СГПІ
Технолого-економічний факультет
Кафедра педагогіки
Дипломна робота
На тему «Психолого-педагогічні особливості підліткового періоду»
Виконав
Перевірив
Стерлітамак 2003.
"1-3" Вступ ............................................ ........................................ 2
Глава I. Психолого-педагогічні особливості підліткового періоду. 5
§ 1. Вікові критерії ................................................ ........ 5
§ 2. Підвищення рівня узагальненості досліджуваних знань ...... 12
Глава II. Узагальнююче повторення з геометрії у 8 класі
(На прикладі теми: "Чотирикутники ").................................. 16
§ 1. Значення повторення ................................................ ....... 16
§ 2. Види повторення ................................................ ............ 17
§ 3. Зміст і методика узагальнюючого повторення на прикладі теми: «Чотирикутники »...................................... ....................... 24
Глава III. Опис і результати експерименту ........................ 42
ВИСНОВОК ................................................. ....................... 47
БІБЛІОГРАФІЯ ................................................. ................... 50
У процесі навчання математиці важливе місце відводиться організації повторення вивченого матеріалу. Необхідність повторення обумовлена завданнями навчання, вимагають міцного і свідомого оволодіння ними.
Вказуючи на важливість процесу повторення вивченого матеріалу, сучасні дослідники показали значну роль при цьому таких дидактичних прийомів, як порівняння, класифікація, аналіз, синтез, узагальнення, сприяє інтенсивному протіканню процесу запам'ятовування. При цьому виробляється гнучкість, рухливість розуму, узагальненість знань.
У процесі повторення пам'ять в учнів розвивається. Емоційна пам'ять спирається на наочно-образні процеси, поступово поступається пам'яті з логічними процесами мислення, яка полягає в умінні встановлювати зв'язок між відомими і невідомими компонентами, зіставляти абстрактний матеріал, класифікувати його, обгрунтовувати свої висловлювання.
Повторення навчального матеріалу з математики здійснюється в усій системі навчального процесу: при актуалізації знань - на етапі підготовки і вивчення нового матеріалу, при формуванні вчителем нових понять, при закріпленні вивченого раніше, з організації самостійних робіт різних видів, при перевірці знань учнів.
Необхідність повторення вивченого раніше матеріалу викликано самою структурою програми навчального курсу математики. Наприклад, учні проходять за навчальною програмою тему: «Чотирикутники" у 8 класі, але користуються нею в 10-11 класах при вивченні теми: «Поверхность тіл обертання», «Площа поверхні», «Обсяги тіл» та інших Шкільна програма стоїть , що, не повторюючи раніше вивченого матеріалу, важко зрозуміти новий. Тому повторення пройденого матеріалу необхідно учням. На практиці відчувається важливість та корисність узагальнюючого повторення. Узагальнюючі уроки є підсумком великої роботи учнів з повторення, надають їм практичну допомогу у підготовці до іспитів. Відгуки восьмикласників про цих уроках, їх усвідомлені, логічно правильні відповіді, з правильним використанням символічного запису, умінням застосовувати теоретичні знання при вирішенні завдань говорять про велику ефективність такого повторення.
Літератури з організації повторення не вистачає. Важливість узагальнюючого повторення і методичних розробок визначають актуальність цієї проблеми.
Проблема полягає у вивченні впливу узагальнюючого повторення на якість знань учнів.
У зв'язку з виниклою проблемою висувається гіпотеза: пропонована методика узагальнюючого повторення сприяє підвищенню якості знань учнів.
Об'єктом є навчально-виховний процес у періоди повторення пройденого матеріалу.
Предметом служить узагальнююче повторення на уроках математики у 8 класі.
Для вирішення проблеми необхідно вирішити завдання:
Вивчити науково-педагогічний матеріал з психології, з математики, за методикою викладання.
Вивчити стан узагальнюючого повторення в процесі роботи, практику роботи вчителів, тобто, досвід їх роботи.
Проаналізувати види узагальнюючого повторення.
Розробити зміст і метод прийомів на прикладі теми: «Чотирикутники».
Провести експериментально в середній школі.
Методи, використані при експериментуванні гіпотези: теоретичний аналіз, педагогічне спостереження, бесіда, тестування анкетування, експеримент. Аплобирование гіпотези проводилося в середній школі № 46 (гімназія № 4) під керівництвом Баязитовой Л.Ш. в 8 б і 8 г класах.
1. Учень як об'єкт і суб'єкт процесу навчання.
У процесі навчання математики безпосередньо беруть участь з одного боку - вчитель, з іншого - учень. Ролі їх у цьому процесі видаються, принаймні на перший погляд, досить ясними: вчитель організовує, спрямовує і керує процесом навчання математики, а учень повинен вчитися, виконувати всі вимоги вчителя.
Ось як, наприклад, визначається процес навчання в одному з підручників з педагогіки: «Навчанням називається двосторонній процес, що складається з діяльності вчителя, що він учням пояснює, розповідає, показує, що їх виконувати вправи, виправляє їх помилки і т.д., і з діяльності учнів, які під керівництвом вчителя засвоюють знання і відповідні вміння і навики ».
Основна роль вчителя математики в сучасних умовах - це виховання особистості учнів, формування потребностно-мотиваційної сфери, виховання їх здібностей, моральних ідеалів і переконань. Навчання знань умінь і навичок з математики є складовою частиною цього виховання і тим процесом, у якому це здійснюється.
2. Вікові психологічні особливості учня як об'єкта навчання математики.
Про те, що треба враховувати вікові особливості учнів, говориться скрізь, але не завжди вказується, що це означає, які особливості треба враховувати і як їх треба враховувати. Між тим, треба мати на увазі, що вікові особливості - це не щось незмінне і вічне, що притаманне учням певного віку. Самі ці особливості досить різко змінюються з часом. Скажімо, вікові психологічні особливості учня молодшого шкільного віку тепер і років 30 тому не одні й ті ж. Так само сучасний підліток відчутно відрізняється від підлітка довоєнних років.
Розглянемо деякі психологічні особливості сучасного учня, маючи на увазі лише його особливості, які важливо враховувати в процесі навчання математики.
Учень - це зростаючий, що розвивається людина. Прийшовши до школи у сім років, він закінчує її в 17 років цілком сформованим людиною юнацького віку. За ці десять років навчання учень проходить величезний шлях фізичного, психічного та соціально-морального розвитку.
Підлітковий вік - це дуже складний, що таїть у собі небезпеку кризових явищ, період у житті учня. У цей період організм дитини зазнає кардинальних змін. Розгортається процес статевого дозрівання. З цим процесом пов'язане виникнення у підлітка фізичного відчуття власної дорослості. У нього виникає уявлення про себе вже не як про дитину, він прагне бути і вважатися дорослим. Звідси у підлітка виникає нова життєва позиція по відношенню до себе, до оточуючих людей, до світу. Він стає соціально активним, сприйнятливим до засвоєння норм цінностей і способів поведінки, які існують серед дорослих.
Тому період підліткового віку характерний тим, що тут починається формування морально-етичних і соціальних установок особистості учня, намічається загальна спрямованість цієї особистості.
Підліток прагне до активного спілкування зі своїми однолітками, і через це спілкування він активно пізнає себе, оволодіває своєю поведінкою, орієнтуючись на зразки та ідеали, почерпнуті з книг, кінофільмів, телебачення.
Підліток стає більш незалежним від дорослих ще й тому, що у нього виникають такі потреби, які має задовольнити лише сам (потреба в спілкуванні з однолітками, в дружбі, в коханні). Батьки і взагалі дорослі при всьому їхньому бажанні не можуть вирішити проблеми, що постають перед підлітками у зв'язку з виникненням у них нових потреб, тим часом як задоволення основних потреб молодших школярів залежить в основному від батьків. Все це часто болісно позначається на ставленні учнів до навчання. Ось як характеризує це відомий психолог Н.С. Лейтес: «Діти 12-13 років у переважній більшості своїй відносяться до навчання в основному благодушно: не обтяжують себе зайвими роздумами, виконують тільки уроки в межах заданого, часто знаходять приводи для розваги ... Ослаблення зв'язку з учителем, його впливу особливо нагадують про себе у недоліках поведінки учнів на уроках. Тепер учнів як іноді дозволяють собі ігнорувати одержувані зауваження, але можуть і активно їм протистояти. У середніх класах можна зіткнуться з винахідливими витівками і проявом самого легковажної поведінки ».
Загальна картина роботи учнів-підлітків на уроках в порівнянні з молодшими класами погіршується. Раніше приблизні й акуратні учні дозволяють собі не виконувати завдання. Зошити ведуться неохайно. У багатьох учнів змінюється підкресліть, він стає нерозбірливим і недбалим. При вирішенні математичних завдань багато підлітків не проявляють потрібної наполегливості і старанності. Спроби вчителя зацікавити учнів цікавістю форми викладу або будь-якими іншими засобами найчастіше не приносять очікуваного результату.
У той же час ці ж підлітки дуже охоче беруть участь у роботі різних гуртків, де, здавалося б, найбільш важкі підлітки охоче виконують всі вказівки дорослого керівника гуртка, з інтересом і ретельністю опановують теоретичні знання, потрібними для виконання практичних робіт.
Якщо підлітковий вік є початок внутрішнього переходу учня від положення об'єкта навчання і виховання, яким він був у молодшому шкільному віці, до стану суб'єкта цього процесу, то в юнацькому віці учень стає (у всякому разі, повинен ставати) вже справжнім суб'єктом своєї діяльності в навчально -виховному процесі.
У той же час учні ще зберігають матеріальну залежність від батьків. Головним у їх життя стає підготовка до майбутнього самостійного, дорослого життя, підготовка до праці, вибір життєвого шляху, професії.
У ці роки особливу значущість для учнів набуває ціннісно-орієнтаційна діяльність. Учень намагається зробити глибоку самооцінку своєї особистості, своїх здібностей. Зростає і розвивається рефлексія, пізнавальний інтерес до філософських проблем, юнак намагається з'ясувати сенс життя; оцінити спостережувані явища з цієї точки зору.
Особливо слід відзначити прагнення учнів старшого шкільного віку до автономії, до емоційної та ціннісної самостійності, до незалежності, до самоповаги, тим часом як для підлітків характерна залежність від групи своїх однолітків. Підліток дуже податливий впливу однолітків. Внутрішньо відійшовши від батьків, він ще не прийшов до своєї індивідуальності, яка міститься в юнацькому віці. Якщо підлітка хвилює питання: «Невже я не такий, як усі?», То юнака: «Невже я такий, як усі?».
Вчителю все це треба мати на увазі і враховувати у своїй роботі.
3. Мотивація процесу навчання.
Вище ми встановили, що учень у процесі навчання математики з об'єкта цього навчання поступово стає його суб'єктом. Що це означає? У чому виражається відмінність між об'єктом і суб'єктом навчання? Адже в тому і в іншому випадку учень як-то навчається, здобуває знання, уміння.
Дійсно, і коли учень є лише об'єктом навчання математики, і коли він стає суб'єктом цього процесу він виконує завдання вчителя, вирішує завдання, повторює вивчений матеріал і т.д., тобто він навчається. Усі відмінності між вченням учня в ролі об'єкта і його ж вченням ролі суб'єкта у тому, заради чого він це робить.
Людина, учень є діяльна істота. Він завжди щось робить, бере участь в якійсь діяльності. Але учень бере участь у багатьох різних діяльностях, робить різні дії. Для того щоб учень ефективно навчався, він має здійснювати не будь-які дії, а цілком певні. Постає питання: чому учень робить саме ці дії, а не інші, що спонукає здійснювати ці дії, що спрямовує і регулює його діяльність у процесі навчання? Іншими словами, що мотивує - спонукає і направляє - діяльність учня.
Тільки розібравшись у цьому, ми зможемо зрозуміти, в чому відмінності між об'єктом і суб'єктом процесу навчання. Крім того, в цьому треба розібратися ще й тому, і може бути головним чином тому, що вчитель повинен навчитися керувати діяльністю учнів у процесі навчання, а для цього він повинен формувати в них потрібну мотивацію. Адже в іншому випадку, якщо цього не робити, стає цілком реальною небезпека, про яку говорив В. О. Сухомлинський:
«Усі наші задуми, усі пошуки і побудови перетворюються на порох, якщо немає в учнів бажання вчитися."
Тому вчитель повинен викликати в учнів таке бажання, а це значить, що він повинен формувати в них відповідну мотивацію.
Що таке мотивація, як вона формується у людини? Під мотивацією розуміють зазвичай сукупність спонукань до діяльності.
Та коли діяльність вже розпочалася, то вона має певну мету. Мета - це те, чого свідомо хоче досягти людина в результаті цієї діяльності. Але між метою діяльності і її спонуканнями не завжди існує повна відповідність. Коли воно є, то кажуть, що ця діяльність має сенс, в іншому випадку, коли мета діяльності і які цієї діяльності спонукання не відповідають один одному, то говорять, що діяльність не має сенсу, позбавлена для даної людини сенсу.
