникла в кущах. Яка балу маса головки сиру?
Наташа, Галя, Валя, Маша і Олена вирізали з паперу різні фігурки. Хтось вирізав кола з паперу в лінійку, хтось квадрати з паперу в клітинку, хто-то кола з паперу в клітинку, хтось квадрати з паперу в лінійку, хтось прапорці з білого паперу. Валя і Галя вирізала кола, Галя і Наташа вирізали з паперу в клітинку, Наташа і Маша вирізали квадрати. Хто, що вирізав?
Сім кіл розташовані по колу
Чи можна розфарбувати ці кола червоним, зеленим і синім кольором так, щоб два кола одного кольору не були поряд? Кіл різного кольору не однакове число, зелених кіл більше, ніж червоних і синіх.
Відстань від будинку учня до школи 2 км 500 м, але по дорозі в школу учень зауважив, що він пройшов 1 км за 1 / 5 години і у нього на що залишилася шлях є ще 20 хв. Чи встигне учень прийти в школу, якщо він буде йти з тією ж швидкістю?
Через 9 років Петі буде на 11 років більше, ніж Вані буде через 15 років. Через 6 років Маші буде на 4 роки більше, ніж Люде буде через 9 років. Хто старший із хлопчиків і хто молодше з дівчаток?
Як відібрати 4 сірники так, щоб залишилися сірники утворили 5 квадратів, причому квадрати можуть бути і неоднакової величини.
У п'яти селян ¾ Івана, Петра, Якова, Михайла і Герасима ¾ було 10 овець. Ніяк не могли вони знайти пастуха для своїх овець. Тоді Іван запропонував: «Будемо пасти овець по черзі, по стільки днів, скільки кожен має овець». Як розподіляться дні, якщо відомо, що в Івана овець в 2 рази менше, ніж у Петра, у Якова в 2 рази менше, ніж у Івана, у Михайла в 2 рази більше, ніж у Якова, а у Герасима в 4 рази менше, ніж у Петра?
Як зробити рамку для картини, розрізавши основу по лініях на 4 куточка?
Давним-давно був побудований канал і такий вузький, що зустрічні пароплави роз'їхатися ніяк не могли. На каналі був лише один затоку, в який міг стати тільки один пароплав. Тільки тоді інші пароплави повз нього могли проїжджати по каналу. Одного разу йшли по каналу два пароплави з одного боку, а назустріч їм ¾ два інших пароплава. Як же роз'їхатися пароплавам, щоб вони могли йти далі по своїх напрямках?
Є 16 кг борошна і кілька однакових за вагою порожніх мішків. Є ваги, але гир немає. Як, не маючи гир, зважити 12 кг борошна, 14 кг?
Запитав хтось у вчителя: «Скажи, скільки у тебе в класі учнів, тому що хочу віддати до тебе в вчення свого сина». На це вчитель відповів: «Якщо прийде ще стільки, скільки є, полстолько і чверть стільки і твій син, то буде 100». Скільки ж учнів у класі?
У битві з триголовим і треххвостим Змієм Гориничем Іван-Царевич одним ударом меча може зрубати або одну голову, або дві голови, або один хвіст, або два хвости. Якщо зрубати одну голову ¾ нова виросте, якщо зрубати один хвіст ¾ два нових зростуть, якщо зрубати два хвости ¾ голова виросте, якщо зрубати дві голови ¾ нічого не виросте. Порадьте Івану-Царевичу, як вчинити, щоб він міг зрубати Змієві всі голови і хвости.
Як розставити 10 стільців у чотирьох стін кімнати, щоб у кожної стіни було порівну?
Список цих завдань корисно дати учням за 2 - 3 місяці до проведення самого заліку. При цьому необхідно провести підготовчу роботу, метою якої має стати роз'яснення учням необхідність вирішити завдання самостійно, без чиєї-небудь допомоги. Завдання, запропоновані для заліку, також не слід розбирати з учнями під час гурткових занять. Бажано, щоб учні самі усвідомили безглуздість чужої допомоги в цій роботі.
Залік проводиться в усній формі, ніяких письмових рішень завдань представляти не треба. Учень "тягне" три завдання і пояснює рішення тих з них, які краще знає. Для отримання заліку достатньо пояснити вирішення двох задач. При цьому слід враховувати і заохочувати оригінальні ідеї у вирішенні завдань.
