Розвиток математики в Росії в середині XVIII століття

РЕФЕРАТ

З математичного аналізу

НА ТЕМУ:

«РОЗВИТОК МАТЕМАТИКИ В РОСІЇ В СЕРЕДИНІ XVIII СТОЛІТТЯ»

Зміст

1. Характеристика соціально-економічного та культурного розвитку Росії в середині XVIII століття

2. Нові завдання математики, зумовлені розвитком техніки і природознавством

3. Розвиток основних понять математичного аналізу в XVIII століття

4. Диференціальне числення

5. Інтегральне числення та теорія звичайних диференціальних рівнянь

1. Характеристика соціально-економічного та культурного розвитку Росії в середині XVIII століття

У другій чверті XVIII століття в Росії темпи розвитку торгівлі, промисловості, науки та культури були набагато меншими, ніж у першій чверті. Давалася взнаки тривала Північна війна, а також часті палацові перевороти, що приводили до влади осіб, яким чужі були національні інтереси країни.

У господарстві Росії поступово розвивалися нові явища. Зміцнювався і розширювався всеросійський ринок. Поглиблювалася господарська спеціалізація окремих районів країни (визначилися хлібні, скотарські райони і райони технічних культур). У центральних районах країни зміцнилася трипільна система. Розвивалися селянські промисли, особливо в оборочних районах. І все ж основним шляхом подальшого розвитку сільського господарства було освоєння нових земель.

У середині XVIII століття поміщики з метою підвищення своїх доходів почали займатися підприємництвом - відкривали промислові підприємства з переробки сільськогосподарської сировини. Однак основна маса дворян вела господарство по-старому, підвищуючи доходи від своїх маєтків, головним чином, шляхом жорстокої експлуатації селян.

У промисловість все більш і більш залучався купецький капітал. На основі подальшого розвитку товарного виробництва відбувалося зростання капіталістичної мануфактури. До 40-х років у Росії були вже досить великі текстильні та інші підприємства купців і куркулів-капіталістів, де переважав найману працю.

Промисловість розвивалася швидше, ніж сільське господарство. Тривало інтенсивне будівництво металургійних заводів, в якому велику роль грав приватний капітал. Розширювалася територія освоєння гірничорудних багатств на Уралі. На відміну від Північного Уралу, де в 30-х роках скарбниця побудувала великі доменні заводи, Південний Урал розвивався як район переважно міделиварний і виключно приватновласницький. Нові заводи, щоправда, більш дрібні, будувалися і в центральному металургійному районі. Починали освоювати Алтай. До 1750 року в Росії налічувалося близько 100 металургійних заводів.

Культура Росії в другій чверті XVIII століття розвивалася по шляху, намітилося в першій чверті століття. Зі шкіл, заснованих на початку XVIII століття, подальший розвиток одержали тільки професійні школи, які готували, перш за все військових фахівців.

Центром наукового життя країни з кінця 20-х років стала Петербурзька академія наук, яка завоювала вже в ці роки всесвітнє визнання. У 40-х роках в академії виділився ряд російських вчених, серед яких особливо вирізнявся своєю науковою енциклопедичністю і багатогранністю М.В. Ломоносов. Першим організаційним принципом Петербурзької академії наук, стимулировавшим розвиток російської науки, була обов'язкова зв'язок наукових досліджень з практичними потребами країни.

2. Нові завдання математики, зумовлені розвитком техніки і природознавством

Мануфактурний період капіталізму супроводжувався створенням технічної основи машинного виробництва. Подальший технічний прогрес в XVIII столітті був неможливий без розвитку природознавства, а значить, і без математичних методів. Про зміст нових завдань і нових труднощів, що виникли перед математикою на рубежі XVII - XVIII століттях і в першій половині XVIII століття, можна судити за станом найважливіших галузей природознавства цього періоду.

Основи загальної механіки був закладені Ньютоном в його знаменитих «Засадах натуральної філософії». Однак основні досягнення Ньютона відносяться лише до механіки точки. У механіці твердого тіла він розглянув лише обертання біля нерухомої осі. При дослідженні руху тіла в нерухомих середовищах Ньютон обмежився розглядом тільки найпростіших окремих випадків.