Наприклад, учні вирішують завдання. Мета у них одна - навчитися вирішувати подібні завдання. Спонукання ж можуть бути самі різні. Так, одні з них вирішують завдання оскільки звикли виконувати вимоги вчителя, у них ще є досить стійка установка на виконання вимог вчителя, але деякі з них, крім того, хочуть отримати хорошу оцінку, похвалу. Для інших головне - отримати хорошу оцінку, треті вирішують завдання ще й тому, що їх цікавить сам процес вирішення, він приносить емоційне задоволення; нарешті, є й такі, у яких, крім перелічених спонукань, є ще й прагнення оволодіти загальним способом вирішення подібних завдань . Можливо, що у деяких учнів та інші спонукання.
Однак незалежно від мотивів, які спонукають учнів розв'язувати завдання, об'єктивно ця діяльність спрямована на якісь навчальні цілі, наприклад, на те, щоб кожен з них навчився вирішувати подібні завдання. Зауважимо, що саме завдання з точки зору виступає лише як матеріал, як засіб цієї діяльності.
Отже, учень завжди є діяльність у процесі навчання, а суб'єктом цієї діяльності він стає тоді, коли свідомо приймає об'єктивні мети діяльності у свої особисті цілі. Очевидно, що в цьому разі навчання є найбільш ефективне, тільки в цьому випадку вчитель може легко і з задоволенням повністю здійснити цілі і завдання навчання.
Вчителю необхідно прагнути до того, щоб кожен учень ставав суб'єктом діяльності в процесі навчання. А для цього потрібно, щоб усі сторони навчально-виховного процесу, його зміст, організація та методи сприяли такому становленню, були безпосередньо спрямовані на виховання учня - суб'єкта своєї діяльності. До опису одного з шляхів побудови процесу повторення математики ми й переходимо.
Слід особливо відзначити, що тільки на цьому шляху можна позбутися від горезвісної перевантаження учнів, бо загальними поняттями сучасний шкільний курс математики, як не перевантажений, але явно не догружен. Технолого-економічний факультет
Кафедра педагогіки
Дипломна робота
На тему «Психолого-педагогічні особливості підліткового періоду»
Виконав
Перевірив
Стерлітамак 2003.
Зміст.
"1-3" Вступ ............................................ ........................................ 2 Глава I. Психолого-педагогічні особливості підліткового періоду. 5
§ 1. Вікові критерії ................................................ ........ 5
§ 2. Підвищення рівня узагальненості досліджуваних знань ...... 12
Глава II. Узагальнююче повторення з геометрії у 8 класі
(На прикладі теми: "Чотирикутники ").................................. 16
§ 1. Значення повторення ................................................ ....... 16
§ 2. Види повторення ................................................ ............ 17
§ 3. Зміст і методика узагальнюючого повторення на прикладі теми: «Чотирикутники »...................................... ....................... 24
Глава III. Опис і результати експерименту ........................ 42
ВИСНОВОК ................................................. ....................... 47
БІБЛІОГРАФІЯ ................................................. ................... 50
Введення.
У процесі навчання математиці важливе місце відводиться організації повторення вивченого матеріалу. Необхідність повторення обумовлена завданнями навчання, вимагають міцного і свідомого оволодіння ними. Вказуючи на важливість процесу повторення вивченого матеріалу, сучасні дослідники показали значну роль при цьому таких дидактичних прийомів, як порівняння, класифікація, аналіз, синтез, узагальнення, сприяє інтенсивному протіканню процесу запам'ятовування. При цьому виробляється гнучкість, рухливість розуму, узагальненість знань.
У процесі повторення пам'ять в учнів розвивається. Емоційна пам'ять спирається на наочно-образні процеси, поступово поступається пам'яті з логічними процесами мислення, яка полягає в умінні встановлювати зв'язок між відомими і невідомими компонентами, зіставляти абстрактний матеріал, класифікувати його, обгрунтовувати свої висловлювання.
Повторення навчального матеріалу з математики здійснюється в усій системі навчального процесу: при актуалізації знань - на етапі підготовки і вивчення нового матеріалу, при формуванні вчителем нових понять, при закріпленні вивченого раніше, з організації самостійних робіт різних видів, при перевірці знань учнів.
Необхідність повторення вивченого раніше матеріалу викликано самою структурою програми навчального курсу математики. Наприклад, учні проходять за навчальною програмою тему: «Чотирикутники" у 8 класі, але користуються нею в 10-11 класах при вивченні теми: «Поверхность тіл обертання», «Площа поверхні», «Обсяги тіл» та інших Шкільна програма стоїть , що, не повторюючи раніше вивченого матеріалу, важко зрозуміти новий. Тому повторення пройденого матеріалу необхідно учням. На практиці відчувається важливість та корисність узагальнюючого повторення. Узагальнюючі уроки є підсумком великої роботи учнів з повторення, надають їм практичну допомогу у підготовці до іспитів. Відгуки восьмикласників про цих уроках, їх усвідомлені, логічно правильні відповіді, з правильним використанням символічного запису, умінням застосовувати теоретичні знання при вирішенні завдань говорять про велику ефективність такого повторення.
Літератури з організації повторення не вистачає. Важливість узагальнюючого повторення і методичних розробок визначають актуальність цієї проблеми.
Проблема полягає у вивченні впливу узагальнюючого повторення на якість знань учнів.
У зв'язку з виниклою проблемою висувається гіпотеза: пропонована методика узагальнюючого повторення сприяє підвищенню якості знань учнів.
Об'єктом є навчально-виховний процес у періоди повторення пройденого матеріалу.
Предметом служить узагальнююче повторення на уроках математики у 8 класі.
Для вирішення проблеми необхідно вирішити завдання:
Вивчити науково-педагогічний матеріал з психології, з математики, за методикою викладання.
Вивчити стан узагальнюючого повторення в процесі роботи, практику роботи вчителів, тобто, досвід їх роботи.
Проаналізувати види узагальнюючого повторення.
Розробити зміст і метод прийомів на прикладі теми: «Чотирикутники».
Провести експериментально в середній школі.
Методи, використані при експериментуванні гіпотези: теоретичний аналіз, педагогічне спостереження, бесіда, тестування анкетування, експеримент. Аплобирование гіпотези проводилося в середній школі № 46 (гімназія № 4) під керівництвом Баязитовой Л.Ш. в 8 б і 8 г класах.
Глава I. Психолого-педагогічні особливості підліткового періоду.
§ 1. Вікові критерії.
В даний час спостерігається посилений інтерес вчителів математики до психолого-педагогічних проблем, до психологічних знань. Цей інтерес зумовлено тим, що вчителі математики у своїй повсякденній практичній діяльності зустрічаються з такими проблемами, які можна вирішити лише на основі психолого-педагогічних знань, а також за умови глибокого психологічного осмислення сутності цих проблем.1. Учень як об'єкт і суб'єкт процесу навчання.
У процесі навчання математики безпосередньо беруть участь з одного боку - вчитель, з іншого - учень. Ролі їх у цьому процесі видаються, принаймні на перший погляд, досить ясними: вчитель організовує, спрямовує і керує процесом навчання математики, а учень повинен вчитися, виконувати всі вимоги вчителя.
Ось як, наприклад, визначається процес навчання в одному з підручників з педагогіки: «Навчанням називається двосторонній процес, що складається з діяльності вчителя, що він учням пояснює, розповідає, показує, що їх виконувати вправи, виправляє їх помилки і т.д., і з діяльності учнів, які під керівництвом вчителя засвоюють знання і відповідні вміння і навики ».
Основна роль вчителя математики в сучасних умовах - це виховання особистості учнів, формування потребностно-мотиваційної сфери, виховання їх здібностей, моральних ідеалів і переконань. Навчання знань умінь і навичок з математики є складовою частиною цього виховання і тим процесом, у якому це здійснюється.
2. Вікові психологічні особливості учня як об'єкта навчання математики.
Про те, що треба враховувати вікові особливості учнів, говориться скрізь, але не завжди вказується, що це означає, які особливості треба враховувати і як їх треба враховувати. Між тим, треба мати на увазі, що вікові особливості - це не щось незмінне і вічне, що притаманне учням певного віку. Самі ці особливості досить різко змінюються з часом. Скажімо, вікові психологічні особливості учня молодшого шкільного віку тепер і років 30 тому не одні й ті ж. Так само сучасний підліток відчутно відрізняється від підлітка довоєнних років.
Розглянемо деякі психологічні особливості сучасного учня, маючи на увазі лише його особливості, які важливо враховувати в процесі навчання математики.
Учень - це зростаючий, що розвивається людина. Прийшовши до школи у сім років, він закінчує її в 17 років цілком сформованим людиною юнацького віку. За ці десять років навчання учень проходить величезний шлях фізичного, психічного та соціально-морального розвитку.
Підлітковий вік - це дуже складний, що таїть у собі небезпеку кризових явищ, період у житті учня. У цей період організм дитини зазнає кардинальних змін. Розгортається процес статевого дозрівання. З цим процесом пов'язане виникнення у підлітка фізичного відчуття власної дорослості. У нього виникає уявлення про себе вже не як про дитину, він прагне бути і вважатися дорослим. Звідси у підлітка виникає нова життєва позиція по відношенню до себе, до оточуючих людей, до світу. Він стає соціально активним, сприйнятливим до засвоєння норм цінностей і способів поведінки, які існують серед дорослих.
Тому період підліткового віку характерний тим, що тут починається формування морально-етичних і соціальних установок особистості учня, намічається загальна спрямованість цієї особистості.
Підліток прагне до активного спілкування зі своїми однолітками, і через це спілкування він активно пізнає себе, оволодіває своєю поведінкою, орієнтуючись на зразки та ідеали, почерпнуті з книг, кінофільмів, телебачення.
Підліток стає більш незалежним від дорослих ще й тому, що у нього виникають такі потреби, які має задовольнити лише сам (потреба в спілкуванні з однолітками, в дружбі, в коханні). Батьки і взагалі дорослі при всьому їхньому бажанні не можуть вирішити проблеми, що постають перед підлітками у зв'язку з виникненням у них нових потреб, тим часом як задоволення основних потреб молодших школярів залежить в основному від батьків. Все це часто болісно позначається на ставленні учнів до навчання. Ось як характеризує це відомий психолог Н.С. Лейтес: «Діти 12-13 років у переважній більшості своїй відносяться до навчання в основному благодушно: не обтяжують себе зайвими роздумами, виконують тільки уроки в межах заданого, часто знаходять приводи для розваги ... Ослаблення зв'язку з учителем, його впливу особливо нагадують про себе у недоліках поведінки учнів на уроках. Тепер учнів як іноді дозволяють собі ігнорувати одержувані зауваження, але можуть і активно їм протистояти. У середніх класах можна зіткнуться з винахідливими витівками і проявом самого легковажної поведінки ».
Загальна картина роботи учнів-підлітків на уроках в порівнянні з молодшими класами погіршується. Раніше приблизні й акуратні учні дозволяють собі не виконувати завдання. Зошити ведуться неохайно. У багатьох учнів змінюється підкресліть, він стає нерозбірливим і недбалим. При вирішенні математичних завдань багато підлітків не проявляють потрібної наполегливості і старанності. Спроби вчителя зацікавити учнів цікавістю форми викладу або будь-якими іншими засобами найчастіше не приносять очікуваного результату.
У той же час ці ж підлітки дуже охоче беруть участь у роботі різних гуртків, де, здавалося б, найбільш важкі підлітки охоче виконують всі вказівки дорослого керівника гуртка, з інтересом і ретельністю опановують теоретичні знання, потрібними для виконання практичних робіт.
Якщо підлітковий вік є початок внутрішнього переходу учня від положення об'єкта навчання і виховання, яким він був у молодшому шкільному віці, до стану суб'єкта цього процесу, то в юнацькому віці учень стає (у всякому разі, повинен ставати) вже справжнім суб'єктом своєї діяльності в навчально -виховному процесі.
У той же час учні ще зберігають матеріальну залежність від батьків. Головним у їх життя стає підготовка до майбутнього самостійного, дорослого життя, підготовка до праці, вибір життєвого шляху, професії.
У ці роки особливу значущість для учнів набуває ціннісно-орієнтаційна діяльність. Учень намагається зробити глибоку самооцінку своєї особистості, своїх здібностей. Зростає і розвивається рефлексія, пізнавальний інтерес до філософських проблем, юнак намагається з'ясувати сенс життя; оцінити спостережувані явища з цієї точки зору.
