Показово статечні рівняння і нерівності

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

білгородський державний університет
КАФЕДРА алгебри, теорії чисел і геометрії
Тема роботи: Показово-статечні рівняння і нерівності.
Дипломна робота студента фізико-математичного факультету
Науковий керівник:
______________________________
Рецензент: _______________________________
________________________
Білгород. 2006

Зміст.
Введення
3
Тема I.
Аналіз літератури з теми дослідження.
Тема II.
Функції та їх властивості, які використовуються при вирішенні показово-статечних рівнянь і нерівностей.
I.1.
Степенева функція і її властивості.
I.2.
Показова функція і її властивості.
Тема III.
Рішення показово-статечних рівнянь, алгоритм та приклади.
Тема IV.
Рішення показово-статечних нерівностей, план вирішення і приклади.
Тема V.
Досвід проведення занять зі школярами на тему: «Рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей».
V. 1.
Навчальний матеріал.
V. 2.
Завдання для самостійного рішення.
Висновок.
Висновки і пропозиції.
Список використаної літератури.
Програми

Введення.
«... Радість бачити і розуміти ...»
А. Ейнштейн.
У цій роботі я спробувала передати свій досвід роботи вчителем математики, передати хоч в якійсь мірі своє ставлення до її викладання - людського справі, в якому дивним чином переплітаються і математична наука, і педагогіка, і дидактика, і психологія, і навіть філософія.
Мені довелося працювати з малюками та випускниками, з дітьми, що стоять на полюсах інтелектуального розвитку: тими, хто перебував на обліку у психіатра і хто дійсно цікавився математикою
Мені довелося вирішувати безліч методичних завдань. Я спробую розповісти про ті з них, які мені вдалося вирішити. Але ще більше - не вдалося, та й у тих, що начебто б вирішені, з'являються нові питання.
Але ще важливіше самого досвіду - вчительські роздуми і сумніви: а чому він саме такий, цей досвід?
І літо нині на дворі інше, і розворот освіти став цікавіше. «Під юпітерами» нині не пошуки міфічної оптимальної системи навчання «всіх і всьому», а сама дитина. Але тоді - з необхідністю - і вчитель.
У шкільному курсі алгебри і початків аналізу, 10 - 11 клас, при здачі ЄДІ за курс середньої школи і на вступних іспитах до ВНЗ зустрічаються рівняння і нерівності, що містить невідоме в підставі і показники ступеня - це показово-статечні рівняння і нерівності.
У школі їм мало приділяється уваги, в підручниках практично немає завдань на цю тему. Однак, оволодіння методикою їх рішення, мені здається, дуже корисним: воно підвищує розумові та творчі здібності учнів, перед нами відкриваються абсолютно нові горизонти. При вирішенні завдань учні набувають перші навички дослідницької роботи, збагачується їх математична культура, розвиваються здібності до логічного мислення. У школярів формуються такі якості особистості як цілеспрямованість, цілепокладання, самостійність, які будуть корисні їм у подальшому житті. А також відбувається повторення, розширення і глибоке засвоєння навчального матеріалу.
Працювати над даною темою дипломного дослідження я почала ще з написання курсової. У ході, якої я глибше вивчила і проаналізувала математичну літературу з цієї теми, виявила найбільш підходящий метод рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей.
Він полягає в тому, що крім загальноприйнятого підходу при вирішенні показово-статечних рівнянь (підстава береться більше 0) і при вирішенні тих же нерівностей (підстава береться більше 1 або більше 0, але менше 1), розглядаються ще й випадки, коли підстави негативні, рівні 0 і 1.
Аналіз письмових екзаменаційних робіт учнів показує, що неосвітленість питання про негативний значенні аргументу показово-степеневої функції в шкільних підручниках, викликає у них низку труднощів і веде до появи помилок. А також у них виникають проблеми на етапі систематизації отриманих результатів, де можуть у зв'язку з переходом до рівняння - слідству або нерівності - слідству, з'явитися сторонні корені. З метою усунення помилок ми використовуємо перевірку по вихідному рівнянню або нерівності і алгоритм розв'язання показово-статечних рівнянь, або план вирішення показово-статечних нерівностей.
Щоб учні змогли успішно скласти випускні та вступні іспити, я вважаю, необхідно приділяти більше уваги вирішенню показово-статечних рівнянь і нерівностей на навчальних заняттях, або додатково на факультативах і гуртках.
Таким чином тема, моєї дипломної роботи визначена наступним чином: «Показово-статечні рівняння і нерівності».
Цілями цієї роботи є:
1. Проаналізувати літературу по даній темі.
2. Дати повний аналіз рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей.
3. Привести достатню кількість прикладів з даної теми різноманітних типів.
4. Перевірити на визначених, факультативних і гурткових заняттях як буде сприйматися пропоновані прийоми рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей. Дати відповідні рекомендації до вивчення цієї теми.
Предметом нашого дослідження є розробка методики рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей.
Мета і предмет дослідження потребували розв'язання наступних завдань:
1. Вивчити літературу по темі: «Показово-статечні рівняння і нерівності».
2. Оволодіти методиками рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей.
3. Підібрати навчальний матеріал і розробити систему вправ різних рівнів по темі: «Рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей».
У ході дипломного дослідження було проаналізовано понад 20 робіт, присвячених застосуванню різних методів вирішення показово-статечних рівнянь і нерівностей. Звідси отримуємо.