Для офіційного визнання успіху учня заводиться залікова книжка, в якій зазначаються факт здачі заліку, дата і підпис вчителя. Виготовити такі залікові книжки можна на уроках праці, в них також можна заносити різні заохочення і факти нагородження.
Години та хвилини цікавої арифметики.
Ця форма позакласної роботи може проводитися навіть під час самого уроку, в цьому випадку мова буде йти про цікавих хвилинах, до цікавим ж математичним годинах, очевидно, можна віднести екскурсії та різні позакласні заняття та математичні вікторини цікавого характеру.
Можна провести з дітьми «Конкурс кмітливих». Для цього учні розбиваються на кілька команд по 3-6 чоловік у кожній. За найшвидший правильну відповідь команда отримує очко, це може бути вирізана з паперу зірочка, сонечко, смішна пика або ж щось ще. У другому турі серед учасників перемогла команди виявляється самий кмітливий, їм стане той, хто відповість на більшу кількість запитань другого туру. Зразкові питання:
1 тур.
Які годинник показує вірний час тільки 2 рази на добу?
Коли ми дивимося на 3, а говоримо «15»?
Скільки хвилин треба варити яйце, зварене круто?
Сиділи дві дочки, дві матері та бабуся з онукою. Скільки всіх?
Йшов Кіндрат
У Ленінград,
А назустріч ¾ дванадцять хлопців.
У кожного по три кошики,
У кожному кошику ¾ кішка,
У кожної кішки ¾ дванадцять кошенят.
У кожного кошеня
У зубах по чотири мишеняти.
І задумався старий Кіндрат:
«Скільки мишенят і кошенят
Хлопці несуть в Ленінград? »
У якому місяці 28 днів?
Яйце має варитися 4 хвилини. Скільки хвилин будуть варитися 3 яйця?
Петя за півгодини впіймав 5 рибок. Скільки рибок він зловить за 1 годину?
Два хлопчики ¾ Петя і Ваня, вирушили до лавочку. По дорозі вони знайшли 10 рублів. Скільки грошей знайшов би Петя, якби пішов до крамниці один?
У кімнаті 4 кута. У кожному кутку сидить кішка. Проти кожної кішки сидять по 3 кішки. Скільки всього кішок?
2 тур.
Якщо перевернути цифру зверху вниз, вона зменшується на 3. Яка це цифра?
У відомій казці «Піди туди ¾ не знаю куди, принеси те ¾ не знаю що» цар послав стрілка Андрія за «тридев'ять земель». Тридев'ять ¾ це скільки?
Довжина колоди 5 аршинів. В одну хвилину від цього колоди відпилюють по одному аршину. У скільки хвилин буде розпиляно цю колоду?
Продовж числовий ряд: 1, 4, 5, 9, 14, ...
Але й такі заняття вимагають дотримання певних вимог.
1.На заняттях необхідно здійснювати диференційований підхід.
2. Оформлення приміщення повинно бути захоплюючим і яскравим, так само як і демонстраційний матеріал.
3. Велике місце в системі занять відводити числовим загадок, задач у віршах, завданням-жартів і драматизації завдань.
4. Тривалість занять визначається їх цільовою установкою. Краще проводити такі заняття частіше, але меншої тривалості (10-15 хвилин).
5.Учітель повинен на заняттях так само знайомити дітей з різними математичними іграми, щоб діти могли грати в них самостійно.
Можна включати елементи цікавості в сам урок. Сюди відносяться і дидактичні ігри, і завдання у віршах, і ребуси, і завдання-кмітливості, і логічні задачі і загадки. Вони легко «вплетутся» в загальну канву уроку і знімуть напругу, внесуть в урок емоційний настрій.
Прикладом такої роботи можуть служити цікаві математичні вправи на основі прохідного матеріалу. На уроці закріплення обчислювальних навичок можна використовувати такі завдання:
Цей звір по виглядом ¾ щось середнє між білкою і мишкою, з округлими вушками, великими очима, пухнастим хвостом. У лісах, де він живе, влітку чується кашель, хтось посвистує, бурчить. Так перекликаються ці звірятка.
