1. Мислення, його особливості та види
Одним із завдань загальної освіти, і зокрема шкільного математичного - розвиток мислення учнів.
Якості учня, що формуються у навчально-виховному процесі, поділяються на загальні та спеціальні. Мислення, звичайно, відноситься до загальних якостям, і його формування відбувається в процесі навчання всіх навчальних предметів, в процесі всього життя учнів. Проте загальновизнано, і історичний досвід це підтверджує, що навчання математики у формуванні мислення відіграє першорядну і виключно велику роль. Тим більше, що в даний час висувається завдання формування в учнів не будь-якого мислення, а науково - теоретичного, у формуванні якого роль математики ще більш значна.
Тому потрібно встановити, який внесок у вирішення завдання формування науково-теоретичного мислення може внести навчання математики, як воно повинно бути для цього організовано, яке має бути його зміст і методи навчання.
У цьому розділі ми виявимо сутність мислення, відзначимо його особливості та види, вкажемо процес формування мислення у дітей.
За допомогою мислення людина пізнає навколишній світ. Однак пізнання може здійснюватися і без мислення, за допомогою одних лише органів почуттів (чуттєве пізнання), що дає людині різного роду відчуття, сприйняття і уявлення про зовнішній світ. Чуттєве пізнання є безпосереднім, бо воно здійснюється в результаті прямого контакту людини, його органів почуттів, з пізнаваним об'єктом. Між тим мислення є опосередкованим пізнанням об'єкта, бо воно здійснюється шляхом чуттєвого сприйняття зовсім іншого об'єкта, закономірно пов'язаного з пізнаваним об'єктом, або ж шляхом уявної переробки чуттєвих уявлень. Таким чином, мислення, звичайно, спирається на чуттєве пізнання і без нього неможливо, проте вони далеко виходить за його межі і тому дозволяє пізнати такі об'єкти, такі сторони явищ, які недоступні органам почуттів.
Мислення дозволяє людині виявити в пізнаваних об'єктах не лише окремі їх властивості і сторони, що можливо встановити за допомогою почуттів, але і відносини і закономірності зв'язків і відносин між цими властивостями і сторонами. Тим самим з допомогою мислення людина пізнає загальні властивості і відносини, виділяє серед цих властивостей суттєві, що визначають характер об'єктів. Це дозволяє людині передбачити результати можна побачити подій, явищ і своїх власних дій.
Отже, якщо чуттєве пізнання дає людині первинну інформацію про об'єкти навколишнього світу у вигляді окремих властивостей і наочних уявлень (образів) про них, то мислення переробляє цю інформацію, виділяє у виявлених властивості суттєві, зіставляє одні об'єкти з іншими, що дає можливість узагальнення властивостей і створення загальних понять, а на основі уявлень-образів - будувати ідеальні дії з цими об'єктами і тим самим передбачати можливі результати дій і перетворень об'єктів, дозволяє планувати свої дії з цими об'єктами.
Вся ця величезна робота виконується за допомогою розумових операцій: порівняння, аналізу та синтезу, абстракції, узагальнення та конкретизації.
Порівняння - це зіставлення об'єктів пізнання з метою знаходження подібності (виділення загальних властивостей) і відмінності (виділення особливих властивостей кожного з порівнюваних об'єктів) між ними. Ця операція лежить в основі всіх інших розумових операцій.
Аналіз - це уявне розчленування предмета пізнання на частини. Синтез - мислене поєднання окремих елементів або частин в єдине ціле. У реальному розумовому процесі аналіз і синтез завжди виконуються спільно. Аналіз і синтез як розумові операції не слід змішувати з аналітичним та синтетичними методами докази теорем і розв'язання задач (іноді навіть виділяють аналітико-синтетичний і синтетики-аналітичний методи). У будь-якому з цих методів використовується і аналіз і синтез, як розумові операції, а розрізняються вони лише ходом міркувань, що йдуть від умов до ув'язнення.
Абстракція - це уявне виділення яких-небудь істотних властивостей і ознак об'єктів при одночасному відверненні від всіх інших їх властивостей і ознак. У результаті абстракції вибраного властивість чи ознака сам стає предметом мислення. Всі математичні поняття як раз і є абстрактні об'єкти. Так, наприклад, поняття геометричної фігури утворюється шляхом виділення в спостережуваних предмети їх форми, довжини і взаємного положення в просторі і відвернення від всіх інших властивостей (матеріалу, кольору, є і т.д.). Але при цьому виробляється не тільки абстрагування (виділення зазначених властивостей і відкидання всіх інших), а й ідеалізація цих властивостей шляхом уявного переходу до граничних форм, які реально, звичайно, не існують (ідеальна пряма, точка, площина і т.д.).
Узагальнення використовується у двох різних формах:
1) як уявне виділення загальних властивостей (інваріантів) у двох або декількох об'єктах і об'єднання цих об'єктів в групи
по основі виділених інваріантів (емпіричне узагальнення);
2) як уявне виділення в даному об'єкті або кількох об'єктів у результаті аналізу їх істотних властивостей у вигляді загального поняття для цілого класу об'єктів (науково-теоретичне узагальнення)
Якщо для першої форми узагальнення характерно виділення в порівнюваних об'єктах будь-яких спільних ознак, то для теоретичної форми узагальнення характерно виділення лише істотних властивостей, які можуть бути знайдені в результаті аналізу навіть одного об'єкта з подальшим підведенням інших об'єктів під це виділене загальне істотна властивість. Отже, емпіричному узагальнення відповідає рух думки від часткового до загального, а теоретичного узагальнення - рух від загального до окремого, від внутрішнього до зовнішнього.
