МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
ДЕРЖАВНЕ ПРОФЕСІЙНЕ УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЛІЯ У М. ЗАЛІЗНИЧНОМУ
Спеціальність «Фінанси і кредит»
Контрольна робота з економетрики
Варіант № 14
Залізничний 2009
Завдання 1.2
Завдання 1.
Знайти середнє число державних вузів, якщо статистичні дані такі:
Знайти: х -?
Рішення:
1. Визначимо кількість спостережень: n = 5
2. Запишемо формулу:
х = 1 / n Σ n i = 1 * x i
3. x = (1 * (548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2
Відповідь: 564,2
Завдання 2.
Розрахувати ковариацию між 2-ма рядами:
Знайти: Cov -?
Рішення:
1. Визначимо кількість спостережень: n = 7
2. Визначимо вибіркове середнє для худоби:
х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271
3. Визначимо вибіркове середнє для молока:
y = (1 * (1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88)) / 7 = 8,03 / 7 = 1,147
4. Запишемо формулу для визначення коваріації:
Cov (x; y) = 1 / n Σ n i = 1 (x i - x) (y i - y)
5. Обчислимо ковариацию:
Cov (x; y) = [1 * ((57-47,271) * (1,49-1,147) + (54,7-47,271) * (1,38-1,147) + (52,2-47,271) * ( 1,29-1,147) + (48,9-47,271) * (1,1-1,147) + (43,3-47,271) * (0,99-1,147) + (39,7-47,271) * (0, 9-1,147) + (35,1-47,271) * (0,88-1,147))] / 7 = 11,439 / 7 = 1,634
Відповідь: 1,634
Завдання 3.
Визначити вибіркову дисперсію для ряду даних про споживання м'яса (в кг на душу населення в рік).
Знайти: Var -?
Рішення:
1. Визначимо кількість спостережень: n = 7
2. Визначимо вибіркове середнє:
х = (1 * (69 +60 +69 +57 +55 +51 +50)) / 7 = 411 / 7 = 58,714
3. Запишемо формулу для визначення варіації:
Var (x) = 1 / n Σ n i = 1 (x i - x) 2
4. Визначимо варіацію:
Var = (1 * (69-58,714) ^ 2 + (60-58,714) ^ 2 + (69-58,714) ^ 2 + (57-58,714) ^ 2 + (55-58,714) ^ 2 + (51-58,714) ^ 2 + (50-58,714) ^ 2) / 7 = 365,429 / 7 = 52,204
Відповідь: 52,204
Завдання 4.
Оцінити параметри передбачуваної лінійної залежності обсягів виробництва м'яса за поголів'ям худоби, якщо:
х (виробництво м'яса) = 6,8
y (поголів'я худоби) = 47,3
Cov = 11,2
Var = 56,9
Оцінити параметри
Рішення:
1. b = Cov (x; y) / Var (x)
b = 11,2 / 56,9
b = 0,196
2. a = y - bx
a = 47,3 - 0,196 * 6,8
a = 45,968
3. y = 45,968 + 0,196 x
Завдання 5.
Визначити залишок у 1-му спостереження, якщо рівняння регресії має вигляд:
y = 0,20 x - 2,24
Знайти: g 1 =?
Рішення:
1. Вибір № спостережень: i = 1
2. х i = 57
3. y i = 8,37
4. Обчислимо:
y *= 0,20 x - 2,24
y *= 0,20 x 1 - 2,24
y *= 0,20 * 57 - 2,24
y *= 9,16
5. Визначимо залишок у 1-му спостереження:
g i = y i - x i
g 1 = 8,37 - 9,16
g 1 = - 0,79
Відповідь: - 0,79
Завдання 6.
Для рядів 1,2 рівняння регресії y = 0,20 - 2,24 (завдання 5), знайти непоясненим суму квадратів відхилень.
Знайти: RSS =?
Рішення:
1. Визначимо число спостережень: n = 7
2. Обчислимо: y i = a + bx i, отримаємо
y 1 * = 0,20 * 57 - 2,24, y 1 * = 9,16
y 2 * = 0,20 * 54,7 - 2,24, y 2 * = 8,7
3. Визначимо залишки:
g 1 = 8,37 - 9,16, g 1 = - 0,79
g 2 = 8,26 - 8,7, g 2 = - 0,44
4. Визначимо RSS для 1 і 2 ряди:
RSS = Σ n i = 1 g i 2
RSS = (- 0,79) 2 + (-0,44) 2
RSS = 775, 2592
Відповідь: 0,8177
Завдання 7.
Визначити поясненню суму квадратів відхилень для рядів та рівняння регресії y = 0,20 - 2,24 (завдання 5).
Знайти: ESS =?
