Завдання № 1
Вихідні дані:
Рішення:
1. Знаходимо суму квадратів всіх спостережень (Q1), суму квадратів підсумків по стовпцях, ділених на число спостережень у відповідному стовпці (Q2), квадрат загального підсумку, поділений на число всіх спостережень (Q3).
Вихідні дані:
| № спостеріга-дення | Рівень фактора (або тип регіону) | ||||||
| Кіровська область | Архангельськ. область | Республіка Карелія | Ленінград. Область | Калінінгр. область | Псковська область | Новгород-ська область | |
| 1 | 2,90 | 3,90 | 4,90 | 2,10 | 6,10 | 7,00 | 8,00 |
| 2 | 2,10 | 5,00 | 3,50 | 6,90 | 10,0 | 10,00 | 1,00 |
| 3 | 10,30 | 2,80 | 4,00 | 2,00 | 15,1 | 12,10 | 1,10 |
| 4 | 4,90 | 8,90 | 3,00 | 3,10 | 5,00 | 5,90 | 2,00 |
| 5 | 4,00 | 4,10 | 1,90 | 5,90 | 5,10 | 6,10 | 2,00 |
| 6 | 2,90 | 4,90 | 1,20 | 7,90 | 6,00 | 5,10 | 1,10 |
| 7 | 1,10 | 1,50 | 4,10 | 6,10 | 5,00 | 6,10 | 1,19 |
| 8 | 2,30 | 3,90 | 3,00 | 2,70 | 6,10 | 8,90 | 1,10 |
| 9 | 2,00 | 1,80 | 2,90 | 7,00 | 3,10 | 5,00 | 3,19 |
| 10 | 1,00 | 3,00 | 5,90 | 3,00 | 2,00 | 5,91 | |
| 11 | 1,00 | 2,50 | 2,90 | 5,20 | 3,10 | 4,80 | |
| 12 | 1,10 | 3,90 | 5,00 | 13,00 | 10,90 | 1,00 | |
| 13 | 1,01 | 4,50 | 5,00 | 3,00 | 5,10 | 0,19 | |
| 14 | 1,91 | 1,91 | 2,00 | 2,10 | 1,00 | 1,00 | |
| 15 | 1,09 | 1,10 | 9,00 | 3,00 | |||
| 16 | 1,10 | 1,10 | 8,10 | 2,10 | |||
| 17 | 2,10 | 1,90 | 15,9 | 2,90 | |||
| 18 | 2,91 | 2,10 | 6,20 | 1,00 | |||
| 19 | 2,09 | 2,20 | |||||
| 20 | 3,90 | ||||||
| 21 | 2,90 | ||||||
| 22 | 2,10 | ||||||
| 23 | 2,50 | ||||||
1. Знаходимо суму квадратів всіх спостережень (Q1), суму квадратів підсумків по стовпцях, ділених на число спостережень у відповідному стовпці (Q2), квадрат загального підсумку, поділений на число всіх спостережень (Q3).