Особливо слід відзначити прагнення учнів старшого шкільного віку до автономії, до емоційної та ціннісної самостійності, до незалежності, до самоповаги, тим часом як для підлітків характерна залежність від групи своїх однолітків. Підліток дуже податливий впливу однолітків. Внутрішньо відійшовши від батьків, він ще не прийшов до своєї індивідуальності, яка міститься в юнацькому віці. Якщо підлітка хвилює питання: «Невже я не такий, як усі?», То юнака: «Невже я такий, як усі?».
Вчителю все це треба мати на увазі і враховувати у своїй роботі.
3. Мотивація процесу навчання.
Вище ми встановили, що учень у процесі навчання математики з об'єкта цього навчання поступово стає його суб'єктом. Що це означає? У чому виражається відмінність між об'єктом і суб'єктом навчання? Адже в тому і в іншому випадку учень як-то навчається, здобуває знання, уміння.
Дійсно, і коли учень є лише об'єктом навчання математики, і коли він стає суб'єктом цього процесу він виконує завдання вчителя, вирішує завдання, повторює вивчений матеріал і т.д., тобто він навчається. Усі відмінності між вченням учня в ролі об'єкта і його ж вченням ролі суб'єкта у тому, заради чого він це робить.
Людина, учень є діяльна істота. Він завжди щось робить, бере участь в якійсь діяльності. Але учень бере участь у багатьох різних діяльностях, робить різні дії. Для того щоб учень ефективно навчався, він має здійснювати не будь-які дії, а цілком певні. Постає питання: чому учень робить саме ці дії, а не інші, що спонукає здійснювати ці дії, що спрямовує і регулює його діяльність у процесі навчання? Іншими словами, що мотивує - спонукає і направляє - діяльність учня.
Тільки розібравшись у цьому, ми зможемо зрозуміти, в чому відмінності між об'єктом і суб'єктом процесу навчання. Крім того, в цьому треба розібратися ще й тому, і може бути головним чином тому, що вчитель повинен навчитися керувати діяльністю учнів у процесі навчання, а для цього він повинен формувати в них потрібну мотивацію. Адже в іншому випадку, якщо цього не робити, стає цілком реальною небезпека, про яку говорив В. О. Сухомлинський:
«Усі наші задуми, усі пошуки і побудови перетворюються на порох, якщо немає в учнів бажання вчитися."
Тому вчитель повинен викликати в учнів таке бажання, а це значить, що він повинен формувати в них відповідну мотивацію.
Що таке мотивація, як вона формується у людини? Під мотивацією розуміють зазвичай сукупність спонукань до діяльності.
Та коли діяльність вже розпочалася, то вона має певну мету. Мета - це те, чого свідомо хоче досягти людина в результаті цієї діяльності. Але між метою діяльності і її спонуканнями не завжди існує повна відповідність. Коли воно є, то кажуть, що ця діяльність має сенс, в іншому випадку, коли мета діяльності і які цієї діяльності спонукання не відповідають один одному, то говорять, що діяльність не має сенсу, позбавлена для даної людини сенсу.
Наприклад, учні вирішують завдання. Мета у них одна - навчитися вирішувати подібні завдання. Спонукання ж можуть бути самі різні. Так, одні з них вирішують завдання оскільки звикли виконувати вимоги вчителя, у них ще є досить стійка установка на виконання вимог вчителя, але деякі з них, крім того, хочуть отримати хорошу оцінку, похвалу. Для інших головне - отримати хорошу оцінку, треті вирішують завдання ще й тому, що їх цікавить сам процес вирішення, він приносить емоційне задоволення; нарешті, є й такі, у яких, крім перелічених спонукань, є ще й прагнення оволодіти загальним способом вирішення подібних завдань . Можливо, що у деяких учнів та інші спонукання.
Однак незалежно від мотивів, які спонукають учнів розв'язувати завдання, об'єктивно ця діяльність спрямована на якісь навчальні цілі, наприклад, на те, щоб кожен з них навчився вирішувати подібні завдання. Зауважимо, що саме завдання з точки зору виступає лише як матеріал, як засіб цієї діяльності.
Отже, учень завжди є діяльність у процесі навчання, а суб'єктом цієї діяльності він стає тоді, коли свідомо приймає об'єктивні мети діяльності у свої особисті цілі. Очевидно, що в цьому разі навчання є найбільш ефективне, тільки в цьому випадку вчитель може легко і з задоволенням повністю здійснити цілі і завдання навчання.
Вчителю необхідно прагнути до того, щоб кожен учень ставав суб'єктом діяльності в процесі навчання. А для цього потрібно, щоб усі сторони навчально-виховного процесу, його зміст, організація та методи сприяли такому становленню, були безпосередньо спрямовані на виховання учня - суб'єкта своєї діяльності. До опису одного з шляхів побудови процесу повторення математики ми й переходимо.
§ 2. Підвищення рівня узагальненості досліджуваних знань.
В даний час шкільний курс математики далеко відстає від математики як науки за рівнем узагальненості знань. Якщо в сучасній математиці рівень узагальненості дуже високий, то в шкільному курсі математики він ще дуже низький. Його підвищення (в розумних межах) призведе до підвищення інформаційної цінності досліджуваних знань, і до різкого скорочення часу на їх засвоєння.Проблема розвитку самостійності мислення учнів у процесі навчання математики є гострою, ще не дозволеної проблемою методики математики.
Аналіз характеру розумової діяльності учнів на різних уроках, у різних класах показав, що лише 15-20% навчального часу витрачається на самостійну роботу, чим старше клас, тим самостійних робіт менше.
Створюється ненормальне становище: з віком учні, звичайно, стають більш здатними до самостійної роботи, а їм надають для цього все менше часу.
Якщо в числі тренувальних вправ переважають однотипні, при вирішенні яких учень лише отриманням відповіді звіряння його з готовим відповіддю, то такі вправи не направляють зусилля учня на дозвіл інших нешаблонних завдань, з чим йому доведеться зустрічатися в житті.
Знання учні будуть міцними, якщо вони придбані не однієї пам'яттю, не заучені механічно, а є продуктом власних міркувань і закріпилися в його власній творчій діяльності над навчальним матеріалом.
Не випадково Леонід Ейлер вважав, що крім опису результатів своїх досліджень, збагатили науку, йому потрібно задля спільної користі щиросердно викласти ще й процес пошуки істини з усіма його пошуками й утрудненнями.
Діючі підручники математики мало, чим можуть допомогти розвитку творчих почав: у них за влучним висловом професора Б.В Гнеденко, заховані всі кінці, дана вже готова схема, знання представлені в статистичному стані, у завершених формах.
Під узагальненням розуміти поширення, якого-небудь судження від частого поняття до загального (наприклад, від «чотирикутника» до «трапеції, ромба ...»).
Судження отримані за аналогією, будуть проблематичними і підлягають подальшому дослідженню і доведенню.
Умовиводи за аналогією є неодмінною складовою частиною творчого мислення, тому що цим шляхом думку людини виходить за межі відомого, прокладаючи шлях до невідомого.
Розумовий розвиток учнів, які повинні готуватися вже в період шкільного навчання на роль творчо мислячих активних діячів, не може бути повноцінним, якщо їх не навчать у школі спеціально застосуванню прийому аналогії.
Просте застосування аналогії дає вправу подібне, однопорядкове з вихідним. Від нього слід відрізняти складання завдання узагальненням, коли нове завдання виявляється в тому чи іншому відношенні складніше вихідної.
Процес узагальнення полягає в застосуванні аналогії, але не зводиться повністю до неї.
Застосування узагальнення пов'язані з перетворенням думок, з розумовою експериментуванням; вона є одне з найважливіших засобів самонавчання, тобто, самостійного розширення і поглиблення наявних знань.
Для досягнення глибокого засвоєння нового поняття, способу розв'язання не можна обходитися завданнями рівня труднощі, а потрібно запропонувати узагальнену завдання, а ще краще дати учням можливість самим узагальнити вирішену задачу, щоб потім вирішити таку, видозмінюючи, якщо потрібно колишній спосіб.
У практиці навчання загальне класне завдання розраховане на середнього учня, а для розширення пізнавальних здібностей сильніших учнів необхідні додаткові завдання щодо самостійного узагальнення і рішенню складених завдань.
Якщо, скажімо готову завдання, вирішують учні переважно однаковою послідовністю міркувань, то з узагальненням вже справляється не всякий. Результат узагальнення залежить не стільки від суми знань, приблизно однаковою для всіх учнів класу, а від вміння комбінувати, пов'язувати ці знання по-новому, заглядати далі звичайних меж.
Характер вправ, які виконуються в класі, повинен позначиться і на характері контрольних і перевірочних робіт; чому навчають, то і слід перевіряти.
Будь-яка математична задача невичерпна у своїх зв'язках з іншими завданнями; після рішення завдання майже завжди можна знайти предмет роздуми, знайти кілька напрямків, у яких вдається узагальнити завдання, і знайти потім рішення створених таким чином нових проблем.
Час і зусилля, витрачені на узагальнення знань, окупаються тією великою економією мислення, у майбутньому, які досягаються завдяки однаковим методам засвоєння матеріалу.
Глава II. Узагальнююче повторення з геометрії у 8 класі (на прикладі теми: "Чотирикутники").
§ 1. Значення повторення.
Одним з найважливіших питань, що сприяють подальшому підвищенню успішності, досягненню глибоких і міцних знань в учнів є питання про повторення раніше пройденого матеріалу.Без міцного збереження набутих знань, без уміння відтворити в необхідний момент, раніше пройдений матеріал, вивчення нового матеріалу завжди буде пов'язане з великими труднощами і не дає належного ефекту.
"Навчання не можна довести до грунтовності без можливо більш частих і особливо майстерно поставлених повторень і вправ", - говорив Каменський.
Викладати математику, не повторюючи повсякденно на кожному уроці раніше пройдений матеріал, це значить - передати, переказати учням певну суму різних законів, теорем, формул і т. п., абсолютно не піклуючись про те, наскільки міцно і свідомо освоїли цей матеріал наші вихованці; це означає не дати дітям глибоких і міцних знань. Працювати так, це, за влучним висловом Ушинського, уподібнитися "п'яному візнику з поганого увязанной поклажею: він все жене вперед, не озираючись назад, і привозить додому порожню віз, вихваляючись тільки тим. Що зробив велику дорогу".
Раніше пройдений матеріал повинен служити фундаментом, на який спирається вивчення нового матеріалу, який у свою чергу, повинен збагачувати і розширювати раніше вивчені поняття.
"Старе має підпирати нове, а нове збагачувати старе".
Правильно організоване повторення допомагає учневі побачити в колишньому щось нове; допомагає встановити логічні зв'язки між знову досліджуваним матеріалом і раніше вивченим; збагачує пам'ять учня; розширює її кругозір; наводить знання учня в систему; дисциплінує учня; привчає у ньому вміння знаходити необхідного для відповіді на поставлене питання матеріал; виховує в учневі почуття відповідальності.
У зв'язку з цим особливо важливе значення набувають питання:
Що треба повторювати? Як повторювати? Коли повторювати?
Велику серйозну помилку допускає той вчитель, який спонукає учня повторювати матеріал у тому порядку, в якому він вивчався. Повторення в цьому випадку зводиться і механічному відтворення у пам'яті пройденого матеріалу.
Ушинський виховував проти механічного повторення. "Немає жодної потреби повторювати вивчений у порядку, в якому воно було пройдено, а навпаки, ще корисніше повторення випадкові, що зводять вивчений на нові комбінації", - говорив він.
Повторення пройденого матеріалу має стати необходимейшим елементом у викладанні математики, органічною і невід'ємною частиною кожного уроку.
§ 2. Види повторення.
У зв'язку з цим ми розрізняємо такі види повторення раніше пройденого матеріалу:1. Повторення на початку навчального року.
2. Поточне повторення всього, раніше пройденого:
а) повторення пройденого у зв'язку з вивченням нового матеріалу (супутні повторення);
б) повторення пройденого поза зв'язку з новим матеріалом.
3. Tематичеcкoе повторення (узагальнююче і систематизирующее повторення закінчених тем і розділів програми).
4. Заключне повторення (организуемое при закінченні проходження великого розділу програми або в кінці навчального року).
Мета і час повторення тісно пов'язані і взаємозумовлені й у свою чергу визначають методи і прийоми повторення.
При плануванні повторення необхідно відібрати матеріал, встановити послідовність та час повторення, розподілити відібраний матеріал по уроках, встановити форми і методи реалізації повторення, зрозуміло, треба враховувати і властивість пам'яті.
Основні вимоги до організації повторення повинні виходити з цілей повторення, специфіки математики як навчального предмета, її методів.
Перша вимога до організації повторення, що виходять з його цілей, визначення часу: коли повторювати? Воно має здійснюватися за принципом: "Вчити нове, повторюючи, і повторювати, вивчаючи нове" (В. П. Вахтеров).