Рішення:
1. Визначимо число спостережень: n = 7
2. Обчислимо: y i = a + bx i, отримаємо
y 1 = 0,20 * 57 - 2,24, y 1 = 9,16
y 2 = 0,20 * 54,7 - 2,24, y 2 = 8,7
y 3 = 0,20 * 52,2 - 2,24, y 3 = 8,2
y 4 = 0,20 * 48,9 - 2,24, y 4 = 7,54
y 5 = 0,20 * 43,3 - 2,24, y 5 = 6,42
y 6 = 0,20 * 39,7 - 2,24, y 6 = 5,7
y 7 = 0,20 * 35,1 - 2,24, y 7 = 4,78
3. Визначимо вибіркове середнє y = 1 / n Σ n i = 1 * y i отримаємо:
y = (1 * (9,16 +8,7 +8,2 +7,54 +6,42 +5,7 +4,78)) / 7
y = 7,214
4. Обчислимо ESS:
ESS = Σ i = 1 n (y i * - y i) 2
ESS = (9,16 - 7,214) 2 + (8,7 - 7,214) 2 + (8,2 - 7,214) 2 + (7,54 - 7,214) 2 + (6,42 - 7,214) 2 + (5, 7 - 7,214) 2 + (4,78 - 7,214) 2
ESS = 15,921
Відповідь: 15,921
Завдання 8.
У завданнях 6 і 7 розраховані RSS і ESS. Визначити TSS і перевірити виконання співвідношення між цими 3-ма характеристиками.
RSS = 0,8177
ESS = 15,921
Рішення:
1. Розрахуємо загальну суму квадратів відхилень:
TSS = Σ i = 1 n (y i - y) 2
TSS = 12,016
2. Перевіримо:
TSS = ESS + RSS
TSS = 15,921 + 0,8177
TSS = 16,7387
16,7387 ≠ 12,016 - розбіжність значень.
Завдання 9.
Для розрахованого рівняння регресії визначена ESS = 15,37 / Знайти коефіцієнт детермінації, якщо TSS = 16,21.
Знайти: R 2 =?
Рішення:
1. Визначимо коефіцієнт детермінації:
R 2 = ESS / TSS
R 2 = 15,37 / 16,21
R 2 = 0,948
Відповідь: 0,948
Задача 10
Визначити вибіркову кореляцію між 2-ма величинами, якщо коваріація становить 11,17, варіація першого ряду становить 59,86, а другого 2,32.
Cov (x, y) = 11,17
Var (x) = 59,86
Var (y) = 2,32
Знайти: Z xy -?
Рішення:
1. Запишемо формулу для визначення вибіркової кореляції:
Z xy = Cov 2 (x, y) / √ Var (x) * Var (y)
2. Обчислимо вибіркову кореляцію:
Z xy = (11,17) 2 / √ 59,86 * 2,32
Z xy = 124,769 / 11,785
Z xy = 10,588
Відповідь: 10,588
Завдання 2.2
Завдання 1.
Знайти: Var =? і парну Cov =?
Рішення:
1. Визначимо число спостережень: n = 9
2. Знайдемо вибіркове середнє для рядів: х = 1 / n Σ n i = 1 * x i
х 1 = (1 * (30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9
х 1 = 35,767
х 2 = (1 * (1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9
х 2 = 0,414
у = (1 * (15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9
у = 17,844
3. Розрахуємо Var для рядів: Var = 1 / n Σ n i = 1 * (x i - x i) 2
4. Обчислимо Cov: Cov (x, y) = 1 / n Σ n i = 1 * (x i - x) * (y i - y)
Відповідь: Var 1 = 9,680 Cov 1 = 1,964
Var 2 = 0,165 Cov 2 = -0,361
Var 3 = 1,022 Cov 3 = -0,723
Завдання 2.
Визначити коефіцієнти при пояснюють змінних, для лінійної регресії, що відбивають залежність споживання картоплі від його виробництва та імпорту, використовуючи дані з завдання 1.
Знайти: b 1,2 =?
Рішення:
1. Визначимо Var рядів пояснюють змінних:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
2. Визначимо Cov:
Cov (x 1; в) = 1,964
Cov (х 2; в) = -0,361
Cov (х 1; х 2) = -0,723
3. Обчислимо b 1 і b 2 по формулам:
b 1 = Cov (x 1; у) * Var (х 2) - Cov (х 2; у) * Cov (х 1; х 2) / Var (х 1) * Var (х 2) - (Cov (х 1; х 2)) 2
b 2 = Cov (х 2; у) * Var (х 1) - Cov (x 1; у) * Cov (х 1; х 2) / Var (х 1) * Var (х 2) - (Cov (х 1; х 2)) 2
b 1 = (1,964 * 0,165) - (-0,361 *- 0,723) / (9,680 * 0,165) - (-0,723) 2
b 1 = 0,059
b 2 = (-0,361 * 9,680) - (1,964 *- 0,723) / (9,680 * 0,165) - (-0,723) 2
b 2 = - 1,931
Відповідь: 0,059; - 1,931
Завдання 3.
Розрахувати коефіцієнт А для регресії, що відображає залежність споживання картоплі від його виробництва та імпорту (ісп. Дані з задачі 1 і 2)
Знайти: а =?
Рішення:
1. визначимо середні значення:
х 1 = 35,767 х 2 = 0,414 у = 17,844
2. Визначимо коефіцієнти b 1 і b 2:
b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
3. Обчислимо значення коефіцієнта а: а = у - b 1 x 1 - b 2 x 2
a = 17,844 - 0,059 * 35,767 - (-1,931 * 0,414)
a = 16,533
Відповідь: 16,533
Завдання 4.
