Бабаєв Х.
Про один аналог завдання Біцадзе-Самарського
для змішано-складового рівняння.
РЕФЕРАТ
У даній роботі для змішано-складового рівняння ставиться і досліджується одна нелокальна крайова задача, яка є деяким аналогом завдання Біцадзе-Самарського. Одиничність рішення досліджуваної задачі доводиться принципом максимуму, а існування рішення доводиться зведенням досліджуваної завдання до еквівалентного їй інтегрального рівняння.
Бібліографія 4 назви
Про один аналог завдання Біцадзе-Самарського
для змішано-складового рівняння
У перші в роботі [1] була поставлена і і c слідувала нелокальна крайова задача для еліптичних рівняння, яка є узагальненням завдання Дірі x ле. У даній роботі і c слід один з аналогів цього завдання для рівняння.
Нехай: Д область обмежена відрізками OB, BE, AE, OC, AC, прямі x x = 0, y = 1, x = 1, x + y = 0, x - y = 1, де А, B, O, C , E точки з координатами (1; 0), (0; 1), (0, 0), ( ;
), (1, 1) відповідно.
Завдання. Знайти регулярне в області Д / OА рішення рівняння (1) довлетворяющее крайовим
(2)
(3)
(4)
(5)
умовам та умовам склеювання
(6)
Де -Завдання функції, причому
Відомі постійні; постійна β задовольняє нерівності
-Внутрішня нормаль.
Будь-яке регулярне рішення рівняння (1) в області
представлено у вигляді
(7)
де z (X, У)-регулярне рішення рівняння
(8)
W (y)-двічі безперервно диференціюється функція.
Без обмеження спільності можна припустити, що W (0) = 0б W (1) = 0, спершу наводимо доказ єдиності рішення досліджуваної задачі.
Теорема. Якщо то функція U (Х, У) = 0 в області Д.
Доказ. На підставі (2), (7) завдання редукується до визначення регулярного рішення рівняння (8) при У> 0 задовольняє крайовим умовам
φ (У) - W (У), Z (
) = Φ (У) - W (У)
де U (1, У) = φ (У), U ( ) = Φ (У) (9)
З (6) слід
Враховуючи (3) і умова (9) одержимо:
L
φ (x)
спільне рішення рівняння (1) в області Д = {(X, y) Є D, y <0} дається відомою формулою Даламбера
реалізуючи умова (10) з (11) маємо
φ (x)
або φ (x) -
звідси φ (x + y) -
тоді з (11) отримаємо U (X, Y) = φ (X + Y) -
(12)
Використовуючи (4) (ψ (X) ≡ 0) з (12) знайдемо
φ
d
+
φ
(13)
диференціюючи вираз (13) маємо
φ
+
φ
= 0
розділяючи на (X) ≠ 0 отримаємо
φ (x) + φ
= 0 (14)
предпологая
маємо: φ (x) - L (x) φ (βx) = 0 (15)
функціональне рівняння (15) не має нетривіальних рішень.
Дійсно застосовуючи метод ітерації знаходимо
φ (х) = L (х) φ (βx)
φ (βx) = L (βx) · φ ( )
φ (β x) = L (β
x) φ (β
x)
з цих рівностей маємо
φ (х) = L (x) L (βx) ... L (β x) φ (β
x) (16)
(0 ≤ x ≤ 1)
з (16) випливає, що при n → ∞ функція φ (х) ≡ 0
Отже з (12) отримаємо
U (X, Y) = - (1) +
(X - Y)
Звідси
Або
Позначимо U (X, 1) = ψ (X). тоді умова (5) набуде вигляду
U (x, y ) =
Отже з (7)
тепер неважко переконатися, що функція Z (X, Y) не досягає максимуму на лінії У = 1. З умов
випливає, що Z (X, Y) не досягає максимуму (мінімуму) і на відрізках OB і OA.
Функція Z (Х, Y) не досягає максимуму (мінімум) і на відрізку АЕ. Дійсно, якщо Z (X, Y) досягає максимуму (мінімуму) на АЕ, то з умови Z (X , Y) = φ (Y) - W (Y)
Слід, що цей максимум (мінімум) повинен реалізуватися і всередині області, що суперечить відомим властивостям рішень еліптичних рівнянь.
Отже Z (X, Y) ≡ 0 в області Д , W (Y) ≡ 0 при 0 ≤ Y ≤ 1. U ≡ 0 і в області Д
(Задача Коші).
Таким чином U (X, Y) ≡ 0 в області Д.
Тепер переходимо до доказу існування рішення досліджуваної задачі.
Реалізуючи умова (3) маємо:
φ (x) + ψ
(X) -
тоді з (11) отримаємо
φ (Х + У) + ψ
(Х + Y) -
(1) +
(X - Y) (18)
використовуючи умову (4) після простих перетворень приходимо до функціонального рівняння.
Φ (х) - L (x) φ (βx) = δx (19)
Де δ (x) =
Єдине рішення функціонального рівняння (19) можна знайти застосуванням методу ітерації.
Таким чином невідома функція φ (х) визначена єдиним чином. З (18) знайдемо
U (X, 0) + U
(X, 0) =
(X) (20)
Де відома функція
регулярне в області Д рішення рівняння (8) задовольняє крайовим
умовам
задається формулою [2]:
Звідси знаходимо (X, 0):
22)
виключаючи (Х, о) з формул (20), (22) для визначення V (х) отримуємо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду, розв'язність якого випливає з єдиності рішення досліджуваної задачі.
Зауважимо що V (x) містить невідомі функції ψ (Х), W (У). Підставляючи значення V (Х) у формулу (21) і реалізуючи крайові умови
. Для визначення невідомих функцій ψ (Х), W (У) маємо систему інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду, яка однозначно вирішити.
Література.
Біцадзе А. І., Самарський А. А. о деяких найпростіших узагальненнях найпростіших лінійних еліптичних крайових задач. -Докл. АН СРСР, 1969 Т 189, N4,-c .739-740.
Базаров Д. Про деякі нелокальних крайових задачах для модельних рівнянь рівнянь другого порядку. -Изв. вузів. Математика, 1990, N3.
Джураєв Т. Д. Крайові задачі для рівнянь змішаного і змішано-складового типів. Ташкент: ФАН, 1979-238с
Салахідінов М. С., Толіпов А. Деякі крайові задачі для рівнянь змішаного типу з однією і двома лініями виродження. / / Диференціальні рівняння, 1972 р. Т. 8, № 1 c 134-142