Піраміда планування в стратегічному менеджменті

Вже в одній з перших вітчизняних робіт з ГТВ було встановлено, що бали, привласнюються експертами при оцінці об'єктів експертизи, як правило, виміряні в порядкової шкалою. Вітчизняні роботи, що з'явилися на початку 70-х років, призвели до розширення області використання РТВ: її застосовували до педагогічної кваліметрії (виміру якості знань), в системних дослідженнях, в різних задачах теорії експертних оцінок, для агрегування показників якості, в соціологічних дослідженнях, і ін
В якості двох основних проблем ГТВ поряд з встановленням типу шкали висунутий пошук алгоритмів аналізу даних, результат роботи яких не змінюється при будь-якому допустимому перетворення шкали (тобто є інваріантним щодо цього перетворення).
3.2 Основні шкали вимірювання
Відповідно до ГТВ при математичному моделюванні реального явища або процесу слід перш за все встановити, в яких типах шкал виміряні ті чи інші змінні. Тип шкали задає групу допустимих перетворень.
Зазначимо основні види шкал вимірювання та відповідні групи допустимих перетворень. У шкалі найменувань (інша назва - номінальною) допустимими є всі взаємно-однозначні перетворення (тобто числа використовуються лише як мітки, наприклад, номери телефонів), в порядкової - все строго зростаючі перетворення, в шкалі інтервалів - лінійні зростаючі перетворення, в шкалою відносин - подібні (змінюють тільки масштаб) перетворення, а для абсолютної шкали допустимим є тільки тотожне перетворення.
Встановлення типу шкали, тобто завдання групи допустимих перетворень шкали вимірювання - справа фахівця відповідної прикладної області. Так, оцінки привабливості професій ми вважали вимірами у порядкової шкалою [2]. Однак окремі соціологи не погоджувалися з цим, вважаючи, що випускники шкіл користуються шкалою з більш вузькою групою допустимих перетворень, наприклад, інтервального шкалою. Очевидно, ця проблема відноситься не до математики, а до наук про людину. Для її вирішення може бути поставлений досить трудомісткий експеримент. Поки ж він не поставлено, доцільно приймати порядкову шкалу, так як це гарантує від можливих помилок.
Оцінки експертів, як уже зазначалося, часто слід вважати вимірами у порядкової шкалою. Типовим прикладом є задачі ранжування та класифікації промислових об'єктів, що підлягають екологічному страхуванню. Чому думки експертів природно виражати саме в порядкової шкалою? Як показали численні досліди, людина більш правильно (і з меншими труднощами) відповідає на питання якісного наприклад, порівняльного, характеру, ніж кількісного. Так, йому легше сказати, яка з двох гир важче, ніж вказати їх приблизний вага в грамах. Іншими відомими прикладами порядкових шкал є: у медицині - шкала стадій гіпертонічної хвороби по М'ясникову, шкала ступенів серцевої недостатності за Стражеска-Василенко-Лангу, шкала ступеня вираженості коронарної недостатності за Фогельсон; в мінералогії - шкала Мооса (тальк - 1, гіпс - 2, кальцій - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10), за яким мінерали класифікуються згідно з критерієм твердості; в географії - бофортова шкала вітрів ("штиль "," слабкий вітер "," помірний вітер "і т.д.). При оцінці якості продукції та послуг, в кваліметрії популярні порядкові шкали (придатний - не придатний, є значні дефекти - тільки незначні дефекти - немає дефектів). Порядкова шкала використовується і в інших областях.
Порядкова шкала і шкала найменувань - шкали якісних ознак. Тому у багатьох конкретних областях результати якісного аналізу можна розглядати як виміряні за цими шкалами.
Шкали якісних ознак - це шкали інтервалів, відносин, різниць, абсолютна. За шкалою інтервалів вимірюють величину потенційної енергії або координату точки на прямій, на якій не відзначені ні початку, ні одиниця виміру; за шкалою відносин - більшість фізичних одиниць: масу тіла, довжину, заряд, а також ціни в економіці. Час вимірюється за шкалою різниць, якщо рік приймаємо природною одиницею виміру, і за шкалою інтервалів в загальному випадку. У процесі розвитку відповідної галузі знання тип шкали може змінюватися. Так, спочатку температура вимірювалася за порядковою шкалою (холодніше - тепліше), потім - по інтервальної (шкали Цельсія, Фаренгейта, Реомюр) і, нарешті, після відкриття абсолютного нуля температур - за шкалою відносин (шкала Кельвіна). Слід зазначити, що серед фахівців іноді є розбіжності з приводу того, за якими шкалами слід вважати виміряними ті чи інші реальні величини.
3.3 Інваріантні алгоритми й середні величини