Розрахувати значення особистого споживання картоплі, використовуючи отримані в задачі 2 і 3 коефіцієнти регресії.
Рішення:
1. Визначимо коефіцієнти b 1 і b 2:
b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
2. Визначимо коефіцієнт а:
а = 16,533
3. Визначимо вектор регресійного значення за формулою:
[Х *] = а + b 1 [x 1] + b 2 [x 2]
Завдання 5.
Розрахувати загальну, поясненню і не пояснення суму квадратів відхилень для розрахованої раніше регресії за споживанням картоплі.
Знайти: RSS, TSS, ESS -?
Рішення:
1. Визначимо средненаблюдаемое в і середньо розрахункове у * незалежних змінних:
у = y *
2. Визначимо загальну суму квадратів відхилень за формулою:
TSS = Σ i = 1 n (y i - y) 2
ДЕРЖАВНЕ ПРОФЕСІЙНЕ УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЛІЯ У М. ЗАЛІЗНИЧНОМУ
Спеціальність «Фінанси і кредит»
Контрольна робота з економетрики
Варіант № 14
Залізничний 2009
Завдання 1.2
Завдання 1.
Знайти середнє число державних вузів, якщо статистичні дані такі:
Роки | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
Кількість ВНЗ | 548 | 553 | 569 | 573 | 578 |
Рішення:
1. Визначимо кількість спостережень: n = 5
2. Запишемо формулу:
х = 1 / n Σ n i = 1 * x i
3. x = (1 * (548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2
Відповідь: 564,2
Завдання 2.
Розрахувати ковариацию між 2-ма рядами:
Поголів'я ВРХ (млн.т) | 57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
Пр-во молока (тис.т) | 1,49 | 1,38 | 1,29 | 1,1 | 0,99 | 0,9 | 0,88 |
Рішення:
1. Визначимо кількість спостережень: n = 7
2. Визначимо вибіркове середнє для худоби:
х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271
3. Визначимо вибіркове середнє для молока:
y = (1 * (1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88)) / 7 = 8,03 / 7 = 1,147
4. Запишемо формулу для визначення коваріації:
Cov (x; y) = 1 / n Σ n i = 1 (x i - x) (y i - y)
5. Обчислимо ковариацию:
Cov (x; y) = [1 * ((57-47,271) * (1,49-1,147) + (54,7-47,271) * (1,38-1,147) + (52,2-47,271) * ( 1,29-1,147) + (48,9-47,271) * (1,1-1,147) + (43,3-47,271) * (0,99-1,147) + (39,7-47,271) * (0, 9-1,147) + (35,1-47,271) * (0,88-1,147))] / 7 = 11,439 / 7 = 1,634
Відповідь: 1,634
Завдання 3.
Визначити вибіркову дисперсію для ряду даних про споживання м'яса (в кг на душу населення в рік).
69 | 60 | 69 | 57 | 55 | 51 | 50 |
Рішення:
1. Визначимо кількість спостережень: n = 7
2. Визначимо вибіркове середнє:
х = (1 * (69 +60 +69 +57 +55 +51 +50)) / 7 = 411 / 7 = 58,714
3. Запишемо формулу для визначення варіації:
Var (x) = 1 / n Σ n i = 1 (x i - x) 2
4. Визначимо варіацію:
Var = (1 * (69-58,714) ^ 2 + (60-58,714) ^ 2 + (69-58,714) ^ 2 + (57-58,714) ^ 2 + (55-58,714) ^ 2 + (51-58,714) ^ 2 + (50-58,714) ^ 2) / 7 = 365,429 / 7 = 52,204
Відповідь: 52,204
Завдання 4.
Оцінити параметри передбачуваної лінійної залежності обсягів виробництва м'яса за поголів'ям худоби, якщо:
х (виробництво м'яса) = 6,8
y (поголів'я худоби) = 47,3
Cov = 11,2
Var = 56,9
Оцінити параметри
Рішення:
1. b = Cov (x; y) / Var (x)
b = 11,2 / 56,9
b = 0,196
2. a = y - bx
a = 47,3 - 0,196 * 6,8
a = 45,968
3. y = 45,968 + 0,196 x
Завдання 5.
Визначити залишок у 1-му спостереження, якщо рівняння регресії має вигляд:
y = 0,20 x - 2,24
57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 |
Рішення:
1. Вибір № спостережень: i = 1
2. х i = 57
3. y i = 8,37
4. Обчислимо:
y *= 0,20 x - 2,24
y *= 0,20 x 1 - 2,24
y *= 0,20 * 57 - 2,24
y *= 9,16
5. Визначимо залишок у 1-му спостереження:
g i = y i - x i
g 1 = 8,37 - 9,16
g 1 = - 0,79
Відповідь: - 0,79
Завдання 6.
Для рядів 1,2 рівняння регресії y = 0,20 - 2,24 (завдання 5), знайти непоясненим суму квадратів відхилень.