№ спостеріга-дення | Квадрат спостережень | |||||||||||
| Кіровська область | Архан-гельський. область | Республіка Карелія | Ленінград. Область | Калінінгр. область | Псковська область | Новгороду родских область | ||||||
| 1 | 8,41 | 15,21 | 24,01 | 4,41 | 37,21 | 49,00 | 64,00 | |||||
| 2 | 4,41 | 25,00 | 12,25 | 47,61 | 100,00 | 100,00 | 1,00 | |||||
| 3 | 106,90 | 7,84 | 16,00 | 4,00 | 228,01 | 146,41 | 1,21 | |||||
| 4 | 24,01 | 79,21 | 9,00 | 9,61 | 25,00 | 34,81 | 4,00 | |||||
| 5 | 16,00 | 16,81 | 3,61 | 34,81 | 26,01 | 37,21 | 4,00 | |||||
| 6 | 8,41 | 24,01 | 1,44 | 62,41 | 36,00 | 26,01 | 1,21 | |||||
| 7 | 1,21 | 2,25 | 16,81 | 37,21 | 25,00 | 37,21 | 1,41 | |||||
| 8 | 5,29 | 15,21 | 9,00 | 7,29 | 37,21 | 79,21 | 1,21 | |||||
| 9 | 4,00 | 3,24 | 8,41 | 49,00 | 9,61 | 25,00 | 10,17 | |||||
| 10 | 0 | 1,00 | 9,00 | 34,81 | 9,00 | 4,00 | 34,92 | |||||
| 11 | 0 | 1,00 | 6,25 | 8,41 | 27,04 | 9,61 | 23,04 | |||||
| 12 | 0 | 1,21 | 15,21 | 25,00 | 169,00 | 118,81 | 1,00 | |||||
| 13 | 0 | 1,02 | 20,25 | 25,00 | 9,00 | 26,01 | 0,03 | |||||
| 14 | 0 | 3,64 | 3,64 | 4,00 | 4,41 | 1,00 | 1,00 | |||||
| 15 | 0 | 1,18 | 0 | 1,21 | 0 | 81,00 | 9,00 | |||||
| 16 | 0 | 1,21 | 0 | 1,21 | 0 | 65,61 | 4,41 | |||||
| 17 | 0 | 4,41 | 0 | 3,61 | 0 | 252,81 | 8,41 | |||||
| 18 | 0 | 8,46 | 0 | 4,41 | 0 | 38,44 | 1,00 | |||||
| 19 | 0 | 4,36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4,84 | |||||
| 20 | 0 | 15,21 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| 21 | 0 | 8,41 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| 22 | 0 | 4,41 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| 23 | 0 | 6,25 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| Q1-сума квадратів | 2997,78 | |||||||||||
| к-ть спостеріга-дений | 9 | 23 | 14 | 18 | 14 | 18 | 19 | 115 | ||||
| Q2 | 19,759 | 10,893 | 11,063 | 20,223 | 53,036 | 62,897 | 9,256 | 187,127 | ||||
| 26,068 | ||||||||||||
3. Обчислюємо оцінку дисперсії, пов'язаної з випадковістю:
4. Розраховуємо значення F-статистики (статистики Фішера):
5. Перевіряємо значимість фактора (q = 0,05; h 1 = K-1; h 2 = NK)
F = 2,29, тому що розрахункове менше табличного, з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що зв'язок між терміном окупності і типом регіону не істотна.
6. Будуємо діаграму середніх значень термінів окупності для всіх розглянутих регіонів.
Середні строки окупності:
| Показник | Кіровська область | Архангельськ. область | Республіка Карелія | Ленінград. Область | Калінінгр. область | Псковська область | Новгороду родских область |
| Ср.срок окупності | 3,54 | 2,76 | 3,17 | 3,93 | 6,27 | 7,08 | 2,36 |
Відповідно до таблиці і діаграми найменший термін окупності інвестиційних проектів склався в Новгородській області, отже, ця сфера є пріоритетною.
Задача 2
Вихідні дані:
| Моменти часу (дні) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
| -60 | -40 | -20 | 0 | 20 | 40 | 60 | |
| Розрахунок для варіанта (прибрати) | 340 +510 | 400 +59 | 440 +610 | 430 +69 | 520 +79 | 570 +710 | 550 +89 |
| У-фіз.об'ем товарообігу (шт.) | 850 | 459 | 1050 | 499 | 599 | 1280 | 639 |
Рішення.
1. Зобразити дані графічно.
2. Скласти рівняння лінійної регресії.