Конкретизація також може виступати у двох формах: 1) як уявний перехід від загального до одиничного, окремого і 2) як сходження від абстрактно-загального до конкретно-приватного шляхом виявлення різних властивостей і ознак цього абстрактно-загального: як наповнення, збагачення абстрактно-загального конкретним змістом.
У залежності від зв'язку між чуттєвими і абстрактними елементами розрізняють три види мислення, 1) наочно-дієве, 2) наочно-образне і 3) теоретичне (абстрактне, понятійне)
Наочно-діюче мислення характерно для дитини дитячого віку (до 3 років включно), коли уявне пізнання об'єктів відбувається у процесі практичних дій з цими об'єктами.
Наочно-образне мислення виникає в дошкільному віці і являє собою мислення за допомогою наочних образів, тому таке мислення підпорядковане сприйняття, в ньому відсутня в розгорнутому вигляді абстрагування.
Теоретичне мислення з'являється у дитини в шкільний період, і воно характерне тим, що відбувається у формі абстрактних понять і міркувань.
У складних розумових діях дорослого є елементи всіх трьох видів мислення, але якийсь один з них зазвичай переважає. Так, при доказі теорем, вирішенні завдань домінують, звичайно, теоретичний тип мислення, хоча там використовуються і елементи наочно-дієвого і наочно-образного мислення (побудова креслень, схем, подумки і практичні їх перетворення і т.п.).
Одночасно з розвитком мислення у дитини розвивається і мова. У промові думка знаходить матеріальну форму, в якій вона тільки й може бути сприйнята іншими людьми і самою людиною. Високорозвинуте мислення взагалі неможлива поза промови, воно завжди пов'язане з мовою, і мова виступає як матеріальна оболонка мислення.
Яким же чином розвивається мислення у дитини? Як людина переходить від одного виду мислення до наступного? Що впливає на цей процес?
На цей рахунок психологи дотримуються різних поглядів.
Ряд зарубіжних психологів на чолі з відомим французьким психологом Жаном Піаже вважають, що процес розумового розвитку є самостійним і незалежним від навчання, він має свої власні внутрішні закономірності. Навчання може лише затримувати або прискорювати терміни появи у дитини відповідних видів мислення, не змінюючи їх послідовності та особливостей. Жан Піаже писав: «Це велика помилка думати, що дитина набуває поняття числа та інші математичні поняття безпосередньо у спілкуванні. Навпаки, в значній мірі він розвиває їх самостійно і спонтанно [1].
Л.С. Виготський вказував, що навчання повинно орієнтуватися головним чином на ще не сформовані, але виникаючі психічні види діяльності дитини. Він ввів поняття зони найближчого розвитку, в якій дитина ще самостійно не може виконувати цю діяльність, але вже може її виконати за допомогою дорослого. Виконуючи цю діяльність при постійно зменшується допомоги дорослого, дитина переходить із зони найближчого розвитку до зони актуального розвитку, в якій він вже цю діяльність може виконати цілком самостійно.
Отже, процеси розумового розвитку та навчання є тісно пов'язаними і взаємно обумовленими: навчання впирається на досягнутий рівень розвитку і сприяє подальшому розвитку дитини, перехід його на наступний, більш високий рівень розвитку. Але розвиток не слід на навчанням як тінь, автоматично: воно залежить від змісту і характеру навчання та багатьох інших чинників-соціальних та виховних (сім'ї, середовища, природних задатків)
Як слід організувати та проводити навчання, з тим щоб, враховуючи всі ці чинники, вести за собою розумовий розвиток дитини, є досить складною і до кінця ще не розв'язаною психолого-педагогічною проблемою.
Інші аспекти розвитку мислення в процесі навчання (розвиток логічного мислення, мотивація мислення, мислення та вирішення завдань і ін) ми ще розглянемо у своїй роботі. А тепер перейдемо до розкриття специфіки математичного мислення, яке має особливе значення в навчання математиці.
2. Математичне мислення
Зазвичай, кажучи про розвиток мислення в процесі навчання математики, це питання зводять до розвитку математичного мислення. Звичайно це вірно, тому що природно, що в процесі навчання математики слід в першу чергу турбуватися не взагалі про розвиток мислення, а саме в розвитку специфічного математичного мислення. Все питання лише в тому, що розуміти під математичним мисленням, в чому полягає його специфіка.
На жаль, розглядаючи сутність математичного мислення, або, як ще кажуть, математичного стилю мислення, зазвичай вказують таке величезне число відмітних його якостей, що будь-яка специфіка цього виду мислення втрачається. Так, наприклад, вказують такі якості математичного стилю мислення: гнучкість, активність, цілеспрямованість, готовність пам'яті до відтворення засвоєного, широта, глибина, критичність і самокритичність, ясність, точність, лаконічність, оригінальність, доказовість.
