Класифікація форм руху.
У широкому розумінні поняття рух використовується для позначення будь-яких змін, що відбуваються з об'єктом чи системою об'єктів з плином часу. Різним рівням організації матерії відповідають свої характерні форми руху (соціальні, біологічні, хімічні, фізичні і т.д.). Вищі форми руху включають в себе більш прості і можуть бути зведені до їх совокупностям (напр. передача збудження між нервовими клітинами організму являє собою імпульси струмів і напруг, що поширюються по нейронах, а останні обумовлені рухом позитивно заряджених іонів Na і K). Найпростішою формою є механічний рух, що представляє собою переміщення об'єктів у просторі.
Опис змінюються в часі величин. Якщо яка-небудь величина F, якою може бути приписано чисельне значення, змінюється в часі, це символічно записують в наступному вигляді:
(1).
Існує кілька способів завдання залежності F (t), що відповідають різним рівням експериментального вивчення явищ.
Табличний спосіб являє собою набір чисельних значень вимірюваної величини в моменти часу та найбільш достовірно відображає результати вимірювань. У зв'язку з тим, що вимірювані величини не можуть бути визначені абсолютно точно, коректна запис результатів вимірювань повинна містити інформацію про похибки у вигляді довірчого інтервалу, тобто чисельного проміжку, в якому знаходиться істинне значення вимірюваної величини з наперед заданою вірогідністю (зазвичай 90%). Нижче наводиться приклад табличного завдання росту дитини в часі за результатами вимірювань, що проводилися по одному разу на рік на місяць його народження:
Вік (роки) Зростання (метри)
Основним недоліком цього способу є його мала наочність.
Графічний спосіб полягає в нанесенні точок на графік, по осях якого відкладені значення величин F і t. "Крапки" покладено зображати у вигляді фігур (прямокутників, еліпсів, хрестиків тощо), розміри яких відображають похибка вимірювань (рис. 3_1). Зазвичай нанесені точки з'єднують плавною кривою, що відбиває уявлення дослідника (часто вельми суб'єктивні) про справжній характер залежності F (t). Інтервал між точками на графіках бажано вибирати так, щоб між ними зображувана залежність мала монотонний характер, тобто не мала мінімумів і максимумів.
Аналітичний спосіб являє собою опис залежності F (t) у вигляді функції, конкретний вигляд якої підбирається на основі розумного компромісу між вимогами найкращої відповідності з результатами вимірювань і простоти формул. Часто якісний вид залежності апріорно відомий з теорії. При цьому вибір розглянутих функцій істотно звужується, результати вимірювань частково враховуються підбором значень підгінних параметрів. Останній спосіб завдання найбільш інформативний, але найменш достовірний.
Похідна та інтеграл.
Для характеристики зміни величини F (t) вводиться поняття швидкості її зміни (відношення приросту величини до відповідного інтервалу часу за умови, що останній дуже малий):
(2).
Для математичної операції (2), що носить назву диференціювання або взяття похідної, використовується кілька загальноприйнятих позначень:
(3).
Величина похідної числено дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка F (t) (рис. 3_2). У разі зростання функції F її похідна позитивна, при убуванні - негативна. У точках екстремумів (мінімумів і максимумів) похідна звертається в нуль. За відомою залежності F (t) похідна завжди обчислюється і при тому - однозначно (виняток становлять лише випадки, коли F (t) має розриви, але в реальній природі подібних залежностей практично ніколи не зустрічається).
Зворотній завдання-визначення залежності F (t) по відомій швидкості її зміни має однозначне рішення лише у разі додаткового завдання початкової умови (значення величини F в будь-який момент часу):
(4).
Приріст величини F обчислюється в результаті взяття певного інтеграла:
(5),
числено рівного площі під графіком залежності (рис. 3_2). За збільшенню величини та її значенням, згідно (5), можна знайти F (t):
(6).
Опис еволюції складних систем. Системи, що мають кілька ступенів свободи, описуються набором величин званих координатами системи (число координат N дорівнює числу ступенів свободи). Геометричним чином стану системи є точка в N-мірному просторі конфігурацій, координати якої визначаються набором. Якщо система змінюється з плином часу, складові набору змінюються і зображає точка переміщається в конфігураційному просторі = 
(T).
Векторні та скалярні величини.
C математичної точки зору вектором можна називати впорядкований набір чисел лише в тому випадку, якщо він володіє рядом певних властивостей. Зокрема, для будь-яких двох таких наборів повинні бути визначені операції додавання і множення на число так, щоб виконувалися наступні властивості:
комутативності:
(7), 
,
асоціативності:
(8), 
,
і дистрибутивності:
(9), 
,
Оскільки властивості (7-9) справедливі для операцій додавання і множення дійсних чисел, практично всі твердження з алгебри скалярних величин залишаються справедливими і для векторів. Вектор є узагальненням поняття числа на випадок багатовимірних просторів. Скаляри можна розглядати як вектори в одновимірному просторі.
Використання векторів дозволяє будувати опис досить різноманітних об'єктів (матеріальних точок, сил, полів, станів, чисельності населення міст, фізіологічних відчуттів і т.д.), використовуючи однакові математичні позначення
Користуючись аналогією з співвідношеннями (1-6), легко визначити поняття вектора швидкості зміни системи:
(10)
і узагальнити всі наступні співвідношення на багатовимірний випадок.
Рух матеріальної точки в просторі трьох вимірів є приватним прикладів еволюції в часі досить простої системи, вичерпне опис якої наводиться трьома декартовими координатами, сукупність яких називається радіус-вектором:
(11)
(Для позначення "звичайних" векторів у тривимірному просторі будуть використовуватися жирні букви без стрілок).