3. Для розрахунку параметрів рівняння регресії (y t = a 0 + a 1 t) складаємо допоміжну таблицю:
| Моменти часу (дні) | У-фіз.об'ем товарообігу (шт.) | t | t ^ 2 | y * t | Урасч. | У ^ 2 |
| 0 | 850 | -60 | 3600 | -51000 | 708,24 | 722500 |
| 20 | 459 | -40 | 1600 | -18360 | 728,16 | 210681 |
| 40 | 1050 | -20 | 400 | -21000 | 748,08 | 1102500 |
| 60 | 499 | 0 | 0 | 0 | 768 | 2493001 |
| 80 | 599 | 20 | 400 | 11980 | 787,92 | 358801 |
| 100 | 1280 | 40 | 1600 | 51200 | 807,84 | 1638400 |
| 120 | 639 | 60 | 3600 | 38340 | 827,76 | 408321 |
| Σ | 5376 | 0 | 11200 | 11160 | 5376 | 6934204 |
Для знаходження a 0 і a 1 складаємо систему рівнянь:
Σуt = a 0 Σt + a 1 Σt 2
Тому що при t = 60хв = 0, Σt = 0, система приймає вигляд:
11160 = a 1 * 11 200
Звідки:
a 0 = 768 і a 1 = 0,996
Рівняння регресії має вигляд:
y t = 768 + 0,996 t
Задача 3
Вихідні дані:
| Рік | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 231 +8 | 171 +10 | 291 +8 | 309 +10 | 317 +28 | 362 +210 | 351 +8 +10 | 361 +10 +8 | |
| Попит | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
1. Знаходимо середнє значення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти автокореляції (для лагів τ = 1, 2) і приватний коефіцієнт автокореляції 1-го порядку.
2. - Середнє значення:
- Середнє квадратичне відхилення:
| Рік | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| У | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
| У-УСР | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
| (У-УСР) ^ 2 | 57121 | 32761 | 89401 | 101761 | 119025 | 327184 | 136161 | 143641 |
| Σ (У-УСР) ^ 2 | 1007055 |
- Знайдемо коефіцієнт автокореляції r (τ) тимчасового ряду (для лага τ = 1), тобто коеф-т кореляції між послідовностями семи пар спостережень:
| Рік | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Уt | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 |
| Уt + τ | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
Σ Уt = 239 +181 + ... +369 = 2319
Σ Уt 2 = 239 2 + 181 2 + ... + 369 2 = 860 449
Σ Уt + τ = 181 + 299 + ... +379 = 2464
Σ У 2 t + τ = 181 2 +299 2 + ... +379 2 = 949 934
Σ Уt * Уt + τ = 239 * 181 + 181 * 299 + ... + 369 * 3729 = 851073
Знаходимо коефіцієнт автокореляції:
- Знайдемо коефіцієнт автокореляції r (τ) тимчасового ряду (для лага τ = 2), тобто коеф-т кореляції між послідовностями шести пар спостережень:
| Рік | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Уt | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 |
| Уt + τ | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
Σ Уt = 239 +181 + ... +572 = 1955
Σ Уt 2 = 239 2 + 181 2 + ... + 572 2 = 727 253
Σ Уt + τ = 299 + 319 + ... +379 = 2283
Σ У 2 t + τ = 299 2 +319 2 + ... +379 2 = 917 173
Σ Уt * Уt + τ = 239 * 299 + 181 * 319 + ... + 572 * 379 = 758916
Знаходимо коефіцієнт автокореляції:
Для визначення приватного коефіцієнта кореляції 1-го порядку знайдемо коефіцієнт автокореляції між членами ряду У е +1 і У е +2:
| Рік | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Уt + 1 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 |
| Уt + 2 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
Σ Уt +1 = 181 +299 + ... +369 = 2080
Σ У 2 t +1 = 181 2 + 299 2 + ... + 369 2 = 806 293
Σ Уt + 2 = 299 + 319 + ... +379 = 2283
Σ У 2 t + 2 = 299 2 +319 2 + ... +379 2 = 917 173
Σ Уt +1 * Уt + 2 = 181 * 299 + 299 * 319 + ... + 369 * 379 = 807814
Знаходимо коефіцієнт автокореляції:
- Знайдемо приватний коефіцієнт автокореляції 1-го порядку:
3. Знайти рівняння невипадковою складової (тренду) для тимчасового ряду, вважаючи тренд лінійним.
4. Знаходимо коефіцієнти для системи нормальних рівнянь:
Система нормальних рівнянь має вигляд:
36b 0 + 204b 1 = 13546
Звідси знаходимо b 0 = 189,068; b 1 = 33,068
Рівняння тренду:
Y t = 189,068 +33,068 t
Тобто попит щорічно збільшується в середньому на 33.068 од.
5. Провести згладжування часового ряду методом ковзних середніх, використовуючи просту середню арифметичну з інтервалом згладжування m = 3 роки.
