Контрольна робота
Корідзе Р.А. ВНФ-503
Порядок і хаос
Упорядкованість і хаос ... Дві крайності, що спостерігаються в реальному світі. Чітка, підкоряється певному порядку зміна подій в навколишньому просторі і в часі - рух планет, обертання Землі, поява комети Галлея на горизонті, розмірений стукіт маятника, поїзди, що йдуть за розкладом. І, з іншого боку, хаотичне метання кульки в рулетці, броунівський рух частинки під випадковими ударами «сусідів», безладні вихори турбулентності, які утворюються при течії рідини з досить великою швидкістю.
До недавніх пір для будь-якої галузі техніки, для будь-якого виробництва було характерним прагнення організовувати роботу всіх апаратів і пристроїв в стійкому статичному режимі. Порядок, рівновагу, стійкість завжди вважалися, чи не головними технічними достоїнствами. Як тут не побоюватися зовнішнього безладу, невизначеності, хиткості, неминучих енергетичних втрат - цих обов'язкових супутників нерівноважності? Мабуть, в техніці сміливіше усіх виявилися будівельники, які зуміли подолати цей психологічний бар'єр і стали закладати в конструкції веж, висотних будівель, мостів елемент невизначеності - можливість здійснювати коливання. Невпорядковані процеси можуть приводити і до катастроф. Наприклад, при неправильному виборі профілю крил або хвостового оперення літаків у польоті може виникнути грізне явище - флаттер - поєднання крутильних та згинних невпорядкованих коливань. При досягненні певної швидкості польоту флаттер призводить до руйнування всієї конструкції, - свого часу це явище, виявилося, мабуть, самим серйозним перешкодою на шляху розвитку реактивної авіації. Згодом академік М.В. Келдиш розробив теорію нестійких коливань і методи боротьби з ними, і тільки його роботи дозволили впоратися з флатером шляхом загальмовування - демпфування - коливань. Завдяки такому демпфіруванню конструкції літаків ставали стійкими навіть у складних нестаціонарних умовах, характерних для аеродинаміки. Цікаво, що одна з монографій Келдиша, видана в 1945 році, називається «шиммі переднього колеса триколісного шасі». Шиммі - це американський різновид фокстроту, за законами якого і «танцює» колесо. Шиммі колеса літакових шасі при злетах і посадках теж призводило до самопорушувані нерегулярним коливань і в результаті - до руйнування літаків. На основі теорії Келдиша цей дефект було усунуто. Так фундаментальна наука в черговий раз продемонструвала свою практичну корисність.
У реальній природі протікає безліч хаотичних процесів, але ми не сприймаємо їх як хаос, і спостережуваний світ здається нам цілком стабільним. Наша свідомість, як правило, інтегрує, узагальнює інформацію, сприйняту органами почуттів, і тому ми не бачимо дрібних «тремтінь» - флуктуацій - у навколишній нас природі. Літак надійно тримається в повітряних турбулентних вихорах, і хоча вони невпорядковані пульсують, підйомну силу літака можна розрахувати з точністю до декількох кілограмів як деяку середню величину. З далекого космосу на Землю приходять сигнали від супутників і космічних об'єктів, і з гігантського моря хаотичних перешкод вдається «виловити» потрібну інформацію. Власне, вся радіофізика будується на «розбракуванню» за певними статистичними закономірностям корисних даних і шкідливих «шумів».
Як пов'язані між собою впорядковані і хаотичні явища і як сформулювати (змістовно і математично строго) правила, які описували б безперервний перехід від суворих чинних закономірностей до хаосу випадкового, і навпаки?
Класичний приклад такого двоїстого поведінки одного і того ж об'єкта, єдиної фізичної системи - це протягом рідини (див. рис. 1).
Рис. 1
Так виникає турбулентність. Циліндр обтекаєтся потоком рідини, наприклад, рухається в ній. Обтікання Зручно характеризувати «числом Рейнольдса» Re, яка пропорційна швидкості течії і радіусу циліндра. При малих числах Рейнольдса рідина плавно обтікає знаходиться в ній тіло, а потім, у міру того як швидкість течії зростає, в рідині утворюються вихори. Чим вище швидкість натікало потоку (більше число Рейнольдса), тим більше утворюється вихорів і тим складніше, заплутаніше стають траєкторії частинок рідини. При розвиненій турбулентності швидкість потоку позаду тіла пульсує непередбачуваним чином.