Це не означає, однак, що не можна спеціально відводити уроки для повторення, скажімо, для таких питань програми, які важко пов'язати з поточним матеріалом.
План повторення і вибір тим для повторення вчитель повинен складати в кожному окремому випадку на підставі загальних теоретичних міркувань з урахуванням того, як засвоєно учням матеріал відповідних розділів.
До сказаного додамо, то характер уроку у зв'язку з переходом учнів з одного класу до іншого значно змінюється. У старших класах істотно перебудовується закріплення і повторення навчального матеріалу. Збільшується обсяг фактичного матеріалами, що виноситься на закріплення і повторення; поурочне закріплення часом переходить і тематичне чи переростає в узагальнююче повторення, збільшується частка самостійності учнів при закріпленні і повторенні.
Друга вимога до організації повторення має відповідати на питання: Що повторювати? Виходячи з висловлювань класиків педагогіки, можна висунути такі становища у доборі навчального матеріалу з різних видів повторення:
1. Не слід повторювати всі раніше пройдене. Потрібно вибрати для повторення найважливіші питання поняття, навколо яких гуртується навчальний матеріал.
2. Виділяти для повторення такі теми і питання, які за труднощі своєї недостатньо міцно засвоюються.
3. Виділяти для повторення треба те, що необхідно узагальнити, поглибити і систематизувати.
4. Не слід повторювати все в однаковій мірі. Повторювати грунтовно треба головне і важке. При відборі матеріалу для повторення необхідно враховувати ступінь його зв'язку з знову досліджуваним матеріалом.
Третя вимога до організації повторення математики має відповідати на запитання, як повторювати, тобто освітити ті методи і прийоми, якими повинно здійснюватися повторення. Методи і прийоми повторення повинні знаходитися в тісному зв'язку з видами повторення.
При повторенні необхідно застосовувати різні прийоми і методи, зробити повторення цікавим шляхом внесення, як і повторюваний матеріал, так і в методи вивчення деяких елементів новизни. Тільки різноманітність методів повторення може усунути ті протиріччя, що виникає через відсутність бажання у частини учнів повторювати те, що вони засвоєно якось.
Різні види повторення тісно взаємодіють; від своєчасного та успішного проведення одного з видів повторення, наприклад, тематичного або поточного, залежить тривалість і успішність повторення іншого виду - заключного повторення чи повторення наприкінці року. Перейдемо до короткої характеристики видів повторення.
1. Повторення пройденого на початку року.
При повторенні на початку навчального року в перший план повинно висуватися повторення тем, що мають прямий зв'язок з новим навчальним матеріалом. Нові знання, що здобуваються на уроці, повинні спиратися на міцний фундамент уже засвоєних.
При повторенні на початку року необхідно поряд з повторенням тим, тісно пов'язаних з новим матеріалом, повторити й інші розділи, які поки що не примикають до знову вивчається. Тут необхідно поєднати обидві задачі: провести загальне повторення в порядку огляду основних питань з матеріалу минулих років і більш глибоко повторити питання, безпосередньо пов'язані з черговим матеріалом по програмі навчального року.
Саме повторення слід проводити як у класі, так і вдома. При вирішенні питання, який матеріал повинен бути повторений у класі і який залишено учням для самостійного повторення вдома, потрібно виходити з особливості матеріалу. Найбільш важкий матеріал повторили в класі, а менш важкий дали будинок для самостійної роботи.
2. Поточне повторення пройденого.
Поточне повторення в процесі вивчення нового матеріалу - дуже важливий момент у системі повторення. Воно допомагає встановлювати органічний зв'язок між новим матеріалом і раніше пройденим.
Поточне повторення може здійснюватися у зв'язку з вивченням нового матеріалу. У цьому випадку повторюється матеріал, природно ув'язуються з новим матеріалом. Повторення тут входить складовою і невід'ємною частиною в знов вивчається.
Під керівництвом вчителя учні на уроці відтворюють раніше вивчений ними необхідний матеріал. У результаті цього доведення нової теореми сприймається учнями легко, а подальша робота вчителя - відтворення доведеного і вправи, що забезпечують вторинне осмислення теореми і її закріплення.
У другому випадку всі зв'язки з новим матеріалом, коли повторюваний матеріал не знаходить природної ув'язки з і його доводиться повторювати на спеціальних уроках.
При поточному повторенні питання і вправи можуть бути запропоновані учням з різних розділів програми.
Поточне повторення здійснюється в процесі розбору вправ, включається в домашнє завдання. Воно може бути проведене як на початку або в кінці уроку, так і під час опитування учнів.
Поточне повторення доповнюється супутнім повторенням, яке не можна суворо планувати великий період. Супутнє повторення не вноситься в календарні плани, для нього не виділяється спеціальний час, але воно є органічною частиною кожного уроку. Супутнє повторення залежить від матеріалу, який залучається для вивчення чергового питання, від можливості встановити зв'язки між новим і старим, від стану знань учнів у даний момент. Успіх супутнього повторення в значній мірі обумовлюється досвідом і спритністю вчителя. Супутнім повторенням учитель по ходу роботи усуває неточності в знаннях, нагадує коротенько давно пройдене, указує їх зв'язок з новим.
3. Тематичне повторення.
У процесі роботи над математичним матеріалом особливо великого значення набуває повторення кожної закінченої теми або цілого розділу курсу.
При тематичному повторенні систематизуються знання учнів з теми на завершальному етапі його проходження чи після деякої перерви.
Для тематичного повторення виділяються спеціальні уроки, на яких концентрується і узагальнюється матеріал однієї якої-небудь теми.
У процесі роботи над темою питання, пропоновані учням по кожному розділу, варто знову переглянути; залишити найважливіші і відкинути більш дрібні. Узагальнюючий характер питань при тематичному повторенні відображається і на їх кількості. Вчителю доводиться основний матеріал теми охопити в меншому числі питань.
Повторення на уроці проводиться шляхом бесіди із широким залученням учнів у цю бесіду. Після цього учні одержують завдання повторити певну тему і попереджаються, що проведена контрольна робота.
Контрольна робота по темі повинна включати всі її основні питання. Після виконання контрольної роботи проводиться розбір характерних помилок і організовується повторення для їх усунення.
При тематичному повторенні корисно скласти запитальник, а потім логічний план на тему і завершити роботу складанням підсумкових схем. Таблиця чи схема економно і наочно показує спільне для понять, які входять у цю тему, їх взаємозв'язок у логічній послідовності.
Процес складання таблиць в одних випадках, підбір і запис прикладів після аналізу готової таблиці в інших випадках є одночасно і формами письмових вправ при узагальнюючому і систематизирующем повторенні.
Послідовне вивчення різних особливих випадків при повторенні дуже корисно закінчити їх класифікацією, що допоможе учням ясніше розрізнити окремі випадки і групувати їх за певною ознакою.
4. Заключне повторення.
Повторення, що проводиться на завершальному етапі вивчення основних питань курсу математики і здійснюване в логічного зв'язку з вивченням навчального матеріалу з даного розділу чи курсу в цілому, будемо називати заключним повторенням.
Цілі тематичного повторення і заключного повторення аналогічні, матеріал повторення (відбір істотного) дуже близький, а прийоми повторення часом збігаються.
Заключне повторення навчального матеріалу переслідує мети:
1. Огляд основних понять, провідних ідей курсу відповідного навчального предмета; нагадування можливо великих рисах пройденого шляху, еволюції понять, їх розвитку, їх теоретичних і практичних додатків.
2. Поглиблення й за можливості розширення знань учнів з основних питань курсу в процесі повторення.
3. Деякою перебудови й іншого підходу до раніше вивченого матеріалу, приєднання до повторного матеріалу нових знань, допускаються програмою, з метою його поглиблення.
§ 3. Зміст і методика узагальнюючого повторення на прикладі теми: «Чотирикутники».
Рішенням однією з важливих завдань загальноосвітньої та професійної школи є посилення прикладної спрямованості навчання. У цьому зв'язку важливо виробити в учнів уміння при вирішенні конкретних питань орієнтуватися на суттєві властивості об'єктів і явищ. Великі можливості для формування такого вміння є при вивченні теми "Чотирикутники".Пропонований матеріал представляє великі можливості для організації різних форм колективної навчально-познавательской діяльності учнів, формування їх діалектико-матеріалістичного світогляду, закладає фундамент для розвинена вміння застосовувати геометричні знання при вирішенні питань життєво-практичного та виробничого характеру.
В якості провідної ідеї беремо ідею чіткого розмежування властивостей і ознак паралелограма і його приватних видів.
Перш за все потрібно домогтися, щоб учні навчилися розрізняти поняття "властивість фігури" і "ознака фігури". Якщо дано, що фігура паралелограм, і виходячи з цього посилання доводять деякі співвідношення між елементами розглянутої фігури, то кожне з цих співвідношень називається властивістю постаті, про яку йдеться в умови теореми.
У |
А |
З |
Д |
Дано: АВСД - паралелограм.
Довести: 1) АВ = СД; АТ = ВС
2) ÐА = ÐС; ÐВ = ÐД
І з співвідношень (1), (2) укладання теореми дає властивість паралелограма.
У теоремі ж "Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм" вказані співвідношення між елементами деякого чотирикутника (АТ = ОС, ВО = ОД) і доводиться, що при їх виконанні чотирикутник буде належати до класу паралелограмів (буде параллелограммом). У цьому випадку умови (АТ = ОС, ВО = ОД) називають ознаками паралелограма, оскільки при їх виконанні ми можемо сміливо стверджувати, що чотирикутник, для якого виконуються ці умови, обов'язково буде параллелограммом (теорема).
Більш глибокого і усвідомленого засвоєння понять "властивість" і "ознака" можна досягти, якщо зв'язати їх з поняттями "необхідна умова", "достатня умова", "необхідна і достатня умова".
Повідомляємо школярам, що будь-яка теорема може бути записана у вигляді АÞВ, де А - умова теореми (що дано), а В - висновок теореми (що потрібно довести).
Якщо доведена теорема АÞВ, то А для У (щойно є, то зараз же буде і В), а В - необхідне А, з А незмінно (необхідно) слід В.
Ще більш переконливе обгрунтування того, чому умова У вважається необхідним А, можна дати, якщо познайомити учнів з питанням про плани теорем і зв'язку між ними. Записуємо схему:
(1) АÞВ ВÞА (2)
(3) немає А Þ немає У немає У Þ немає А (4)
Повідомляємо, що якщо твердження (1) назвати прямим, то твердження (2) буде до нього зворотним, твердження (3) - протилежним прямому, а (4)-протилежно зворотного. Далі доводиться, що з справедливості затвердження (1) випливає справедливість затвердження (4) [(1) Þ (4)] і навпаки, тобто (4) Þ (1).
Повідомляється, що якщо (1) Þ (4), то твердження називаються еквівалентними. Аналогічно еквівалентні затвердження (2) та (3) [(2) Û (3)].
Словами формулу (1) Þ (4) можна розшифрувати так: якщо з умови А слід (витікає) умова У, то без в немає й О (з немає в немає А), іншими словами У необхідне А (без Не буде і А).
А далі повідомляємо, що необхідна умова дає властивість, а якщо умова не тільки необхідно, але й досить, то отримуємо ознака.
Іншими словами, щоб отримати властивість У якогось об'єкта А, досить довести теорему АÞВ, а щоб переконатися, що розглядається властивість В є ознакою, слід ще довести теорему ВÞА (зворотну).
Разом з учнями згадуємо всі властивості паралелограма і складаємо таблицю.
Дано: АВСД - паралелограм
Довести: 1) АВ | | СД
2)
У |
А |
З |
Д |
Про |
3) АВ = СД
4) ЗС = АТ
5) АТ = ОС
6) ВО = ОД
7) ÐА = ÐС
8) ÐВ = ÐД
9) ÐА + ÐВ = 180 0
10) ÐС + ÐВ = 180 0
11) ÐС + ÐД = 180 0
12) ÐА + ÐД = 180 0
Таким чином, кожна з умов 1-12, узята окремо, ознакою паралелограма не є. Тепер почнемо комбінувати властивості дві (Скільки комбінацій буде? Як порахувати всі комбінації, щоб бути переконаним, що жодна не пропущена?). Переконуємося, що з комбінацій дають ознака паралелограма. Які з комбінацій дві дають відомі вже вам ознаки паралелограма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].
У той же час легко бачити, що не кожна з комбінацій дві дає ознака паралелограма. Наприклад, з того що АВ II СД і ВС = АТ слід, що фігура АВСД - равнобочная трапеція, а не паралелограм.