План дипломної роботи:
Введення.
Глава I. Аналіз літератури з теми дослідження.
Глава II. Функції та їх властивості, які використовуються при вирішенні показово-статечних рівнянь і нерівностей.
II.1. Степенева функція і її властивості.
II.2. Показова функція і її властивості.
Глава III. Рішення показово-статечних рівнянь, алгоритм та приклади.
Глава IV. Рішення показово-статечних нерівностей, план вирішення і приклади.
Глава V. Досвід проведення занять зі школярами з даної теми.
1. Навчальний матеріал.
2. Завдання для самостійного рішення.
Висновок. Висновки і пропозиції.
Список використаної літератури.
У I чолі проаналізована література по темі: «Рішення показово-статечних рівнянь і нерівностей».
У II розділі теоретичні відомості про ступеневій і показовою функціях і застосування їх властивостей при вирішенні показово-статечних рівнянь і нерівностей, виявляються недоліки в розумінні учнями негативного аргументу показово-степеневої функції.
У III розділі «Рішення показово-статечних рівнянь, алгоритм і приклади» наведено повний аналіз рішення показово-статечних рівнянь, розглянуто алгоритм рішення показово-статечних рівнянь і приклади, і приклади в яких він застосовується.
У IV розділі «Рішення показово-статечних нерівностей, план вирішення і приклади» наведено повний аналіз рішення показово-статечних нерівностей та розглянуто план рішення показово-статечних нерівностей та приклади, в яких він застосовується.
У V розділі розглядається методика навчання учнів рішенням показово-статечних рівнянь і нерівностей, наведений навчальний матеріал, розроблена система завдань з урахуванням різного рівня складності, яка містить в собі завдання використовуються на уроці, завдання для самостійного рішення.
Глава II. Функції та їх властивості, які використовуються при вирішенні показово-статечних рівнянь і нерівностей.
Для вирішення показово-статечних рівнянь і нерівностей необхідно знати властивості показовою і статечної функції і вміти ними користуватися. У цьому розділі ми розглянемо дане питання.
II .1. Степенева функція і її властивості.
Степенева функція з натуральним показником. Функція у = х n, де n - Натуральне число, називається степеневою функцією з натуральним показником. При n = 1 отримуємо функцію у = х, її властивості:
Пряма пропорційність. Прямий пропорційністю називається функція, задана формулою у = kx n, де число k називається коефіцієнтом пропорційності.
Перерахуємо властивості функції у = kx.
1) Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел.
2) y = kx - Непарна функція (f (- х) = k (- Х) = - kx = - K (х)).
3) При k > 0 функція зростає, а при k <0 убуває на всій числовій прямій.
Графік (пряма) зображений на малюнку II.1.
Рис. II.1.
При n = 2 отримуємо функцію y = х 2, її властивості:
Функція у-х 2. Перерахуємо властивості функції у = х 2.
1) Область визначення функції - вся числова пряма.
2) у = х 2 - парна функція (f (- х) = (- x) 2 = x 2 = f (Х)).
3) На проміжку [0; + οο) функція зростає.
У самому справі, якщо , То , А це і означає зростання функції.
4) На проміжку (-оо; 0] функція спадає.
У самому частці, якщо , То - х 1> - х 2> 0, а тому
(-Х 1) 2> (- х 2) 2, т. е. , А це і означає спадання функції.
Графіком функції y = х 2 є парабола. Цей графік зображений на малюнку II.2.
Рис. II.2.
При n = 3 отримуємо функцію у = х 3, її властивості:
1) Область визначення функції - вся числова пряма.
2) y = x 3 - непарна функція (f (- х) = {- x) 2 = - х 3 = - f (x)).
3) Функція y = x 3 зростає на всій числовій прямій. Графік функції y = x 3 зображений на малюнку. Він називається кубічною параболою.
Графік (кубічна парабола) зображений на малюнку II.3.
Рис. II.3.
Нехай n - довільне парне натуральне число, більше двох:
n = 4, 6, 8, ... . У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 2. Графік такої функції нагадує параболу у = х 2, тільки гілки графіка при | n |> 1 тим крутіше йдуть вгору, чим більше n, а при тим «тісніше притискаються» до осі х, чим більше n.
Нехай n - Довільне непарне число, більше трьох: n = = 5, 7, 9, ... . У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 3. Графік такої функції нагадує кубічну параболу (тільки гілки графіка тим крутіше йдуть вгору, вниз, чим більше n. Відзначимо також, що на проміжку (0; 1) графік статечної функції у = х n тим повільніше віддаляється від осі х із зростанням х, чим більше n.
Степенева функція з цілим від'ємним показником. Розглянемо функцію у = х - n, де n - натуральне число. При   n = 1 отримуємо у = х - n або у = Властивості цієї функції:
Графік (гіпербола) зображений на малюнку II.4.
Нехай n - непарне число, більше одиниці,
n = 3, 5, 7, ... . У цьому випадку функція у = х - n володіє в основному ті ж властивості, що і функція у =   Графік функції у = х - n (n = 3, 5, 7, ...) нагадує
Рис. II.4.
графік функції у = . Нехай n - Парне число, наприклад п = 2. Перерахуємо деякі властивості функції у = х -2, тобто функції y = .
1) Функція визначена при всіх х 0.
2) y =   парна функція.
3) y = убуває на (0; + оо) і зростає на (-оо; 0).
Тими ж властивостями володіють будь-які функції виду y = х - n при парному n, більшому двох.
Графік функції у = зображений на малюнку. Аналогічний вигляд має графік функції , Якщо n = 4, 6, ... .
Функції виду , , володіють тими ж властивостями, як і функція .
Степенева функція з позитивним дробовим показником. Розглянемо функцію у = х r, де r - позитивна несократімой дріб. Перерахуємо деякі властивості цієї функції.
1) Область визначення - промінь [0; + оо).
2) Функція ні парна, ні непарна.
3) Функція у = х r зростає на [0; + оо).

