Просторові задачі теорії пружності для шару

Глава 1

Просторові задачі теорії пружності для шару.

В даній главі будемо розглядати різні випадки деформації нескінченно пружного шару, причому в усіх задачах будуть застосовуватися відомі представлення Папковича-Нейбера для переміщень і напруг через чотири гармонічні функції: Ф₀,Ф₁,Ф₂ ,Ф₃ .Приведемо відповідні загальні залежності для переміщень і напруг:

(F = Ф₀ + хФ₁ + уФ₂ +zФ₃)

2Gu = - + 4(1-)Ф₁

2Gv = - + 4(1-)Ф_{2 (1)}

2Gw = - + 4(1-)Ф₃

σ_x = 2(1-) - + 2( + ) – (x + y + z) (2)

σ_y = 2(1-) - + 2( +) – (x + y + z)

τ_xy = (1-2)( + ) – ( + x + y + z)

σ_z = 2(1-) - + 2( +) – (x + y + z)

τ_yz = + 2(1-) (3)

τ_zx = + 2(1-)

Ф = (1-2)Ф₃ - - (x + y + z)

(G- модуль здвигу, ν- коефіцієнт Пуасона).

Вирази для дотичних напруг τ_yz, τ_zx записані у вигляді, пристосованому до розв’язання крайових задач для пружного шару, в яких вісь Z направлена перпендикулярно граничним площинам.

Помітимо, що у всіх задачах даної глави маємо на увазі те, що на нескінченності (r→∞) всі функції напруг мають порядок 1/r, а їх похідні- 1/r², що забезпечує потрібну поведінку переміщень і напруг на нескінченності.

Частина1. Інтегральне перетворення Ханкеля.

Перетворенням Ханкеля функції f(r), визначеної на 0‹ r‹ ∞ називається інтеграл

(λ) = (0, (ν > - )

( I_ν(x) - функція Бесселя).

Якщо f(r) кусково неперервна на будь-якому скінченному проміжку, що належить інтервалу (0, ∞), і інтеграл

збігається, то перетворення Ханкеля існує.

Для функцій f(r), що задовільняють крім того умовам Діріхле в будь-якому відкритому проміжку 0<r<R, справедлива формула обертання Ханкеля

f(r) = (0 < r < λ)

що дає представлення функції f(r) через її перетворення f(λ).

Ці дві формули можуть бути записані у вигляді одного розкладу:

f(r) = (0 < r <

Формули (*) і (**) мають місце в точках неперервності функції f(r); в точках розриву замість f(r) слід брати півсуму 1/2[f(r-0)+f(r+0)].

За допомогою інтегрального перетворення Ханкеля можна отримати точні розв’язки різних крайових задач теорії пружності для півпростору і необмеженої товстої плити (пружного шару).

Частина2. Перша основна задача теорії пружності для шару.

В цьому параграфі ми розглянемо першу основну задачу, тобто випадок деформації пружного шару під дією прикладених до його граничних площин (z = ±h) зовнішніх зусиль.

Граничні умови мають вигляд:

σ_zz= = σ_zh (r,φ), τ_zxz= = τ_x^h(r,φ),

τ_{yz z=} = τ_y^h(r,φ)

(r,φ,z - циліндричні координати).

Оскільки одна з чотирьох гармонічних функцій Ф₀,Ф₁,Ф₂,Ф₃ є довільною, можна доповнити ( ) ще двома якими небудь умовами. В даній задачі зручно взяти

Ф _z= = 0

Тоді з ( ) одразу знаходимо розділені крайові умови для функцій Ф₁ і Ф₂

_z= = τ_х, _z= = τ_у

так, що гармонічні функції Ф₁ і Ф₂ можуть вважатися знайденими в результаті розв’язання задачі Неймана для шару.

Ввівши замість Ф₀ ще одну гармонічну функцію

Ф₄ = (1-2ν)Ф₃ -

знайдемо із інших крайових умов вирази для Ф₃ і Ф₄ .

Підставляючи ( ) і ( ) в останню рівність ( ) отримаємо:

Ф₄ - = x + y

Підставляючи ( ) і ( ) в першу рівність ( ) і враховуючи, що

= (1-2ν) -

отримаємо:

+ + z = σ_z - 2ν( + ) + (x + y).

Таким чином, гармонічні функції Ф₃ і Ф₄ повинні задовольняти таким граничним умовам:

(Ф₄ - z) _z= = f (r,φ)

( + - z) _z= = f (r,φ)

Точний розв’язок останньої крайової задачі можна отримати, якщо записати шукані функції у вигляді розкладу в ряд Фур’є по кутовій координаті φ і в інтеграл Ханкеля по змінній r. Справді, покладемо

Ф_3,4 =

і розкладемо відомі функції f(r,φ) в ряди Фур’є по куту і інтеграли Ханкеля по змінній r.

f(r,φ) =

(λ) =

Із ( ) зразу отримаємо систему чотирьох рівнянь для невідомих величин А_3,4 і В_3,4, після чого функції Ф_3,4, а також Ф₀ можуть вважатися знайденими.

Частина 3. Друга основна задача теорії пружності для шару.

Перейдемо до розв’язання такої задачі, коли на граничних площинах z=0 i z=h пружного шару задано переміщення

U = U₀(r,φ) V = V₀(r,φ) W = W₀(r,φ)

U = U_h(r,φ) V = V_h(r,φ) W = W_h(r,φ)

Користуючись довільністю однієї з чотирьох гармонічних функцій Панковича-Нейберга, що входять в формули ( ), поставимо наступні дві додаткові умови:

F = 0, F = 0

Тоді з ( ) і ( ) одразу отримаємо граничні умови першого роду для функції Ф₁ і Ф₂ .

