Академія Росії
Кафедра Фізики
Лекція: "Потужності гармонійних коливань в ЕЦ"
Орел-2009
виникає гармонійний струм:
При згодному виборі напрямів відліку напруги і струму миттєва потужність у цьому ланцюзі визначається виразом:
Якщо в цій рівності замінити твір тригонометричних функцій їх сумою, то з виразу:
випливає, що в режимі ГК миттєва потужність споживана ланцюгом, містить постійну складову, щодо якої вона зазнає періодичні коливання з частотою 2w.
Позитивним значенням миттєвої потужності відповідає споживання ланцюгом електричної енергії. Негативні ж її значення свідчить про те, що в даний момент ланцюг не споживає, а віддає електричну енергію. У ЕЦ містять реактивні (пасивні) елементи це можливо за рахунок енергії, запасеної в магнітному (L) і (або) електричних (С) полях даних елементів протягом попередньої частини періоду коливань, коли значення миттєвої потужності були позитивні. У ТЕЦ широко використовується поняття середньої або активної потужності. Стосовно до розглянутого режиму ЦК це постійна складова останнього виразу:
Тут
У пасивної ЕЦ середня потужність не може приймати від'ємних значень, інакше порушувався б принцип збереження енергії
Для періодичних, і зокрема, ГК середня потужність визначається як відношення енергії за період до величини цього періоду:
Середня потужність належить до усереднених, тобто статистичних характеристик коливальних процесів. У ЕЦ до них же належать і среднеквадратические значення напруг і струмів.
Підставляючи в ці вирази гармонійні напруги і струм, знаходимо:
U і I - називають чинними (ефективними) значеннями напруги і струму ГК.
Якщо перейти від амплітуд коливань до їх діючим значенням, то для середньої потужності споживаної пасивним двополюсників знаходиться типове вираження:
Чинне значення напруги і струму на вході двухполюсника пов'язані залежністю:
Т. к.
У цих висловлюваннях квадрат діючого значення струму
Тоді
Отже, середня потужність, споживана двополюсників, дорівнює дійсної частини твору комплексного напруги на вході двухполюсника та комплексної величини, пов'язаної з комплексним струмом, що проходить через вхідні затискачі двухполюсника.
Приклад: визначити середню потужність ГК при
Знайдемо комплексно спряжений струм
Розглянемо твір види:
Сума
Дійсна частина комплексної потужності
Уявна частина комплексної потужності
Твір діючих значень напруги і струму - називається повною чи здавалося б потужністю
Повна і реактивна потужності оцінюються в вольт - амперах.
Реактивна потужність може приймати як позитивні, так і негативні значення. Для елемента індуктивності
Для елемента ємності, реактивна потужність негативна. Зв'язок повної, середньої і реактивної потужностей визначається співвідношенням
Значення середньої потужності та повної потужності рівні, якщо
Проблема підвищення значення "косинуса Фu" (коефіцієнт потужності) є однією з найважливіших проблем енергетики. Це й зрозуміло, т.к якщо
Оскільки комплексні напруги і струми завжди задовольняють законам Кірхгофа, то до них застосовується теорема Теледжена, згідно з якою:
*
Тут можна ввести поняття умов балансу потужностей. Ці умови можуть використовуватися для перевірки рішень завдань аналізу режиму ГК символічним методом.
Висновок: визначення необхідних значень потужностей ГК в ЕЦ дозволяє здійснити інженерний аналіз результатів розрахунку на їх правильність виконання й оцінити енергетичну ефективність всієї ЕЦ або її ділянки.
Знайдемо такі значення активної R і реактивної Х складової складових комплексного опору пасивної навантаження генератора
Рис. 1.
Відповідно до закону Ома струм IH у навантаженні з комплексним опором буде:
При цьому в навантаженні ланцюга виділяється середня потужність:
Значення середньої потужності змінюється в широких межах зі зміною опору навантаження. Потужність максимальна, якщо
Ця умова здійснимо, оскільки реактивна складова опору навантаження, тобто двухполюсника, може приймати як позитивні, так і негативні значення. Тоді
Подальша задача зводиться до дослідження цієї залежності як функції від змінного RH.