57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 |
Рішення:
1. Визначимо число спостережень: n = 7
2. Обчислимо: y i = a + bx i, отримаємо
y 1 * = 0,20 * 57 - 2,24, y 1 * = 9,16
y 2 * = 0,20 * 54,7 - 2,24, y 2 * = 8,7
3. Визначимо залишки:
g 1 = 8,37 - 9,16, g 1 = - 0,79
g 2 = 8,26 - 8,7, g 2 = - 0,44
4. Визначимо RSS для 1 і 2 ряди:
RSS = Σ n i = 1 g i 2
RSS = (- 0,79) 2 + (-0,44) 2
RSS = 775, 2592
Відповідь: 0,8177
Завдання 7.
Визначити поясненню суму квадратів відхилень для рядів та рівняння регресії y = 0,20 - 2,24 (завдання 5).
57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 |
Рішення:
1. Визначимо число спостережень: n = 7
2. Обчислимо: y i = a + bx i, отримаємо
y 1 = 0,20 * 57 - 2,24, y 1 = 9,16
y 2 = 0,20 * 54,7 - 2,24, y 2 = 8,7
y 3 = 0,20 * 52,2 - 2,24, y 3 = 8,2
y 4 = 0,20 * 48,9 - 2,24, y 4 = 7,54
y 5 = 0,20 * 43,3 - 2,24, y 5 = 6,42
y 6 = 0,20 * 39,7 - 2,24, y 6 = 5,7
y 7 = 0,20 * 35,1 - 2,24, y 7 = 4,78
3. Визначимо вибіркове середнє y = 1 / n Σ n i = 1 * y i отримаємо:
y = (1 * (9,16 +8,7 +8,2 +7,54 +6,42 +5,7 +4,78)) / 7
y = 7,214
4. Обчислимо ESS:
ESS = Σ i = 1 n (y i * - y i) 2
ESS = (9,16 - 7,214) 2 + (8,7 - 7,214) 2 + (8,2 - 7,214) 2 + (7,54 - 7,214) 2 + (6,42 - 7,214) 2 + (5, 7 - 7,214) 2 + (4,78 - 7,214) 2
ESS = 15,921
Відповідь: 15,921
Завдання 8.
У завданнях 6 і 7 розраховані RSS і ESS. Визначити TSS і перевірити виконання співвідношення між цими 3-ма характеристиками.
RSS = 0,8177
ESS = 15,921
Рішення:
1. Розрахуємо загальну суму квадратів відхилень:
TSS = Σ i = 1 n (y i - y) 2
TSS = 12,016
у i | 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 | Σ = 46,91 | Σ / n = 6,701 |
(Y i - y) 2 | 2,784 | 2,429 | 0,654 | 0,010 | 0,831 | 1,881 | 3,428 | Σ = 12,016 |
TSS = ESS + RSS
TSS = 15,921 + 0,8177
TSS = 16,7387
16,7387 ≠ 12,016 - розбіжність значень.
Завдання 9.
Для розрахованого рівняння регресії визначена ESS = 15,37 / Знайти коефіцієнт детермінації, якщо TSS = 16,21.
Знайти: R 2 =?
Рішення:
1. Визначимо коефіцієнт детермінації:
R 2 = ESS / TSS
R 2 = 15,37 / 16,21
R 2 = 0,948
Відповідь: 0,948
Задача 10
Визначити вибіркову кореляцію між 2-ма величинами, якщо коваріація становить 11,17, варіація першого ряду становить 59,86, а другого 2,32.
Cov (x, y) = 11,17
Var (x) = 59,86
Var (y) = 2,32
Знайти: Z xy -?
Рішення:
1. Запишемо формулу для визначення вибіркової кореляції:
Z xy = Cov 2 (x, y) / √ Var (x) * Var (y)
2. Обчислимо вибіркову кореляцію:
Z xy = (11,17) 2 / √ 59,86 * 2,32
Z xy = 124,769 / 11,785
Z xy = 10,588
Відповідь: 10,588
Завдання 2.2
Завдання 1.
