Предмет:
"Теорія автоматичного управління"
Тема:
"Принципи побудови систем автоматичного керування"

1. Основні поняття та визначення
Теорія автоматичного управління (ТАУ) - наука про принципи побудови, методи розрахунку і дослідження автоматичних систем.
ТАУ розглядає клас систем, основою функціонування яких є процес перетворення енергії (на відміну від інформаційних систем - перетворюючих інформацію).
Системою автоматичного управління (САУ) називається сукупність керованого об'єкта й пристрої управління, які взаємодіють відповідно до заданого законом (алгоритмом) управління.
Типова, структурна схема сис-теми автоматичного управління пріведенана рис.
Управлінням в технічних системах називається навмисне вплив на керований об'єкт, що забезпечує досягнення поставленої мети.

Рис. 1

2. Класифікація САУ

Системи автоматичного управління можна класифікувати за різними ознаками:

1. За характером зміни вихідної величини:
- Системи автоматичного регулювання (САР, стабілізації) - системи, в яких вихідна величина підтримується на постійному рівні, визначеному заздалегідь;
- Системи, що стежать - це системи, в яких вихідна величина змінюється відповідно до заздалегідь невідомою функцією, обумовленою завданням;
- Програмні системи - це системи, в яких вихідна величина змінюється відповідно до програми визначається завданням;
- Екстремальні системи - це системи, в яких вихідна величина підтримується на рівні деякого екстремуму;
- Оптимальні системи - це системи, в яких вихід такий, що деякий показник найкращий в певному сенсі.
2. За принципом управління:
- Системи з управлінням за відхиленням - системи, в яких управляє вплив виробляється в функції різниці задає і обурює впливу. Цей принцип використовується в замкнутих системах управління. Структурна схема системи з управлінням за відхиленням наведена на рис. 2а.
- Системи з управлінням у обуренню - системи, в яких управляє вплив виробляється в функції задає або обурює впливу. Цей принцип управління найчастіше використовується в розімкнутих системах. Структура системи з управлінням у обуренню наведена на рис. 2б.
- Системи скомбінованим управлінням - системи, в яких поєднується перший і другий принципи управління. Структура системи з комбінованим керуванням наведена на рис. 2в.

б)

в)

а)

Рис. 2
3. За характером зміни сигналів: безперервні; дискретні.
4. За кількістю регульованих величин: одномірні; багатовимірні.
5. По виду помилок: статичні; астатические.
6. За характером описуваних рівнянь: лінійні - нелінійні; детерміновані - стохастичні; стаціонарні - нестаціонарні і т.д.
Основні питання, які розглядає теорія автоматичного управління:
Математичні моделі систем автоматичного управління.
2. Визначення стійкості систем управління.
3. Аналіз якості систем.
4. Корекцію систем.
5. Завдання аналізу та синтезу оптимальних систем.

3. Математичні моделі САУ

Для опису сигналів і систем, в залежності від використовуваних методів дослідження, застосовуються різні форми їх подання в тимчасовій, частотної або операторної області. Взаємозв'язок між областями здійснюється за допомогою перетворень Фур'є і Лапласа, як показано на рис. 3.


Рис. 3

Перетворення Фур'є. Відповідність між тимчасовим і частотним представленням сигналу можна виразити через перетворення Фур'є:

(2.1)
і зворотне перетворення Фур'є:
(2.2)
Перетворення Лапласа. Відповідність між тимчасовим і операторних поданням сигналу можна виразити через перетворення Лапласа:
(2.3)

і зворотне перетворення Лапласа:
(2.4)
де р = c + j w - оператор Лапласа, c - область збіжності, x (t) - оригінал, а X (p) - зображення.
Для дискретних систем використовують дискретні перетворення Лапласа і Фур'є, а також ряд інших перетворень (Z, W та інших).

Основні властивості (теореми) перетворення Лапласа

Властивість лінійності
(2.5)

2. Диференціювання оригіналу

, (2.6)

,

де .

При нульових початкових умовах
.