Рис. II.5.
На малюнку II.5. зображено графік функції Він укладений між графіками функцій у = х 2 і у = х 3, заданих на проміжку [0; + оо).
Подібний вигляд має графік будь-якої функції виду у = х r, де .
На тому ж малюнку зображено графік функції . Подібний вигляд має графік будь статечної функції у = х r, де .
Степенева функція з негативним дробовим показником. Розглянемо функцію у = х - r, де r - позитивна несократімой дріб. Перерахуємо властивості цієї функції.
1) Область визначення - проміжок (0; + оо).
2) Функція ні парна, ні непарна.
3) Функція у = х - r убуває на (0; + оо).
Побудуємо для прикладу графік функції у - х таблицю значень функції:

Нанесемо отримані точки на координатну площину і з'єднаємо їх плавною кривою (див. рис. II.6.).
Подібний вигляд має графік будь-якої функції
у = х r, де r - Негативна дріб.
Рис. II.6.
II. 2. Показова функція і її властивості.
Функція, задана формулою виду у = а х, де а - деяке позитивне число, не рівне одиниці, називається показовою.
1.Функция у = а х при а> 1 володіє наступними властивостями (див. рис. II.7.):
а) область визначення - множина всіх дійсних чисел;
б) безліч значень - безліч всіх позитивних чисел;
Рис. II.7.
в) функція зростає;
г) при х = 0 значення функції дорівнює 1;
д) якщо x> 0, то а x > 1;
е) якщо х <0, то 0 <а х <1.
3. Функція у = а х при 0 <а <1 володіє наступними властивостями (див. рис. II.8.):
а) область визначення D (f) = R;
б) безліч значень E (f) = R +;
в) функція спадає;
г) при х = 0 значення функції дорівнює 1;
д) якщо х> 0, то 0 <а х <1;
е) якщо х <0, то а х> 1.
Рис. II.8.

Глава III. Рішення показово-статечних рівнянь, алгоритми і приклади.
Так називаються рівняння виду , Де невідоме знаходиться і в показнику і в основі ступеня.
Можна вказати зовсім чіткий алгоритм рішення рівнянні виду . Для цього треба звернути увагу на те, що при а (х) не дорівнює нулю, одиниці і мінус одиниці рівність ступенів з однаковими підставами (будь-то позитивними або негативними) можливе лише за умови рівності показників То - є всі корені рівняння будуть корінням рівняння f (x) = g (x) Зворотній ж твердження не так, при а (х) <0 і дробових значеннях f (x) і g (x) висловлювання а (х) f (x) і
а (х) g (x) втрачають сенс. То - тобто при переході від до f (x) = g (x) (при і можуть з'явитися сторонні корені, які потрібно виключити перевіркою по вихідному рівнянню. А випадки а = 0, а = 1, а =- 1 треба розглянути окремо.
Отже, для повного вирішення рівняння розглядаємо випадки:
1. А (х) = О. Якщо при значенні х, що задовольняє цього рівняння, f (x) і g {x) будуть позитивними числами, то це рішення. В іншому випадку, немає
2. А (х) = 1. Коріння цього рівняння є корінням і вихідного рівняння.
3. А (х) = -1. Якщо при значенні х, що задовольняє цього рівняння, f (x) і g (x) є цілими числами однаковою парності (або обидва парні, або обидва непарні), то це рішення. В іншому випадку, немає
4. При і вирішуємо рівняння f (x) = g (x) і підстановкою отриманих результатів у вихідне рівняння відсікаємо сторонні корені.
Приклади рішення показово-статечних рівнянь.
Приклад № 1.