Незважаючи на те, що в дослідженнях Лейбніца і Ньютона був завершений перший період розвитку обчислення нескінченно малих, це числення ще тільки завойовувало визнання. Нові алгоритми дозволили отримати з вражаючою легкістю результати, недоступні колишнім методам, проте суперечки з питань обгрунтування обчислення нескінченно малих змусили, зокрема дуже обережного у своїх публікаціях Ньютона, відмовитися від застосування нового обчислення в ряже публікацій з механіки. У роботах Ньютона з механіки немає «ньютоновских диференціальних рівнянь динаміки», хоча в його математичних роботах і наведено цілий ряд результатів дослідження методів інтегрування диференціальних рівнянь. Тому не дивно, що в загальній механіці не було аналітичних методів. Створення їх було однією з найважливіших задач математики і механіки XVIII століття. Основна роль у вирішенні цього завдання належить Леонарду Ейлера.

У зв'язку з розробкою аналітичної механіки перед математиками виникли нові завдання в галузі математичного аналізу. Створення аналітичних методів настійно вимагали нові завдання самої механіки - дослідження руху матеріальної точки в середовищі з заданої інертністю (рух фізичного маятника, балістика), перехід в цьому завданні від точки до твердого тіла і т.п. Особливо необхідним був розвиток теорії малих коливань матеріальної точки, а пізніше - системи кінцевого числа матеріальних точок при певних припущеннях про опір середовища. Необхідність розробки теорії фізичного маятника висувалася розвитком гравіметрії і теорії фігури Землі, яке, в свою чергу, стимулювалося, зокрема, питаннями вивчення руху планет, потребами мореплавання і вищої геодезії.

У вирішенні проблеми про обертання Землі початкові результати належать Даламберу і Ейлера. Ейлер дав нову форму рівняння обертального руху твердого тіла, що вживаються і в наш час. Динамічні рівняння Ейлера, що визначають рух абсолютно твердого тіла, яке має одну нерухому точку, являють собою нелінійну систему трьох диференціальних рівнянь другого порядку відносно ейлеровим кутів ψ, θ, φ, як функцій часу.

До середини XVIII століття належить зародження нової галузі аналізу - диференціальних рівнянь в приватних похідних. Розширення досліджень у галузі математичного аналізу стимулювалося, головним чином, розвитком фізики твердого середовища і гідродинаміки. Принципову недостатність теорії звичайних диференціальних рівнянь вперше виявив Даламбер і Ейлер при вивченні малих коливань струни, закріпленої на кінцях. Уже в перших дослідженнях, пов'язаних з рівняннями нового виду, з'ясувалося, що при

Рішенні таких рівнянь можлива значно більша довільність, ніж при вирішенні будь-яких звичайних диференціальних рівнянь. Тому виникло питання про задоволення рішень більш складним додатковим умовам. Подальші дослідження коливань неоднорідних струн, мембран, пружних стрижнів як Ейлером, так і його сучасниками вимагали знаходження спеціальних методів для вирішення найпростіших змішаних задач для рівнянь гіперболічного типу другого і навіть четвертого порядку.

Проблема звучної струни мала, як відомо, вельми істотне значення для розвитку всього математичного аналізу не тільки в XVIII столітті, а й у XIX. У тривалій суперечці про характер допустимих «довільних функцій», що входять у вирішенні рівнянь коливання струни, взяли участь майже всі найвизначніші вчені епохи: Даламбер, Ейлер, Д. Бернуллі, Лагранж. У цій суперечці отримало істотний розвиток одне з основних понять аналізу - поняття функції. Поряд з проблемою коливань струн і мембран стимулюючий вплив на розвиток вчення про рівняння в приватних похідних надали задачі гідродинаміки. На відміну від Паскаля, історія якої бере свій початок від робіт Архімеда, гідродинаміка як наука склалася лише в середині XVIII століття. Необхідність вивчення законів руху рідини диктувалася настійними потребами практики розрахунків потужних водяних двигунів, гідротехнічних споруд та зрослими потребами кораблебудування. Стимулом значного прогресу гідродинаміки, досягнутого в 50-х роках XVIII століття, було також розвиток аналітичних методів динаміки матеріальної точки і системи точок.

