Смоляков Андрій Анатолійович, старший науковий співробітник РФЯЦ-ВНІІЕФ.
Уповалов В'ячеслав Володимирович, науковий співробітник РФЯЦ-ВНІІЕФ.
Пропонується до розгляду кулісні-важільний механізм, в якому здійснюється перетворення обертального руху кулачка в хитання куліси. Механізм може бути реалізований двома способами, як показано на рис. 1 і 2. Пристрій складається з кулачка, що обертається навколо постійної осі, і лаштунки з двома напрямними. Куліса, з жорстко забитими напрямними, гойдається уздовж своєї осі хитання, перпендикулярної осі обертання кулачка. У кожний момент часу кулачок стосується обох напрямних (кожній в одній точці) за рахунок вибору форми кулачка (у першому варіанті) або направляють (у другому варіанті). У першому варіанті (див. рис. 1) напрямні мають форму циліндрів, а в другому варіанті (див. рис. 2) кулачок виконаний у формі циліндра.
| Для знаходження функції, яка описує форму кулачка для першого варіанту, необхідно вирішити диференціальне рівняння (1.1). (1.1) при, де - максимальний кут відхилення кулісного механізму з напрямними навколо осі хитання куліси; l - відстань між осями напрямних кулісного механізму; r - радіус направляючої: H - радіус хитання куліси (перпендикуляр від центру осі хитання куліси до відрізка, що з'єднує центри напрямних); L - радіус обертання кулачка (між центром кулачка і центром осі обертання кулачка). |
Осі x і y лежать у площині визначальною кулачка і направлені відповідно уздовж максимального і мінімального діаметрів.
Рівняння (1.1) має вигляд диференціального рівняння Клеро. Як відомо, диференціальне рівняння Клеро / 1 / має особливий інтеграл (в параметричній формі) і 
, Причому. Права частина диференціального рівняння (1.1) - це. Після підстановки маємо параметричне рішення рівняння (1.1) у вигляді:
| Для знаходження функції, яка описує форму напрямних для другого варіанта (рис. 2), необхідно вирішити систему з 3-х рівнянь (2.1), (2.2) та (2.3), наведених нижче. Рівняння (2.1) визначає, що кожна точка направляючої лежить на колі - кулачку. Диференціальне рівняння (2.2) визначає, що в точках дотику кулачка і направляючих збігаються похідні, тобто відбувається дотик. Рівняння (2.3) (випливає з) визначає, що конструкція жорстко пов'язана. (2.1) (2.2) (2.3) |
|
при очевидних граничних умовах
і 
- Максимальний кут відхилення кулісного механізму з напрямними навколо осі хитання куліси;
- Кут відхилення кулісного механізму з напрямними навколо осі хитання куліси;
- Кут повороту кулачка навколо осі власного обертання при відхиленні куліси на кут;
l - відстань між осями напрямних кулісного механізму;
R - радіус кулачка;
H - радіус хитання куліси (перпендикуляр від центру осі хитання куліси до відрізка, що з'єднує центри направляють);
L - радіус обертання кулачка (між центром кулачка і центром осі обертання кулачка).
Вісь x спрямована уздовж центральної осі направляючої, вісь y - перпендикулярно до осі x. Початок координат - середина направляючої, саме? Вузьке | місце. Координата y визначає радіус перерізу направляє в точці з координатою x. Продиференціюємо (2.1) по x:
з (2.2), підставимо в (2.4)
, Звідси випливає
, І маємо
(2.5)
з (2.3) випливає, що або 
, - Підставляємо в (2.5)
, Що дає
(2.6)
Підставимо з (2.3) вираз для в (2.6)
або
(2.7)
Підставивши (2.7) в (2.2), отримаємо або
або
(2.8)
Підставивши з (2.8) вираз для в (2.7), отримаємо
(2.9)
Підставимо (2.8) і (2.9) в (2.1), отримаємо вираз:
,
в якому приведемо до спільного знаменника вирази в дужках
і потім скоротимо вирази в дужках,
що призведе до остаточного увазі диференціального рівняння, що визначає форму напрямних
(2.10)
Якщо позначити і, то рівняння (2.10) можна переписати як
(2.11)
Рівняння (2.11) перетворимо так, щоб отримати диференціальне рівняння Лагранжа / 1 /.
(2.12)
Як відомо, диференціальне рівняння Лагранжа
приводиться до рівняння у вигляді;
переписавши останнє щодо у вигляді (2.13)
і отримуємо лінійне диференціальне рівняння відносно.
Для рівняння (2.12) можна записати співвідношення
,
Позначимо і запишемо рівняння (2.13) як лінійне диференціальне рівняння відносно.
(2.14)
Позначимо і перепишемо рівняння (2.14) як лінійне диференціальне рівняння першого порядку,
або, після спрощення
(2.15)
Як відомо, лінійне диференціальне рівняння першого порядку
при інтегральному множник має спільне рішення.
Для рівняння (2.15) можна записати
,
З / 2 / маємо:
,
звідси.
Загальне рішення можна тепер записати як.
Якщо розглядати z як параметр, то підставивши значення для x в рівняння (2.12), можна отримати параметричне рішення рівнянь (2.1), (2.2) та (2.3) у вигляді
,
. (2.16)
Щоб визначити невідому константу C, необхідно задовольнити граничні умови. Очевидно, що умова
виконується тотожно. Рівняння (2.16) для умови
набуде вигляду:
,
звідки.
Остаточно маємо параметричне завдання у вигляді
,
, Де і.
Обидва варіанти визначення геометричних форм деталей запропонованої конструкції кулісні-важільного механізму були попередньо промодельовані в програмі тривимірного проектування AutoCAD версії 12. Виготовлені пробні екземпляри показали очікуваний результат.
Дана конструкція має здатність зберігати форму передачі руху при будь-якій зміні положення самої конструкції за рахунок постійного торкання кулачка з кожної направляючої в одній точці. При цьому не потрібно використання додаткових деталей, наприклад підшипників, що дозволяє без проблем виготовити подібні кулісні-важільні механізми малих розмірів. Це дало можливість використання наведеного механізму, зокрема, в серійному виробництві датчиків для медичних приладів, що здійснюють сканування внутрішніх органів людини, на Арзамаському приладобудівному заводі. Можливе застосування і в інших областях приладобудування та промисловості.
Перший варіант більш важкий для виготовлення (оскільки форма кулачка є складною геометричною фігурою, для виготовлення якої необхідна спеціальна оснастка), тому найбільший практичний інтерес представляє другий варіант реалізації (і тому викладений більш детально), де напрямні є фігурами обертання і можуть бути легко виготовлені на верстаті з ЧПУ. Слід зазначити, що для другого варіанта необхідно прорахувати в діапазоні (можна з невеликим запасом), тому що тільки в цьому інтервалі відбувається дотик.
На описане пристрій отримано рішення про видачу патенту Всеросійським Науково-дослідним інститутом Державної Патентної Експертизи (ВНІІГПЕ).
Література:1. Корн Г. К. і Корн Т. К., Довідник з математики (для наукових працівників та інженерів), стор 269, М.:? Наука |, 1974.
2. Бронштейн І. М. та Семендяев К. А., Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, стор 93, М.:? Наука |, 1986.