Рішення
1) x - 3 = 0, x = 3. тому що 3> 0, та 3 2> 0, то x 1 = 3 - це рішення.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Обидва показники парні. Це рішення x 3 = 1.
4) x - 3 ≠ 0 і x ≠ ± 1. x = x 2, x = 0 або x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0-вірно це рішення x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - вірно це рішення x 5 = 1.
Відповідь: 0, 1, 2, 3, 4.
Приклад № 2.

Рішення
За визначенням арифметичного квадратного кореня: x - 1 ≥ 0, x ≥ 1.
1) x - 1 = 0 або x = 1, = 0, 0 0 це не рішення.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не підходить в ОДЗ.
4) =




Д = (-2) - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16 - коренів немає.
Відповідь: 2.
Приклад № 3.

Рішення
1) = 0 рішення немає, тому що 0 в будь-якого ступеня не дорівнює 1.
2) ≠ 0 тобто . Тоді можемо записати:

3) = 1. = 0
і
4) = -1 Х = 0 або х = 1. При х = 0 = -1. (-1) -1 ≠ (-1) 0. Це не рішення. При х = 1 (-1) 0 = (-1) 0. Це рішення х 3 = 1.
5) ≠ 0 і ≠ ± 1 маємо = 0, = -1 Або
= 1. Ці корені вже враховані.
Відповідь: -1, 1, 2.
Приклад № 4.

Рішення
1) При рішень немає, тому що 0 в будь-якого ступеня не дорівнює 1.
при ,
2) , .
3) , .
, (-1) 0 = (-1) 0 це рішення.
.
4) і

або
При (-4) 0 = 1 - вірно.
Відповідь: -1, 2, 4.
Приклад № 5.

Рішення
1) , , це не рішення.
2) , і .
3) негативних значень підстава не має. При і , , ,
х = 5, 3 15 = 15 березня - вірно. х 3 = 5,
х = 2 - не є рішенням.
Відповідь: 1,3,5.
Приклад № 6

Рішення
1) не дає рішень, оскільки 0 ні в якій мірі не дорівнює 1.
2) . або .
3) негативних значень не має.
4) При ,
, Тому що , То . Перевірка 2 0 = 1 - вірно.
Відповідь: -1, 1, 2.
Приклад № 7

Рішення
1) , , , . Це рішення .
2) , .
3) , , - Парне і-3х - парне. Це рішення. х 2 = 4.
4) і , , , , 4 -3 = 4 -3 - вірно. .
Відповідь: -4, -3, -2, 1
Приклад № 8

Рішення
ОДЗ: ,
, ,
і

Всі рішення належать рівнянню = 2.
, , і . Обидва значення належать до ОДЗ.
Відповідь: -4, -1.
Приклад № 9

Рішення
ОДЗ: , , .
1) рішень не має, тому що 0 в будь-якого ступеня не дорівнює 1.
При , або ,
ОДЗ, ОДЗ.
Значить всі рішення містяться в вирівняні = 0, або .
Перевірка: , 2 0 = 1 - вірно.
, - Вірно.
Відповідь: 0, 3 / 2.
Приклад № 10

Рішення
1) рішень не дає, тому що 0 в будь-якого ступеня не дорівнює 1.
2) При , , . Всі рішення належать рівнянню . або .
3) , і .
Друге рішення не підходить, т.к , . А є рішенням
Відповідь: , 2, 4.
Приклад № 11

Рішення
1) , , і це рішення .
2) , .
3) , , - Парне, - Непарне. Це є рішенням.
4) або , , , , .
Перевірка: , - Вірно.
Але не є коренем!
Вираз (-1,5) 52,5, яке виходить при перевірці не має сенсу, тому що ступінь негативно числа має сенс тільки для цілих показників. Рівність = тільки для . Значить, негативне число можна зводити тільки до степеня з цілим показником.
Відповідь: -4, -2, -1.
Приклад № 12

Рішення
ОДЗ: . Значить 0,1 і -1 відпадають.
і всі рішення містяться в рівнянні.

, ,
Відповідь: 5.
Приклад № 13

Рішення

1) , , . Це рішення .
2) , , .
3) негативних значень не має.
При або всі рішення в рівнянні , і .
При , - Вірно. .
Відповідь: -1, 2, 3, 4.
Приклад № 14

Рішення
ОДЗ:
1) При рішень немає, тому що 0 в будь-якого ступеня не дорівнює 1.
При

2) , і . - Рішення, а .
3) для всіх . При і всі рішення містяться в рівнянні , або . При , .
При , - Вірно. .
Відповідь: 4, 5.
Приклад № 15.
,
Рішення

використовуючи властивості логарифма і отримали:
=
У першій частині рівняння виконали перетворення
. Отримали рівняння . Всі рішення містяться в рівнянні.
або .
Відповідь: 2.
Приклад № 16

Рішення
ОДЗ:
Перетворимо знаменник дробу в правій частині рівняння
; .
, , Де
1) , - Вірно.
2) ,
Паща , Тоді

, або .
Отже; або , , .
Відповідь: 1, 0,1, 0, 0,01.
Приклад № 17

Рішення
ОДЗ: і
Виконаємо перетворення.
+ = 2 +2
+ = 4
Нехай , А ,
Отже, або
,
2 * 2 t = 4
2 t = 4 / 2
2 t = 2
t = 1
Відповідь: 2.
Приклад № 18

Рішення
ОДЗ:
;
Прологаріфміруем обидві частини рівності:

, Де .
Помножимо обидві частини рівняння на 2.