Сума векторів визначається як вектор, складові якого є сумами відповідних складових доданків
(12),
а твір на число - як вектор, складові якого виходять домноженіем складових вихідного на це число:
(13).
Легко переконатися, що всі необхідні властивості (7-9) при такому визначенні операцій виконуються. Похідна радіус-вектора за часом отримала назву вектора миттєвої швидкості:
(14),
а похідна швидкості - прискорення:
(15).
За відомою залежності положення тіла від часу R (t) його швидкість і прискорення визначаються однозначно. У випадку заданої швидкості V (t) для однозначного визначення радіус-вектора R (t) необхідно знати положення тіла в якийсь певний момент часу ("початкове положення"). Якщо ж задана залежність прискорення від часу, то по ній може бути знайдена швидкість, а за останнім - радіус-вектор. Очевидно, що рішення буде однозначним, якщо задані початкова швидкість і положення тіла.
Відносність механічного руху. Однозначне завдання радіус-вектора можливо лише після завдання системи координат. Різні системи координат можуть по-різному розташовуватися в просторі і мати різні швидкості руху. Отримаємо зв'язок між характеристиками руху матеріальної точки в нерухомій (0) і рухається (0 ') системах відліку (рис. 3_3). Нехай R (t) і R '(t) - радіус-вектори матеріальної точки в двох системах відліку, а r (t) - вектор, що задає положень системи, що рухається (0') відносно нерухомої (0). Очевидно, що
(16).
Диференціюючи рівність (16) за часом, отримуємо закон додавання швидкостей, що дозволяє знаходити швидкість щодо рухомої системи відліку V ', якщо задані швидкість руху тіла в нерухомій V і відносна швидкість руху систем відліку v:
(17).
Аналогічне співвідношення справедливо і для прискорень.
Закон (10) показує, що тіло, покоїться в одній системі відліку, може рухатися в інший. Т.ч. безглуздо говорити про механічне рух взагалі, не вказавши системи відліку. Кажуть, що механічне рух відносний.
Закон перетворення координат (16), записаний для окремого випадку рівномірного прямолінійного руху однієї системи відліку відносно іншої (рис. 3_4) носить назву перетворень Галілея:
(18).
Наведені співвідношення з точки зору здорового глузду здаються самоочевидними. На сомом справі при їх виведення робляться вельми сильні допущення про те, що інтервали часу і довжини відрізків однакові в обох системах відліку.
Ефект Доплера, що є наслідком закон додавання швидкостей, має багато цікавих проявів в природі і техніці. Нехай будь-якої джерело створює з частотою періодичне обурення ("сигнал"), що розповсюджується в просторі зі швидкістю C (прикладом може слугувати поширення звукових хвиль в повітрі). Ефект Доплера полягає в тому, що в разі руху джерела або приймача частота сигналу, що змінюється. Нехай, наприклад, джерело наближається до нерухомого приймача зі швидкістю V. Швидкість руху сигналу відносно джерела, згідно (17), дорівнює c '= cv. За час між випромінюванням двох послідовних сигналів пройдений обуренням шлях виявиться рівним (рис. 3_5). Приймач буде реєструвати прихід сигналів через час, тобто з частотою
(18).
При видаленні джерела (V0) - частота зростає (звук стає більш високим). У випадку V = C частота стає нескінченно великою, що в акустиці відповідає виникненню ударної хвилі при русі джерела зі швидкістю звуку (т.зв. звуковий бар'єр). При надзвуковому русі формула (18) формально дає від'ємне значення частоти, що відповідає прийому сигналів, що приходять у зворотному порядку в порівнянні з їх випусканням.
В оптиці спостерігається подібний ефект, який призводить до зміни частоти випромінювання (кольори) джерела: даленіючі джерела виглядають "більш червоними", що наближаються - "фіолетовими" Кількісні співвідношення дещо відрізняються від (18), оскільки при вирішенні задач про рух з близько світловими швидкостями закон додавання швидкостей (17) перестає виконуватися. Астрономічні спостереження показують, що спектри випромінювання далеких зірок зміщені в червону сторону (тобто частота приходить від далеких зірок світла виявляється заниженою), що служить основою для припущення про розбігання галактик або розширення Всесвіту. Вимірювання зрушень частот показали, що швидкості розбігання зірочок пропорційні відстаням до них (рис. 3_6):
(19),
де константа H носить назви постійної Хаббла.
Твердження про розбігання галактик ставить два очевидні питання:
1) Чи не означає співвідношення (19) що ми знаходимося в центрі світу?
2) Куди розбігаються зірки?
Відповідь на перше питання досить очевидний: спостерігач на будь-який інший зірку побачить таку саму картину розбігання. Наприклад, швидкість зірки 1 щодо зірки 2, відповідно до закону складання швидкостей дорівнює
(20),
що відповідає закону Хаббла. (Рис. 3_5).
Задовільну відповідь на друге питання, попутно дозволяє парадокс зоряного неба, мабуть полягає в твердженні про глобальної неевклідова нашого простору. Сказане можна пояснити на моделі двовимірних істот, що опинилися на поверхні сфери, радіус якої зростає у часі (надувають кульки). Якщо на поверхню такої сфери завдати точки ("зірки"), відстань між ними буде збільшуватися в повній відповідності з законом Хаббла (прямими в цьому "викривленому світі" слід називати дуги великих кіл на поверхні сфери). Питання ж про те, куди розбігаються зірки для двовимірних істот взагалі безглуздий, оскільки вони не здатні навіть уявити справжнього вигляду поверхні, на якій знаходяться.