Безсумнівно, що математичний стиль мислення володіє всіма цими якостями і ще багатьма іншими, але всі вони не є специфічними для математичного мислення. Хіба мислення фізика, хіміка чи історика менш гнучко, менш активно і цілеспрямовано, менш широко і глибоко, ніж мислення математика? Точно так само важко погодитися з тим, що математичне мислення відрізняється від мислення представників інших наук більшою ясністю чи оригінальністю. Справді наукове мислення в будь-якій галузі знань має володіти всіма зазначеними властивостями.
А.Я. Хінчік, відомий математик, глибоко цікавився проблемами навчання математики та багато зробив у галузі методики математики, більш скромно і більш точно вказав лише чотири характерних ознаки математичного мислення [].
1. Для математики характерно доведене до краю домінування логічної схеми міркування. Це своєрідна риса стилю математичного мислення, в стиль повною мірою не зустрічається в жодній іншій науці, має в собі багато цінного. Очевидно, що вона максимально дозволяє стежити за правильністю течії думки і гарантує від помилки, з іншого боку, вона змушує мислячого при кожній диз'юнкції мати перед очима всю сукупність наявних можливостей і зобов'язує його врахувати кожну з них, не пропускаючи жодної.
1. «... Лаконізм, свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший ведучий до цієї мети логічний шлях, нещадне відкидання всього, що не абсолютно необхідно для бездоганної аргументації».
2. «... Чітка розчленованість ходу аргументації». Для цього в математичних роботах широко використовується такий простий прийом, як нумерація понять і суджень, а перед кожним абзацом ставиться особливе позначення, яке вказує, який випадок з усіх розглядається в даному абзаці.
3. Скрупульозна точність символіки. «Кожен математичний символ має строго певне значення: заміна його іншим символом або перестановка на інше місце, як правило, тягне за собою спотворення, а часом і повне знищення сенсу даного висловлювання».
Отже, математичне мислення - це гранично абстрактне, теоретичне мислення, об'єкти якого позбавлені будь-якої матеріальність і можуть інтерпретуватися самим довільним чином, аби при цьому збереглися задані між ними відносини.
Тепер ми можемо поставити питання: опановують чи учні загальноосвітніх шкіл математичним мисленням у зазначеному розумінні і чи можуть вони ними оволодіти?
Вирішенню цього питання допоможе розгляд рівнів математичного мислення, які виділив А.А. Столяр. Він вказує наступні п'ять рівнів в геометрії, які наведемо нижче.
Геометрія
1-ий рівень
Геометричні фігури розглядаються як цілі і розрізняються лише по своїй формі.
2-ий рівень
Геометричні фігури виступають як носії своїх властивостей і розпізнаються по них, але самі властивості фігур ще логічно не впорядковані і самі фігури, так як фігури тільки описуються, але не визначаються.
3-й рівень
Здійснюється логічне впорядкування властивостей фігур і самих фігур; геометричні фігури виступають у певній логічній зв'язку, яка встановлюється за допомогою визначень, інші властивості фігур виводяться логічним шляхом. Але власне значення дедукції в цілому ще не осягається, бо не усвідомлюється дедуктивна система в цілому.
4-й рівень
Осягається значення дедукції «в цілому», усвідомлюється сутність аксіом, визначень, теорем, логічної структури доказів, логічного зв'язку понять і пропозицій.
П'ятий рівень
Відволікаються від конкретної природи об'єктів і конкретного сенсу відносин між ними. Геометрична теорія будується як абстрактна дедуктивна система.
А.А. Столяр вказує, що перші два рівні характерні для учнів початкових класів, третій рівень - для учнів середніх класів і четвертий - для учнів старших класів. Стосовно п'ятого рівня А.А. Столяр вважає, що його досягти не можна ні на жодному етапі навчання геометрії.
Якщо характеристика рівнів розвитку математичного мислення, дана А.А. Столяром, вірна, а вона, безсумнівно, правильна, то це означає, що в даний час учні загальноосвітніх шкіл оволодівають у повній мірі сучасним рівнем математичного мислення. Для нього саме характерний зазначений вище п'ятий рівень: всі попередні рівні характерні для математичного мислення різних історичних епох приблизно ХIХ століття.
Твердження ж А.А. Столяра, що п'ятий рівень, тобто рівень сучасного математичного мислення, взагалі недоступний учням загальноосвітніх шкіл, спростовується досвідом ряду шкіл, як у нас, так і за кордоном, а також багаторічними експериментами, проведеними в руслі теорії навчальної діяльності (дослідження В. В. Довидова, Хо Нгок Дай, Я. Дадоджанова та ін) Питання ж про те, чи необхідно домагатися досягнення такого рівня математичного мислення в учнів, потребує в подальшому обговоренні.
3. Виховання культури математичного мислення
Математичне мислення, яке повинно бути сформовано в учнів в процесі навчання математики, є основною частиною загальної культури мислення, виховання якої є найважливіше завдання загальної освіти. Математичний стиль мислення в найбільш яскравій формі виражає науково-теоретичний стиль мислення взагалі. Отже, при формуванні такого стилю мислення в процесі навчання математики в учнів розвивається науково-теоретичне мислення.
Культура мислення, крім науково-теоретичного характеру, відрізняється ще рядом інших ознак, серед яких слід в першу чергу виділити розумність, логічність, дисциплінованість.