3. Інтегрування оригіналу

. (2.7)
4. Теорема про згортку (множення в комплексній області)
. (2.8)
5. Теорема розкладання.
Якщо де
то оригінал, відповідно до теореми Коші про відрахування може бути визначений як сума відрахувань по полюсах підінтегральної функції
(2.9)
6. Теорема про граничні значеннях функції.
Початкове значення функції: . (2.10)
Кінцеве значення функції: . (2.11)
7. Теорема запізнювання

. (2.12)
4. Диференціальні рівняння САУ
При математичному описі систем автоматичного управління складають рівняння статики та динаміки.
Рівняння статики описують усталені режими і, як правило, є алгебраїчними.
Рівняння динаміки описують перехідні процеси в системах автоматичного управління і являють собою диференціальні, інтегро-диференціальні або різницеві рівняння.
Рівняння динаміки системи складаються на основі рівнянь окремих елементів, що входять в систему. Рівняння елементів записуються на основі фізичних законів, що визначають поведінку цього елементу, найчастіше це закони збереження енергії (Кірхгофа, Ньютона, та ін.)
В якості прикладу розглянемо порядок складання рівняння динаміки для RLC - чотириполюсника (рис. 4).

L

R

CR

U вих (t)

U вх (t)

Æ

Æ

Æ

Æ

Рис. 4

Відповідно сзаконом Кірхгофа можна записати рівняння


Виконавши перетворення, отримаємо диференціальне рівняння даному колі.

З умови рівності нулю похідних, отримаємо рівняння статики

Лінеаризація диференціальних рівнянь

Зазвичай диференціальні рівняння САУ є нелінійними внаслідок нелінійності характеристик елементів системи (поріг чутливості, обмеження по потужності, тертя, люфт, зазор, гістерезис та ін.) Рішення нелінійних рівнянь істотно складніше, ніж лінійних. Тому завжди, якщо це можливо, необхідно перетворити нелінійне рівняння до наближеного лінійному, тобто виконати лінеаризацію.
Лінеаризація - заміна нелінійного рівняння наближеним лінійним. Лінеаризація можлива за таких умов:
Якщо відхилення змінних D x і D y щодо сталих значень x ₀ і y ₀ малі (рис. 5а). Ця умова виконується для широкого класу систем автоматичного управління (наприклад, для замкнутих систем).
2. Система не містить істотно - нелінійних елементів, тобто характеристики повинні бути однозначними і не мати розривів 1-го чи 2-го роду (рис. 5б-г).

y y 0 + Dy y 0

а) б) в) г) Рис. 5

0x 0 x 0 + Dxx

y

0 x 1 x

y

0x 1 x

y y 2 y 1

0 x 1 x

Лінеаризація здійснюється шляхом розкладання нелінійної функції в ряд Тейлора в околі точки, що відповідає сталому режиму.
Висловимо змінні x і y через їх встановилися значення x ₀ і y ₀ і відхилення D x і D y.
При цьому
(3.1)
Розклад в ряд Тейлора має вигляд:
(3.2)

Віднімемо рівняння усталеного режиму, що відповідає переносу початку координат у точку (x _0, y _0), при цьому отримаємо лінеаризовані рівняння:
(3.3)
Відмінність Лінеаризовані рівняння від вихідного нелінійного:
Лінеаризовані рівняння лінійне.
2. Лінеаризовані рівняння наближене.
3. Лінеаризовані рівняння це рівняння у відхиленнях (варіаціях).

Література
1. Автоматизоване проектування систем автоматичного управління. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машинобудування, 1990. -332 С.
2. Бесекерскій В.А., Попов О.П. Теорія систем автоматичного регулювання, видання третє, виправлене. Москва, видавництво «Наука», Головна редакція фізико-математичної літератури, 1975.
3. Грінченка А.Г. Теорія автоматичного управління: Навч. посібник. - Харків: ХДПУ, 2000. -272 С.
4. Зайцев Г.Ф. Теорія автоматичного управління і регулювання. - 2-е вид., Перераб. і доп. Київ, Видавництво Вища школа Головне видавництво, 1989.
5. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського - М.: Наука, 1987. - 712 с.
6. Шандрою Б.В. Технічні засоби автоматизації: підручник для студентів вищих навчальних закладів. Москва, Видавничий центр «Академія», 2007.