6. у 2 = 1 / 3 (у 1 + у 2 + у 3) = 1 / 3 (239 +181 +299) = 239,7
7. у 3 = 1 / 3 (у 2 + у 3 + у 4) = 1 / 3 (181 +299 +319) = 266,3
У 4 = 1 / 3 (у 3 + у 4 + у 5) = 1 / 3 (299 +572 +345) = 405.3
У 5 = 1 / 3 (y 4 + y 5 + y 6) = 1 / 3 (319 +345 +572) = 412
У 6 = 1 / 3 (у 5 + у 6 + у 7) = 1 / 3 (345 +572 +369) = 428,7
У 7 = 1 / 3 (в 6 + у 7 + у 8) = 1 / 3 (572 +369 +379) = 440
У результаті отримаємо згладжений ряд:
| Рік | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Уt | - | 239,7 | 266,3 | 405,3 | 412,0 | 428,7 | 440,0 | - |
За отриманим вище рівняння регресії Y t = 189,068 + 33,068 t оцінимо умовне математичне очікування. Оцінкою у (9) є групова середня:
У t = 9 = 189,068 + 33,068 * 9 = 486,68 (од)
Складемо допоміжну таблицю для оцінки дисперсії.
Обчислимо оцінку s 2 дисперсії QUOTE 
^
Обчислимо оцінку дисперсії групової середньої:
Значення t 0.95; 6 = 2,45, критерій Стьюдента. Тепер знаходимо інтервальну оцінку прогнозу середнього значення попиту:
486,68 - 2,45 * 69,76 ≤ у (9) ≤ 486,68 +2,45 * 69,76
Або
315,77 ≤ у (9) ≤ 657,59
Для знаходження інтервальної оцінки прогнозу індивідуального значення обчислимо дисперсію його оцінки:
Тепер знаходимо інтервальну оцінку:
486,68-2,45 * 113,69 ≤ у * (9) ≤ 486,68 +2,45 * 113,69
Або
208,14 ≤ у * (9) ≤ 765,22
Висновок:
Отже, з надійністю 0,95 середнє значення попиту на товар на 9-й рік буде укладено від 315,77 до 657,59 (од.), а його індивідуальне значення - від 208,14 до 765,22 (од.)
Складемо допоміжну таблицю для оцінки дисперсії.
| Рік | У | Уt | еt = У-Уt | et-1 | et * et-1 | et ^ 2 |
| 1 | 239 | 222,1 | 16,9 | 0,0 | 0,0 | 285,6 |
| 2 | 181 | 252,2 | -74,2 | 16,9 | -1253,98 | 5505,6 |
| 3 | 299 | 288,3 | 10,7 | -74,2 | -793,94 | 114,5 |
| 4 | 319 | 321,3 | 2,3 | 10,7 | 24,6 | 5,3 |
| 5 | 345 | 354,4 | -9,4 | 2,3 | -21,62 | 88,4 |
| 6 | 572 | 387,5 | 184,5 | -9,4 | -1734,3 | 34040,3 |
| 7 | 269 | 420,5 | -51,5 | 184,5 | -9501,8 | 2652,3 |
| 8 | 379 | 453,6 | -74,6 | -51,5 | 384,19 | 5565,2 |
| 9439,02 | 48257,2 |
Обчислимо оцінку дисперсії групової середньої:
Значення t 0.95; 6 = 2,45, критерій Стьюдента. Тепер знаходимо інтервальну оцінку прогнозу середнього значення попиту:
486,68 - 2,45 * 69,76 ≤ у (9) ≤ 486,68 +2,45 * 69,76
Або
315,77 ≤ у (9) ≤ 657,59
Для знаходження інтервальної оцінки прогнозу індивідуального значення обчислимо дисперсію його оцінки:
Тепер знаходимо інтервальну оцінку:
486,68-2,45 * 113,69 ≤ у * (9) ≤ 486,68 +2,45 * 113,69
Або
208,14 ≤ у * (9) ≤ 765,22
Висновок:
Отже, з надійністю 0,95 середнє значення попиту на товар на 9-й рік буде укладено від 315,77 до 657,59 (од.), а його індивідуальне значення - від 208,14 до 765,22 (од.)