Основна вимога до алгоритмів аналізу даних формулюється в РТИ так: висновки на основі даних, виміряних в шкалі певного типу, не повинні мінятися при допустимому перетворення шкали вимірювання цих даних (іншими словами, висновки повинні бути інваріантні по відношенню до допустимих перетворень шкали). Таким чином, мета теорії вимірювань - боротьба з суб'єктивізмом дослідника при приписуванні чисельних значень реальним об'єктам. Так, відстані можна вимірювати в метрах, мікронах, милях, парсеках та інших одиницях виміру. Вибір одиниць вимірювання залежить від дослідника, тобто суб'єктивний. Статистичні висновки можуть бути адекватні реальності тільки тоді, коли вони не залежать від того, яку одиницю виміру віддасть перевагу дослідник, тобто коли вони інваріантні щодо допустимої перетворення шкали.
В якості прикладу розглянемо обробку думок експертів, виміряних в порядкової шкалою. Нехай Y1, Y2 ,..., Yn - сукупність оцінок експертів, "виставлених" одному об'єкту експертизи (наприклад, одному з варіантів стратегічного розвитку фірми), Z1, Z2 ,..., Zn - другому (іншим варіантом такого розвитку).
Як порівнювати ці сукупності? Найпростіше - за середнім значенням. А як обчислювати середні? Відомі різні види середніх величин: середнє арифметичне, медіана, мода, середнє геометричне, середнє гармонійне, середнє квадратичне. Узагальненням декількох з перерахованих є середнє за Колмогорова. Для чисел X1, X2 ,..., Xn середнє за Колмогорова обчислюється за формулою
G {(F (X1) + F (X2 )+... F (Xn)) / n},
де F - строго монотонна функція, G - функція, обернена до F. Якщо F (x) = x, то середнє за Колмогорова - це середнє арифметичне, якщо F (x) = ln x, то середнє геометричне, якщо F (x) = 1 / x, то середнє гармонійне, і т.д. Медіану і моду не можна представити у вигляді середніх за Колмогорова.
Нагадаємо, що загальне поняття середнього (введене французьким математиком першої половини Х1Х ст. Академіком О. Коші) таке: середньою величиною є будь-яка функція f (X1, X2, ... Xn) така, що при всіх можливих значеннях аргументів значення цієї функції не менше, ніж мінімальне з чисел X1, X2, ... Xn, і не більше, ніж максимальна з цих чисел. Середнє по Колмогорова - приватний випадок середнього по Коші. Медіана і мода не є середніми за Колмогорова, але теж - середні за Коші.
При допустимому перетворення шкали значення середньої величини, очевидно, змінюється. Але висновки про те, для якої сукупності середнє більше, а для якої - менше, не повинні змінюватися (відповідно до вимоги інваріантності висновків, прийнятому в РТИ). Сформулюємо відповідну математичну задачу пошуку виду середніх величин, результат порівняння яких стійкий щодо допустимих перетворень шкали. Нехай f (X1, X2 ,..., Xn) - середнє за Коші. Нехай
f (Y1, Y2 ,..., Yn) <f (Z1, Z2 ,..., Zn). (1)
Тоді для стійкості результату порівняння середніх необхідно, щоб для будь-якого припустимого перетворення g з групи допустимих перетворень у відповідній шкалі було справедливо також нерівність
f (g (Y1), g (Y2 ),..., g (Yn)) <f (g (Z1), g (Z2 ),..., g (Zn)), (2)
тобто середнє перетворених значень з першої сукупності також було менше середнього перетворених значень для другої сукупності. Причому сформульоване умова повинна бути вірно для будь-яких двох сукупностей Y1, Y2 ,..., Yn і Z1, Z2 ,..., Zn. Згідно ГТВ тільки такими середніми можна користуватися при аналізі думок експертів ..
За допомогою математичної теорії [2] вдається описати вид допустимих середніх в основних шкалах:
в шкалі найменувань в якості середнього годиться тільки мода;
з усіх середніх за Коші в порядкової шкалою в якості середніх можна використовувати тільки члени варіаційного ряду (порядкові статистики), зокрема, медіану (при непарній обсязі вибірки; при парному ж обсязі слід застосовувати один із двох центральних членів варіаційного ряду - як їх іноді називають , ліву медіану або праву медіану), але не середнє арифметичне, середнє геометричне і т.д.;
в шкала інтервалів з усіх середніх за Колмогорова можна застосовувати лише середнє арифметичне;
в шкалі відносин з усіх середніх за Колмогорова стійкими щодо порівняння є тільки статечні середні і середнє геометричне.
Наведемо чисельний приклад, що показує некоректність використання середнього арифметичного f (X1, X2) = (X1 + X2) / 2 в порядкової шкалою. Нехай Y1 = 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тоді f (Y1, Y2) = 6, що менше, ніж f (Z1, Z2) = 7. Нехай суворо зростаюче перетворення g таке, що g (1) = 1, g (6) = 6, g (8) = 8, g (11) = 99. Тоді f (g (Y1), g (Y2)) = 50, що більше, ніж f (g (Z1), g (Z2)) = 7. Як бачимо, в результаті перетворення шкали впорядкованість середніх змінилася.
Наведені результати про середні величини широко застосовуються, причому не тільки в теорії експертних оцінок або соціології, але й, наприклад, для аналізу методів агрегування датчиків в АСУ ТП доменних печей. Велико прикладне значення ГТВ в задачах стандартизації та управління якістю, зокрема, в кваліметрії. Так, наприклад, будь-яка зміна коефіцієнтів вагомості одиничних показників якості продукції приводить до зміни впорядкування виробів за середньозваженим показником.
Розглянемо як приклад один сюжет, пов'язаний з ранжировками і рейтингами.