Виробництво х1 | 30,8 | 34,3 | 38,3 | 37,7 | 33,8 | 39,9 | 38,7 | 37,0 | 31,4 |
Імпорт х2 | 1,1 | 1,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,33 |
Споживання у | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18,0 | 18,3 | 18,5 | 19,1 | 18,0 |
Рішення:
1. Визначимо число спостережень: n = 9
2. Знайдемо вибіркове середнє для рядів: х = 1 / n Σ n i = 1 * x i
х 1 = (1 * (30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9
х 1 = 35,767
х 2 = (1 * (1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9
х 2 = 0,414
у = (1 * (15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9
у = 17,844
3. Розрахуємо Var для рядів: Var = 1 / n Σ n i = 1 * (x i - x i) 2
(X 1 - x 1) | -4,967 | -1,467 | 2,533 | 1,933 | -1,967 | 4,133 | 2,933 | 1,233 | -4,367 | Σ = 87,120 Σ / n = 9,680 |
(X 1 - x 1) 2 | 24,668 | 2,151 | 6,418 | 3,738 | 3,868 | 17,084 | 8,604 | 1,521 | 19,068 | |
(X 2 - x 2) | 0,686 | 0,786 | -0,014 | -0,214 | -0,314 | -0,314 | -0,314 | -0,214 | -0,084 | Σ = 1,483 Σ / n = 0,165 |
(X 2 - x 2) 2 | 0,470 | 0,617 | 0,000196 | 0,046 | 0,099 | 0,099 | 0,099 | 0,046 | 0,007 | |
(Y - y) | -2,144 | -1,144 | -0,344 | 0,956 | 0,156 | 0,456 | 0,656 | 1,256 | 0,156 | Σ = 9,202 Σ / n = 1,022 |
(Y-y) 2 | 4,599 | 1,310 | 0,119 | 0,913 | 0,024 | 0,208 | 0,430 | 1,576 | 0,024 |
(X 1-x 1) (yy) | 10,651 | 1,679 | -0,873 | 1,847 | 1,923 | 1,549 | -0,679 | Σ = 17,673 | Σ / n = 1,964 |
(X 2-x 2) (yy) | -1,470 | -0,899 | 0,005 | -0,205 | -0,206 | -0,269 | -0,013 | Σ = -3,250 | Σ / n = -0,361 |
(X 1-x 1) (x 2-x 2) | -3,405 | -1,152 | -0,037 | -0,415 | -0,922 | -0,264 | 0,369 | Σ = -6,508 | Σ / n = -0,723 |
Var 2 = 0,165 Cov 2 = -0,361
Var 3 = 1,022 Cov 3 = -0,723
Завдання 2.
Визначити коефіцієнти при пояснюють змінних, для лінійної регресії, що відбивають залежність споживання картоплі від його виробництва та імпорту, використовуючи дані з завдання 1.
Знайти: b 1,2 =?
Рішення:
1. Визначимо Var рядів пояснюють змінних:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
2. Визначимо Cov:
Cov (x 1; в) = 1,964
Cov (х 2; в) = -0,361
Cov (х 1; х 2) = -0,723
3. Обчислимо b 1 і b 2 по формулам:
b 1 = Cov (x 1; у) * Var (х 2) - Cov (х 2; у) * Cov (х 1; х 2) / Var (х 1) * Var (х 2) - (Cov (х 1; х 2)) 2
b 2 = Cov (х 2; у) * Var (х 1) - Cov (x 1; у) * Cov (х 1; х 2) / Var (х 1) * Var (х 2) - (Cov (х 1; х 2)) 2
b 1 = (1,964 * 0,165) - (-0,361 *- 0,723) / (9,680 * 0,165) - (-0,723) 2
b 1 = 0,059
b 2 = (-0,361 * 9,680) - (1,964 *- 0,723) / (9,680 * 0,165) - (-0,723) 2
b 2 = - 1,931
Відповідь: 0,059; - 1,931
Завдання 3.
Розрахувати коефіцієнт А для регресії, що відображає залежність споживання картоплі від його виробництва та імпорту (ісп. Дані з задачі 1 і 2)
Знайти: а =?
Рішення:
1. визначимо середні значення:
х 1 = 35,767 х 2 = 0,414 у = 17,844
2. Визначимо коефіцієнти b 1 і b 2:
b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
3. Обчислимо значення коефіцієнта а: а = у - b 1 x 1 - b 2 x 2
a = 17,844 - 0,059 * 35,767 - (-1,931 * 0,414)
a = 16,533
Відповідь: 16,533
Завдання 4.
Розрахувати значення особистого споживання картоплі, використовуючи отримані в задачі 2 і 3 коефіцієнти регресії.
Рішення:
1. Визначимо коефіцієнти b 1 і b 2:
b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
2. Визначимо коефіцієнт а:
а = 16,533
3. Визначимо вектор регресійного значення за формулою:
[Х *] = а + b 1 [x 1] + b 2 [x 2]
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
[Х *] | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,33 | 17,748 |
Завдання 5.
Розрахувати загальну, поясненню і не пояснення суму квадратів відхилень для розрахованої раніше регресії за споживанням картоплі.
Знайти: RSS, TSS, ESS -?
Рішення:
1. Визначимо средненаблюдаемое в і середньо розрахункове у * незалежних змінних:
Споживання у | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 19,1 | 18 | Σ = 160,6 | Σ / n = 17,84 |
у * | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,330 | 17,748 | Σ = 160,6 | Σ / n = 17,84 |
2. Визначимо загальну суму квадратів відхилень за формулою:
TSS = Σ i = 1 n (y i - y) 2
TSS = 9,202
3. Визначимо поясненню суму квадратів відхилень за формулою:
ESS = Σ i = 1 n (y i - y *) 2
ESS = 7,316
4. Визначимо не пояснене суму квадратів відхилень за формулою:
RSS = Σ i = 1 n (y i - y *) 2
RSS = 1,882
Відповідь: 9,202; 7,316; 1,882
Завдання 6.
Обчислити коефіцієнт детермінації, використовуючи дані з завдання 5
Знайти: R-?