Ф₁ = , Ф₁ =

Ф₂ = , Ф₂ =

Таким чином, ці функції будуть вважатися знайденими шляхом розв’язку задачі Діріхле для шару.

З крайових умов, що залишилися, ми отримаємо:

з ( ) випливає Ф₀ = -(хФ₁ + уФ₂ + zФ₃)

з останньої рівності ( ):

(3-4)Ф₃ - - z = 2Gw + (xФ₁ + уФ₂ )

Таким чином ми отримали умови для функцій Ф і Ф :

При таких граничних умовах гармонічні функції Ф і Ф можна знайти за допомогою перетворення Ханкеля. Справді, якщо покласти

то з ( ) для величин А (λ) і В (λ) можна отримати систему рівнянь:

розкладаючи f(r,φ) аналогічно ( ) отримаємо систему рівнянь:

Підставивши знайдені А і В в ( ), отримаємо розв’язок поставленої задачі.

Частина 4. Змішана задача теорії пружності для шару.

Перейдемо до розгляду пружної рівноваги шару, на одній з граничних площин (z=0) якого задані переміщення

а на іншій (z=h)- напруги

Як і раніше ми будемо користуватись формулами ( )-( ). Що виражають пружні зміщення і напруги через чотири гармонічні функції:

Ф ,Ф ,Ф ,Ф .

Як додаткові умови виберемо наступні два співвідношення:

Використання умов ( ) приводить насамперед до змішаних граничних умов для Ф і Ф

Гармонічні функції Ф і Ф можна легко знайти за допомогою перетворень Ханкеля, якщо покласти:

Справді, підстановка ( ) в ( ) і застосування формул Фур’є і Ханкеля дають:

Мається на увазі, що задані функції задовільняють деяким загальним умовам, що забезпечують збіжність інтегралів ( ).

Якщо вважати функції Ф і Ф знайденими, то для двох інших гармонічних функцій Ф і Ф знаходимо наступні крайові умови:

Точний розв’язок цієї змішаної задачі також отримаємо за допомогою перетворення Ханкеля. Покладемо

Підставляючи ( ) в ( ) отримаємо:

Підставляючи знайдені коефіцієнти А і Б в ( ) ми знайдемо Ф і Ф . На цьому ми закінчуємо розв’язок задач для пружного шару.

Глава 2.Приклади застосування інтегральних перетворень Ханкеля до конкретних задач теорії пружності.

Частина 1.Задача Буссінека.

До плоскої поверхні необмеженого пружного тіла (z 0) прикладена нормальна зосереджена сила Р. Необхідно вивчити напружений стан тіла. Вивести вирази для напруг і (сила Р вважається прикладеною в точці r=z=0).

Для розв’язку скористаємося формулами ч.2 гл.1. в даному випадку граничні умови ( ) і ( ) ставляться при z=0, і так як дотичних зусиль на границі не прикладається, то

Ф =Ф =Ф =Ф =0 ( )

Формула ( ) для нашої задачі буде мати такий вигляд:

Для гармонічної функції Ф маємо граничну умову:

де напруга  відповідає заданій зосередженій силі Р, що прикладена на

початку координат.

В силу вісьової симетрії покладемо:

Із ( ) маємо:

звідки по формулі обертання Ханкеля

Нехай Р розподіляється по колу малого радіусу :

Так як

отримаємо

Підстановка ( ) в ( ) приводить до виразу для функції Ф в явному вигляді:

Далі за формулами ( ) знайдемо вирази для напруг:

Частина 2. Узагальнена задача Буссінеска.

Узагальнивши попередню задачу на випадок зосередженої сили Р, що прикладена в довільній внутрішній точці тіла (з координатами r=0, z=a) і має складові Р =Р =0, Р =Р . Дати формулу для напруги  .

Як відомо, напруги у вісесиметричній задачі теорії пружності можуть бути виражені через функцію U(r,z), що є розв’язком бігармонічного рівняння.

Для виділення особливості в точці прикладення сили покладемо

Функція напруг зосередженої сили Р (Р =Р =0, Р =Р), що прикладена в точці r=a, z=0 необмеженого пружного тіла; U – бігармонічна функція, регулярна в області z > 0.

Так як шукана напруга  зв’азана з функцією U співвідношеннями:

для розв’язку задачі достатньо знайти значення величин U і .

Перша з розглянутих величин є гармонічною в просторі z > 0 функцією, і її вираз можна дати в формі інтегралу:

Функція - бігармонічна в області z > 0 i її представлення будемо шукати в формі

Зрівняємо результати, які отримаємо, якщо продиференціювати перший з інтегралів по z двічі, а від другого взяти оператор

Так як підінтегральна функції є гармонічними, та бігармонічними

Тобто

Так як вираз

(що є рівнянням Бесселя з індексом 0, і його задавольняє функція І (r)).

Отримаємо

Для визначення інших сталих потрібно скористатися граничними умовами

які можна записати у вигляді умов для функції U :

виконавши диференціювання в правих частинах розглянутих рівностей, і розкладаючи знайдені вирази в інтеграл Ханкеля, отримаємо, після підстановки інтегралів для U і , систему лінійних рівнянь для сталих А і В.

Позначимо

Тоді

Далі запишемо загальні результати при z=0

Тепер запишемо систему лінійних рівнянь для сталих А і В

Далі запишемо цю систему в такому вигляді (використаємо формулу обернення Ханкеля):

Позначимо ці інтеграли відповідно , , , .

Тоді система буде мати такий вигляд:

Звідки

В результаті підрахунку інтегралів відомого типу і застосування формули

де U=U +U ,

отримаємо таку відповідь:

де