4. Методи середніх балів
В даний час поширені експертні, маркетингові, кваліметричні, соціологічні та ін опитування, в яких опитуваних просять виставити бали об'єктах, виробам, технологічним процесам, підприємствам, проектам, заявками на виконання науково-дослідних робіт, ідеям, проблем, програмами, політикам і т . п., а потім розраховують середні бали і розглядають їх як інтегральні оцінки, виставлені колективом опитаних. Якими формулами користуватися для обчислення середніх величин? Зазвичай застосовують середнє арифметичне. Ми вже більше 25 років знаємо, що такий спосіб є коректним, оскільки бали зазвичай виміряні в порядкової шкалою (див. вище). Обгрунтованим є використання медіан в якості середніх балів. Однак повністю ігнорувати середні арифметичні недоцільно через їх поширеності. Тому доцільно використовувати одночасно обидва методи - і метод середніх арифметичних рангів (балів), і методів медіанних рангів. Така рекомендація знаходиться у згоді з концепцією стійкості [2], яка рекомендує використовувати різні методи для обробки одних і тих же даних з метою виділити висновки, одержувані одночасно при всіх методах.
4.1 Приклад порівняння восьми проектів
Розглянемо конкретний приклад застосування щойно сформульованого підходу.
Аналізувалися вісім проектів, запропонованих для включення до плану стратегічного розвитку фірми, позначені наступним чином: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по прізвищах менеджерів, що запропонували їх для розгляду). Усі проекти були направлено 12 експертам, призначеним Правлінням фірми. У наведеній нижче табл.2 наведені ранги восьми проектів, присвоєні їм кожним з 12 експертів відповідно до їх поданням про доцільність включення проекту в стратегічний план фірми (ранг 1 - найкращий проект, який обов'язково треба реалізувати, ранг 2 - другий за привабливістю проект , ..., ранг 8 - найбільш сумнівний проект, який реалізовувати варто лише в останню чергу).
Табл. 2. Ранги 8 проектів за ступенем привабливості для включення в план стратегічного розвитку фірми