Спостерігаючи рухомий потік води в умовах, коли ми можемо регулювати його швидкість, наприклад, в руслі греблі або при русі глісера, ми можемо вловити поступовий перехід від сталого гладкого - ламінарного - течії до нерівного, пульсуючому, вихревому - турбулентному. При малих швидкостях рідина тече розмірено і плавно, як кажуть, стаціонарно. Коли ж швидкість течії зростає, в потоці починають утворюватися вихори, але і на цій стадії картина все ще залишається стаціонарною. У міру зростання швидкості вихри все більше захоплюються потоком, і виникає нестаціонарне перебіг. Вода несподівано закручується у вирах і взагалі веде себе так, як ніби з власної примхи кидається то туди, то сюди. Великі вихори породжують непередбачуване, невпорядкована стан, і, нарешті, структура потоку стає повністю турбулентної - хаотичною.
Чим же пояснити настільки сильне розходження між ламінарним та турбулентним течіями, в чому тут загадка? На жаль, незважаючи на безперервні зусилля великої кількості дослідників з різних країн, нікому ще не вдалося ні описати бурхливий, невпорядкована (такий переклад латинського слова turbulentus) турбулентний плин, ані знайти аналітично, тобто за допомогою формул, умови переходу до нього від ламінарного ( латинське lamina означає «платівка», «смужка»).
Але тоді виникає природне запитання: чому так важко описати хаотичне турбулентне поведінку рідини математично? Справа в тому, що деякі фізичні системи (насправді їх більшість) виявляються дуже «чуйними» - вони бурхливо реагують навіть на слабкі впливи. Такі системи називаються нелінійними, так як їх відгук непропорційний силі «обурює» впливу, а часто і взагалі непередбачуваний. Наприклад, якщо трохи підштовхнути камінь, що лежить на вершині скелі, то він покотиться вниз з невідомої заздалегідь траєкторії, і ефект від падіння каменя може бути набагато більше, ніж той вплив, якому він піддався. Іншими словами, слабкі збурювання його стану не затухають, а різко посилюються. Правда, камінь чутливий до слабких впливів, лише поки він на вершині скелі, проте існують фізичні системи, які так само бурхливо реагують на зовнішні збурення на протязі тривалого часу. Саме такі системи і виявляються хаотичними.
Так і при турбулентності - маленькі вихори-обурення, безперервно виникають в рідині, не розсмоктуються (як при ламінарному течії), а постійно наростають, поки весь рух води не придбає складний, заплутаний характер. Відповідно і опис цього руху надзвичайно складно: у турбулентного потоку занадто багато «ступенів свободи».
Як показує приклад турбулентності, поведінка нелінійної системи важко передбачити - вона «відгукується» на обурення свого стану вельми складним чином і, як правило, неоднозначно. Тому, щоб дослідити нелінійні процеси, зазвичай доводиться використовувати так званий «принцип лінеаризації», тобто зводити нелінійну систему з властивим їй неоднозначним відгуком до лінійної, яка характеризується цілком «надійним» передбачуваним поведінкою. По суті, це - кардинальне спрощення і тим самим загрубления суті явища.
Але на наших очах технічний прогрес супроводжується появою все більш складних систем, наприклад, в енергетиці, і те, як гарантувати стійкість їх роботи, повна відсутність непередбачуваних збоїв, стає все більш важливим завданням. Сьогодні потрібні нові підходи, принципово новий погляд на проблему аналізу нелінійних процесів, що призводять до непрогнозованого поведінки, до «хаосу». І хоча сутність ладу і хаосу до цих пір не сформульована, в останні роки з'явилася надія розібратися в дії механізмів непередбачуваності, включаючи переходи «порядок - хаос» або «хаос - порядок» (такі переходи і їх двобічної позначають П ↔ Х).
Цьому сприяли, перш за все, два чинники: по-перше, інтенсивне використання сучасних обчислювальних засобів і, по-друге, розвиток математичного апарату, що залишався раніше лише в межах «чистої теорії». Потужні комп'ютери дозволили отримати рішення нелінійних рівнянь у вигляді ефектних графічних образів - траєкторій еволюції динамічної системи.