Очевидно, що значення функції звертається в нуль при RH = 0 і
Примітка:
Отже, в режимі ГК генератор розвиває максимальну потужність в навантаженні, комплексне опір якої
Поєднане з комплексним внутрішнім опором генератора
Навантаження, що задовольняє умовам
Значення максимально можливої середньої потужності, яку може розвинути генератор на навантаженні можна показати на малюнку 2.
Рис.2.
На малюнку суцільною лінією наведено графік залежності середньої потужності від співвідношення
В енергетичних системах де надзвичайно важливий високий ККД, прагнуть до того, щоб
Однак, слід звернути увагу на те, що при такому режимі використання генератора значне зменшення RH призводить до небезпечного (аварійному підвищенню потужності, що витрачається у самому генераторі).
З метою зв'язку часто ZH вибирають рівних Z0, тобто
У цьому випадку говорять, що генератор навантажений узгоджено, а опір навантаження називають узгодженою.
Схема генератора, навантаженого узгоджено, показана на малюнку 3. При узгодженому навантаженні
Рис. 3.
Це по суті умова забезпечення неспотвореної передачі форми сигналів.
При узгодженому навантаженні повна, а тим більше середня потужність буде менше або дорівнює максимально можливій середньої потужності, т.к Pcp. max виходить при X0 = 0. При чисто активному опорі генератора, що типово для радіотехнічних пристроїв, поняття узгодженої та сполученої навантаження не розрізняються.
Висновок: Т.О., у разі генератора з активним внутрішнім опором узгоджене включення і максимально можлива середня потужність в навантаженні досягається за умови рівності опору навантаження внутрішньому опору генератора гармонійних коливань.
З курсу фізики відомо, що якщо дві котушки мають індуктивний зв'язок (рисунок 4, а),
,
а) б) в)
Рис. 4
то напруга на затискачах однієї з цих котушок представляє собою результат накладання двох складових: напруги самоіндукції і напруги взаємоіндукції, тобто
Знаки
При ГК від миттєвих значень напруг і струмів можна перейти до комплексних амплітудах. Тоді отримаємо:
Звідси випливає, що за наявності взаємної індуктивності, в рівняннях контурних струмів необхідно враховувати складові виду
В якості прикладу складемо систему контурних рівнянь для ланцюга, схема якої зображена на малюнку 5 по МКТ.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис.5.
Складові
В окремому випадку індуктивно пов'язані котушки можуть перебувати в одному контурі. Наприклад, нехай послідовно з'єднані дві котушки з індуктивностями L1 і L2, виконані на загальних сердечнику. Еквівалентна індуктивність такого з'єднання визначається за схемою малюнок 6 а.
Рис. 6.
Рівняння контурного струму для цього випадку складається з урахуванням того, що по обидва котушкам протікає один і той же струм:
При згодному включення котушок (рисунок 6, б) маємо:
Якщо вважати
Для випадку однакових котушок і жорсткого зв'язку еквівалентна індуктивність виявляється рівною нулю.
Перехід від узгодженого до зустрічного включенню може бути здійснено в тому випадку, якщо змінюється положення однієї котушки відносно іншої. Цей принцип використовується в варіометра, які влаштовані так, що рухома котушка може повертатися відносно нерухомої і тоді змінюється не тільки значення М, а й характер включення. У результаті індуктивність варіометра може плавно змінитися від значення:
Висновок: розглянуті приклади показують, що метод контурних струмів дозволяє зробити аналіз ЕЦ при наявності індуктивних зв'язків.
Аналіз складних ЕЦ в режимі ГК істотно спрощується при використанні символічного методу аналізу застосуванням відомих методів розрахунку резистивних ланцюгів. Відмінність полягає лише в написанні символів.
2. Бакалов В.П. та ін Теорія електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998. (Підручник);
3. Качанов М.С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воен. издат., 1974. (Підручник);
4. В.П. Попов Основи теорії ланцюгів - М.: Вища школа, 2000. (Підручник)
Кафедра Фізики
Лекція: "Потужності гармонійних коливань в ЕЦ"
Орел-2009
Миттєва, середня і повна потужності ГК
Нехай в ЕЦ під впливом гармонійної напруги:виникає гармонійний струм:
При згодному виборі напрямів відліку напруги і струму миттєва потужність у цьому ланцюзі визначається виразом:
Якщо в цій рівності замінити твір тригонометричних функцій їх сумою, то з виразу:
випливає, що в режимі ГК миттєва потужність споживана ланцюгом, містить постійну складову, щодо якої вона зазнає періодичні коливання з частотою 2w.