Для вирішення основного завдання про взаємодію середовища з рухомими в ній тілами необхідно було сформулювати основні закони руху рідини. Вчені XVIII століття в цьому відношенні не мали фактично ніякого спадщини. Перші спроби Галілея проаналізувати опір повітря з кількісної сторони і результати Ньютона по вивченню опору, що чиниться рідиною рухається в ній твердого тіла, були скоєно недостатні. Необхідно було створити аналітичні методи теоретичної гідродинаміки. Рішенням цього завдання математичне природознавство зобов'язане Д. Бернуллі, Даламберу, Ейлера і Лагранжа. Перший видатний результат в цій області належить Д. Бернуллі, який опублікував в 1738 році свою знамениту «Гідродинаміка» ^1. Слідом за «Гідродинаміка» Д. Бернуллі з'явився відомий трактат Даламбера «Про рівновагу та рух рідин» ^2. Даламбер прийшов, зокрема, до парадоксального висновку про відсутність опору при русі тіла в рідині, що явився наслідком того, що він не врахував значення всього обтікання тіла при русі. В обговоренні цього явища незабаром взяв участь Ейлер. Подальше вивчення «парадоксу Даламбера - Ейлера» сприяло залученню уваги дослідників до найважливішої проблеми гідродинаміки - проблемі обтікання тіл, що рухаються в рідині.

Основоположним дослідженням, від якого, власне, і веде свій початок теоретична гідродинаміка, є твори Ейлера «Загальні принципи руху рідин» ^3. У ньому Ейлера вперше вивів основні рівняння гідродинаміки для рідини, позбавленої в'язкості.

Дослідження коливань струн, мембран, стрижнів і найважливішого завдання гідродинаміки вже в 50-х роках XVIII століття послужили джерелом виникнення теорії рівнянь в приватних похідних. В області звичайних диференціальних рівнянь Ейлер і його сучасники могли використовувати результати, отримані їхніми попередниками, в новій же області треба було починати з самого початку. Ейлер мав рацію, кажучи, що в цій новій галузі аналізу немає не тільки будь-яких прийомів рішення, а й необхідних позначень.

У постановці аналітичних задач теорії рівнянь в приватних похідних вирішальна роль належала фізики. Відомості зазначених фізичних завдань до чистого аналізу відразу ж зажадало розвідки перших підступах до цієї нової гілки математики. Відправним пунктом тут могла служити лише теорія звичайних диференціальних рівнянь. Так, у перших роботах про струні Ейлер використовував метод інтегруючого множника і теорію рівнянь у повних диференціалах, а в більш пізніх широко застосовував метод степеневих рядів.

Набагато складніше виявилася проблема створення нових методів, що відповідають самій природі рівнянь нового виду. Її рішення є одним з найважливіших питань сучасної математики. На частку дослідників XVIII століття випало створення основ методу характеристик і методу тригонометричних рядів. Перше виконав Ейлер, друге почав у свої дослідженнях Д. Бернуллі. Обидва ці методу отримали подальший розвиток у XIX столітті і є одним з найсильніших в сучасній теорії рівнянь в приватних похідних. Лагранж заклав основи теорії сполучених рівнянь, що було пізніше вихідним пунктом у розробці відомого «методу Рімана», в якому істотне значення має застосування характеристичних координат.

Інтерес до математичного аналізу посилився постановкою низки нових геометричних завдань в ході розвитку диференціальної геометрії. Вирішення цих завдань призводило до рівнянь в приватних похідних першого порядку.

Таким чином, до кінця розглянутого періоду в теорії диференціальних рівнянь накопичилося порівняно багато приватних результатів, які необхідно було систематизувати.

3. Розвиток основних понять математичного аналізу в XVIII століття

У розвитку математики, механіки, фізики і всього природознавства в Росії та західноєвропейських країнах XVIII століття особливу роль зіграли праці видатного математика і механіка XVIII століття Леонарда Ейлера.