Основи математичного апарату, придатного для опису «хаосу», були закладені ще наприкінці XIX століття, але отримали широкий розвиток лише в наш час. Цьому сильно сприяла вітчизняна математична школа академіка О.М. Колмогорова в особі члена-кореспондента АН СРСР В.І. Арнольда і професора Я.Г. Сіная. В області прикладних досліджень велика заслуга належить школам академіка А.В. Гапонова-Грехова та члена-кореспондента АН СРСР А.С. Монина. В даний час формується новий вельми універсальний підхід до аналізу нелінійних систем, який базується на класичних результати математиків і фізиків.
Спочатку про порядок
Порядок у фізичної, екологічної, економічної і будь-який іншій системі може бути двох видів: рівноважний і нерівноважний. При рівноважному порядку, коли система знаходиться в рівновазі зі своїм оточенням, параметри, які її характеризують, однакові з тими, які характеризують навколишнє середовище; при нерівноважному порядку вони різні. Що зазвичай розуміється під такими параметрами?
У фізиці найголовніший з них - температура: ніяке рівновагу неможливо, якщо всередині аналізованої нами системи температура не така, як у оточення. При цьому відразу виникають теплові потоки, починається перетікання тепла від гарячих тіл до холодних, яке триватиме до тих пір, поки температура не встановиться на єдиному для всіх тіл - як в системі, так і її оточенні - рівні. Так, вимкнений електричний праска швидко набуває температуру кімнати - «навколишнього середовища»: між ним - системою - і оточенням встановлюється рівновага. Інший важливий параметр, що характеризує фізичну систему, - тиск. При рівноважному порядку тиск всередині системи має бути рівний тиску на неї з боку оточення. Економічні та соціальні системи теж описуються узагальнюючими параметрами, які при рівновазі беруть фіксовані значення.
На перший погляд рівноважний порядок більш «стабільний», ніж нерівноважний. У самій природі рівноважного порядку закладено протидію будь-яким збурень стану системи (таке «упертість» в термодинаміці називається принципом Ле-Шательє).
Здатність повертатися до вихідного стану - неодмінна властивість так званих саморегулюючих систем. І хоча «саморегулювання» - термін порівняно недавній, виник він, по суті, разом з кібернетикою, саморегулюючі процеси зустрічаються в природі часто-густо. Мабуть, самий вражаючий приклад такого процесу - природний ядерний реактор, який пропрацював приблизно півмільйона років (і, зауважте, без зупинки на ремонт).
У 1972 році на урановому родовищі Окло в африканській республіці Габон був проведений ізотопний аналіз руд. Це була радше формальність, «рутина», ніж серйозне наукове дослідження. Але раптом несподівано для всіх результати виявилися незвичайними: концентрація ізотопу уран-235 виявилася набагато нижче природної - у деяких місцях збіднення («вигорання») урану досягало 50 відсотків. У той же час дослідники виявили величезний надлишок таких ізотопів (неодиму, рутенію, ксенону та інших), які зазвичай виникають при реакції розподілу урану-235. Феномен Окло породив безліч гіпотез, і одна з найпростіших серед них (і тому найбільш правдоподібна) призводить до фантастичного на перший погляд висновку: близько двох мільярдів років тому в Окло був пущений атомний реактор, який пропрацював приблизно п'ятсот тисячоліть. Прибульці? Зовсім не обов'язково.
Для роботи реактора потрібен сповільнювач нейтронів, наприклад, вода. Вона могла випадково скопитися в родовищах з високою концентрацією урану-235 і запустити ядерний котел. А потім почалося саморегулювання: зі збільшенням потужності реактора виділялося багато тепла і піднімалася температура. Вода випаровувалася, що уповільнює нейтрони шар ставав тонше, і потужність реактора падала. Тоді вода накопичувалася знову, і цикл регулювання повторювався.
Природа нерівноважного порядку інша. Цей вид порядку - штучного походження і, як ми вже говорили, існує тільки за умови подачі енергії (або живильним маси) ззовні. Дійсно, адже неравновесность - неоднаковість параметрів системи і середовища - викликає потоки тепла і маси. Тому для підтримки порядку потрібно компенсувати втрати, до яких призводять незворотні «вирівнюють» потоки. Іншими словами, потрібні енергетичні витрати. Якщо підживлення енергією припинити, то система «звалиться» у стан рівноважного порядку. Втрати, пов'язані з перетіканням тепла або маси, називаються дисипативними, оскільки їх фізична сутність - розсіювання енергії, як кажуть, її дисипації. Створюється парадоксальна ситуація: в умовах дисипації, традиційно сприймають як прояв розпаду структур, їх нестійкості, виникає порядок!