Позитивним значенням миттєвої потужності відповідає споживання ланцюгом електричної енергії. Негативні ж її значення свідчить про те, що в даний момент ланцюг не споживає, а віддає електричну енергію. У ЕЦ містять реактивні (пасивні) елементи це можливо за рахунок енергії, запасеної в магнітному (L) і (або) електричних (С) полях даних елементів протягом попередньої частини періоду коливань, коли значення миттєвої потужності були позитивні. У ТЕЦ широко використовується поняття середньої або активної потужності. Стосовно до розглянутого режиму ЦК це постійна складова останнього виразу:
Тут
У пасивної ЕЦ середня потужність не може приймати від'ємних значень, інакше порушувався б принцип збереження енергії
Для періодичних, і зокрема, ГК середня потужність визначається як відношення енергії за період до величини цього періоду:
Середня потужність належить до усереднених, тобто статистичних характеристик коливальних процесів. У ЕЦ до них же належать і среднеквадратические значення напруг і струмів.
Підставляючи в ці вирази гармонійні напруги і струм, знаходимо:
U і I - називають чинними (ефективними) значеннями напруги і струму ГК.
Якщо перейти від амплітуд коливань до їх діючим значенням, то для середньої потужності споживаної пасивним двополюсників знаходиться типове вираження:
Чинне значення напруги і струму на вході двухполюсника пов'язані залежністю:
Т. к.
У цих висловлюваннях квадрат діючого значення струму
Тоді
Отже, середня потужність, споживана двополюсників, дорівнює дійсної частини твору комплексного напруги на вході двухполюсника та комплексної величини, пов'язаної з комплексним струмом, що проходить через вхідні затискачі двухполюсника.
Приклад: визначити середню потужність ГК при
Знайдемо комплексно спряжений струм
Розглянемо твір види:
Сума
Дійсна частина комплексної потужності
Уявна частина комплексної потужності
Твір діючих значень напруги і струму - називається повною чи здавалося б потужністю
Повна і реактивна потужності оцінюються в вольт - амперах.
Реактивна потужність може приймати як позитивні, так і негативні значення. Для елемента індуктивності
Для елемента ємності, реактивна потужність негативна. Зв'язок повної, середньої і реактивної потужностей визначається співвідношенням
Значення середньої потужності та повної потужності рівні, якщо
Проблема підвищення значення "косинуса Фu" (коефіцієнт потужності) є однією з найважливіших проблем енергетики. Це й зрозуміло, т.к якщо
Оскільки комплексні напруги і струми завжди задовольняють законам Кірхгофа, то до них застосовується теорема Теледжена, згідно з якою:
*
Тут можна ввести поняття умов балансу потужностей. Ці умови можуть використовуватися для перевірки рішень завдань аналізу режиму ГК символічним методом.
Висновок: визначення необхідних значень потужностей ГК в ЕЦ дозволяє здійснити інженерний аналіз результатів розрахунку на їх правильність виконання й оцінити енергетичну ефективність всієї ЕЦ або її ділянки.
2. Умови передачі максимуму середньої потужності від генератора до навантаження
Нехай дано джерело ЦК (генератор) з параметрами:Знайдемо такі значення активної R і реактивної Х складової складових комплексного опору пасивної навантаження генератора
Рис. 1.
Відповідно до закону Ома струм IH у навантаженні з комплексним опором буде:
При цьому в навантаженні ланцюга виділяється середня потужність:
Значення середньої потужності змінюється в широких межах зі зміною опору навантаження. Потужність максимальна, якщо
Ця умова здійснимо, оскільки реактивна складова опору навантаження, тобто двухполюсника, може приймати як позитивні, так і негативні значення. Тоді
Подальша задача зводиться до дослідження цієї залежності як функції від змінного RH.
Очевидно, що значення функції звертається в нуль при RH = 0 і
Примітка:
Отже, в режимі ГК генератор розвиває максимальну потужність в навантаженні, комплексне опір якої
Поєднане з комплексним внутрішнім опором генератора
Навантаження, що задовольняє умовам
Значення максимально можливої середньої потужності, яку може розвинути генератор на навантаженні можна показати на малюнку 2.
Рис.2.