№ експерта	Д	Л	М-К	Б	Г-Б	Сол	Стеф	До
1	5	3	1	2	8	4	6	7
2	5	4	3	1	8	2	6	7
3	1	7	5	4	8	2	3	6
4	6	4	2,5	2,5	8	1	7	5
5	8	2	4	6	3	5	1	7
6	5	6	4	3	2	1	7	8
7	6	1	2	3	5	4	8	7
8	5	1	3	2	7	4	6	8
9	6	1	3	2	5	4	7	8
10	5	3	2	1	8	4	6	7
11	7	1	3	2	6	4	5	8
12	1	6	5	3	8	4	2	7

Примітка. Експерт № 4 вважає, що проекти М-К і Б рівноцінні, але поступаються лише одному проекту - проекту Сол. Тому проекти М-К і Б повинні були б стояти на другому і третьому місцях і отримати бали 2 і 3. Оскільки вони рівноцінні, то отримують середній бал (2 +3) / 2 = 5 / 2 = 2,5.
Аналізуючи результати роботи експертів (табл.2), члени Правління фірми були змушені констатувати, що повної згоди між експертами немає, а тому дані, наведені в табл.2, слід піддати більш ретельному математичного аналізу.

4.2 Метод середніх арифметичних рангів
Спочатку був застосований метод середніх арифметичних рангів. Для цього була підрахована сума рангів, присвоєних проектів (див. табл.3). Потім ця сума була розділена на кількість експертів, в результаті знайдений середній арифметичний ранг (саме ця операція дала назву методу). За середніми рангах будується підсумкова ранжировка, виходячи з принципу - чим менше середній ранг, чим краще проект. Найменший середній ранг, рівний 2,625, у проекту Б, - отже, у підсумковій ранжировки він отримує ранг 1. Наступна за величиною сума, рівна 3,125, у проекту М-К, - і він отримує підсумковий ранг 2. Проекти Л і Сол мають однакові суми (рівні 3,25), отже, з точки зору експертів вони рівноцінні (при даному способі відомості разом думок експертів), а тому вони повинні б стояти на 3 і 4 місцях і отримують середній бал (3 + 4) / 2 = 3,5. Подальші результати наведені в табл.3.
Отже, ранжування за сумами рангів (або, що те саме, за середнім арифметичним рангах) має вигляд:
Б <М-К <{Л, Сол} <Д <Стеф <Г-Б <К. (3)
Тут запис типу "А <Б" означає, що проект А передує проекту Б (тобто проект А краще проекту Б). Оскільки моделі Л і Сол отримали однакову суму балів, то з даного методу ранжирування вони еквівалентні, а тому об'єднані в групу (кластер), виділену фігурними дужками. У термінології математичної статистики ранжировка (3) має один зв'язок.

Табл. 3. Результати розрахунків за методом середніх арифметичних і методу медіан для даних, наведених у табл.2

	Д	Л	М-К	Б	Г-Б	Сол	Стеф	До
Сума рангів	60	39	37,5	31.5	76	39	64	85
Сер. аріфм.ранг	5	3,25	3,125	2,625	6,333	3,25	5,333	7,083
Підсумковий ранг по середн. арифм.	5	3,5	2	1	7	3,5	6	8
Медіани рангів	5	3	3	2,25	7,5	4	6	7
Підсумковий ранг по медианам	5	2,5	2,5	1	8	4	6	7