Ми рідко замислюємося над тим, що людський організм існує в стані нерівноважного порядку, коли енергетичні втрати компенсуються за рахунок енергії палива (їжі) і окислювача (повітря). Коли ж життєвий шлях організму закінчується, він переходить в стан повного рівноваги з навколишнім середовищем (рівноважний порядок).
Фізика - наука кількісна, і, щоб отримати конкретний результат, потрібно перейти від загальних міркувань до рівнянь і математичним образам. Найкориснішим з таких образів, за допомогою якого можна зобразити хід процесу, стан системи та ступінь її організованості, виявилося так зване фазовий простір. Координатами в цьому просторі служать різні параметри, що характеризують дану систему. У механіці, наприклад, це положення і швидкості всіх точок, рух яких ми розглядаємо, і тому в сучасній аналітичній механіці фазовий простір, мабуть, основне поняття.
Фазовий простір - це, з одного боку, абстрактне математичне простір, координатами в якому служать положення і швидкості всіх точок фізичної системи, а з іншого боку, воно дуже зручно для наочного опису її еволюції. Наприклад, рух кульки на абсолютно пружної гумці, в якій немає тертя, повністю визначається початковою швидкістю і положенням кульки (початковими умовами). Кожному миттєвому станом такого осцилятора - коливальної системи - відповідає точка на фазовій площині. Коли кулька коливається вгору і вниз без тертя, ця точка описує замкнену криву, а якщо коливання поступово затухають, то фазова траєкторія сходиться по спіралі до граничної точці, що відповідає зупинці кульки. Ця точка нерухома: якщо кулька підштовхнути, його фазова крива повернеться в ту ж точку, яка як би притягує всі довколишні траєкторії. Тому її називають нерухомої притягальнішою точкою, або фокусом. Така притягає точка - найпростіший тип аттрактора.
Що ж дає зображення процесів у фазовому просторі? А ось що: тільки глянувши на «фазовий портрет» фізичної системи, ми можемо заявити, знаходиться вона в стані рівноважного або нерівноважного порядку. Більше того, незважаючи на їх різну фізичну сутність, ці два види порядку можна зобразити на одній і тій же діаграмі у вигляді чітких точок, ліній і фігур. Можна також намалювати діаграму переходу з одного упорядкованого стану в інший.
А чи завжди геометричні образи на фазовій діаграмі будуть чіткими? Виявляється, що існує клас явищ, протилежних порядку як з фізичної сутності, так і за характером зображення на фазовій діаграмі. Їхні образи розмиті, нечіткі, носять випадковий, або, як кажуть, стохастичний характер. Явища, які породжують такі образи, називаються хаотичними.
Що таке «хаос»?
Коли в липні 1977 року Нью-Йорк раптово занурилося в пітьму, ніхто навіть не припускав, що причина катастрофи - перехід енергетичної системи міста з рівноважного стану в хаотичне, викликаний дисбалансом вироблення і споживання енергії. Несподівано з енергетичної системи міста випав великий споживач. Система автоматики і диспетчерська служба не встигли відключити еквівалентну цього споживачеві, по суті, працює тільки на нього, що генерує станцію. Утворився розрив між генерацією енергії та її споживанням, і в результаті енергетична система перейшла із стану рівноваги в хаотичне. «Фазовий портрет» системи з однією частотою (у США ця частота дорівнює 60 Гц), яка підтримується з високою точністю, перетворився на портрет з величезним числом частот - «розмився». Ситуація безперервно погіршувалася, так як система захисту споживачів від випадкових, хаотичних «кидків» напруги і збою частоти початку послідовно відключати підприємства від джерел енергії. Це була справжня катастрофа - розвал системи. Такі катастрофи досить рідкісні, проте практично щодня у великих енергосистемах світу спостерігаються явища не настільки небезпечні, але все ж доставляють чимало турбот. У лініях передачі «гуляють» випадкові, хаотичні частоти, викликані змінами в режимі роботи обладнання і недосконалістю систем управління. Вони завдають економіці збитків не менший, ніж втрати на опір в лініях передачі - «джоулево тепло», на яке витрачається близько 20 відсотків вироблюваної в світі електроенергії.