Незважаючи на те, що протягом попередніх століть механіка і геометрія настійно ставили перед мислителями завдання вивчення залежності між змінними величинами, поняття про взаємозалежність таких величин не отримало аналітичного виразу. Не тільки у Лейбніца, а й у Даламбера поняття залежності між змінними носило геометричний характер, так як вони розглядали залежності між відрізками прямих. Ввівши саме слово «функція», Лейбніц починаючи з 1692 року називає їм відрізки будь-яких прямих, пов'язаних тим чи іншим чином з точками певної величини - флюенти, за його термінологією, служить деяка рівномірно поточна величина, аналогічна часу.

Тим часом сукупність окремих класів функцій неухильно збільшувалася. Істотно значення в цьому процесі мало складання таблиць логарифмів, вдосконалення таблиць тригонометричних функцій, обумовлене, зокрема, споживання геодезії та навігації.

Таким чином, вже на рубежі XVII і XVIII століть виникла необхідність у вираженні понять функціональної залежності, вільному від геометричного і механічного облачення, і завдання виділення найважливіших класів функцій. Перший значний крок у вирішенні цієї проблеми зробив в 1718 р. І. Бернуллі. Він писав: «Функцією змінної величини називають кількість, освічене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних». Безпосереднім розвитком визначення Бернуллі з'явилася трактування Ейлера поняття функціональної залежності в першому томі «Введення в аналіз»: «Функція змінної кількості є аналітичний вираз складене якимось чином з цього змінної кількості і чисел або постійних кількостей» ^4.

Ейлерова визначення функції - це по суті визначення функції комплексного змінного проте зміст її стає виразним лише після того, як з'ясовується зміст понять «аналітичне вираження».

Саме тут Ейлер і підходить до класифікації функцій. Як допустимої операції при складання, множення і ділення, піднесення до степеня і добування кореня, рішення алгебраїчних рівнянь інтегрування. Функції, одержувані в результаті цих дій, виключаючи інтегрування, Ейлер називає алгебраїчним і ділить їх на раціональні (цілі і дробові) та ірраціональні. Застосування названих операцій до елементарних трансцендентним функцій e ⁿ, ln n, sin n, cos n приводить його до трансцендентних функцій ^5.

Крім розширення області значень аргументу Ейлер зробив принциповий крок вперед у з'ясуванні найважливіших загальних властивостей функцій як аналітичних виразів. Функції, задані єдиним аналітичним виразом, він називає безперервними, вкладаючи, таким чином, в це поняття зміст, відмітний від нашого розуміння безперервності. Розривними функціями у нього називаються функції, задані на різних шматках інтервалу різними аналітичними виразами ^6.

Враховуючи запас операцій, прийнятий для утворення аналітичних виразів Ейлер повинен був отримати функції аналітичні в сучасному визначенні всюди, за винятком ізольованих особливих точок. В околиці ж цих точок одержувані функції повинні були допускати розкладання в узагальнений степеневий ряд, який міг містити дробові і негативні ступеня. Таким чином, виділяючи клас безперервних функцій, Ейлер по суті виділяв клас аналітичних функцій в сенсі сучасної теорії функцій комплексного змінного. Саме тому встановлені Ейлером найважливіші властивості неперервних функцій виявляються основними властивостями аналітичних функцій в сенсі сучасного визначення. Одне з цих властивостей - представимости функції статечним рядом.

У більш пізній роботі (1767г.) Ейлер з'ясовує інше істотне властивість безперервних функцій, яке у тому, що значення будь-якої функції на як завгодно малому інтервалі. Іншими словами, будь-який як завгодно малий шматок безперервної кривої визначає всю цю криву. Ейлер встановив ще два загальних властивості неперервних функцій. За Ейлера, функції розривні є або кусочно-аналітичними в сенсі сучасного визначення, або аналітичними. Надалі ейлерову трактування поняття функціональної залежності будемо називати трактуванням вузького визначення функції. Це поняття Ейлер розглядає у другому томі «Введення в аналіз» (1748г.).