Природно постає питання, скільки ж усього ознак у паралелограма? Для відповіді на це питання потрібно перебрати всі можливі комбінації і або довести отриману теорему, або привести приклад, який спростовує її (контрприклад). Ясно, що ця робота на уроці пророблена не може. Вона може бути дана як індивідуальних завдань додому добре успевающим учням, або ще краще, запропонована як колективної роботи гуртківцям. Тут стають цікаві питання про планування роботи, про поділ праці при вирішенні цієї проблеми, про організацію самоконтролю і взаємоконтролю, про підведення остаточних итoгoв, т.e. питання, що виникають при організації будь-який праці.
Далі аналогічну роботу можна провести із з'ясування ознак прямокутника і ромба. Але цій роботі має передувати уточнення визначень прямокутника і ромба. Дійсно, досить зажадати, щоб у паралелограма був один прямий кут, тому що з умови (АВСД - паралелограм; ÐА = 900) випливає, що ÐВ = 90 0, ÐС = 90 0, ÐД = 90 0. Для доказу цього факту достатньо скористатися відомими властивостями кутів паралелограма.
Аналогічно, легко довести теорему (АВСД - паралелограм, АВ = ВСÞАВ = ЗС = СД = АТ), з якої випливає, що ромбом називається паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні.
Можна не змінювати звичні учням надлишкові визначення, але обов'язково підкреслити той факт, що, щоб переконатися, що розглянутий паралелограм буде ромбом, достатньо перевірити рівність двох суміжних сторін, а щоб переконатися, що він буде прямокутником, достатньо довести, що один з його кутів прямий .
Після цього відзначаємо особливі властивості діагоналей прямокутника і ромба і знову ставимо питання, чи будуть ці умови не тільки необхідними, а й достатніми, тобто чи є ці умови ознаками аналізованих постатей. Як це перевірити? Учні повинні збагнути, що для відповіді на поставлене запитання слід сформулювати і довести теореми, зворотні до теорем, що виражає властивості діагоналей прямокутника і ромба.
Запишемо з цих теорем.
Дано: АВСД - прямокутник. Довести: АС = ВД.
Протилежне до цієї теореми твердження записується так:
Дано: в чотирикутнику АВСД АС = ВД.
Довести: АВСД - прямокутник.
Легко переконатися, що це твердження несправедливо. Наведіть приклади, що підтверджують цей факт. Учні можуть згадати, що діагоналі рівні у равнобочной трапеції, чи накреслити довільний чотирикутник з рівними діагоналями. Таким чином, ми переконуємося, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник з класу чотирикутників (серед чотирикутників з рівними діагоналями є і не є прямокутниками).
Тут вчитель знайомить учнів з ще одним способом отримання тверджень, зворотних даному. Зауважує, що умова прямий теореми може бути розбита на дві частини.
Дано: 1) АВСД - паралелограм.
2) ÐА = 900.
Довести: АС = ВД.
Якщо тепер поміняти місцями висновок і другу частину умови, то ми отримаємо твердження:
Дано: АВСД - паралелограм
АС = ВД.
У |
А |
З |
Д |
Довести: ÐА = 900.
Це твердження легко довести. Доведіть самостійно.
Якщо учні не можуть, то можна "навести" їх на думку, звернувши увагу, що ÐА + ÐД = 1800 (АВСД - паралелограм). Що залишилося тепер довести? (ÐА = ÐД).
У |
З |
Д |
А |
Про |
2 |
1 |
3 |
Дано: АВСД - ромб.
2) ÐВАС = ÐСАД.
Для цієї теореми можна скласти дві зворотні:
Теорема 1 Теорема 2
Довести: АВСД - ромб. Довести: АВСД - ромб.
А |
Про |
У |
З |
Д |
А |
У |
З |
Д |
2 |
1 |
Цікаве питання. А як можна видозмінити перший креслення що його можна било використовувати одночасно для "спростування" і теореми 1 і теореми 2 (Досить взяти АТ = ОС і тоді ÐAВД = ÐДВС.
Використовуючи другий спосіб утворення зворотних теорем, з яким учні ознайомлені під час встановлення ознаки прямокутника.
Маємо:
Пряма теорема: Дано:
АВСД-паралелограм, АВ = НД
Зворотній теорема:
Довести: АВ = ВС
Згадуючи уточнене визначення ромба, даємо таке формулювання зворотної теореми: "Якщо параллелограмме діагоналі взаємоперпендикулярних, то цей паралелограм - ромб".
Схема аналітичного міркування при знаходженні докази цієї теореми.
АВСД - паралелограм АВ = ВС
DАВО = DСВО ÐАОВ = ÐСОВ
АТ = ОС ВО - загальна ÐАОВ = ÐСОВ
Ý
Аналогічно формулюємо друга ознака ромба: "Якщо параллелограмме діагональ ділить кут навпіл, то цей паралелограм - ромб". Аналітичне міркування проводиться аналогічно.
Схематична запис докази
АВСД - паралелограм ÞАД II НД Þ (Ð1 = Ð3, Ð1 = Ð2) Þ
ÞÐ2 = Ð3 Þ (АВ = bс, АВСД - паралелограм) Þ АВСД - ромб.
Узагальнюючи отримані результати, корисно звернути увагу школярів на те що, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник з безлічі всіх чотирикутників, але виділяє його з багатьох паралелограмів, і запропонувати їм самостійно сформулювати аналогічні затвердження (їх 2!) Для ромба.
Для повірки того, чи володіють учні ознаками паралелограма, ставимо перед ними таку проблему:
Як сформулювати ознаки прямокутника і ромба, засновані на властивостях їх діагоналей, щоб вони виділяли прямокутник і ромб з безлічі всіх чотирикутників? Підказка, якщо учні не справляються: умова АВСД - паралелограм, яким вимогою щодо його діагоналей можна замінити.
Отримуємо ознаки:
1. Якщо в чотирикутнику діагоналі рівні і точкою їх перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм.
2. Якщо в чотирикутнику діагоналі взаємно і діляться точкою перетину навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм.
3. Ознака формулюємо аналогічно.
Переходячи до з'ясування ознак квадрата, підкреслюємо, що квадрат є як частковим випадком прямокутника, так і ромба і отже має всі властивості прямокутника і всіма властивостями ромба. Ставиться проблема: виділити комбінації властивостей діагоналей, які виділяли квадрат з багатьох прямокутників, з багатьох ромбів, їх безлічі паралелограмів, з безлічі чотирикутників.
Якщо учні осмислили розглянутий матеріал ознаки прямокутника і ромба, то вони легко у відповідь на поставлені питання і сформулюють такі ознаки квадрата:
Квадратом є:
Прямокутник з взаємно-перпендикулярними діагоналями,
Прямокутник, у якого діагональ ділить кут навпіл.
Ромб з рівними діагоналями.
Паралелограм, у якого діагоналі рівні і взаємно-перпендикулярні.
Паралелограм, у якого діагоналі рвані і ділять кут навпіл.
Чотирикутник, у якого діагоналі рівні, взаємно перпендикулярні-і в точці перетину діляться навпіл.
Після цього можна перейти до вирішення завдань, що вимагають застосування вивчених ознак.
Для приведення до системи матеріалу по темі "Паралелограм і його види» дуже хороша завдання: «Визначити вид чотирикутника, який вийде, якщо послідовно з'єднати відрізками прямих середини сторін довільного чотирикутника».
Після докази того факту, що отриманий чотирикутник буде параллелограммом, ставиться питання: «Яким може бути вихідний чотирикутник, щоб виявився прямокутником, ромбом, квадратом?».
2)
Накреслимо довільний чотирикутник.
3)
Знайдемо середини сторін і зобразимо схематично на кресленні рівність відрізків.
4) З'єднаємо послідовно отримані точки E, F, M, N.
Запитання: який чотирикутник вийшов?
У різних учнів відповідь буде різним: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат. Учитель звертає увагу на те, що прямокутник, ромб, квадрат - приватні види паралелограма, тому всім доведеться доводити, що чотирикутник EFMN - паралелограм.
Дано: АЕ = ЕB, BF = FC, СМ = МД, ДN = NА.
Довести: EFMN - паралелограм.
Проводиться аналіз:
Питання: Для того, щоб довести, що EFMN - паралелограм, що достатньо довести?
Відповідь; паралельність прямих EF і MN, а також ЕN і MF.
Питання: Як можна довести? (Або, якщо не відповідають: Використовуючи який ознака паралельності прямих це довести?).
Відповідь: Перша ознака паралельності прямих т.к. в інших ознаках беруть участь кути, а в умові завдання про кутках нічого не сказано.
Питання: У першій ознаці паралельності прямих говоряться про трьох прямих. Де взяти третю пряму?
Відповідь: З'єднати точки А і С. Одержимо два трикутника - АВС і АДС.
Питання: Яке співвідношення відомо в цих трикутниках? Або: Чим є ЕF і MN в DАВС і DАДС?
Відповідь; ЕF є середньою лінією DАВС, бо АЕ = FВ і ВГ = FC, а MN є середньою лінією DАДС, тому що СМ = МД і ДN = NА.
Питання: Яка ознака середньої лінії ми знаємо?
Відповідь: Середня лінія паралельна основи.
Питання: Який висновок можна зробити про ЕF і MN?
Відповідь: ЕF | | АС і МN | | АС. Значить, за першою ознакою паралельності прямих слід, що ЕF | | MN.
Аналогічно доводиться, що ЕN | | FM.
Проведемо так званий «погляд назад» і спробуємо знайти інше рішення, раціональніше і коротке.
Питання: Як можна довести, що чотирикутник EFMN - паралелограм?
Або: Яким ознакою паралелограма можна скористатися, щоб довести, що чотирикутник EFMN - паралелограм?
Відповідь: Скористатися ознакою паралелограма, який полягає в тому, що у чотирикутнику протилежні сторони попарно паралельні й рівні, то цей чотирикутник - паралелограм. Отже, потрібно довести, що EF | | MN і EF = MN.
Питання: Паралельність прямих EF і MN доводиться так, як це було зроблено вище. Як довести рівність ЕF і МN? або: Яке властивість середньої лінії ми знаємо?
Відповідь: Так як ЕF - середня лінія DАВС, то ЕF дорівнює половині підстави АС; MN середня лінія АДС і М дорівнює половині підстави АС. Значить ЕF = MN.
Це рішення є раціональним і коротким.
Тепер треба записати вирішення завдання. Для цього вже синтез.
АЕ = ЕВ ЕF | | AC
BF = FC EF = 1 / 2 AC EF | | MN Þ EFMN - парал-
СМ = МД MN | | AC EF = MN лелограмм
ДN = NA MN = 1 / 2 AC
У класі є учні, які швидко знайдуть рішення цієї задачі. Для організації індивідуальної групової діяльності сильнішим учням можна дати додаткові завдання:
Який вигляд повинен мати вихідний чотирикутник, щоб був
а) прямокутником?
б) ромбом?
в) квадратом?
У цьому випадку доцільно підійти до розподілу диференційовано: найсильнішим запропонувати варіант в), середнім - варіант б), іншим - а).
Пропонуючи учням завдання з надмірною і неповною інформацією, ми виховуємо в них готовність до практичної діяльності. Розглядаючи витончене рішення тієї чи іншої математичної задачі, ми сприяємо естетичному вихованню школярів.
Мені хочеться навести кілька прикладів завдань, що виникли з розгляду шарнірної моделі чотирикутника.
Переконавшись разом зі школярами в рухливості цієї моделі (не жорстко скріпленої в вершинах) вчитель спонукає їх до висновку, що чотири дані сторони не визначають чотирикутник однозначно,
Потім перед учнями формується сама задача.
Завдання 1. Є модель шарнірного чотирикутника із сторонами певної довжини. Яким способами можна надати «твердість» даної моделі чотирикутника, якщо його вершини не можуть бути закріплені? Відповідь обгрунтувати.
У ході обговорення цього завдання пропонуються різні варіанти її вирішення, які перевіряються досвідченими шляхами, наприклад, скріпити дві вершини чотирикутника планкою по діагоналі, з'єднати планкою середини двох протилежних сторін і т. д.
Переконавшись на досвіді в розумності зроблених пропозицій, учнів приходять до необхідності обгрунтувати той або іній спосіб «наведення жорсткості». З допомогою вчителя вони приходять до можливості провести це обгрунтування, переформулювати завдання у вигляді відповідної задачі на побудову. Ролі по заданим елементам можна побудувати єдину постать, її модель буде жорсткою.
Можливість відомості конкретного завдання, визначеної на моделі, до вирішення абстрактної геометричної задачі на побудову реалізує одну з найважливіших виховують функцій геометричних завдань: зв'язок навчання математики з життям, тобто показує реальне походження математичних абстракцій.
Враховуючи «властивість жорсткості» трикутника перше із вищезгаданих рішень обгрунтовується досить просто. Проте обгрунтування другого шляху виконання завдання менш очевидно. Виникає вже чисто геометрична абстрактна задача.