Нехай , Тоді


, або
1) ,
або

Відповідь: 0.1, 10.
Приклад № 19

Рішення
ОДЗ:
Зверніть увагу нізвідки не слід! Навпаки, з ОДЗ видно, що може бути негативним!

,
або
Обидва значення в ОДЗ.
Так як зводили в квадрат, коріння треба перевірити.
, - Вірно.
, - Вірно.
Відповідь: -3, 3.
Приклад № 20

ОДЗ:
Зведемо обидві частини рівняння в квадрат (тому що вони позитивні, то сторонні корені не з'являються)
або
Прологаріфміруем по підставі 10.

або
1) або
,
Відповідь: 0.01, 100.
Приклад № 21

Рішення
ОДЗ:
Прологаріфміруем по підставі 10.
, Де .

Нехай , Тоді:
помножимо на 4

,

, або
1)

2)

Відповідь: 0,0001, 10.
Приклад № 22

Рішення
ОДЗ:


Замінимо: , Отримаємо:
, Де .
Вирішуємо рівняння:

; або
1) ; ; . .
2) , , , , .
; ; ; .
Відповідь: 0,1, 1, 10.
Приклад № 23


Рішення
і
\:

Підставимо в друге рівняння замість число 5, отримаємо:

або
складаємо систему рівнянь:





Відповідь: (13; 8)
Приклад № 24

Рішення
ОДЗ:
;
,

; або
, .
Відповідь: 5.
Приклад № 25

Рішення
ОДЗ:
Прологаріфміруем праву і ліву частини даного рівняння за основою 10:
Отримаємо:
або
Позначивши , Перепишемо записане рівняння у вигляді:
.
Вирішуючи його відносно , Знаходимо , .
Використовуючи позначення , З першого рішення квадратного рівняння маємо . Звідси . Використовуючи рішення , Отримуємо . Перетворимо праву частину цього рівняння:
. Значить, , Тобто .
Відповідь: 30, 100.
Приклад № 26

Рішення
Так як , То при і маємо равносильное рівняння:
або
.
,
Відповідь: 5.
Приклад № 27

Рішення
ОДЗ:
Так як обидві частини рівняння позитивні, то прологаріфміруем по підставі 10:


,

; або
1) 2)

Відповідь: 0.1, 100.
Приклад № 28

Рішення
ОДЗ:
Так як обидві частини рівняння позитивні, то прологаріфміруем по підставі 3:


і , Тому



Нехай , Тоді
або .
1)
;
2)

Відповідь: , 3.
Приклад № 29

Рішення
1) , Тому що 0 в будь-якого ступеня не дорівнює 1.
2) = 1, = 1, , або
=- 1, , .
Оскільки 1 в будь-якого ступеня дорівнює 1, то це рішення.
3) (Тому що )
При всі рішення належать рівнянню . або .
При = 0, що не задовольняє рівнянню
,
Відповідь: , .
, .
, .
Приклад № 30

Рішення
ОДЗ:
=
1) , , .
2) Оскільки , То інші рішення отримуємо з рівняння : Звідси або . , і , .
Відповідь: , - , і , .
Приклад № 31

Рішення

1) або , і . Це рішення. .
2) , і
3) Оскільки , То ;
;



; . Це рішення.
Відповідь: ; 5; 3; 4.
Приклад № 32

Рішення
при всіх


1) , - Рішень немає.
2) . Тому при ліва частина дорівнює одиниці, а права немає. Це рішення.
3) ;
;
;
;
;
;
;
і ;
; ;
; ;
;
;
- Рішень немає.
Відповідь: -3, 3.
Приклад № 33
Вирішити графічно рівняння:

Рішення
У функції Д (y): x> 0 і log 2 x> 0, тобто,
x> 1. обл. визначення х> 1.
А тепер: (Формула переходу до нового основи і визначення логарифма).
Тоді (Визначення логарифма: ).
Так, що потрібно тільки враховувати, що Д (у): x> 0.

Побудуємо графік функції (рис III.1).

у


2
1

0 1 4 х
Рис. III.1.
Відповідь: (4, 2).
Приклад № 34
Вирішити систему рівнянь:

Рішення:

За визначенням логарифма маємо:
.
Прологаріфміруем перше рівняння системи по підставі х.
.
З другого рівняння системи висловимо у через х:
,
Тоді:
Нехай , , Д = (-5) 2 -4 * 1 * 4 = 9, , або .
1) 2)


Д = (-3) 2 - 4 * 1 * (-4) = 25 хай , Тоді

або Д = (-1) 2 - 4 * 3 * 4 = -47 <0
або коренів немає
(-1, -1) - Задовольняє ОДЗ
(4,4) рішення системи рівнянь.
Відповідь: (4, 4).
Приклад № 35
Вирішіть систему рівнянь:

Рішення.