Змістом другого тому є введення в область геометричних програм аналізу. Досліджуючи питання аналітичної геометрії, Ейлер прийняв умову: не користуватися «ніякими іншими допоміжними засобами, крім рівняння, що виражає природу кожної кривої лінії». Основне завдання він ставить в сенсі вивчення залежності між аплікат (ординатою) і абсцисою, тому область зміни аргументу обмежується лише полем дійсних чисел. Розширенню піддається саме поняття функціональної залежності. Як сама геометрія, таки одна з найважливіших проблем математичної фізики - завдання про коливання струни - привела Ейлера до необхідності введення в аналіз розривних функцій, тобто функцій, «позбавлених закону безперервності». Завдання коливання струни зажадала вивчення «механічних» кривих, або кривих, одержуваних «вільним потягом руки».

Проблема коливання струни зробила принциповий вплив на розвиток математичного аналізу не тільки в XVIII, але і XIX столітті.

4. Диференціальне числення

У 1755 році Петербурзька академія наук опублікувала «Диференціальне числення» Л. Ейлера. За змістом, систематичності викладу і послідовності у розвитку необхідних нових понять і алгоритмів цей твір можна поставити на одне з найпочесніших місць у всій історії математичного аналізу. Дуже сильний вплив воно зробило на розвиток і викладання математики в Росії.

У першій половині XVIII століття назріла необхідність звільнити підстави нового обчислення від механічної та геометричній трактування їх. Нове перелік вимагало підходу, вільного від апеляції до фізики, механік і геометрії. Таким походом міг бути тільки аналітичний. «Тут же все виклад обмежена областю чистого аналізу, так що для викладу всіх правил цього обчислення не знадобилося жодної креслення», - вказує Ейлер в заключній фразі свого передмови ^7.

В основі диференціального обчислення Ейлера лежить поняття нескінченно малої величини. У цьому відношенні він слід першому підручнику аналізу нескінченно малих Лопіталя (1696г.), написаному під великим впливом І. Бернуллі.

Роз'яснюючи поняття нескінченно малих та нескінченно великих величин, Ейлер прагне відвести докори щодо нехтування в аналізі «геометричній строгістю». Проте спроби логічного обгрунтування основних початків аналізу Ейлера не вдалися. Суть цих спроб полягало в побудові «обчислення нулів». Насамперед Ейлер вводить два способи порівняння нулів: арифметичний і геометричний. При першому розглядається різниця нулів, при другому - їх ставлення.

Визначаючи нескінченно малі кількості як чисті нулі, Ейлер змушений полемізувати з Лейбніцем, який вважав, що існують якісь останні частинки, звані «атомами», «Монада» йди «простими сутностями» ^8.

У роботі про диференціальних рівняннях (1728г.) Ейлер розглядає класи однорідних рівнянь другого порядку. До цього ж часу відносяться його дослідження про геодезичних лініях. Відповідне диференціальне рівняння виявилося також другого порядку. У роботі про початки варіаційного числення (1744г.) він використовує диференціали будь-якого порядку, а також поняття функції багатьох змінних.

5. Інтегральне числення та теорія звичайних диференціальних рівнянь

У 1768 році Петербурзька академія видала перший том «Інтегральне числення» Л. Ейлера. Другий і третій томи також у Росії в 1769 і 1770 роках. Широта змісту, надзвичайне багатство нових результатів, в переважній більшості належать самому Ейлера, проникнення в складні питання теорії диференціальних рівнянь, не тільки звичайних, але і в приватних похідних, - все це визначило значення і роль тритомного твори Ейлера в історії математичного аналізу. Без перебільшення можна сказати, що «Інтегральне числення» Ейлера становить епоху в розвитку математичного аналізу. Ця праця надав також вплив на подальший розвиток ряду математичних наук.

У поняття інтегрального числення Ейлер, як і його сучасники, включав не тільки інтегрування функцій, а й інтегрування диференціальних рівнянь, звичайних і в приватних похідних.

У зв'язку з цим три томи «Інтегрального обчислення» містять такі розділи: інтегрування функцій, інтегрування звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, інтегрування диференціальних рівнянь другого і вищого порядків, інтегрування рівнянь з приватними похідними.