Завдання 2. Побудувати 4-х косинець АВСД, знаючи довжину його сторін і довжину відрізка MN, поєднує середини сторін АВ і ДС.
Припустимо, що цей 4-х косинець АВСД побудований (рис. 3а). Виконаємо паралельний перенос (ДN) сторони ТАК і | | перенесення (CN) боку СВ, тепер з точки виходять 3 відрізка А 1 N, MN, NВ 1 відомої довжини.
Неважко показати, що точка М є серединою АВ 1. У самому справі, довжини відрізків АА 1 і ВВ 1 рівні 1/2ДС, а самі відтинки | | ДС.
Тому чотирикутник А 1 АВ 1 У є параллелограммом. Точка М - середина його діагоналі АВ. Тому М належить діагоналі А 1 В 1 і є її серединою.
Отже, в D NA 1 B 1 відомі боку NA 1, В 1 N і укладена між ними медіана. Для того, щоб побудувати цей трикутник, відзначимо точку N 1, симетрично щодо М. Очевидно, | АN | = | У 1 N |.
Трикутник N 1 NA 1 можна побудувати за трьома відомим сторонам: | NA 1 | = | ТАК |, | A 1 N 1 | = | У 1 N | = | CB | і | NM 1 | = 2 | NM |.
Тепер побудуємо шуканий чотирикутник. Ділимо відрізок N 1 N точкою М на два конгруентних відрізка, будуємо точку В 1, симетричну А 1 щодо М. По трьох сторін побудуємо трикутники А 1 МА і МВВ 1. Перенісши відрізок А 1 А на вектор А 1 N, а відрізок ВВ 1 на вектор В 1 N, підучивши всі чотири вершини шуканого 4-х косинця АВСД. Неважко показати одиничність рішення задачі.
Посиленню розвиваючих функцій завдання сприяє наступна постановка задач-аналогів, при вирішенні яких використовується деякий (один і той же) прийом, заснований на застосуванні певного методу. Так як паралельний перенос елементів фігури (АС) призводить до побудови допоміжного чотирикутника СВВ 1 Д 1 з дуже цікавими властивостями.
Наприклад, 4-х косинець ДД 1 У 1 В - паралелограм, сторони якого конгруентно діагоналях 4-х косинця АВСД, в кути конгруентно кутами між цими діагоналями; довжини діагоналей ДД 1 У 1 У удвічі більше довжин відрізків, що з'єднують середини протилежних сторін АВСД; відстані від точки С до вершин цього паралелограма дорівнюють відповідно довжинам сторін 4-х косинця АВСД і т.д.
Багато хто в цих властивостей дозволяють вирішити завдання, аналогічні вихідної, створюють умови для поширення певного прийому на клас завдань, сприяючи, таким чином, формуванню в учнів здібностей до узагальнення (через аналіз).
Такі, наприклад, такі завдання:
Завдання 3. У чотирикутнику АВСД відомі довжина відрізка М, поєднує середини сторін АВ і СД, довжина діагоналі АС і довжини сторін АВ, ВС і АД.
Чи є дана фігура жорсткої?
Завдання 4. Побудувати трапецію АВСД за даними діагоналях АС, ВД, боці АТ й відрізу МN, що з'єднує середини її підстав.
Розгляд цього прикладу показує, як досить широко можна використовувати навчальні, розвиваючі і виховують функції задач в їх єдності. Справді, в ході вирішення цих завдань використовуються різні властивості геометричних фігур, активно працює метод паралельного перенесення і прийом побудови допоміжної то з дуже цікавими властивостями, тісно пов'язаними з властивостями заданої (шуканої) фігури (реалізуються різні розвиваючі функції), завдання легко моделюється ( дотекает досвідчені рішення), збуджує інтерес школярів (реалізуються виховують функції). Завдання таке, що може служити джерелом різноманітних аналогічних завдань, багато з яких як показав досвід, успішно складаються самими школярами, що сприяє формуванню у них творчої активності.
Досвід показує, що успішність у реалізації виховують функцій математичних завдань багато в чому визначається пробудженням в учнів інтересу до даної задачі, виникненням у них стійкої потреби в її вирішенні, наявністю інтересу до самого процесу вирішення задач на основі останнього часто порушується і формується інтерес учнів до вивчення самої математики та суміжних навчальних дисциплін, інтерес до навчання в цілому.
Чинники, які впливають на формування в учнів стійкого інтересу до вирішення математичних завдань, дуже різноманітні. До них, наприклад, належить доступність запропонованого завдання, зовнішня чи внутрішня цікавість завдання, усвідомлена можливість проявити при цьому творчу самостійність.
під керівництвом Баязитовой Л.Ш. в 8 б і 8 м.
Перед проведенням уроків за узагальнюючим повторення в обох класах була проведена самостійна робота з метою дізнатися їх рівень знань.
Перевірочна самостійна робота.
Через точку перетину діагоналей паралелограма ABCD проведена пряма, яка перетинає боку AD і BC у точках Е і F відповідно. Знайдіть боку паралелограма, якщо його периметр дорівнює 28 см, АЕ = 5 см, ВF = 3 см. [1. Бісектриси кутів А і D паралелограма ABCD перетинаються в т. М лежить за ЗС. Знайдіть боку паралелограма, якщо його периметр дорівнює 36 см.]
Знайдіть меншу бічну сторону прямокутної трапеції, підстави якої рівні 10 см і 6 см, а один з кутів 45 про [2. Знайдіть бічну сторону рівнобедреної трапеції, підстави якої рівні 12 см і 6 см, а один з кутів 60 о]
Самостійна показала, що знання в учнів в обох класах розрізнені, вирішують завдання дуже повільно. Оцінки по самостійній роботі низькі. (Це показано на графіку.)
Після самостійної роботи, використовуючи таблицю теми: «Чотирикутники», що наведена у методичному посібнику з геометрії (Гудвін і Гангнус ч.1). Перед учнями можна поставити низку запитань, відповіді на які учні не знайдуть у готовій формі у підручнику, а повинні попрацювати головою, щоб дати їх.
Наведемо деякі питання, які поставлені нами перед учнями:
Як із рівнобедреної трапеції отримати квадрат? Які додаткові умови необхідні для цього?
Відповідь учнів: рівність бокових сторін збережеться. У рівнобедреної трапеції бічні сторони зробимо перпендикулярними до підстав трапеції. Тоді отримаємо прямокутник. Так як в квадраті суміжні сторони рівні, то в отриманому прямокутнику суміжні боку зробимо рівними, отримаємо шуканий квадрат.
Як із паралелограма отримати квадрат?
Як трапецію звернути на ромб?
Будучи параллелограммом, ромб має свої властивості. Перерахуйте їх. Теж про квадраті.
Перелічіть, якими властивостями паралелограма має ромб? Квадрат? Прямокутник? І т.д.
Поряд з використанням зазначеної таблиці перед учнями були поставлені питання: в якому чотирикутнику:
Діагональ ділить його на два рівних трикутника?
Діагоналі перетинаються в одній точці і діляться навпіл?
Діагоналі є биссектрисами внутрішніх кутів?
Діагоналі взаємно перпендикулярні?
Діагоналі служать осями симетрії?
Учні повинні були дати не тільки відповіді на запитання, але кожен відповідь обгрунтувати, посилаючись на вивчені теореми.
Відповідь вважали малоцінним, коли він перераховував без системи окремі види чотирикутників, в яких діагоналі мають необхідною властивістю. Так якщо на питання: «У яких чотирикутники діагоналі перетинаючись діляться навпіл? »
Учень відповідав: «Діагоналі, перетинаються в одній точці, діляться навпіл параллелограмме, ромбі, квадраті».
Не перебиваючи його давали можливість учневі висловитися, але по закінченню відповіді стояло питання: «Чи варто для відповіді на поставлене питання перераховувати всі види чотирикутників? Чи не можна дати повний і вичерпну відповідь, але в короткій формулюванні? »
Якщо учень не може відповісти на ці питання, перед ним ставилися додаткові питання: «Чи є прямокутник параллелограммом? Чому? »
Подібні питання ставилися і по відношенню до ромбу і квадрату.
Отже, чи можна стверджувати, що прямокутник, квадрат, ромб - є паралелограм?
Після цього учням не становило труднощів дати відповідь:
«Діагоналі, перетинаються і точкою перетину діляться навпіл в параллелограммах».
Якщо учнів давали відразу вичерпну відповідь і при тому в короткій формі, ми давали додаткові питання з метою з'ясувати, наскільки свідомо засвоєний матеріал.
Так якщо на питання: «В якому чотирикутнику діагональ ділить його на два рівних трикутника?»
Була відповідь: «Діагональ ділить чотирикутник на два рівні трикутника у разі, якщо він паралелограм», то учневі ставилося питання: «А в прямокутнику, квадраті, ромбі діагональ не володіє тим же властивістю?»
«Прямокутник, квадрат, ромб - це паралелограми, але кожен з особливими властивостями. Тому, коли говорив про параллелограмме, говорив і про них », - відповів учень.
Такі відповіді ми вважали найбільш цінними, так як вони показують, що учень дійсно попрацював сам над даними йому завданням, що матеріал не зазубрив, а засвоїв свідомо.
Проте таких відповідей було дуже мало. Тоді в одному з класів (8 б) було проведено узагальнююче повторення. А в 8 г була пройдена тема «чотирикутники» і закріплена. Після всього цього була проведена контрольна робота.
Контрольна робота. (1ч.)
Діагоналі прямокутника АВСД перетинаються в точці О. Знайдіть кут між діагоналями, якщо АВО = 30 о [1. Діагоналі ромба КМНР перетинаються в точці О. Знайдіть кути трикутника КОМ, якщо кут МНР = 80 о].
У параллелограмме КМНР проведена бісектриса кута МКР, яка перетинає сторону МН у точці Е.
а) Доведіть, що трикутник КМЕ рівнобедрений.
б) Знайдіть бік КР, якщо МЕ = 10 см, а периметр паралелограма = 52 см. [2. За ЗС паралелограма АВСД взята точка М так, що АВ = ВМ. а) Доведіть, що АМ - бісектриса кута ВАД. б) Знайдіть периметр паралелограма, якщо СД = 8 см, а РМ = 4 см].
Результати контрольної роботи можна показати діаграмою.
Проведений експеримент показує, що клас, у якому було проведено узагальнююче повторення, легко працює з матеріалом, швидко вирішує завдання, може відповісти на будь-який додатковий запитання, пояснити, що і як вирішується, обгрунтувати свою відповідь.
Ефективність узагальнюючого повторення помітна відразу.
1. Викладання математики не може стояти на належному рівні, а знання учнів не будуть достатньо повними і міцними, якщо в роботі вчителя відсутня система повторительно-узагальнюючих уроків.
Це пояснюється психологічними особливостями процесу пізнання і властивостей пам'яті. Тільки постійне у системі здійснюване включення нових знань у систему колишніх знань може забезпечити достатньо високу якість засвоєння предмета. Тільки після повторення можна приходити до логічних висновків. Без повторення неможливо, розкрити сутність речей і явищ, їх розвиток. Не дарма кажуть: «Повторення - мати навчання».
2. Повторення математики необхідно як для учнів з метою поглиблення, зміцнені та систематизації своїх знання, так і для самого вчителя в парності вдосконалення методів навчання та підняття ефективності своєї роботи.
3. Повторення математики має систематично проводитися на уроках, органічно поєднуючись з основним змістом уроку.
При повідомленні нового матеріалу одночасно треба повторювати раніше досліджуваний матеріал. Учні повинні відчувати потребу до повторень. Це досягається тим, що при вивченні нового матеріалу вчитель порівнює його, зіставляє з колишнім, встановлює аналогії між ними, проводить узагальнення, поглиблення та систематизацію.
4. Перед початком навчального року або чверті необхідно ретельно спланувати матеріал для повторення, вказати види повторення, через яке він може проводиться, тобто встановлюється, який матеріал буде проводиться паралельно з вивченням нової теми і який на спеціально відведених уроках повторення.
5. Необхідно систематично практикувати поточне повторення. Необхідно і тематичне повторення після закінчення теми, заключне - по закінченні розділу, курсу в цілому, на яких встановлюються більш широкі логічні зв'язки між темами та розділами, підкреслюються ті основні провідні ідеї, які лежать в основі цієї навчальної дисципліни.
6. Для підвищення інтересу і активності учнів при повторенні необхідно застосовувати різні прийоми і методи роботи, урізноманітнити повторюваний матеріал, старий матеріал розглянути з точок зору, встановлювати все нові і нові логічні зв'язки, стимулювати самостійну роботу учнів.
Тільки таким шляхом можна усунути те протиріччя, яке виникає, з одного боку, через відсутність бажання у частини учнів повторювати те, що вони засвоєно якось, з другого необхідність повторювати з метою поглиблення, узагальнення та систематизації раніше вивченого матеріалу.