4: 2 + 6 + 2 Бабак ¾ 5
Соня ¾ 10
Борсук ¾ 4
Все літо їсть і риє, риє і їсть. Їсть траву до півтора кг в день, гусениць, жуків, равликів. Риє нору до 7 м завглибшки, а на поверхні виростають земляні пагорби до 18 м у поперечнику і висотою близько 1 м.
Такі завдання неважко придумати самому, взявши за основу біологічні або історичні знання або досягнення «Книги рекордів Гіннеса» (ж.).
Можна запропонувати таку форму роботи з дітьми, як самого маленького віку, так і з учнями 2-3 класів. Учитель заготовлює картки з завданнями у віршах і пронумеровують їх. Всім бажаючим лунає щодня по картці, діти вирішують завдання на перервах, у вільний час або ж вчитель може виділити на це кілька хвилин від уроку. У класі вивішується таблиця успіхів, де фіксуються всі правильні відповіді учнів. Підсумки такого «конкурсу» підбиваються в кінці тижня або навчальної чверті. Такі вірші можна знайти в методичних посібниках, у дитячих авторів або скласти самому.
Прилетіли галки, сіли на палиці.
Якщо на кожній палиці сяде по одній галки,
То для однієї галки не вистачить палиці.
Якщо ж на одній палиці сяде по дві галки,
То одна з палиць буде без галок.
Скільки було галок? Скільки було палиць?
За стежкою вздовж кущів йшло 11 хвостів.
Порахувати я також зміг, що крокувало 30 ніг
Це разом йшли кудись півні і поросята.
А тепер питання така: скільки було півнів?
І дізнатися я був би радий, скільки було поросят?
Ти зумів знайти відповідь? До побачення, всім привіт!
¾ Я на два роки старший лева, ¾ сказала мудра сова.
¾ А я в два рази старше вас, ¾ сові відповів дикобраз.
Лев на нього глянув і гордо мовив, трохи наморщивши ніс:
¾ Я старше на 4 роки, ніж ви, шановний іглонос. ¾
А скільки всім їм разом років? Перевірте двічі свою відповідь.
Можна на картках також записувати й логічні завдання:
Вставте пропущену букву і пропущене число:
1 в 5?
а 3 д?
Вставте відсутнє число:
16?
1 3 5 7 2 2 3 3
Можна для такої роботи використовувати і завдання-кмітливості, і загадки. Цей цікавий матеріал дуже різноманітний, широко представлений у навчально-методичній літературі та періодичній пресі. Години та хвилини цікавої арифметики ¾ сильнодіючий педагогічний засіб, доступне кожному вчителю та, найголовніше, не вимагає тривалої підготовки і не займає багато часу, для такої роботи треба використовувати будь-яку вільну хвилину як на уроці так і поза ним.
Цікаві і корисні дітям будуть і математичні фокуси. Вони повинні зайняти гідне місце в позакласній роботі з математики. Учитель може не лише показувати їх дітям, але і знайомити з «секретами» того чи іншого фокусу. Тоді вже діти будуть показувати їх своїм друзям, батькам, а може хтось з хлопців сам придумає математичний фокус. Дітям буде корисно спробувати виявити закономірності, що лежать в основі того чи іншого фокусу. Наприклад, здогадатися, в чому суть такого фокусу:
Ось чарівний птах. Загадай число і скажи, в яких пір'ї зліва направо воно зустрічається. Я це число легко вгадаю!
Секрет фокуса в тому, що це число є сумою чисел, що стоять першими в тих крилах, де зустрічається загадане число.
Цікаві і фокуси, пов'язані з вгадуванням задуманого числа за допомогою нескладних обчислень. Знаючи суть такого фокусу і загадуючи його іншим дітям, дитина, сам того не усвідомлюючи, тренує свої обчислювальні навички.
Загадай число. Додайте до нього 2, отриману суму помножте на 4, від твору відніміть 8.
Задумане число буде в 4 рази менше отриманого, тобто для того, щоб назвати задумане число, треба отримане розділити на 4.
Учитель ще більший авторитет придбає в очах своїх учнів, якщо запропонує їм такий фокус, як вгадування їх дати народження.
Число, коли ви народилися, помножте на 100, до отриманого добутку додайте порядковий номер місяця, в якому ви народилися, суму помножте на 10 і до отриманого добутку додайте число ваших років. Я скажу вам, число, місяць вашого народження і скільки вам зараз років.