У 1794 р. вже після смерті Ейлера Петербурзька академія наук видала четвертий том «Інтегрального обчислення», що містить доповнення, головним чином, до перших двох томів. У Зборах творів Л. Ейлера матеріал четвертого тому розподілений по відповідних томів першої серії цього видання.

У своєму виданні Ейлер зазначає: «Інтегральне числення має бути поширене на розвідку функцій двох або більшої кількості змінних, коли задано якесь співвідношення між диференціалами» ^9. Він зазначає, що знаходження функції двох і більшого числа змінних по заданому співвідношенню між їх диференціалами ще ніде не містилося. Вирішення цього завдання принесло б «дуже велику користь механіці і особливо у вченні про рідинах». Таким чином, завдання ставиться в плані вирішення будь-яких диференціальних рівнянь, не тільки звичайних, але і в приватних похідних. Далі Ейлер визначає повний і приватний інтеграли. Поняттями повного і приватного інтегралів звичайних диференціальних рівнянь він володів ще в 1738 році, а в своїх друкованих роботах ввів їх уперше в 1743 році.

Розглядаючи основні напрямки розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь в XVIII століття, з'являються перші завдання динаміки точки при їх аналітичної трактуванні, які зажадали методів інтегрування нелінійних рівнянь другого порядку та їх систем.

Назрівала також потреба у розвитку теорії лінійних рівнянь. Це пояснюється тим, що на початку XVIII століття набувала все більш серйозне значення теорії малих коливань матеріальних систем з кінцевим числом ступенів свободи. У зв'язку з конструюванням достатнього точних маятникових годин, необхідних для астрономічних спостережень, а також з першими гравіметричним проблемами виникла необхідність у побудові аналітичної теорії математичного і фізичного маятників, що є розвитком результатів Гюйгенса (кінець XVIII ст.).

Інший напрям теорії звичайних диференціальних рівнянь - чисельні методи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь - було зумовлено значною мірою вимогами небесної механіки.

Одним з напрямків у розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь було також вивчення особливих рішень. Воно визначалося завданнями геометричного змісту, зокрема завданнями швидко розвивалася диференціальної геометрії. Найголовнішими завданнями з них були завдання про знаходження огинають і ізогональних траєкторій сімейств кривих (пізніше - сімейств поверхонь). У XVIII столітті напрямок, пов'язаний з вивченням сімейств плоских кривих, зокрема сімейств інтегральних ліній, було найменш значним. Проте вже на початку другої чверті XIX століття тісно пов'язана з теорією особливих рішень проблема єдиності рішення задач з початковими умовами, а разом з нею і загальна проблема існування рішень придбали в теорії звичайних диференціальних рівнянь першорядне значення.

Рівень накопичених до початку XVIII століття знань про властивості та способи рішень звичайних диференціальних рівнянь був абсолютно недостатній для вивчення нових складних завдань. Тому не дивно, що вже з початку другої чверті XVIII століття спостерігалося значне підвищення інтересу до цієї галузі аналізу. У першому ж томі «Коментарів» Петербурзької академії за 1726 були поміщені дослідження з диференціальних рівнянь Я. Германа. Х. Гольдбаха, І. Бернуллі і його синів Миколу і Данила. Вельми значний розвиток у XVIII столітті теорія диференціальних рівнянь отримала в працях Ейлера, братів Бернуллі, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.

Природно, що досягнення Ейлера, перші у величезній нової галузі аналізу, не могли бути досить загальними і завершеними. Теорію рівнянь в приватних похідних розвинув далі Ж. Лагранж. Аналіз його досліджень показує спадкоємність ейлеровим результатів. Початок нового періоду в розвитку теорії рівнянь в приватних похідних не тільки першої, але й вищого порядків пов'язано з роботами Г. Монжа. Цей період характеризується істотним проникненням до теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних нових геометричних ідей. Подальший розвиток геометрична теорія рівнянь в приватних похідних отримала в працях геометрів XIX століття. Історія теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних другого і вищих порядків являє собою в значній мірі історію теорії диференціальних рівнянь математичної фізики.

Список використаної літератури

1. Історія вітчизняної математики в чотирьох томах. Том 1.

Академія наук СРСР