На малюнку суцільною лінією наведено графік залежності середньої потужності від співвідношення
В енергетичних системах де надзвичайно важливий високий ККД, прагнуть до того, щоб
Однак, слід звернути увагу на те, що при такому режимі використання генератора значне зменшення RH призводить до небезпечного (аварійному підвищенню потужності, що витрачається у самому генераторі).
З метою зв'язку часто ZH вибирають рівних Z0, тобто
У цьому випадку говорять, що генератор навантажений узгоджено, а опір навантаження називають узгодженою.
Схема генератора, навантаженого узгоджено, показана на малюнку 3. При узгодженому навантаженні
Рис. 3.
Це по суті умова забезпечення неспотвореної передачі форми сигналів.
При узгодженому навантаженні повна, а тим більше середня потужність буде менше або дорівнює максимально можливій середньої потужності, т.к Pcp. max виходить при X0 = 0. При чисто активному опорі генератора, що типово для радіотехнічних пристроїв, поняття узгодженої та сполученої навантаження не розрізняються.
Висновок: Т.О., у разі генератора з активним внутрішнім опором узгоджене включення і максимально можлива середня потужність в навантаженні досягається за умови рівності опору навантаження внутрішньому опору генератора гармонійних коливань.
3. Особливості розрахунку ЕЦ з індуктивними зв'язками
Як зазначалося раніше, застосування різних методів розрахунку резистивних ЕЦ (МУН, МКТ, МН, МЕГ) справедливо і для режиму ГК з використанням методу комплексних амплітуд (МКА). Це знаходить своє застосування при розрахунках різних схем підсилювачів, генераторів і т.д. Зупинимося на деяких особливостях розрахунку ЕЦ з індуктивними зв'язками.З курсу фізики відомо, що якщо дві котушки мають індуктивний зв'язок (рисунок 4, а),
а) б) в)
Рис. 4
то напруга на затискачах однієї з цих котушок представляє собою результат накладання двох складових: напруги самоіндукції і напруги взаємоіндукції, тобто
Знаки
При ГК від миттєвих значень напруг і струмів можна перейти до комплексних амплітудах. Тоді отримаємо:
Звідси випливає, що за наявності взаємної індуктивності, в рівняннях контурних струмів необхідно враховувати складові виду
В якості прикладу складемо систему контурних рівнянь для ланцюга, схема якої зображена на малюнку 5 по МКТ.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
1 |
L |
2 |
L |
M |
1 |
R |
2 |
R |
1 |
C |
2 |
C |
0 |
m |
I |
& |
0 |
m |
I |
& |
1 |
m |
I |
& |
2 |
m |
I |
& |
Рис.5.
Складові
В окремому випадку індуктивно пов'язані котушки можуть перебувати в одному контурі. Наприклад, нехай послідовно з'єднані дві котушки з індуктивностями L1 і L2, виконані на загальних сердечнику. Еквівалентна індуктивність такого з'єднання визначається за схемою малюнок 6 а.
Рис. 6.
Рівняння контурного струму для цього випадку складається з урахуванням того, що по обидва котушкам протікає один і той же струм:
При згодному включення котушок (рисунок 6, б) маємо:
Якщо вважати
Для випадку однакових котушок і жорсткого зв'язку еквівалентна індуктивність виявляється рівною нулю.
Перехід від узгодженого до зустрічного включенню може бути здійснено в тому випадку, якщо змінюється положення однієї котушки відносно іншої. Цей принцип використовується в варіометра, які влаштовані так, що рухома котушка може повертатися відносно нерухомої і тоді змінюється не тільки значення М, а й характер включення. У результаті індуктивність варіометра може плавно змінитися від значення:
Висновок: розглянуті приклади показують, що метод контурних струмів дозволяє зробити аналіз ЕЦ при наявності індуктивних зв'язків.
Висновок
Від джерела в навантаження надходить найбільша середня потужність за умови, що коефіцієнтАналіз складних ЕЦ в режимі ГК істотно спрощується при використанні символічного методу аналізу застосуванням відомих методів розрахунку резистивних ланцюгів. Відмінність полягає лише в написанні символів.
Література, яка використовується для підготовки до лекції
1. Білецький А.Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986. (Підручник);2. Бакалов В.П. та ін Теорія електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998. (Підручник);
3. Качанов М.С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воен. издат., 1974. (Підручник);
4. В.П. Попов Основи теорії ланцюгів - М.: Вища школа, 2000. (Підручник)