Розумність є вища ступінь мислення, наступна за розумом. Якщо розсудливе мислення здійснюється без зміни наявної ситуації - об'єкта мислення, то розумне мислення - це «здатність знаходити причини і сутність явищ, розглядати їх всебічно, розкривати єдність протилежностей». Розсудливе мислення, оперуючи поняттями, абстракціями, «не слухає їх зміст і природу». Для розуму характерно оперування абстракціями в межах заданої схеми або іншого якого-небудь шаблону. Розумова діяльність не має своєї власної мети, вона використовує заздалегідь задану ціль, тому віддзеркалення дійсності розумом носить до певної міри мертвий характер. Головна функція розуму - розчленування і числення »
Однак розумність мислення як найважливіша риса культури мислення не може бути досягнута без розумової діяльності, яка надає думки системність і строгість.
Ось чому не менш важливі, ніж розумність, й інші з зазначених рис культури мислення: логічність та дисциплінованість.
Мислення людини можна тоді вважати культурним, коли воно відбувається в повній відповідності з законами логіки. Ці закони встановлюють норма міркувань, умовиводів. Забезпечують отримання з їх допомогою з істинних посилок вірних висновків. Логічні форми - це системи зв'язків між поняттями, в яких відображена об'єктивна дійсність.
Природно, що логіка мислення не дана людині від народження, нею він опановує в процесі життя, в навчанні. І роль навчання математики в цьому вихованні в учнів логічного мислення величезна хоча б тому, що математика як ніякий інший предмет, може бути названа прикладної логікою. У математиці учень з найбільшою повнотою, найбільш опукло і зримо може побачити демонстрація майже всіх основних законів елементарної логіки.
Дисципліна мислення передбачає, по-перше, аналіз об'єкту думки, по-друге, планування на основі цього аналізу своєї розумової діяльності, і по-третє, покроковий самоконтроль і самооцінку виконаної діяльності з метою встановлення відповідності наміченим планом і його коректування при необхідності.
Зазначимо деякі загальні положення шляхів і засобів виховання культури мислення учнів в процесі навчання математики.
1. Процес виховання культури мислення є тривалим, що протікає по суті справи, протягом всього життя людини. Тому в процесі навчання математики цим вихованням слід займатися протягом всіх років навчання в школі, повсякденно і на кожному уроці. Вчитель математики має для цього багато можливостей хоча б тому, що вивчення математики, як ніякого іншого предмета, вимагає високої культури мислення.
2. Істотно важливо, щоб вчитель математики, шкільні підручники демонстрували справжні зразки культури мислення. Адже учні в своїй розумовій діяльності природно наслідують вчителя, підручника. І якщо вони при цьому знаходять дефектні зразки, якщо сам учитель, а тим більше підручник допускає похибки в логіці викладу, в основі, то, звичайно, важко очікувати від учнів високої культури мислення.
3. Культуру мислення можна прищепити учневі лише тоді, коли він сам буде працювати над оволодінням цією культурою, над постійним її вдосконаленням. Тому дуже важливо залучити учнів в активну роботу по самовихованню, домогтися, щоб вони розглядали виховання культури мислення як особистісно значущу задачу. Звичайно, вчитель математики повинен надавати кожному учневі допомогу в цій важкій роботі.
Важливо розвинути в учнів бажання і звичку до самоконтролю і самооцінці ходу свого мислення, своїх розумових дій. Починати треба з організації взаємоконтролю і взаємооцінки, поступово переводячи їх у самоконтроль і самооцінку.
4. Нарешті для того, щоб вміння і навички культури мислення учнів були усвідомленими, адже тільки в цьому випадку вони будуть достатньо ефективними і міцними, і для того, щоб дати учням спосіб орієнтування в виконанні розумових дій, необхідно включити в зміст навчання математиці систему певних теоретичних знань.
Література
1. Вейль Г. Математичне мислення: Пер. з англ. та нім. / Под ред. В.В. Бірюкова та О.М. Паршина. - М.: Наука. Гол. ред. Фіз.-мат. лит., 1989. - 400 с.
2. Далакан А.А. Більше уваги геометричним побудовам. / / Математика в школі, № 1, 1980, с. 25-27.
3. Клименченко Д.В. До питання психології мислення учнів під час вирішення завдань. / / Математика в школі № 5, 1987 р., с. 26-29.
4. Козлов С.Д. Наші нові старі знайомі. / / Математика в школі, № 2, 2001 р., с. 12-15.
5. Маслова Г.Г. Методика навчання рішенню задач на побудову. - М.: Просвящение - 1961 р. - с.
6. Пікус А.Л. Питання теорії та методики геометричних побудов в просторі. Ленінград, 1956 р. - с.
7. Погорєлов А.В. Геометрія: Учеб. сел. для 6-10 кл. середовищ. шк. - М., Просвітництво, 1986, - 302 с.
8. Прокоф'єв М.А. Факультативні заняття: перспективи розвитку. / / Радянська педагогіка, № 9, 1986 р., - с. 16-24.
9. Семушина А.Д. Методика навчання завдань на побудову зі стереометрії. Видавництво Академії педагогічних наук РРФСР. Москва - 1959 р. - 235 с.
10. Стратілатова П.В. Збірник статей з питань викладання геометрії в середній школі. Державне навчально-педагогічне видавництво Міністерства освіти РРФСР Москва - 1958 р. - 286 с.
11. Фрідман Л.М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі. - М.: Просвещение, 1983, - 160 с.
Одним із завдань загальної освіти, і зокрема шкільного математичного - розвиток мислення учнів.