2.4.7 Математичні ігри
Велику роль на позакласних заняттях з математики грають ігри, головним чином дидактичні. Основна їхня цінність у тому, що вони збуджують інтерес дітей, посилюють ефект самого навчання. Створення ігрових ситуацій призводить до того, що діти захоплені грою і непомітно для себе і без особливих зусиль і напруги набувають певні знання, вміння і навички. Гра робить окремі елементи позакласної роботи з математики емоційно насиченими, вносить бадьорий настрій в дитячий колектив, допомагає естетично сприймати ситуацію, пов'язану з математикою: святкове оформлення класу, барвисті оригінальні газети, красу стародавньої легенди, яка включає завдання, драматизацію математичного завдання, нарешті, стрункість думок при вирішенні логічних завдань. Гра так само сприяє вихованню дисциплінованості, так як проводиться за правилами.
Наведемо приклад гри на розвиток просторової уяви, для якої потрібно набір моделей плоских геометричних фігур (наприклад, рівносторонні трикутники, розрізані на два рівних прямокутних трикутника, або прямокутник і два рівних прямокутних трикутники з катетами, рівними сторонам прямокутника), на кожну пару гравців ¾ лист паперу й олівець.
Учасники гри розбиваються на пари. Кожна пара отримує однаковий набір фігур. У них одна і та ж завдання: скласти з наявних фігур як можна швидше і більше різних геометричних фігур і замалювати їх. При цьому один гравець складає фігури, інший їх замальовує.
Отримавши фігури, гравці за сигналом керівника приступають до виконання завдання. Коли окремі пари закінчують роботу, керівник дає команду: «Стоп! Покласти олівці! »І оцінює успіхи кожної пари, швидко переглядаючи зроблені креслення.
Виграє та пара, у якої більше правильно складених і замальованих фігур.
У другому колі учасники пар міняються ролями і отримують інший набір фігур.
Щоб гра була найбільш ефективною, необхідно, щоб вчитель теж включався в гру. Але не слід забувати, що гра ¾ це не самоціль, а засіб для розвитку інтересу до математики. Тому математична сторона повинна висуватися на передній план. Однак при проведенні математичних ігор вчителю необхідно дотримувати деякі правила.
Правила повинні бути простими, точно сформульованими, доступними.
Гра не повинна викликати занадто бурхливої реакції дітей.
Дидактичний матеріал повинен бути простий у виготовленні і зручний у використанні.
Якщо гра передбачає змагання команд, то повинен бути контроль і відкритий облік результатів.
Діти повинні активно брати участь в грі, а не сидіти склавши руки в тривалому очікуванні.
Легкі ігри повинні чергуватися з більш важкими. У кінці повинна бути проведена найбільш легка і жива гра.
Якщо на кількох заняттях проводяться ігри, пов'язані з подібними розумовими діями, то за змістом математичного матеріалу має дотримуватися принцип ¾ від простого до складного, від конкретного до абстрактного.
Рухливі ігри повинні чергуватися зі спокійними.
Ігровий характер проведення позакласних занять з математики повинен мати певну міру.
Ігри мають пізнавальне значення, тому на першому плані повинні виявитися розумові завдання, для вирішення яких в розумовій діяльності повинні використовуватись порівняння, аналіз і синтез, судження та умовиводи. Треба надавати дітям можливість висловитися.
У процесі гри повинно бути виконано певний закінчила дію, вирішено конкретне завдання, а після гри зроблений висновок.
Що стосується підбору ігор, то тут вчителю надається повна свобода, адже, як говорив Б.А. Кордемский: "Будь-яка гра є математичною, якщо її результат може бути зумовлений попереднім теоретичним аналізом". При підборі ігор вчителю необхідно продумувати наступні моменти:
- Мета гри;
- Кількість учасників;
- Необхідні матеріали та посібники;
- Як ознайомити дітей з правилами гри в мінімальні терміни;
- Тривалість гри (гра не повинна бути "затягнутої", щоб діти захотіли повернуться до неї);
- Як забезпечити найбільш повну участь дітей у грі;
- Як організувати спостереження за дітьми в процесі гри, щоб зрозуміти, чи цікава вона їм;
- Як можна використовувати основу гри з іншим математичним матеріалом;
- Які висновки повинні зробити діти після гри.