Рішення:
1. Обчислимо TSS і ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Знайдемо R 2 за формулою:
R 2 = ESS / TSS
R 2 = 7,316 / 9,202
R 2 = 0,795
Відповідь: 0,795
Завдання 7.
Для оцінки можливої мультіколлініарності, розрахувати Коеффіц. кореляції між рядами даних (завдання 1).
Рішення:
1. Знайдемо Var:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
2. Знайдемо Cov:
Cov (х 1; х 2) = -0,723
3. Розрахуємо коефіцієнт кореляції:
r (x 1; х 2) = Cov (х 1; х 2) / √ Var (х 1) - Var (х 2)
r (x 1; х 2) = -0,723 / 3,085
r (x 1; х 2) = - 0,234
Відповідь: - 0,234
Завдання 8.
Визначити незміщене оцінку дисперсії випадкового члена регресії для споживання картоплі.
Знайти: S u 2 (u) -?
Рішення:
1. Знайдемо RSS:
RSS = 1,882
2. Знайдемо число ступенів вибірки
k = nm-1
k = 9-2-1
k = 6
3. Знайдемо незміщене оцінку випадкового члена:
S u 2 (u) = RSS / nm-1
S u 2 (u) = 1,882 / 9-2-1
S u 2 (u) = 0,3136
Відповідь: 0,3136
Завдання 9.
Розрахувати стандартні помилки оцінок коефіцієнта при об'ясняющ. змінних для моделі множин. регресії за споживанням картоплі.
Знайти: С.О. (b 1), CO (b 2) -?
Рішення:
1. Знайдемо дисперсію випадкового члена:
S u 2 (u) = 0,3136
2. Знайдемо Var:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
3. Знайдемо Коеффіц. кореляції:
r (x 1; х 2) = - 0,234
4. Обчислимо стандартні помилки С.О. (b 1), CO (b 2):
С.О. (b 1) = (√ (S u 2 (u) / n * Var (х 1)) * (1/1- r 2 (x 1; х 2))
С.О. (b 1) = (√ (0,3136 / 9 * 9,680)) * (1/1- (- 0,234))
CO (b 2) = (√ (S u 2 (u) / n * Var (х 2)) * (1/1- r 2 (x 1; х 2))
CO (b 2) = (√ (0,3136 / 9 * 0,165)) * (1/1- (- 0,234))
С.О. (b 1) = 0,0486
CO (b 2) = 0,3724
Відповідь: 0,0486; 0,3724.
Завдання 10.
Розрахувати статистику Дарбіна-Уотсона.
Знайти: DW -?
Рішення:
1. Визначимо залишки в спостереженнях:
e k = y k - y * k; k = (1: n)
(E k-e k - 1) 2 = 4,562
e k 2 = 1,882
2. Обчислимо статистику Дарбіна-Уотсона:
DW = Σ (e k-e k - 1) 2 / Σ e k 2
DW = 2,424
DW> 2
Відповідь: тому що DW> 2, то автокорреляция негативна.
Завдання 3.2
Завдання 1.
Розрахувати вибіркове середнє для ряду даних з особистих споживчих витрат на косметику (млрд. крб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Знайти: а
Рішення:
1. Запишемо формулу: a = 1 / N * Σ N t = 1 * x (t)
2. Обчислимо:
а = 1 * (5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4) / 10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Відповідь: 7,02 (млрд. руб.)
Завдання 2.
Розрахувати вибіркову дисперсію за даними задачі 1.
Знайти: σ =?
Рішення:
1. а = 7,02
2. Запишемо формулу для обчислення дисперсії: σ 2 = 1 / N * Σ N t = 1 x (t)-a
3. Обчислимо:
σ = 3,676
Відповідь: 3,676
Завдання 3.
Знайти оцінку коваріації для τ = 0,1,2 (використовуючи дані з завдання 1)
Σ τ (0) = 3,676
Σ τ (1) = 2,552
Σ τ (2) = 1,313
ρ (τ) = 1 / (N-τ) Σ t = 1 N - τ (x (t)-в) * (x (t +1)-в)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Відповідь: 0,367; 0,283; 0,164.
Завдання 4.
Розрахувати вибіркову автокореляції для τ = 1,2, використовуючи дані з задачі 1
Знайти: r =? для τ = 1,2
Рішення:
1. Знайдемо τ = 0,1,2
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
2. Розрахуємо вибіркову автокореляції для τ = 1,2, за формулою:
r (τ) = ρ (τ) / τ (0)
r (1) = 0,283 / 0,367
r (1) = 0,771
r (2) = 0,164 / 0,367
r (2) = 0,446
Відповідь: 0,771; 0,446
Завдання 5.
Розрахувати вибіркову приватну автокореляції 1-го порядку, використовуючи дані з завдання 1.
Знайти: r приватна (2) =?
Рішення:
1. Знайдемо вибіркову автокореляції
r (1) = 0,771
r (2) = 0,446
2. Розрахуємо вибіркову приватну автокореляції 1-го порядку:
r приватна (2) = r (2) - r 2 (1) / 1 - r 2 (1)
r приватна (2) = 0,446 - (0,771) 2 / 1 - (0,771) 2
r приватна (2) = - 0,365
Відповідь: - 0,365
Завдання 6.