Якості учня, що формуються у навчально-виховному процесі, поділяються на загальні та спеціальні. Мислення, звичайно, відноситься до загальних якостям, і його формування відбувається в процесі навчання всіх навчальних предметів, в процесі всього життя учнів. Проте загальновизнано, і історичний досвід це підтверджує, що навчання математики у формуванні мислення відіграє першорядну і виключно велику роль. Тим більше, що в даний час висувається завдання формування в учнів не будь-якого мислення, а науково - теоретичного, у формуванні якого роль математики ще більш значна.
Тому потрібно встановити, який внесок у вирішення завдання формування науково-теоретичного мислення може внести навчання математики, як воно повинно бути для цього організовано, яке має бути його зміст і методи навчання.
У цьому розділі ми виявимо сутність мислення, відзначимо його особливості та види, вкажемо процес формування мислення у дітей.
За допомогою мислення людина пізнає навколишній світ. Однак пізнання може здійснюватися і без мислення, за допомогою одних лише органів почуттів (чуттєве пізнання), що дає людині різного роду відчуття, сприйняття і уявлення про зовнішній світ. Чуттєве пізнання є безпосереднім, бо воно здійснюється в результаті прямого контакту людини, його органів почуттів, з пізнаваним об'єктом. Між тим мислення є опосередкованим пізнанням об'єкта, бо воно здійснюється шляхом чуттєвого сприйняття зовсім іншого об'єкта, закономірно пов'язаного з пізнаваним об'єктом, або ж шляхом уявної переробки чуттєвих уявлень. Таким чином, мислення, звичайно, спирається на чуттєве пізнання і без нього неможливо, проте вони далеко виходить за його межі і тому дозволяє пізнати такі об'єкти, такі сторони явищ, які недоступні органам почуттів.
Мислення дозволяє людині виявити в пізнаваних об'єктах не лише окремі їх властивості і сторони, що можливо встановити за допомогою почуттів, але і відносини і закономірності зв'язків і відносин між цими властивостями і сторонами. Тим самим з допомогою мислення людина пізнає загальні властивості і відносини, виділяє серед цих властивостей суттєві, що визначають характер об'єктів. Це дозволяє людині передбачити результати можна побачити подій, явищ і своїх власних дій.
Отже, якщо чуттєве пізнання дає людині первинну інформацію про об'єкти навколишнього світу у вигляді окремих властивостей і наочних уявлень (образів) про них, то мислення переробляє цю інформацію, виділяє у виявлених властивості суттєві, зіставляє одні об'єкти з іншими, що дає можливість узагальнення властивостей і створення загальних понять, а на основі уявлень-образів - будувати ідеальні дії з цими об'єктами і тим самим передбачати можливі результати дій і перетворень об'єктів, дозволяє планувати свої дії з цими об'єктами.
Вся ця величезна робота виконується за допомогою розумових операцій: порівняння, аналізу та синтезу, абстракції, узагальнення та конкретизації.
Порівняння - це зіставлення об'єктів пізнання з метою знаходження подібності (виділення загальних властивостей) і відмінності (виділення особливих властивостей кожного з порівнюваних об'єктів) між ними. Ця операція лежить в основі всіх інших розумових операцій.
Аналіз - це уявне розчленування предмета пізнання на частини. Синтез - мислене поєднання окремих елементів або частин в єдине ціле. У реальному розумовому процесі аналіз і синтез завжди виконуються спільно. Аналіз і синтез як розумові операції не слід змішувати з аналітичним та синтетичними методами докази теорем і розв'язання задач (іноді навіть виділяють аналітико-синтетичний і синтетики-аналітичний методи). У будь-якому з цих методів використовується і аналіз і синтез, як розумові операції, а розрізняються вони лише ходом міркувань, що йдуть від умов до ув'язнення.
Абстракція - це уявне виділення яких-небудь істотних властивостей і ознак об'єктів при одночасному відверненні від всіх інших їх властивостей і ознак. У результаті абстракції вибраного властивість чи ознака сам стає предметом мислення. Всі математичні поняття як раз і є абстрактні об'єкти. Так, наприклад, поняття геометричної фігури утворюється шляхом виділення в спостережуваних предмети їх форми, довжини і взаємного положення в просторі і відвернення від всіх інших властивостей (матеріалу, кольору, є і т.д.). Але при цьому виробляється не тільки абстрагування (виділення зазначених властивостей і відкидання всіх інших), а й ідеалізація цих властивостей шляхом уявного переходу до граничних форм, які реально, звичайно, не існують (ідеальна пряма, точка, площина і т.д.).
Узагальнення використовується у двох різних формах:
1) як уявне виділення загальних властивостей (інваріантів) у двох або декількох об'єктах і об'єднання цих об'єктів в групи
по основі виділених інваріантів (емпіричне узагальнення);
2) як уявне виділення в даному об'єкті або кількох об'єктів у результаті аналізу їх істотних властивостей у вигляді загального поняття для цілого класу об'єктів (науково-теоретичне узагальнення)
Якщо для першої форми узагальнення характерно виділення в порівнюваних об'єктах будь-яких спільних ознак, то для теоретичної форми узагальнення характерно виділення лише істотних властивостей, які можуть бути знайдені в результаті аналізу навіть одного об'єкта з подальшим підведенням інших об'єктів під це виділене загальне істотна властивість. Отже, емпіричному узагальнення відповідає рух думки від часткового до загального, а теоретичного узагальнення - рух від загального до окремого, від внутрішнього до зовнішнього.