Крім того, математичні ігри можуть бути настільними і рухливими. У першому випадку матеріал для неї можуть виготовити самі діти на уроках праці або малювання (наприклад, математичне лото). Прикладом рухомий гри може служити математична естафета. Ігри можуть бути і такими, в які діти можуть грати і без допомоги вчителя. Наприклад, гра «Ай да я!».
Гравці стають у шеренгу. Один починає порядковий рахунок, інші по черзі продовжують: один, два і так далі. Замість чисел, у запису яких є цифра 3, гравець повинен говорити «Ай да я!» Назвали таке число вибуває з гри.
Гру можна ускладнити: до чисел, що підлягають заміні, додати ще й ті, які діляться на 3. Можна урізноманітнити гру, беручи за основу 4.
2.4.8 Інші форми позакласної роботи
Крім зазначених вище, існують і такі форми позакласної роботи, які передбачають не стільки роботу вчителя для підготовки до них, скільки учнів. Учитель тут виступає в ролі організатора учнівської діяльності, направляє її. Основна ж роль при проведенні такої роботи приділяється самим учням. До позакласної роботи подібного роду відносяться створення математичних куточків, випуск математичних стінних газет, проведення математичних виставок і твір математичних казок і написання творів на математичну тему. Ці форми позакласної роботи не тільки розвивають математичні здібності, розвивають інтерес до предмета, як інші форми позакласної роботи, а й активно сприяють розвитку творчої активності учнів, їх самостійності, допитливості розуму.
Математичні куточки створюються в класі і мають своєю основною метою залучити учнів до занять математикою. Тут виставляються кращі роботи учнів класу: зошити, контрольні роботи, творчі роботи та інше, тут ж містяться завдання і для додаткових занять, новини з математичної життя класу. Про те, як можна оформити математичний куточок в класі, докладно описано у В.П. Труднева.
Про випусках стінних математичних газет мова в нашій роботі піде пізніше. Зазначимо лише, що методичних рекомендацій до проведення такого роду роботи нам знайти не вдалося, лише зразки вже готових робіт. Тим не менш, цю форму проведення позакласної роботи з математики ми вважаємо найбільш зручною і, при вдало спланованої роботі над випуском стінних математичних газет, вона може замінити позакласну роботу з математики. Нами розроблена методика роботи над випусками стінних математичних газет, яка відображена в 3 розділі даної роботи.
Організація виставок на математичну тему передбачає виставку книг ¾ математичних розваг. У день відкриття виставки проходить її «презентація», тобто вчитель розповідає дітям про представлені на виставці роботах, знайомить з найбільш цікавими завданнями, радить звернутися до того чи іншого джерела. Цю роботу необхідно провести так, щоб дітям дійсно захотілося не тільки розгледіти книги, представлені на виставці, а й вивчити їх більш уважно, взявши той чи інший задачник в бібліотеці. Вчитель навіть може оголосити який-небудь конкурс, наприклад, на «Найрозумнішого», того, хто вирішить більше за інших завдань, представлених у запропонованих на виставці книгах, або на «Самого допитливого», того, хто знайде вдома або в бібліотеці і принесе в клас подібні книги, або на «Кращого художника», того, хто намалює найцікавіший малюнок до вподобаної завданню і так далі. Можна оголосити конкурс і на «Кращого укладача математичної книжки», до якої увійдуть найцікавіші, на думку дітей, математичні задачі та завдання.
Крім того, на виставці можна експонувати і творчі роботи самих хлопців. Тут вже йдеться про іншу форму проведення позакласної роботи з математики ¾ твір дітьми математичних казок і написання творів на математичну тему. Перед початком такої роботи вчителю доцільніше дати дітям певний зразок і піднести його в захоплюючій, цікавій формі. Казку можна інсценувати або намалювати по ній діафільм. Теми для творів можуть бути наступними:
¾ Чи можна прожити без математики?
¾ Як люди навчилися рахувати?
¾ Геометрія у всьому і інші.
Теми для казок повинні бути трохи іншими:
¾ Подорожі Квадрата в країні Геометрії
¾ Один день з життя Трикутника
¾ Пригоди плюса і мінусики
¾ Чому Коло круглий? і так далі.