Зазвичай під хаосом завжди розумілося невпорядкована, випадкове, непрогнозоване поведінку елементів системи. Багато років панувала теорія, що стверджувала, що статистичні закономірності визначаються тільки числом ступенів свободи: вважали, що хаос - це відображення складного поведінки великої кількості частинок, які, зіштовхуючись, створюють картину неупорядкованого поведінки. Найбільш характерний приклад такої картини - броунівський рух дрібних часток у воді. Воно відображає хаотичні теплові переміщення величезного числа молекул води, випадковим чином вдаряють по плаваючим у воді частинок, змушуючи їх до випадкових блукань. Такий процес виявляється повністю непередбачуваним, недетермінованим, оскільки точно встановити послідовність змін у напрямку руху частинки неможливо - адже ми не знаємо, як рухаються всі без винятку молекули води. Але що це означає? А ось що: стає неможливим винести такі закономірності, які дозволяли б точно прогнозувати кожне наступне зміна траєкторії частинки за попереднім її станом. Іншими словами, не вдається надійно, достовірно пов'язати між собою причину і наслідок або, як кажуть фахівці з математичної фізики, формалізувати причинно-наслідкові зв'язки. Такий вид хаосу можна назвати недетермінованим (НХ). Та все ж деякі усереднені характеристики поведінки в стані недетермінірованного хаосу були знайдені. Використовуючи апарат статистичної фізики, вчені зуміли вивести формули, що описують деякі узагальнені параметри броунівського руху, наприклад, відстань, пройдена часткою за деякий час (першим цю задачу вирішив А. Ейнштейн).
Однак в останні роки увагу дослідників все більше зосередилося на так званому детермінованому хаосі (ДХ). Цей вид хаосу породжується не випадковим поведінкою великої кількості елементів системи, а внутрішньою сутністю нелінійних процесів. (Саме такий хаос і привів до енергетичної катастрофи в Нью-Йорку.) Виявляється, що детермінований хаос - аж ніяк не рідкість: лише два пружно зіштовхуються більярдних кулі утворюють систему, складна поведінкова функція якої має статистичні закономірності, тобто містить елементи «хаосу». Відштовхуючись один від одного і від стінок більярдного столу, кулі розсіюються під різними кутами, і через деяку послідовність зіткнень їх можна розглядати як нестійку динамічну систему з непрогнозованим поведінкою. Аналітичні рішення нелінійних рівнянь, що описують поведінку таких систем, як правило, не можуть бути отримані. Тому дослідження проводяться за допомогою обчислювального експерименту: на ЕОМ крок за кроком отримують чисельні значення координат окремих точок траєкторії.
У фазовому просторі детермінований хаос відображається безперервної траєкторією, що розвивається в часі без самоперетинання (інакше процес замкнулося б в цикл) і поступово примусового деяку область фазового простору. Таким чином, будь-яку як завгодно малу зону фазового простору перетинає нескінченно велику кількість відрізків траєкторії. Це і створює в кожній зоні випадкову ситуацію - хаос: І ось що дивно: незважаючи на детермінізм процесу - адже більярдні кулі повністю підкоряються класичної, «шкільної» механіці, - хід його траєкторії непередбачуваний. Іншими словами, ми не в змозі передбачити або хоча б грубо охарактеризувати поведінку системи на досить великому відрізку часу і в першу чергу тому, що принципово відсутні аналітичні рішення.
Порядок на сковорідці
Якщо налити на сковороду тонкий шар якої-небудь в'язкої рідини (наприклад, рослинної олії) і нагрівати сковороду на вогні, підтримуючи температуру масляної поверхні постійною, то при слабкому нагріванні - малих теплових потоках - рідина залишається спокійною і нерухомою. Це типова картина стану, близького до рівноважного порядку. Якщо зробити вогонь побільше, збільшуючи тепловий потік, то через деякий час - абсолютно несподівано - вся поверхня масла перетворюється: вона розбивається на правильні шестигранні або циліндричні осередки. Структура на сковороді стає дуже схожою на бджолині стільники. Це чудове перетворення називається явищем Бенара, на ім'я французького дослідника, одним з перших вивчила конвективну нестійкість рідини.