7. Необхідна добре продумана теоретична і практично обгрунтована система повторення, що має забезпечити високу якість і міцність знань учнів. Тільки в цьому випадку викладач досягає тих цілей, які він переслідує повторенням.
8. Необхідно ретельно проаналізувати теорію і практику повторення для встановлення позитивних і негативних сторін роботи шкіл при повторенні.
Повторення навчального матеріалу вимагає від вчителя творчої роботи. Він повинен забезпечити чіткий зв'язок між видами повторення, здійснити глибоко продуману систему повторення.
Оволодіти мистецтвом організації повторення - таке завдання вчителя, від її вирішення багато в чому залежить міцність знань учнів.
Басова Л.А., Шубін М.А., Епштейн Л.А. Лекції та завдання з математики: з досвіду роботи літньої фізико-математичної школи в Карелії. М. 1981.
Бєляєв О.О., Кисельова Н.А., Пермінов В.Я. Деякі особливості розвитку математичного знання. М. 1975.
Бескін Н.М. «Методика геометрії». Підручник для педагогічних інститутів. Учпедгиз. 1947.
Бібліотека вчителя математики. Викладання геометрії в 6-8 класах. Збірник статей упорядник В.А. Гусєв. Москва "Освіта" 1979.
Богоявленський Д.Н., Менчинська Н.М. Психологія засвоєння знань у школі. М., 1959.
Глейзер. Історія математики в школі (4-6 кл.). М. «Просвещение», 1981.
Жуков Н.І. Філософські проблеми математики. Мінськ, 1977.
Кабанова-Меллер Є.М. Психологія формування знань і навичок. М. 1962.
Каррі Х.Б. Підстави математичної логіки. М. 1969.
Кедровський О.І. Методологічні проблеми розвитку математичного пізнання. Київ, 1977.
Кудрявцев Л.Д. Сучасна математика та її викладання. М. 1981.
Менчинська А.А. Психологічні питання навчання і нові програми. «Радянська педагогіка», 1968.
Методика викладання математики в середній школі: Загальна методика / Ю.М. Колягін та ін - М. Освіта, 1980.
Методика викладання математики. Укладачі: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр.
Молодший В.М. Нариси з філософським питанням математики. М. 1969.
Моноезон Є.І. Методика та результати вивчення знань учнів. «Радянська педагогіка», 1962.
Петров Ю.М. Філософські проблеми математики. М. 1973.
Поба Д. Математика і правдоподібні міркування. М. 1975.
Перевірочні завдання з математики для учнів 5-8 та 10 класів середньої школи. М. «Просвіта» 1992.
Рен `ї А. Діалоги про математику. М. 1969.
Рузавін Г.І. Про природу математичного знання. М. 1968.
Славков С. Аспекти на математичні пізнання. Софія. 1971.
Срода Р.Б. "Повторення на уроках математики". Видавництво газети "Волга" Астрахань, 1950.
Шкільний факультатив з математики. Міжвузівський збірник. Видавництво Саратовського педагогічного інституту 1993.
Ерднієв П.М. Навчати математики активно, творчо, економно. «Народна освіта», 1962.
Ерднієв П.М. Порівняння і узагальнення під час навчання математики, М. Учпедгиз, 1960.
Федоров І.Г. Деякі методологічні проблеми математики. М. 1975.
2)
А |
Е |
F |
З |
Д |
N |
M |
3)
|
4) З'єднаємо послідовно отримані точки E, F, M, N.
Запитання: який чотирикутник вийшов?
У різних учнів відповідь буде різним: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат. Учитель звертає увагу на те, що прямокутник, ромб, квадрат - приватні види паралелограма, тому всім доведеться доводити, що чотирикутник EFMN - паралелограм.
Дано: АЕ = ЕB, BF = FC, СМ = МД, ДN = NА.
Довести: EFMN - паралелограм.
Проводиться аналіз:
Питання: Для того, щоб довести, що EFMN - паралелограм, що достатньо довести?
Відповідь; паралельність прямих EF і MN, а також ЕN і MF.
Питання: Як можна довести? (Або, якщо не відповідають: Використовуючи який ознака паралельності прямих це довести?).
Відповідь: Перша ознака паралельності прямих т.к. в інших ознаках беруть участь кути, а в умові завдання про кутках нічого не сказано.
Питання: У першій ознаці паралельності прямих говоряться про трьох прямих. Де взяти третю пряму?
Відповідь: З'єднати точки А і С. Одержимо два трикутника - АВС і АДС.
Питання: Яке співвідношення відомо в цих трикутниках? Або: Чим є ЕF і MN в DАВС і DАДС?
Відповідь; ЕF є середньою лінією DАВС, бо АЕ = FВ і ВГ = FC, а MN є середньою лінією DАДС, тому що СМ = МД і ДN = NА.
Питання: Яка ознака середньої лінії ми знаємо?
Відповідь: Середня лінія паралельна основи.
Питання: Який висновок можна зробити про ЕF і MN?
Відповідь: ЕF | | АС і МN | | АС. Значить, за першою ознакою паралельності прямих слід, що ЕF | | MN.
Аналогічно доводиться, що ЕN | | FM.
Проведемо так званий «погляд назад» і спробуємо знайти інше рішення, раціональніше і коротке.
Питання: Як можна довести, що чотирикутник EFMN - паралелограм?
Або: Яким ознакою паралелограма можна скористатися, щоб довести, що чотирикутник EFMN - паралелограм?
Відповідь: Скористатися ознакою паралелограма, який полягає в тому, що у чотирикутнику протилежні сторони попарно паралельні й рівні, то цей чотирикутник - паралелограм. Отже, потрібно довести, що EF | | MN і EF = MN.
Питання: Паралельність прямих EF і MN доводиться так, як це було зроблено вище. Як довести рівність ЕF і МN? або: Яке властивість середньої лінії ми знаємо?
Відповідь: Так як ЕF - середня лінія DАВС, то ЕF дорівнює половині підстави АС; MN середня лінія АДС і М дорівнює половині підстави АС. Значить ЕF = MN.
Це рішення є раціональним і коротким.
Тепер треба записати вирішення завдання. Для цього вже синтез.
ДN = NA MN = 1 / 2 AC
У класі є учні, які швидко знайдуть рішення цієї задачі. Для організації індивідуальної групової діяльності сильнішим учням можна дати додаткові завдання:
Який вигляд повинен мати вихідний чотирикутник, щоб був
а) прямокутником?
б) ромбом?
в) квадратом?
У цьому випадку доцільно підійти до розподілу диференційовано: найсильнішим запропонувати варіант в), середнім - варіант б), іншим - а).
Пропонуючи учням завдання з надмірною і неповною інформацією, ми виховуємо в них готовність до практичної діяльності. Розглядаючи витончене рішення тієї чи іншої математичної задачі, ми сприяємо естетичному вихованню школярів.
Мені хочеться навести кілька прикладів завдань, що виникли з розгляду шарнірної моделі чотирикутника.
Переконавшись разом зі школярами в рухливості цієї моделі (не жорстко скріпленої в вершинах) вчитель спонукає їх до висновку, що чотири дані сторони не визначають чотирикутник однозначно,
Потім перед учнями формується сама задача.
Завдання 1. Є модель шарнірного чотирикутника із сторонами певної довжини. Яким способами можна надати «твердість» даної моделі чотирикутника, якщо його вершини не можуть бути закріплені? Відповідь обгрунтувати.
У ході обговорення цього завдання пропонуються різні варіанти її вирішення, які перевіряються досвідченими шляхами, наприклад, скріпити дві вершини чотирикутника планкою по діагоналі, з'єднати планкою середини двох протилежних сторін і т. д.
Переконавшись на досвіді в розумності зроблених пропозицій, учнів приходять до необхідності обгрунтувати той або іній спосіб «наведення жорсткості». З допомогою вчителя вони приходять до можливості провести це обгрунтування, переформулювати завдання у вигляді відповідної задачі на побудову. Ролі по заданим елементам можна побудувати єдину постать, її модель буде жорсткою.
Можливість відомості конкретного завдання, визначеної на моделі, до вирішення абстрактної геометричної задачі на побудову реалізує одну з найважливіших виховують функцій геометричних завдань: зв'язок навчання математики з життям, тобто показує реальне походження математичних абстракцій.
Враховуючи «властивість жорсткості» трикутника перше із вищезгаданих рішень обгрунтовується досить просто. Проте обгрунтування другого шляху виконання завдання менш очевидно. Виникає вже чисто геометрична абстрактна задача.
Завдання 2. Побудувати 4-х косинець АВСД, знаючи довжину його сторін і довжину відрізка MN, поєднує середини сторін АВ і ДС.
Припустимо, що цей 4-х косинець АВСД побудований (рис. 3а). Виконаємо паралельний перенос (ДN) сторони ТАК і | | перенесення (CN) боку СВ, тепер з точки виходять 3 відрізка А 1 N, MN, NВ 1 відомої довжини.
Неважко показати, що точка М є серединою АВ 1. У самому справі, довжини відрізків АА 1 і ВВ 1 рівні 1/2ДС, а самі відтинки | | ДС.
Тому чотирикутник А 1 АВ 1 У є параллелограммом. Точка М - середина його діагоналі АВ. Тому М належить діагоналі А 1 В 1 і є її серединою.
Отже, в D NA 1 B 1 відомі боку NA 1, В 1 N і укладена між ними медіана. Для того, щоб побудувати цей трикутник, відзначимо точку N 1, симетрично щодо М. Очевидно, | АN | = | У 1 N |.
Трикутник N 1 NA 1 можна побудувати за трьома відомим сторонам: | NA 1 | = | ТАК |, | A 1 N 1 | = | У 1 N | = | CB | і | NM 1 | = 2 | NM |.
Тепер побудуємо шуканий чотирикутник. Ділимо відрізок N 1 N точкою М на два конгруентних відрізка, будуємо точку В 1, симетричну А 1 щодо М. По трьох сторін побудуємо трикутники А 1 МА і МВВ 1. Перенісши відрізок А 1 А на вектор А 1 N, а відрізок ВВ 1 на вектор В 1 N, підучивши всі чотири вершини шуканого 4-х косинця АВСД. Неважко показати одиничність рішення задачі.
А |
Д |
N |
C |
А |
У 1 |
А 1 |
М |
N |
Посиленню розвиваючих функцій завдання сприяє наступна постановка задач-аналогів, при вирішенні яких використовується деякий (один і той же) прийом, заснований на застосуванні певного методу. Так як паралельний перенос елементів фігури (АС) призводить до побудови допоміжного чотирикутника СВВ 1 Д 1 з дуже цікавими властивостями.
Наприклад, 4-х косинець ДД 1 У 1 В - паралелограм, сторони якого конгруентно діагоналях 4-х косинця АВСД, в кути конгруентно кутами між цими діагоналями; довжини діагоналей ДД 1 У 1 У удвічі більше довжин відрізків, що з'єднують середини протилежних сторін АВСД; відстані від точки С до вершин цього паралелограма дорівнюють відповідно довжинам сторін 4-х косинця АВСД і т.д.
N |
Д |
А |
Д |
У 1 |
У |
М |
З |
Багато хто в цих властивостей дозволяють вирішити завдання, аналогічні вихідної, створюють умови для поширення певного прийому на клас завдань, сприяючи, таким чином, формуванню в учнів здібностей до узагальнення (через аналіз).
Такі, наприклад, такі завдання:
Завдання 3. У чотирикутнику АВСД відомі довжина відрізка М, поєднує середини сторін АВ і СД, довжина діагоналі АС і довжини сторін АВ, ВС і АД.
Чи є дана фігура жорсткої?
Завдання 4. Побудувати трапецію АВСД за даними діагоналях АС, ВД, боці АТ й відрізу МN, що з'єднує середини її підстав.
Розгляд цього прикладу показує, як досить широко можна використовувати навчальні, розвиваючі і виховують функції задач в їх єдності. Справді, в ході вирішення цих завдань використовуються різні властивості геометричних фігур, активно працює метод паралельного перенесення і прийом побудови допоміжної то з дуже цікавими властивостями, тісно пов'язаними з властивостями заданої (шуканої) фігури (реалізуються різні розвиваючі функції), завдання легко моделюється ( дотекает досвідчені рішення), збуджує інтерес школярів (реалізуються виховують функції). Завдання таке, що може служити джерелом різноманітних аналогічних завдань, багато з яких як показав досвід, успішно складаються самими школярами, що сприяє формуванню у них творчої активності.
Досвід показує, що успішність у реалізації виховують функцій математичних завдань багато в чому визначається пробудженням в учнів інтересу до даної задачі, виникненням у них стійкої потреби в її вирішенні, наявністю інтересу до самого процесу вирішення задач на основі останнього часто порушується і формується інтерес учнів до вивчення самої математики та суміжних навчальних дисциплін, інтерес до навчання в цілому.