Роботи дітей можна оформляти як книжки-малятка, книжки-розкладачки або діафільми. Ці роботи знайдуть гідне місце на математичних виставках або в математичному куточку. Роботи дітей можна видавати і в математичній стінній газеті.
Таким чином, описані в цьому пункті форми проведення позакласної роботи з математики повинні бути у взаємозв'язку один з одним, проводитися паралельно, тоді кожна з форм сама по собі стане цікавіше і набагато корисніше.
2.5 Внеучебное математичні завдання
Яку б форму не приймала позакласна робота з математики, основне місце в роботі відводиться позанавчальних математичним завданням.
Позанавчальний математичні завдання бувають двох видів: одні для тих, хто захоплюється математикою, інші ж для її "недругів", яким поки ще потрібна допомога у розвитку кмітливості. Першу групу завдань можна віднести до курсу математики, але підвищеної труднощі, друга ж група ¾ це так звані математичні розваги. Позанавчальний завдання, подані в захоплюючій формі, вносять емоційний момент в розумові заняття. Чи не пов'язані з необхідністю щоразу застосовувати для їх вирішення завчені правила і прийоми, вони вимагають мобілізації всіх накопичених знань, привчають до пошуку своєрідних, нешаблонних способів вирішення, збагачують мистецтво рішення красивими прийомами, змушують захоплюватися силою розуму. І навіть молодші школярі здатні помітити красу математичної думки, знайти нестандартне, оригінальне рішення. До математичним розваг слід відносити завдання-кмітливості, евристичні та логічні задачі, математичні ігри, математичні фокуси та розіграші та інші. Серед математичних розваг є і такі завдання, які допускають дуже велике, а іноді і нескінченна безліч рішень. Сенс таких завдань в пошуку оригінальних, барвистих прийомів і рішень.
Математичні розваги мають деякі педагогічні особливості:
¾ конкретність і індуктивність;
¾ здатність збуджувати інтерес до предмета, робити процес рішення цікавим;
¾ цікавість;
¾ доступність.
Зупинимося детальніше на кожній з цих особливостей.
Конкретність.
Початкова стадія мислення завжди конкретна. Через конкретність пролягає шлях до абстракції ¾ одному з найважливіших якостей мислення в його вищих формах. У жанрі позанавчальної математичної літератури припустима і навіть бажана не лише форма задач-розповідей, але також і великі белетристичні твори з єдиною художньо виконаної фабулою, що включає в себе пізнавальний матеріал.
Ваня і Петя сиділи на березі річки і ловили рибу. Петя раз у раз підсікав і викидав на берег сріблястих уклейок. У Вані ж риба чомусь клювала погано.
У цей час до хлопців підійшла сестра Вані і з звичайною усмішкою запитала у брата: «Ну, як клювання, рибалка? Чи багато з Петром риби наловили? »
І Ваня з награною веселістю відповів сестрі: «А ти вгадай сама. У нас разом на 15 рибок більше, ніж у мене, а в одного з нас на 12 рибок менше, ніж в іншого ». Але сестра швидко вгадала, скільки рибок у брата. Скільки ж рибок зловив кожен з хлопців?
2. Індуктивність.
Дитина, яка самостійно відшукувати невідоме йому рішення завдання, здійснює елементарний творчий процес. Відправним пунктом цього розумового процесу є проста індукція, яка в свою чергу, спирається на спостереження. Для того, щоб піддати будь-яку властивість індуктивного перевірці, треба його спочатку помітити. У ході вирішення завдань процес узагальнення, як відомо, часто здійснюється за допомогою математичної або повної індукції, висновок, отриманий таким шляхом, вже є дедуктивним. Проста індукція сама по собі не має доказової силою, але вона забезпечує початкове положення для дедукції. Існує набір вправ для застосування індуктивного методу, для розвитку спостережливості й уміння здійснювати узагальнення. Такі теми "переправ", "переміщень", "магічних квадратів" і так далі.
Такі завдання доступні навіть людям, що не володіє спеціальними математичними знаннями:
Загін солдатів підходить до річки, через яку необхідно переправитися. Але міст зламаний, а річка глибока. Що робити? Раптом командир помічає двох хлопчиків, які катаються на човні недалеко від берега. Але човен така мала, що на ній може переправитися тільки один солдат або тільки двоє хлопчиків ¾ не більше! Проте всі солдати переправилися через річку саме на цьому човні. Як це було зроблено?