Конкретизація також може виступати у двох формах: 1) як уявний перехід від загального до одиничного, окремого і 2) як сходження від абстрактно-загального до конкретно-приватного шляхом виявлення різних властивостей і ознак цього абстрактно-загального: як наповнення, збагачення абстрактно-загального конкретним змістом.
У залежності від зв'язку між чуттєвими і абстрактними елементами розрізняють три види мислення, 1) наочно-дієве, 2) наочно-образне і 3) теоретичне (абстрактне, понятійне)
Наочно-діюче мислення характерно для дитини дитячого віку (до 3 років включно), коли уявне пізнання об'єктів відбувається у процесі практичних дій з цими об'єктами.
Наочно-образне мислення виникає в дошкільному віці і являє собою мислення за допомогою наочних образів, тому таке мислення підпорядковане сприйняття, в ньому відсутня в розгорнутому вигляді абстрагування.
Теоретичне мислення з'являється у дитини в шкільний період, і воно характерне тим, що відбувається у формі абстрактних понять і міркувань.
У складних розумових діях дорослого є елементи всіх трьох видів мислення, але якийсь один з них зазвичай переважає. Так, при доказі теорем, вирішенні завдань домінують, звичайно, теоретичний тип мислення, хоча там використовуються і елементи наочно-дієвого і наочно-образного мислення (побудова креслень, схем, подумки і практичні їх перетворення і т.п.).
Одночасно з розвитком мислення у дитини розвивається і мова. У промові думка знаходить матеріальну форму, в якій вона тільки й може бути сприйнята іншими людьми і самою людиною. Високорозвинуте мислення взагалі неможлива поза промови, воно завжди пов'язане з мовою, і мова виступає як матеріальна оболонка мислення.
Яким же чином розвивається мислення у дитини? Як людина переходить від одного виду мислення до наступного? Що впливає на цей процес?
На цей рахунок психологи дотримуються різних поглядів.
Ряд зарубіжних психологів на чолі з відомим французьким психологом Жаном Піаже вважають, що процес розумового розвитку є самостійним і незалежним від навчання, він має свої власні внутрішні закономірності. Навчання може лише затримувати або прискорювати терміни появи у дитини відповідних видів мислення, не змінюючи їх послідовності та особливостей. Жан Піаже писав: «Це велика помилка думати, що дитина набуває поняття числа та інші математичні поняття безпосередньо у спілкуванні. Навпаки, в значній мірі він розвиває їх самостійно і спонтанно [1].
Л.С. Виготський вказував, що навчання повинно орієнтуватися головним чином на ще не сформовані, але виникаючі психічні види діяльності дитини. Він ввів поняття зони найближчого розвитку, в якій дитина ще самостійно не може виконувати цю діяльність, але вже може її виконати за допомогою дорослого. Виконуючи цю діяльність при постійно зменшується допомоги дорослого, дитина переходить із зони найближчого розвитку до зони актуального розвитку, в якій він вже цю діяльність може виконати цілком самостійно.
Отже, процеси розумового розвитку та навчання є тісно пов'язаними і взаємно обумовленими: навчання впирається на досягнутий рівень розвитку і сприяє подальшому розвитку дитини, перехід його на наступний, більш високий рівень розвитку. Але розвиток не слід на навчанням як тінь, автоматично: воно залежить від змісту і характеру навчання та багатьох інших чинників-соціальних та виховних (сім'ї, середовища, природних задатків)
Як слід організувати та проводити навчання, з тим щоб, враховуючи всі ці чинники, вести за собою розумовий розвиток дитини, є досить складною і до кінця ще не розв'язаною психолого-педагогічною проблемою.
Інші аспекти розвитку мислення в процесі навчання (розвиток логічного мислення, мотивація мислення, мислення та вирішення завдань і ін) ми ще розглянемо у своїй роботі. А тепер перейдемо до розкриття специфіки математичного мислення, яке має особливе значення в навчання математиці.
2. Математичне мислення
Зазвичай, кажучи про розвиток мислення в процесі навчання математики, це питання зводять до розвитку математичного мислення. Звичайно це вірно, тому що природно, що в процесі навчання математики слід в першу чергу турбуватися не взагалі про розвиток мислення, а саме в розвитку специфічного математичного мислення. Все питання лише в тому, що розуміти під математичним мисленням, в чому полягає його специфіка.
На жаль, розглядаючи сутність математичного мислення, або, як ще кажуть, математичного стилю мислення, зазвичай вказують таке величезне число відмітних його якостей, що будь-яка специфіка цього виду мислення втрачається. Так, наприклад, вказують такі якості математичного стилю мислення: гнучкість, активність, цілеспрямованість, готовність пам'яті до відтворення засвоєного, широта, глибина, критичність і самокритичність, ясність, точність, лаконічність, оригінальність, доказовість.
Безсумнівно, що математичний стиль мислення володіє всіма цими якостями і ще багатьма іншими, але всі вони не є специфічними для математичного мислення. Хіба мислення фізика, хіміка чи історика менш гнучко, менш активно і цілеспрямовано, менш широко і глибоко, ніж мислення математика? Точно так само важко погодитися з тим, що математичне мислення відрізняється від мислення представників інших наук більшою ясністю чи оригінальністю. Справді наукове мислення в будь-якій галузі знань має володіти всіма зазначеними властивостями.