За визначенням логарифма маємо:

Підстава логарифма може бути:
1) (Дробове)

(-1, 0) - не задовольняє ОДЗ.
2)

Виконаємо перетворення:

Прологаріфміруем перше рівняння системи по підставі х:
,
, ,

або
Нехай , Тоді
Д = (-) 2 -4 * 1 * (-2) = 9
або

: (Х + 1)

, Де
;
1)
або

Вирішуємо біквадратні рівняння
Приймемо , Тоді отримаємо
D = 3 2 - 4 * 1 * (-4) = 25
; або
а)
б) ; (Не задовольняє ОДЗ)


- Розв'язок системи рівнянь.
2)



або
- (Не задовольняє ОДЗ)
D = (-1) 2 -4 * 4 * 3 = -47 - коренів немає.
Відповідь: . []
Приклад № 36

Рішення
Для будь-якого х і ОДЗ цього рівняння складається з усіх х задовольняють умові , Тобто ОДЗ є безліч всіх х з проміжку на цій множині. Вихідне рівняння рівносильно сукупності рівнянь.
і
Вирішуємо її.



належать . Вони і є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь: .

Глава IV. Рішення показово-статечних нерівностей, план вирішення і приклади.
Нерівності виду (Або менше) при а (х)> 0 і вирішуються на підставі властивостей показовою функції: для 0 <а (х) <1 при порівнянні f (x) і g (x) знак нерівності змінюється, а при а (х)> 1 - зберігається.
Самий складний випадок при а (х) <0. Тут можна дати тільки загальна вказівка: визначити, при яких значеннях х показники f (x) і g (x) будуть цілими числами, і вибрати з них ті, які задовольняють умові
Нарешті, якщо вихідне нерівність буде виконуватися при а (х) = 0 або а (х) = 1 (наприклад, коли нерівності несуворі), то потрібно розглянути і ці випадки.
Приклад 1.
Вирішити нерівність:
2 Березня x: + 7 <2 лютого x -1.
Рішення.
Тут підставу мірою більше 1, тому, порівнюючи показники, запишемо нерівність того ж сенсу: Зх + 7 <2х - 1. Вирішивши це нерівність, отримаємо х <- 8.
Відповідь: -8.
Приклад 2.
Вирішити нерівність:

Рішення.
Так як 625 = 25 2 = , То заданий нерівність можна записати у вигляді
Так як 0 <0,04 <1, то, порівнюючи показники, запишемо нерівність протилежного змісту 5х - х 2 - 8 = -2. Маємо послідовно
,
,
,
.
Вирішивши остання нерівність, отримаємо 2   х 3.
Таким чином безліч рішень заданого нерівності є відрізок [2, 3].
Відповідь: [2, 3].
Приклад 3.
Вирішимо нерівність
0,5 7-Зх <4.
Рішення
Користуючись тим, що 0,5 -2 = 4, перепишемо заданий нерівність у вигляді
0,5 7-Зх <0,5 -2. Показова функція y = 0,5 x убуває (підстава 0,5 менше 1). Тому таку нерівність рівносильно нерівності 7 - Зх> - 2, звідки х <3.
Відповідь: (- оо, 3).
Приклад 4.
Вирішимо нерівність

Показова функція y = 6 x зростає. Тому таку нерівність рівносильно нерівності х 2 + 2 x> 3, вирішуючи яке, отримаємо: (-оо; -3)
і (1; оо).
Відповідь: (-оо; -3) і (1; оо).
Приклад 5.
Вирішимо нерівність:

Зробимо заміну , Тоді і нерівність перепишеться у вигляді , Звідки . Отже, рішенням даного нерівності є числа х, що задовольняють нерівностям , І тільки такі числа. Але , , А функція убуває,
оскільки <1. Тому рішенням нерівностей будуть числа х, що задовольняють нерівностям - 2 <х <1.
Відповідь: (- 2; 1).
Приклад 6.

Рішення
1)



2 Березня 10
Зобразимо на числовому промені
Повинні виконуватися всі три нерівності, тому що це система. Але при узяте не виконується. Рішень немає.
2)
Зобразимо на числовому промені


10
Якщо , То
-Рішення системи нерівностей.
Решта випадків не дають рішень, оскільки або 1 не задовольняють умові, а при тобто отримуємо негативні числа з дробовими показниками ступеня.
Відповідь:
Приклад 7

Рішення
При , Х = 2,5 або х = -1
При або можна записати .

При друга нерівність не виконується. Система рішень не має.
Зобразимо на числовому промені рішення системи нерівностей

-1 2,5 3
Система не має рішень.
2)
Зобразимо на числовому промені рішення системи нерівностей


рішення системи нерівностей.
3) , - Вираз має сенс тоді, коли х - 3 - ціле число, щоб показник х - 3 був цілим числом. Таким чином х - ціле число в проміжку (-1; 2,5) тобто х може набувати значення 0,1,2.
Перевірка:
При - Вірно.
При - Вірно.
При - Вірно.
4) , Х 2 = 2,5 і х 1 = -1
При х = -1 - не має сенсу вираз 0 -4.
При х = 2,5, 0 2,5 - не має сенсу.
5)
;
При ; - Вірно.
При ; - Вірно.
Відповідь: або .