За допомогою критерію заснованого на медіані, перевірити гіпотезу про незмінність середнього значення часового ряду:
Рішення:
1. Визначимо число спостережень: n = 15
2. Отранжеруем тимчасові ряди в порядку зростання:
6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Обчислимо медіану:
n = 15;
х мед = n +1 / 2 = 15 +1 / 2
x мед = 8
x мед = 6500
4. Створюємо ряд з + і -, у відповідність з правилом:
якщо х (i) <х мед, то +; якщо х (i)> х мед, то -.
5. Визначимо загальне число серій:
v (15) = 6
6. Протяжність найдовшою серії:
τ (20) = 3
7. Перевіримо нерівності:
v (n)> (1 / 2 * (n +2) -1,96 * √ n-1)
v (n) = (1 / 2 * (15 +2) - 1,96 * √ 15-1)
v (n) = 1,166
6> 1 - виконується
τ (n) <(1,43 * ln (n +1))
τ (n) <(1,43 * ln (15 +1))
τ (n) = 3,96
3 <3,96 - виконується
Так як виконуються обидва нерівності, гіпотеза про незмінність середнього значення часового ряду приймається.
Відповідь: гіпотеза приймається.
(Y i - y) 2 | 4,60 | 1,31 | 0,12 | 0,91 | 0,21 | 0,43 | 1,58 | 0,02 | Σ = 9,202 |
ESS = Σ i = 1 n (y i - y *) 2
ESS = 7,316
(Y i - y *) 2 | 2,614 | 2,571 | 0,031 | 0,279 | 0,241 | 0,724 | 0,609 | 0,237 | 0,009 | Σ = 7,316 |
RSS = Σ i = 1 n (y i - y *) 2
RSS = 1,882
(Y i - y *) 2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 | 0,063 | Σ = 1,882 |
Завдання 6.
Обчислити коефіцієнт детермінації, використовуючи дані з завдання 5
Знайти: R-?
Рішення:
1. Обчислимо TSS і ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Знайдемо R 2 за формулою:
R 2 = ESS / TSS
R 2 = 7,316 / 9,202
R 2 = 0,795
Відповідь: 0,795
Завдання 7.
Для оцінки можливої мультіколлініарності, розрахувати Коеффіц. кореляції між рядами даних (завдання 1).
Рішення:
1. Знайдемо Var:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
2. Знайдемо Cov:
Cov (х 1; х 2) = -0,723
3. Розрахуємо коефіцієнт кореляції:
r (x 1; х 2) = Cov (х 1; х 2) / √ Var (х 1) - Var (х 2)
r (x 1; х 2) = -0,723 / 3,085
r (x 1; х 2) = - 0,234
Відповідь: - 0,234
Завдання 8.
Визначити незміщене оцінку дисперсії випадкового члена регресії для споживання картоплі.
Знайти: S u 2 (u) -?
Рішення:
1. Знайдемо RSS:
RSS = 1,882
2. Знайдемо число ступенів вибірки
k = nm-1
k = 9-2-1
k = 6
3. Знайдемо незміщене оцінку випадкового члена:
S u 2 (u) = RSS / nm-1
S u 2 (u) = 1,882 / 9-2-1
S u 2 (u) = 0,3136
Відповідь: 0,3136
Завдання 9.
Розрахувати стандартні помилки оцінок коефіцієнта при об'ясняющ. змінних для моделі множин. регресії за споживанням картоплі.
Знайти: С.О. (b 1), CO (b 2) -?
Рішення:
1. Знайдемо дисперсію випадкового члена:
S u 2 (u) = 0,3136
2. Знайдемо Var:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
3. Знайдемо Коеффіц. кореляції:
r (x 1; х 2) = - 0,234
4. Обчислимо стандартні помилки С.О. (b 1), CO (b 2):
С.О. (b 1) = (√ (S u 2 (u) / n * Var (х 1)) * (1/1- r 2 (x 1; х 2))
С.О. (b 1) = (√ (0,3136 / 9 * 9,680)) * (1/1- (- 0,234))
CO (b 2) = (√ (S u 2 (u) / n * Var (х 2)) * (1/1- r 2 (x 1; х 2))
CO (b 2) = (√ (0,3136 / 9 * 0,165)) * (1/1- (- 0,234))
С.О. (b 1) = 0,0486
CO (b 2) = 0,3724
Відповідь: 0,0486; 0,3724.
Завдання 10.
Розрахувати статистику Дарбіна-Уотсона.
Знайти: DW -?
Рішення:
1. Визначимо залишки в спостереженнях:
e k = y k - y * k; k = (1: n)
y (k) | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 18,3 | 18,5 | 19,1 |
y (k) * | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,330 |
e (k) | -0,526 | 0,461 | -0,520 | 0,429 | -0,334 | -0,394 | -0,123 | 0,770 |
ek-e (k-1) | -0,987 | 0,981 | -0,949 | 0,763 | 0,060 | -0,271 | -0,893 | 0,519 |
ek-e (k-1) ^ 2 | 0,973 | 0,962 | 0,901 | 0,582 | 0,004 | 0,073 | 0,798 | 0,269 |
e (k) ^ 2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 |
e k 2 = 1,882
2. Обчислимо статистику Дарбіна-Уотсона:
DW = Σ (e k-e k - 1) 2 / Σ e k 2
DW = 2,424
DW> 2
Відповідь: тому що DW> 2, то автокорреляция негативна.