А.Я. Хінчік, відомий математик, глибоко цікавився проблемами навчання математики та багато зробив у галузі методики математики, більш скромно і більш точно вказав лише чотири характерних ознаки математичного мислення [].
1. Для математики характерно доведене до краю домінування логічної схеми міркування. Це своєрідна риса стилю математичного мислення, в стиль повною мірою не зустрічається в жодній іншій науці, має в собі багато цінного. Очевидно, що вона максимально дозволяє стежити за правильністю течії думки і гарантує від помилки, з іншого боку, вона змушує мислячого при кожній диз'юнкції мати перед очима всю сукупність наявних можливостей і зобов'язує його врахувати кожну з них, не пропускаючи жодної.
1. «... Лаконізм, свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший ведучий до цієї мети логічний шлях, нещадне відкидання всього, що не абсолютно необхідно для бездоганної аргументації».
2. «... Чітка розчленованість ходу аргументації». Для цього в математичних роботах широко використовується такий простий прийом, як нумерація понять і суджень, а перед кожним абзацом ставиться особливе позначення, яке вказує, який випадок з усіх розглядається в даному абзаці.
3. Скрупульозна точність символіки. «Кожен математичний символ має строго певне значення: заміна його іншим символом або перестановка на інше місце, як правило, тягне за собою спотворення, а часом і повне знищення сенсу даного висловлювання».
Отже, математичне мислення - це гранично абстрактне, теоретичне мислення, об'єкти якого позбавлені будь-якої матеріальність і можуть інтерпретуватися самим довільним чином, аби при цьому збереглися задані між ними відносини.
Тепер ми можемо поставити питання: опановують чи учні загальноосвітніх шкіл математичним мисленням у зазначеному розумінні і чи можуть вони ними оволодіти?
Вирішенню цього питання допоможе розгляд рівнів математичного мислення, які виділив А.А. Столяр. Він вказує наступні п'ять рівнів в геометрії, які наведемо нижче.
Геометрія
1-ий рівень
Геометричні фігури розглядаються як цілі і розрізняються лише по своїй формі.
2-ий рівень
Геометричні фігури виступають як носії своїх властивостей і розпізнаються по них, але самі властивості фігур ще логічно не впорядковані і самі фігури, так як фігури тільки описуються, але не визначаються.
3-й рівень
Здійснюється логічне впорядкування властивостей фігур і самих фігур; геометричні фігури виступають у певній логічній зв'язку, яка встановлюється за допомогою визначень, інші властивості фігур виводяться логічним шляхом. Але власне значення дедукції в цілому ще не осягається, бо не усвідомлюється дедуктивна система в цілому.
4-й рівень
Осягається значення дедукції «в цілому», усвідомлюється сутність аксіом, визначень, теорем, логічної структури доказів, логічного зв'язку понять і пропозицій.
П'ятий рівень
Відволікаються від конкретної природи об'єктів і конкретного сенсу відносин між ними. Геометрична теорія будується як абстрактна дедуктивна система.
А.А. Столяр вказує, що перші два рівні характерні для учнів початкових класів, третій рівень - для учнів середніх класів і четвертий - для учнів старших класів. Стосовно п'ятого рівня А.А. Столяр вважає, що його досягти не можна ні на жодному етапі навчання геометрії.
Якщо характеристика рівнів розвитку математичного мислення, дана А.А. Столяром, вірна, а вона, безсумнівно, правильна, то це означає, що в даний час учні загальноосвітніх шкіл оволодівають у повній мірі сучасним рівнем математичного мислення. Для нього саме характерний зазначений вище п'ятий рівень: всі попередні рівні характерні для математичного мислення різних історичних епох приблизно ХIХ століття.
Твердження ж А.А. Столяра, що п'ятий рівень, тобто рівень сучасного математичного мислення, взагалі недоступний учням загальноосвітніх шкіл, спростовується досвідом ряду шкіл, як у нас, так і за кордоном, а також багаторічними експериментами, проведеними в руслі теорії навчальної діяльності (дослідження В. В. Довидова, Хо Нгок Дай, Я. Дадоджанова та ін) Питання ж про те, чи необхідно домагатися досягнення такого рівня математичного мислення в учнів, потребує в подальшому обговоренні.
3. Виховання культури математичного мислення
Математичне мислення, яке повинно бути сформовано в учнів в процесі навчання математики, є основною частиною загальної культури мислення, виховання якої є найважливіше завдання загальної освіти. Математичний стиль мислення в найбільш яскравій формі виражає науково-теоретичний стиль мислення взагалі. Отже, при формуванні такого стилю мислення в процесі навчання математики в учнів розвивається науково-теоретичне мислення.
Культура мислення, крім науково-теоретичного характеру, відрізняється ще рядом інших ознак, серед яких слід в першу чергу виділити розумність, логічність, дисциплінованість.