Глава V. Досвід проведення занять зі школярами
по даній темі.
Аналізуючи досвід проведення занять за рішенням показово-статечних рівнянь і нерівностей з учнями в старших класах я прийшла до висновку, що недостатньо часу приділяється на вирішення завдань і вправ по даній темі. Всього в шкільному курсі на вивчення математики відводиться 850 годин, з них на вирішення всіх рівнянь і нерівностей всього лише 12% навчального часу, а на вирішення показово-статечних рівнянь і нерівностей взагалі незначна кількість годин. Однак, використовуючи факультативні заняття в старших класах, гурткову роботу, елективні курси можна значно збільшити можливість учнів реалізувати себе, посилити їх підготовку до випускних і вступних іспитів.
Проводячи заняття з учнями я намагаюся більше уваги приділяти вирішенню конкретних завдань і вправ, на основі чого строю алгоритм рішення і створюю модель вирішення завдань одного виду або схожих між собою

Завдання для самостійного рішення.
Вирішити рівняння.
1. Відповідь: .
2. Відповідь: 2.
3. Відповідь: 7; 14.
4. Відповідь: .
5. Знайдіть твір коренів рівняння
Відповідь: .
6. Відповідь: .
7. Відповідь: .
8. Відповідь: .
9. Відповідь:
10. Відповідь: .
11. Відповідь: 2, 3, 4, 11.
12. Відповідь: .
13. Відповідь: .
14. Відповідь: -2, 0, 2.
15. Відповідь: 1, 4, 5.
16. Відповідь: ні рішень.
17. Відповідь: 1; 10; 10 -3.
18. Відповідь: 1; 8.
19. Відповідь: -1; 1; 2.
20. Відповідь: .
21. Відповідь: 2; 10 -1; 10 -3.
22. Відповідь: 0; 3.
23. Відповідь: 0.
24. Відповідь: .
25. Відповідь: .
26.
Відповідь: .
27. Відповідь: .
28.
Відповідь: .
29. Відповідь: .
30. Відповідь: .
31.
Відповідь: .
32.
Відповідь: .
33.
Відповідь: .
34. Відповідь: 0; 1.
35. Відповідь: 1; 3.
36. Відповідь: 0; 1; 5.
37. Відповідь: 0; 5; 4.
38.
Відповідь: .
39. Відповідь: .
40. Відповідь: .
41. Відповідь: .
42. Відповідь: .
43. Відповідь: 1; 0,1; 0,01.
44.
45. Відповідь: -2; -1; 3.
46. Відповідь: -2; 0,6.
47. Відповідь: .
48. Відповідь: -4; -3,5; -2; -1.
49. Відповідь: -0,2; 0,5; 1; 3.
50. Відповідь: -2; 0,6.
Вирішити системи рівнянь
1. Відповідь: .
2. Відповідь: (5; -1).
3. Відповідь: .
4. Відповідь: .
5. Відповідь: .
6. Відповідь: .
7. Відповідь: .
8. Відповідь: .
9. Відповідь: .
10. Відповідь: .
11.
Відповідь: .
12. Відповідь: .
13.
Відповідь: .
14.
15.
16.
17.
Відповідь: .
18.
Відповідь: .
19.
Відповідь: .
20. Відповідь: .
21. Відповідь: .
22. Відповідь: .
23. Відповідь: .
Вирішити нерівності.
1.
Відповідь: якщо , То якщо то .
2. Відповідь: .
3. Відповідь: .
4. Відповідь: .
5. Відповідь: .
6. Відповідь: .
7. Відповідь: .
8. Відповідь: .
9. Відповідь: .
10. Відповідь: .
11. Відповідь: .
12. Відповідь: .
13. Відповідь: .
14. Відповідь: .
15. Відповідь: .
16. Відповідь: .
17. Відповідь: .
18. Відповідь: .
19. Відповідь: .
20. Відповідь: .
21. Відповідь: .

Висновок.
Підводячи підсумки даного дипломного дослідження, можна зробити наступні висновки:
1. Показово-статечні рівняння і нерівності представляють інтерес для їх вивчення та використання в курсах шкільної математики та елементарної математики у ВНЗ. Між тим, майже у всіх посібниках вони, якщо і розглядаються, то не повно або не точно.
2. Для цього виду рівнянь і нерівностей може бути запропонований алгоритм рішення. Найбільші труднощі можуть зустрітися при вирішенні показово-статечних рівнянь і нерівностей у випадку, коли підстава мірою негативно.
3. Проведені за темою: «Показово-статечні рівняння і нерівності» на уроках та факультативних заняття в школі показали наявність цієї теми для учнів, які цікавляться математикою. Для таких занять виготовлений задачник, що містить більше 70 показово-статечних рівнянь і нерівностей.
Моя пропозиція - більше приділяти часу вирішенню показово-статечних рівнянь і нерівностей, тому що це допоможе учням успішно здати ЄДІ і вступні іспити до ВНЗ.
Матеріал, наведений у даній роботі може служити методичним посібником у роботі з учнями на уроках і факультативах.