Завдання 3.2
Завдання 1.
Розрахувати вибіркове середнє для ряду даних з особистих споживчих витрат на косметику (млрд. крб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Знайти: а
Рішення:
1. Запишемо формулу: a = 1 / N * Σ N t = 1 * x (t)
2. Обчислимо:
а = 1 * (5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4) / 10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Відповідь: 7,02 (млрд. руб.)
Завдання 2.
Розрахувати вибіркову дисперсію за даними задачі 1.
Знайти: σ =?
Рішення:
1. а = 7,02
2. Запишемо формулу для обчислення дисперсії: σ 2 = 1 / N * Σ N t = 1 x (t)-a
3. Обчислимо:
х (t) | 5,9 | 6,3 | 6,6 | 6,8 | 7 | 7,1 | 7,4 | 7,9 | 7,8 |
х (t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 | 0,780 |
(X (t)-a) 2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,0004 | 0,006 | 0,144 | 0,774 | 0,608 |
Відповідь: 3,676
Завдання 3.
Знайти оцінку коваріації для τ = 0,1,2 (використовуючи дані з завдання 1)
х (t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 |
(X (t)-a) ^ 2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,000 | 0,006 | 0,144 | 0,774 |
(X (t)-a) * (х (t +1)-a) | 0,8064 | 0,3024 | 0,0924 | 0,0044 | -0,0016 | 0,0304 | 0,3344 | 0,6864 |
(X (t)-a) * (х (t +2)-a) | 0,4704 | 0,1584 | 0,0084 | -0,0176 | -0,0076 | 0,0704 | 0,2964 | 0,3344 |
Σ τ (1) = 2,552
Σ τ (2) = 1,313
ρ (τ) = 1 / (N-τ) Σ t = 1 N - τ (x (t)-в) * (x (t +1)-в)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Відповідь: 0,367; 0,283; 0,164.
Завдання 4.
Розрахувати вибіркову автокореляції для τ = 1,2, використовуючи дані з задачі 1
Знайти: r =? для τ = 1,2
Рішення:
1. Знайдемо τ = 0,1,2
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
2. Розрахуємо вибіркову автокореляції для τ = 1,2, за формулою:
r (τ) = ρ (τ) / τ (0)
r (1) = 0,283 / 0,367
r (1) = 0,771
r (2) = 0,164 / 0,367
r (2) = 0,446
Відповідь: 0,771; 0,446
Завдання 5.
Розрахувати вибіркову приватну автокореляції 1-го порядку, використовуючи дані з завдання 1.
Знайти: r приватна (2) =?
Рішення:
1. Знайдемо вибіркову автокореляції
r (1) = 0,771
r (2) = 0,446
2. Розрахуємо вибіркову приватну автокореляції 1-го порядку:
r приватна (2) = r (2) - r 2 (1) / 1 - r 2 (1)
r приватна (2) = 0,446 - (0,771) 2 / 1 - (0,771) 2
r приватна (2) = - 0,365
Відповідь: - 0,365
Завдання 6.
За допомогою критерію заснованого на медіані, перевірити гіпотезу про незмінність середнього значення часового ряду:
1 | 6200 | - |
2 | 6300 | - |
3 | 6400 | - |
4 | 6600 | + |
5 | 6400 | - |
6 | 6500 | не розглядаємо |
7 | 6600 | + |
8 | 6700 | + |
9 | 6500 | не розглядаємо |
10 | 6700 | + |
11 | 6600 | + |
12 | 6600 | + |
13 | 6300 | - |
14 | 6400 | - |
15 | 6000 | - |
1. Визначимо число спостережень: n = 15
2. Отранжеруем тимчасові ряди в порядку зростання:
6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Обчислимо медіану:
n = 15;
х мед = n +1 / 2 = 15 +1 / 2
x мед = 8
x мед = 6500
4. Створюємо ряд з + і -, у відповідність з правилом:
якщо х (i) <х мед, то +; якщо х (i)> х мед, то -.
5. Визначимо загальне число серій:
v (15) = 6
6. Протяжність найдовшою серії:
τ (20) = 3
7. Перевіримо нерівності:
v (n)> (1 / 2 * (n +2) -1,96 * √ n-1)
v (n) = (1 / 2 * (15 +2) - 1,96 * √ 15-1)
v (n) = 1,166
6> 1 - виконується
τ (n) <(1,43 * ln (n +1))
τ (n) <(1,43 * ln (15 +1))
τ (n) = 3,96
3 <3,96 - виконується
Так як виконуються обидва нерівності, гіпотеза про незмінність середнього значення часового ряду приймається.
Відповідь: гіпотеза приймається.