Конвективні осередки Бенара. У 1900 році була опублікована стаття французького дослідника Бенара з фотографією структури, по вигляду нагадували бджолині стільники. При нагріванні знизу шару ртуті, налитої в плоский широкий посудину, весь шар несподівано розпадався на однакові вертикальні шестигранні призми, які згодом були названі осередками Бенара. У центральній частині кожного осередку рідина піднімається, а поблизу вертикальних граней опускається. Іншими словами, в посудині виникають спрямовані потоки, які піднімають нагріту рідину (з температурою T1) вгору, а холодну (з температурою T2) опускають вниз.
Якщо і далі збільшувати тепловий потік, то осередки руйнуються - відбувається перехід від порядку до хаосу (П → Х). Але найдивовижніше полягає в тому, що при ще більших теплових потоках спостерігається чергування переходів:
Х → П → Х → П → ...!
При аналізі цього процесу як параметр, який показує, коли на сковороді буде «порядок» і коли «хаос», тобто визначального «зону» порядку чи хаосу, вибирається так званий критерій Релея, пропорційний різниці температур вгору по шару олії. Цей параметр називають керуючим, оскільки він «керує» перекладом системи з одного стану в інший. При критичних значеннях Релея (математики називають їх точками біфуркації) і спостерігаються переходи «порядок - хаос».
Нелінійні рівняння, якими описується освіту і руйнування структур Бенара, називаються рівняннями Лоренца. Вони пов'язують між собою координати фазового простору: швидкості потоків в шарі, температуру і керуючий параметр.
Процеси, що відбуваються в посудині, можуть бути зафіксовані, наприклад, кінозйомкою і зіставлені з результатами обчислювального експерименту. На рис. 2, 3 показано саме таке зіставлення. Збіг результатів фізичного та обчислювального експериментів вражаюче! Але перш, ніж перейти до аналізу цих результатів, нам доведеться ще раз звернутися до фазового простору.
Рис. 2
Переходи від порядку до хаосу на прикладі явища Бенара. Керуючим параметром, який грає роль «ручки регулювання», тут служить так званий критерій Релея (Re), пропорційний різниці температур вгору по шару рідини. «Обертання» цієї регулюючої ручки відповідає більшому або меншому нагріванню рідини. При слабкому нагріванні (Re <1) в шарі немає конвективних потоків, і динамічна система, образом якої служить зображає точка у фазовому просторі, прагне до стану рівноважного порядку. Зі збільшенням різниці температур між сковорідкою і зовнішньою поверхнею рідини (Re ≈ 1) виникають малі конвективні струми. Цей стан відповідає нерівноважному порядку.
Рис. 3
«Обертаючи» далі ручку регулювання (Re ≈ 10 ... 20), ми приходимо до нерівноважному порядку з аттракторів типу сталого фокусу - це в обчислювальному експерименті, на екрані дисплея або на графобудівнику. А у фізичному експерименті чітко спостерігаються осередки Бенара.
Цікава динаміка процесу зі зростанням числа Релея. Відстані між «оборотами» фазової траєкторії (їх зазвичай називають гілками) поступово скорочуються, і врешті-решт змінюється характер аттрактора - фокус переходить в граничний цикл, який тому й називається граничним, що служить прикордонної кривої між зонами стійкості і нестійкості; тепер навіть при дуже малому збільшенні керуючого параметра починають утворюватися турбулентні вихори. Порядок переходить в хаос. В обчислювальному експерименті виникає нестійкий фокус, а потім з'являється дивний атрактор. У фізичному експерименті осередку Бенара руйнуються, цей процес нагадує кипіння.
Чому фазовий простір виявилося таким потужним засобом для вивчення хаосу? Перш за все тому, що вона дозволяє уявити поведінку нелінійної, «хаотичної» системи в наочної геометричній формі. Так, поведінка більшості нелінійних систем у фазовому просторі визначається деякою зоною в ньому, званої аттракторів (від англійського to attract - притягати). У цю зону в кінцевому підсумку «притягуються» траєкторії, що зображують хід процесу.