Список використаної літератури.
1. Авербух Б.Г., Рубінштейн А.І. Про визначення ступеня і вирішення рівнянь і нерівностей, що містять показово ступеневу функцію. / / Математика в школі. - 1996 .- № 2.-с.29-33.
2. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх установ: Колмагоров О.М., Абрамов А.М., Дудінцин Ю.П. та ін; Під редакцією Колмагорова О.М. - 12-е вид. - М.: Просвещение, 2002.
3. Белоненко Т.В., Васильєв А.Є., Васильєва Н.І., Кримська. Д. Збірник конкурсних завдань з математики. - СПб.: Спецлітература, 1997.
4. Василенко Ю.К. Тотожності, рівняння, нерівності: Посібник для підвищення кваліфікації вчителів математики. - Белаідіт. Бєлгород, 2003.
5. Василюк Л.І., Куваєва Л.А. Математика для абітурієнтів: Довідник в екзаменаційних питаннях і відповідях. - Мн. Амалфея, 1999.
6. Давиденко І.О. Посібник з математики. Для вступників до вищих навчальних закладів (з аналізом помилок абітурієнтів) .- 2-е вид. - Томськ, з-во Томського університету, 1973.
7. Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для вступників до ВНЗ. - М.: Дрофа, 2000.
8. Дудінцин Ю.П., Смирнова В.К. Зміст і аналіз письмових екзаменаційних робіт з алгебри та початків аналізу: Посібник для вчителя. - М.: Просвещение, 1995.
9. Єдиний державний іспит: Математика: Контрольно-вимірювальні матеріали. / Деніщева Л.О., Бойченко Є.М., Глазков6 під редакцією Ковальової Г.С; М-во освіти Російської Федерації - М.: Просвещение, 2003.
10. Крамор В.С. Повторюємо і систематизуємо шкільний курс алгебри та початків аналізу. - 2-е вид. - М.: Просвещение, 1993.
11. Кутас А.Д., Піголкіна Т.С., чохлів В.І., Яковлєва Т.Х.; під редакцією Яковлєва Г.Н.. Посібник з математики для вступників до ВНЗ .- 2-е вид .- М.: Наука, 1985.
12. Математика. Методичні вказівки по підготовці до вступних іспитів. / СПбГІТМО. - СПб., 2000.
13. Нараленков М.І. Вступні іспити з математики. Алгебра: як вирішувати завдання: Навчально-практичний посібник. - М.: Іспит, 2003.
14. Норін А.В. Збірник завдань з математики для вступників до ВНЗ: Навчальний посібник. - Спб.: Пітер, 2003.
15. Потапов М.К., Олійник С.М., Нестеренко Ю.В. Конкурсні завдання з математики: Довідкова допомога. - 2-е вид. - М.: Фізмаліт, 2001.
16. Потапов М.К., Александров А.В., Пасіченко П.І. Алгебра і початки аналізу. Сучасний курс для вступників до ВНЗ. - М.: Іспит, 1998.
17. Збірник завдань з математики для вступників до ВНЗ. / За ред. Проф. Прилепко А.І. - М.: Вища школа, 1983.
18. Симонов А.Я., Бакаєв Д.С., Елельман А.Г. Система тренувальних завдань та вправ з математики. - М.: Просвещение, 1991.
19. Сканаві М.І. Збірник завдань з математики для вступників до ВНЗ. - М.: Просвещение, 1988.
20. Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник посібник з методів вирішення завдань з математики для середньої школи. - М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.
21. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Інтенсивний курс підготовки до іспитів. - М.: Рольф, 1997.
22. Шаригін І.Ф. Математика. Для вступників до ВНЗ: Навчальний посібник. - 4-е вид. -М.: Дрофа, 2002.
23. Шаригін І.Ф., Голубєв В.І. Рішення задач: Навчальний посібник для 11 класу загальноосвітніх установ. - 2-е вид. - М.: Просвещение, 1995.
24. Шахно К.У. Збірник завдань з елементарної математики підвищеної труднощі: Вища школа, 1967.
25. Якушева Є.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Екзаменаційні питання та відповіді. Алгебра і початок аналізу 9 і 11 випускні класи: Навчальний посібник .- М.: АСТ-Пресс, 2000.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Диплом
276.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Елективний курс з алгебри для 9-го класу на тему Квадратні рівняння та нерівності з параметром
Обернені тригонометричні функції Тригонометричні рівняння і нерівності
Статечні ряди
Квадратні рівняння та рівняння вищих порядків
Нерівності
Проблема гендерної нерівності
Філософія нерівності Н А Бердяєва
Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена
Тема соціальної нерівності в творах Купріна
© Усі права захищені
написати до нас