Як розставити 6 стільців у чотирьох стін кімнати, щоб у кожної стіни стояло по два стільці?
У 9 клітин квадрата впишіть числа 1, 2 і 3, щоб в кожному рядку і в кожному стовпці числа були різні.
3. Збудження інтересу.
Що може змусити думати, міркувати, вирішувати завдання, тим більше не обов'язкові для навчальних справ? Не примус і навіть не завжди переконання. Джерело спонукання треба шукати в емоціях дитини. Основним побудником до розумової праці є інтерес, спочатку з'являється як похідна від враження, а потім вже як бажання пізнання. На базі інтересу виникає і захоплення процесом діяльності. Захоплення діяльністю переростає в інтерес до предмету діяльності, до днищ, перспективам. Але збільшення інтересу одночасно супроводжується виникненням нових питань і жадібним прагненням отримати на них відповіді, тобто посиленням почуття незадоволеності досягнутим, яке в свою чергу стає тепер спонукальною силою для подальших роздумів і пошуків нового.
Інтерес до математики ¾ найважливіший помічник у подоланні виникаючих в процесі її навчання труднощів, у мобілізації всіх розумових і фізичних сил для досягнення цієї мети. Інтерес ¾ не вроджена якість, він воспітуем і, перш за все, сомовоспітуем. Перш за все, він може виховуватися ззовні: захопленим математикою вчителем, батьками або найближчій середовищем. Але це зовнішнє спонукання лише стимул, поштовх до внутрішнього, до виховання в собі інтересу до математики. Не важко зрозуміти, що чим раніше цей поштовх буде дано, тим раніше інтерес переросте в захопленість, пристрасть, і, хто знає, в черговий математичний геній.
Позакласні заняття з математики тільки тоді будуть досягати свої цілей, основна з яких - розвиток математичних здібностей, коли у дітей буде інтерес до того, чим вони займаються. Привернути увагу і пробудити інтерес можна різними засобами (барвисте оформлення приміщення, цікаве вступне слово, незвичайна назва, залучення казкових героїв, цікаве формулювання завдань). Для порушення інтересу на позакласних заняттях треба не тільки привертати увагу дітей до якихось її елементів, а й викликати у хлопців подив. Треба допускати і більш вільне, ніж на уроках, переживання дітьми задоволень, з більш вільним зовнішнім їх проявом.
Пробудився інтерес необхідно підтримувати протягом усього заняття, щоб дітям захотілося повернутися до подібної діяльності. Підтримуючи інтерес різними прийомами треба його поступово виховувати: на початку, як інтерес до своєї безпосередньої діяльності під час позакласних занять, потім щоб він переростав у інтерес до математики як до науки, в інтерес до процесу самої розумової діяльності, до нових знань в області математики. При організації позакласної роботи з математики треба добиватися максимальної діяльності кожного учня - організаторської, трудової, особливо розумової для виконання різноманітних завдань. Для підтримки інтересу необхідно, щоб:
- Матеріал був зрозумілий кожному учневі;
- У всякому новому повинні бути елементи старого.
Цікавість.
Цікавість служить тим же педагогічним цілям, що і інтерес. Справжня цікавість призначена привертати увагу, активізувати думку, збуджувати інтерес до предмета і бажання ним займатися. Вона завжди несе в собі риси дотепності і додає завданню відтінок гри. Через цікавість проникає у свідомість відчуття прекрасного у математиці, яке при подальшому вивченні предмета доповнюється розумінням прекрасного.
Цікавість ¾ не розвага дітей порожніми забавами, а цікавість змісту математичних завдань, якої форми, в яку вони вдягаються. Педагогічно виправдана цікавість має на меті привернути увагу дітей, підсилити його, активізувати їх розумову діяльність. Цікавість в цьому сенсі на позакласних заняттях завжди несе елемент дотепності, ігрового настрою, святковості. Вона служить основою для проникнення у свідомість дитини почуття прекрасного в самій математиці. До естетичним елементам цікавості відносяться: легкий гумор фабули, несподіванка ситуацій чи розв'язки, стрункість геометричної форми, витонченість рішення, під яким розуміється поєднання простоти і оригінальності методів його отримання. Цими ознаками істинної цікавості володіють всі кращі твори колекції математичної кмітливості.