Чинники, які впливають на формування в учнів стійкого інтересу до вирішення математичних завдань, дуже різноманітні. До них, наприклад, належить доступність запропонованого завдання, зовнішня чи внутрішня цікавість завдання, усвідомлена можливість проявити при цьому творчу самостійність.
Глава III. Опис і результати експерименту.
Експеримент проводиться в СШ № 46 (гімназія № 4)під керівництвом Баязитовой Л.Ш. в 8 б і 8 м.
Перед проведенням уроків за узагальнюючим повторення в обох класах була проведена самостійна робота з метою дізнатися їх рівень знань.
Перевірочна самостійна робота.
Через точку перетину діагоналей паралелограма ABCD проведена пряма, яка перетинає боку AD і BC у точках Е і F відповідно. Знайдіть боку паралелограма, якщо його периметр дорівнює 28 см, АЕ = 5 см, ВF = 3 см. [1. Бісектриси кутів А і D паралелограма ABCD перетинаються в т. М лежить за ЗС. Знайдіть боку паралелограма, якщо його периметр дорівнює 36 см.]
Знайдіть меншу бічну сторону прямокутної трапеції, підстави якої рівні 10 см і 6 см, а один з кутів 45 про [2. Знайдіть бічну сторону рівнобедреної трапеції, підстави якої рівні 12 см і 6 см, а один з кутів 60 о]
Самостійна показала, що знання в учнів в обох класах розрізнені, вирішують завдання дуже повільно. Оцінки по самостійній роботі низькі. (Це показано на графіку.)
Завдання |
2 Січень |
20 15 10 5 |
8 б 8 г |
Кількість учнів |
Після самостійної роботи, використовуючи таблицю теми: «Чотирикутники», що наведена у методичному посібнику з геометрії (Гудвін і Гангнус ч.1). Перед учнями можна поставити низку запитань, відповіді на які учні не знайдуть у готовій формі у підручнику, а повинні попрацювати головою, щоб дати їх.
Наведемо деякі питання, які поставлені нами перед учнями:
Як із рівнобедреної трапеції отримати квадрат? Які додаткові умови необхідні для цього?
Рівнобедрена трапеція |
Паралелограм |
Ромб |
прямокутник |
квадрат |
трапеція |
чотирикутник |
Відповідь учнів: рівність бокових сторін збережеться. У рівнобедреної трапеції бічні сторони зробимо перпендикулярними до підстав трапеції. Тоді отримаємо прямокутник. Так як в квадраті суміжні сторони рівні, то в отриманому прямокутнику суміжні боку зробимо рівними, отримаємо шуканий квадрат.
Як із паралелограма отримати квадрат?
Як трапецію звернути на ромб?
Будучи параллелограммом, ромб має свої властивості. Перерахуйте їх. Теж про квадраті.
Перелічіть, якими властивостями паралелограма має ромб? Квадрат? Прямокутник? І т.д.
Поряд з використанням зазначеної таблиці перед учнями були поставлені питання: в якому чотирикутнику:
Діагональ ділить його на два рівних трикутника?
Діагоналі перетинаються в одній точці і діляться навпіл?
Діагоналі є биссектрисами внутрішніх кутів?
Діагоналі взаємно перпендикулярні?
Діагоналі служать осями симетрії?
Учні повинні були дати не тільки відповіді на запитання, але кожен відповідь обгрунтувати, посилаючись на вивчені теореми.
Відповідь вважали малоцінним, коли він перераховував без системи окремі види чотирикутників, в яких діагоналі мають необхідною властивістю. Так якщо на питання: «У яких чотирикутники діагоналі перетинаючись діляться навпіл? »
Учень відповідав: «Діагоналі, перетинаються в одній точці, діляться навпіл параллелограмме, ромбі, квадраті».
Не перебиваючи його давали можливість учневі висловитися, але по закінченню відповіді стояло питання: «Чи варто для відповіді на поставлене питання перераховувати всі види чотирикутників? Чи не можна дати повний і вичерпну відповідь, але в короткій формулюванні? »
Якщо учень не може відповісти на ці питання, перед ним ставилися додаткові питання: «Чи є прямокутник параллелограммом? Чому? »
Подібні питання ставилися і по відношенню до ромбу і квадрату.
Отже, чи можна стверджувати, що прямокутник, квадрат, ромб - є паралелограм?
Після цього учням не становило труднощів дати відповідь:
«Діагоналі, перетинаються і точкою перетину діляться навпіл в параллелограммах».
Якщо учнів давали відразу вичерпну відповідь і при тому в короткій формі, ми давали додаткові питання з метою з'ясувати, наскільки свідомо засвоєний матеріал.
Так якщо на питання: «В якому чотирикутнику діагональ ділить його на два рівних трикутника?»
Була відповідь: «Діагональ ділить чотирикутник на два рівні трикутника у разі, якщо він паралелограм», то учневі ставилося питання: «А в прямокутнику, квадраті, ромбі діагональ не володіє тим же властивістю?»
«Прямокутник, квадрат, ромб - це паралелограми, але кожен з особливими властивостями. Тому, коли говорив про параллелограмме, говорив і про них », - відповів учень.
Такі відповіді ми вважали найбільш цінними, так як вони показують, що учень дійсно попрацював сам над даними йому завданням, що матеріал не зазубрив, а засвоїв свідомо.
Проте таких відповідей було дуже мало. Тоді в одному з класів (8 б) було проведено узагальнююче повторення. А в 8 г була пройдена тема «чотирикутники» і закріплена. Після всього цього була проведена контрольна робота.
Контрольна робота. (1ч.)
Діагоналі прямокутника АВСД перетинаються в точці О. Знайдіть кут між діагоналями, якщо АВО = 30 о [1. Діагоналі ромба КМНР перетинаються в точці О. Знайдіть кути трикутника КОМ, якщо кут МНР = 80 о].
У параллелограмме КМНР проведена бісектриса кута МКР, яка перетинає сторону МН у точці Е.
а) Доведіть, що трикутник КМЕ рівнобедрений.
б) Знайдіть бік КР, якщо МЕ = 10 см, а периметр паралелограма = 52 см. [2. За ЗС паралелограма АВСД взята точка М так, що АВ = ВМ. а) Доведіть, що АМ - бісектриса кута ВАД. б) Знайдіть периметр паралелограма, якщо СД = 8 см, а РМ = 4 см].
Результати контрольної роботи можна показати діаграмою.
Завдання |
2 Січень |
20 15 10 5 |
Було проведено узагальнююче повторення. 8 б Не було проведено 8 г |
Кількість учнів |
Проведений експеримент показує, що клас, у якому було проведено узагальнююче повторення, легко працює з матеріалом, швидко вирішує завдання, може відповісти на будь-який додатковий запитання, пояснити, що і як вирішується, обгрунтувати свою відповідь.
Ефективність узагальнюючого повторення помітна відразу.
ВИСНОВОК
Міцне засвоєння знань є головним завданням процесу навчання, це дуже складний процес. У нього входять сприйняття навчального матеріалу, його запам'ятовування і осмислення, а також можливість використання цих знань у різних умовах.1. Викладання математики не може стояти на належному рівні, а знання учнів не будуть достатньо повними і міцними, якщо в роботі вчителя відсутня система повторительно-узагальнюючих уроків.
Це пояснюється психологічними особливостями процесу пізнання і властивостей пам'яті. Тільки постійне у системі здійснюване включення нових знань у систему колишніх знань може забезпечити достатньо високу якість засвоєння предмета. Тільки після повторення можна приходити до логічних висновків. Без повторення неможливо, розкрити сутність речей і явищ, їх розвиток. Не дарма кажуть: «Повторення - мати навчання».
2. Повторення математики необхідно як для учнів з метою поглиблення, зміцнені та систематизації своїх знання, так і для самого вчителя в парності вдосконалення методів навчання та підняття ефективності своєї роботи.
3. Повторення математики має систематично проводитися на уроках, органічно поєднуючись з основним змістом уроку.
При повідомленні нового матеріалу одночасно треба повторювати раніше досліджуваний матеріал. Учні повинні відчувати потребу до повторень. Це досягається тим, що при вивченні нового матеріалу вчитель порівнює його, зіставляє з колишнім, встановлює аналогії між ними, проводить узагальнення, поглиблення та систематизацію.
4. Перед початком навчального року або чверті необхідно ретельно спланувати матеріал для повторення, вказати види повторення, через яке він може проводиться, тобто встановлюється, який матеріал буде проводиться паралельно з вивченням нової теми і який на спеціально відведених уроках повторення.
5. Необхідно систематично практикувати поточне повторення. Необхідно і тематичне повторення після закінчення теми, заключне - по закінченні розділу, курсу в цілому, на яких встановлюються більш широкі логічні зв'язки між темами та розділами, підкреслюються ті основні провідні ідеї, які лежать в основі цієї навчальної дисципліни.
6. Для підвищення інтересу і активності учнів при повторенні необхідно застосовувати різні прийоми і методи роботи, урізноманітнити повторюваний матеріал, старий матеріал розглянути з точок зору, встановлювати все нові і нові логічні зв'язки, стимулювати самостійну роботу учнів.
Тільки таким шляхом можна усунути те протиріччя, яке виникає, з одного боку, через відсутність бажання у частини учнів повторювати те, що вони засвоєно якось, з другого необхідність повторювати з метою поглиблення, узагальнення та систематизації раніше вивченого матеріалу.
7. Необхідна добре продумана теоретична і практично обгрунтована система повторення, що має забезпечити високу якість і міцність знань учнів. Тільки в цьому випадку викладач досягає тих цілей, які він переслідує повторенням.
8. Необхідно ретельно проаналізувати теорію і практику повторення для встановлення позитивних і негативних сторін роботи шкіл при повторенні.
Повторення навчального матеріалу вимагає від вчителя творчої роботи. Він повинен забезпечити чіткий зв'язок між видами повторення, здійснити глибоко продуману систему повторення.
Оволодіти мистецтвом організації повторення - таке завдання вчителя, від її вирішення багато в чому залежить міцність знань учнів.
БІБЛІОГРАФІЯ
Аракелян О.А. «Деякі питання повторення математики в середній школі» М. Учпедгиз, 1960.Басова Л.А., Шубін М.А., Епштейн Л.А. Лекції та завдання з математики: з досвіду роботи літньої фізико-математичної школи в Карелії. М. 1981.
Бєляєв О.О., Кисельова Н.А., Пермінов В.Я. Деякі особливості розвитку математичного знання. М. 1975.
Бескін Н.М. «Методика геометрії». Підручник для педагогічних інститутів. Учпедгиз. 1947.
Бібліотека вчителя математики. Викладання геометрії в 6-8 класах. Збірник статей упорядник В.А. Гусєв. Москва "Освіта" 1979.
Богоявленський Д.Н., Менчинська Н.М. Психологія засвоєння знань у школі. М., 1959.
Глейзер. Історія математики в школі (4-6 кл.). М. «Просвещение», 1981.
Жуков Н.І. Філософські проблеми математики. Мінськ, 1977.
Кабанова-Меллер Є.М. Психологія формування знань і навичок. М. 1962.
Каррі Х.Б. Підстави математичної логіки. М. 1969.
Кедровський О.І. Методологічні проблеми розвитку математичного пізнання. Київ, 1977.
Кудрявцев Л.Д. Сучасна математика та її викладання. М. 1981.
Менчинська А.А. Психологічні питання навчання і нові програми. «Радянська педагогіка», 1968.
Методика викладання математики в середній школі: Загальна методика / Ю.М. Колягін та ін - М. Освіта, 1980.
Методика викладання математики. Укладачі: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр.
Молодший В.М. Нариси з філософським питанням математики. М. 1969.
Моноезон Є.І. Методика та результати вивчення знань учнів. «Радянська педагогіка», 1962.
Петров Ю.М. Філософські проблеми математики. М. 1973.
Поба Д. Математика і правдоподібні міркування. М. 1975.
Перевірочні завдання з математики для учнів 5-8 та 10 класів середньої школи. М. «Просвіта» 1992.
Рен `ї А. Діалоги про математику. М. 1969.
Рузавін Г.І. Про природу математичного знання. М. 1968.
Славков С. Аспекти на математичні пізнання. Софія. 1971.
Срода Р.Б. "Повторення на уроках математики". Видавництво газети "Волга" Астрахань, 1950.
Шкільний факультатив з математики. Міжвузівський збірник. Видавництво Саратовського педагогічного інституту 1993.
Ерднієв П.М. Навчати математики активно, творчо, економно. «Народна освіта», 1962.
Ерднієв П.М. Порівняння і узагальнення під час навчання математики, М. Учпедгиз, 1960.
Федоров І.Г. Деякі методологічні проблеми математики. М. 1975.