Дивний атрактор - абстрактне поняття, введене для опису хаотичного стану. Універсального і наочного образу дивного аттрактора, на жаль, не існує. Можна, однак, сконструювати дитячу іграшку, що представляє собою багатошаровий лабіринт (тривимірне фазовий простір), за яким бігає кульку (зображає точка). У площинах між шарами є дірки, натикаючись на які кулька провалюється вниз. Однак ці дірки не знаходяться на одній вертикалі, і тому кулька не може проскочити через всю структуру наскрізь. Щоб його траєкторія пройшла з верхньої площини до нижньої, кулька повинен описувати химерні орбіти, поки не наткнеться на отвір, що веде в сусідню площину. Така іграшка - груба модель дивного аттрактора.
Як з'ясували математики, існують два види атракторів: перший пов'язаний з нерівноважним порядком і відображається у фазовому просторі точкою («фокус»), або замкнутої кривої («граничний цикл»), другий - з утворенням детермінованого хаосу і відображається обмеженою областю фазового простору, заповненої безперервно розвивається в часі траєкторією («дивний атрактор»).
Для атракторів першого виду траєкторії процесу розвиваються таким чином. Якщо система стійка, траєкторія виходить з початкової точки і закінчується або фокусом (стійкий фокус), або граничним циклом (стійкий граничний цикл). Якщо система нестійка, траєкторія починається або фокусом (нестійкий фокус), або граничним циклом (нестійкий граничний цикл) і поступово віддаляється від свого аттрактора.
Якщо ж процес відображається «дивним аттракторів», то траєкторія його еволюції починається з початкової точки і поступово заповнює деяку область фазового простору. Так що переходи «порядок - хаос» в термінах атракції означають перехід від аттрактора першого виду (або фокус, або граничний цикл) до аттрактору другого виду («дивний атрактор»).
Тепер повернемося до нашої сковорідці і подивимося, як описується на мові атракторів явище Бенара. Ми вже говорили, що при збільшенні теплового потоку зони порядку і хаосу чергуються. Ось як це відбувається.
Все починається з рівноважного порядку. При слабкому нагріванні, коли перепад температури від сковорідки вгору по шару рідини невеликий, у ньому майже немає конвективних потоків. І тоді, незалежно від того, в якому стані «система» - рідина на сковорідці - була спочатку (як кажуть математики, незалежно від початкових умов), в ній зберігається рівноважний порядок.
Зробивши полум'я під сковорідкою трохи побільше - збільшивши подачу тепла, ми побачимо, що рідина почне поступово перемішуватися - виникне конвекція. Нижні шари нагріються і стануть легше, а верхні залишаться холодними і важкими. Рівновага таких шарів нестійка, і тому система переходить від рівноважного порядку до нерівноважної. Трохи додавши вогню під сковорідкою, ми побачимо осередку Бенара або, як тепер часто кажуть, просто «Бенар» (на геометричному мовою фазового простору цьому явищу відповідає аттрактор типу сталого фокусу).
Продовжуючи нагрівати рідина на сковорідці, ми незабаром зможемо спостерігати руйнування Бенар. Цей процес нагадує кипіння - відбувається перехід від порядку до хаосу (у фазовому просторі з'явився «дивний атрактор»).
Добре відомим прикладом використання переходу «хаос - порядок» служить лазер. Однак цей приклад не єдиний. На схемі представлені відомі сьогодні наукові «зони», в яких вивчаються і спостерігаються переходи «порядок - хаос» і «хаос - порядок», зокрема, структури, що самоорганізуються (зовнішнє коло). У середньому колі розташовані ефекти і поняття, запозичені синергетикою у суміжних наукових дисциплін, а у внутрішньому колі різним секторам відповідають ті нові шляхи та закономірності, які можуть бути використані в кожній даній галузі знання завдяки узагальнень, зробленим синергетикою.
Сьогодні пошуки дослідників - головним чином математиків - спрямовані на те, щоб виявити всі типи нелінійних рівнянь, рішення яких призводить до детермінованому хаосу. Активний інтерес до нього викликаний тим, що одні й ті ж його закономірності можуть виявлятися у різних природних явищах і технічних процесах: при турбулентності в потоках, нестійкості електронних та електричних мереж, при взаємодії видів у живій природі, при хімічних реакціях і навіть, за Мабуть, в людському суспільстві. Звідси випливає фундаментальна значимість хаосу - його вивчення може призвести до створення потужного математичного апарату, що володіє великою спільністю і великими можливостями для додатків.