Розумність є вища ступінь мислення, наступна за розумом. Якщо розсудливе мислення здійснюється без зміни наявної ситуації - об'єкта мислення, то розумне мислення - це «здатність знаходити причини і сутність явищ, розглядати їх всебічно, розкривати єдність протилежностей». Розсудливе мислення, оперуючи поняттями, абстракціями, «не слухає їх зміст і природу». Для розуму характерно оперування абстракціями в межах заданої схеми або іншого якого-небудь шаблону. Розумова діяльність не має своєї власної мети, вона використовує заздалегідь задану ціль, тому віддзеркалення дійсності розумом носить до певної міри мертвий характер. Головна функція розуму - розчленування і числення »
Однак розумність мислення як найважливіша риса культури мислення не може бути досягнута без розумової діяльності, яка надає думки системність і строгість.
Ось чому не менш важливі, ніж розумність, й інші з зазначених рис культури мислення: логічність та дисциплінованість.
Мислення людини можна тоді вважати культурним, коли воно відбувається в повній відповідності з законами логіки. Ці закони встановлюють норма міркувань, умовиводів. Забезпечують отримання з їх допомогою з істинних посилок вірних висновків. Логічні форми - це системи зв'язків між поняттями, в яких відображена об'єктивна дійсність.
Природно, що логіка мислення не дана людині від народження, нею він опановує в процесі життя, в навчанні. І роль навчання математики в цьому вихованні в учнів логічного мислення величезна хоча б тому, що математика як ніякий інший предмет, може бути названа прикладної логікою. У математиці учень з найбільшою повнотою, найбільш опукло і зримо може побачити демонстрація майже всіх основних законів елементарної логіки.
Дисципліна мислення передбачає, по-перше, аналіз об'єкту думки, по-друге, планування на основі цього аналізу своєї розумової діяльності, і по-третє, покроковий самоконтроль і самооцінку виконаної діяльності з метою встановлення відповідності наміченим планом і його коректування при необхідності.
Зазначимо деякі загальні положення шляхів і засобів виховання культури мислення учнів в процесі навчання математики.
1. Процес виховання культури мислення є тривалим, що протікає по суті справи, протягом всього життя людини. Тому в процесі навчання математики цим вихованням слід займатися протягом всіх років навчання в школі, повсякденно і на кожному уроці. Вчитель математики має для цього багато можливостей хоча б тому, що вивчення математики, як ніякого іншого предмета, вимагає високої культури мислення.
2. Істотно важливо, щоб вчитель математики, шкільні підручники демонстрували справжні зразки культури мислення. Адже учні в своїй розумовій діяльності природно наслідують вчителя, підручника. І якщо вони при цьому знаходять дефектні зразки, якщо сам учитель, а тим більше підручник допускає похибки в логіці викладу, в основі, то, звичайно, важко очікувати від учнів високої культури мислення.
3. Культуру мислення можна прищепити учневі лише тоді, коли він сам буде працювати над оволодінням цією культурою, над постійним її вдосконаленням. Тому дуже важливо залучити учнів в активну роботу по самовихованню, домогтися, щоб вони розглядали виховання культури мислення як особистісно значущу задачу. Звичайно, вчитель математики повинен надавати кожному учневі допомогу в цій важкій роботі.
Важливо розвинути в учнів бажання і звичку до самоконтролю і самооцінці ходу свого мислення, своїх розумових дій. Починати треба з організації взаємоконтролю і взаємооцінки, поступово переводячи їх у самоконтроль і самооцінку.
4. Нарешті для того, щоб вміння і навички культури мислення учнів були усвідомленими, адже тільки в цьому випадку вони будуть достатньо ефективними і міцними, і для того, щоб дати учням спосіб орієнтування в виконанні розумових дій, необхідно включити в зміст навчання математиці систему певних теоретичних знань.
Література
1. Вейль Г. Математичне мислення: Пер. з англ. та нім. / Под ред. В.В. Бірюкова та О.М. Паршина. - М.: Наука. Гол. ред. Фіз.-мат. лит., 1989. - 400 с.
2. Далакан А.А. Більше уваги геометричним побудовам. / / Математика в школі, № 1, 1980, с. 25-27.
3. Клименченко Д.В. До питання психології мислення учнів під час вирішення завдань. / / Математика в школі № 5, 1987 р., с. 26-29.
4. Козлов С.Д. Наші нові старі знайомі. / / Математика в школі, № 2, 2001 р., с. 12-15.
5. Маслова Г.Г. Методика навчання рішенню задач на побудову. - М.: Просвящение - 1961 р. - с.
6. Пікус А.Л. Питання теорії та методики геометричних побудов в просторі. Ленінград, 1956 р. - с.
7. Погорєлов А.В. Геометрія: Учеб. сел. для 6-10 кл. середовищ. шк. - М., Просвітництво, 1986, - 302 с.
8. Прокоф'єв М.А. Факультативні заняття: перспективи розвитку. / / Радянська педагогіка, № 9, 1986 р., - с. 16-24.
9. Семушина А.Д. Методика навчання завдань на побудову зі стереометрії. Видавництво Академії педагогічних наук РРФСР. Москва - 1959 р. - 235 с.
10. Стратілатова П.В. Збірник статей з питань викладання геометрії в середній школі. Державне навчально-педагогічне видавництво Міністерства освіти РРФСР Москва - 1958 р. - 286 с.
11. Фрідман Л.М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі. - М.: Просвещение, 1983, - 160 с.
[1] Піаже Ж. Як діти утворюють математичні поняття.
- Питання психології, 1966 № 4, с. 133.
- Питання психології, 1966 № 4, с. 133.