Показники варіації вибіркове спостереження

На підставі вибіркових даних обчислити:
1. За «способу моментів»:
а) середній час, що витрачається на дорогу до інституту;
б) середнє квадратичне відхилення.
2. Коефіцієнт варіації.
Завдання № 1.6
Визначити групові дисперсії, середню з групових дисперсій, міжгрупова та загальну дисперсії за даними, наведеними у таблиці:
1.4. Контрольні питання
1. Необхідність вимірювання варіації ознак, від чого залежить її розмір.
2. Середнє лінійне відхилення, розмах варіацій та їхні недоліки як показників варіації.
3. Середнє квадратичне відхилення, дисперсія та особливості розрахунку для несгруппірованних і варіаційних рядів розподілу.
4. Мета розрахунок коефіцієнта варіації.
5. Основні властивості дисперсії.
6. Сутність спрощеного розрахунку дисперсії.
7. Дисперсія альтернативної ознаки.
8. Групи факторів, що викликають варіацію ознаки.
9. Методи розрахунку загальної, групової та міжгруповий дисперсій. Правило додавання дисперсій, його практичне значення.
10. Сенс розрахунок емпіричного коефіцієнта детермінації і кореляційного відношення.
11. Характеристика форм розподілу.
1.5. Тести
1. Варіація - це:
а) якісні зміни ознаки в межах однорідної сукупності, обумовлені впливом різних факторів;
б) відмінність у значеннях якої-небудь ознаки в різних одиниць даної сукупності в один і той же період або момент часу;
в) зміна («коливання») величини небудь значення ознака при переході від однієї одиниці сукупності до іншої;
г) всі відповіді вірні.
2. До абсолютними показниками варіації відносять:
а) розмах варіації;
б) коефіцієнт варіації;
в) мода;
г) середнє квадратичне відхилення;
д) дисперсія.
3. До відносних показників варіації відносять:
а) коефіцієнт інтенсивності;
б) коефіцієнт варіації;
в) середнє лінійне відхилення;
г) середнє квадратичне відхилення;
д) дисперсія.
4. Розмах варіації являє собою:
а) різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки;
б) різницю між мінімальним і максимальним значеннями ознаки;
в) сума мінімального і максимального значення ознаки;
г) свою відповідь.
5. Формула для розрахунку простий дисперсії для несгруппірованних даних має вигляд ______.
6. Формула для розрахунку дисперсії для варіаційного ряду має вигляд ________.
7. Корінь квадратний з дисперсії - це:
а) середнє лінійне відхилення;
б) середнє квадратичне відхилення;
в) розмах варіації;
г) свою відповідь.
8. Чим _______ значення дисперсії та середнього квадратичного відхилення, тим однорідніше сукупність і тим більше _____ буде середня величина.
9. Коефіцієнт варіації застосовують:
а) для порівняння варіацій різних ознак;
б) для характеристики однорідності сукупності;
в) для порівняння колеблемости одного й те ж ознаки в кількох неоднорідних сукупностях;
г) всі відповіді вірні.
10. Коефіцієнт варіації являє собою:
а) виражене абсолютним показником відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної;
б) відношення середнього лінійного відхилення до середньої арифметичної;
в) виражене в% відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної;
г) свою відповідь.
11. Сукупність вважається кількісно однорідною, а середня типовою, якщо коефіцієнт варіації
а) дорівнює 33%;
б) більше 44%;
в) більше 33%;
г) не перевищує 33%.
12. Якщо все значення ознаки збільшити або зменшити на одну і ту ж постійну величину А, то дисперсія від цього:
а) збільшиться чи зменшиться на величину А;
б) передбачити не можна;
в) не зміниться;
г) немає вірної відповіді.
13. Розподіл робочих по заробітній платі показано в наступній таблиці:
Визначити дисперсію по «способу моментів»:
а) 10018;
б) 5005;
в) 10491;
г) 2890.
14. Виділяють такі види дисперсій:
а) загальна;
б) міжгрупова;
в) хронологічна;
г) лінійна;
д) внутригрупповая
15. Загальна дисперсія вимірює ______________.
16. Відбиває випадкову варіацію:
а) загальна дисперсія;
б) міжгрупова дисперсія;
в) внутригрупповая дисперсія;
г) середня з внутрішньогрупових дисперсій.
17. Систематичну варіацію результативної ознаки характеризує:
а) загальна дисперсія;
б) міжгрупова дисперсія;
в) внутригрупповая дисперсія;
г) середня з внутрішньогрупових дисперсій.
18. Розподіл робітників за змінному виробітку виробу А показано в наступній таблиці:
Визначити дисперсію за формулою для згрупованих даних:
а) 1900;
б) 1700;
в) 1600;
г) свою відповідь.
19. Згідно з правилом додавання дисперсій загальна дисперсія дорівнює:
а) сумі середньої з внутрішньогрупових і міжгруповий дисперсій;
б) сумі внутрішньогрупових і міжгруповий дисперсій;
в) сумі внутрішньогрупових дисперсій;
г) свою відповідь.
20. Частку варіації результативної ознаки Y під впливом факторного ознаки X показує:
а) емпіричне кореляційне відношення;
б) емпіричний коефіцієнт детермінації;
в) середня з внутрішньогрупових дисперсій;
г) коефіцієнт структури.
21. Тісноту зв'язку між групувальні та результативною ознаками показує:
а) емпіричне кореляційне відношення;
б) емпіричний коефіцієнт детермінації;
в) середня з внутрішньогрупових дисперсій;
г) коефіцієнт структури;
22. Однорідні сукупності характеризуються ___________ розподілом:
а) одновершинною;
б) многовершінной;
в) двухвершінним;
г) свою відповідь.
23. Для симетричного розподілу має місце наступне співвідношення:
а) Х дорівнює Мо одно Ме;
б) Х більше Мо більше Ме;
в) Х менше Мо менше Ме;
г) немає вірної відповіді.
24. Крутість варіаційного ряду називають:
а) ассиметрієй;
б) симетрією;
в) ексцесом;
г) свою відповідь
25. Негативний знак показника асиметрії свідчить про:
а) правобічної асиметрії;
б) лівобічної асиметрії;
в) неістотності показника асиметрії;
г) суттєвості показника асиметрії.
26. Особливості кривої нормального розподілу:
а) симетрична щодо центру розподілу;
б) ексцес більше 0, асиметрія більше 0;
в) ексцес дорівнює 0, асиметрія дорівнює 0;
г) у проміжку знаходиться 60% всіх значень ознаки; - 70% всіх значень ознаки; - 90% всіх значень ознаки;
д) в проміжку знаходиться 68,3% всіх значень ознаки; - 95,4% всіх значень ознаки; - 99,7% всіх значень ознаки.

2. Вибіркові спостереження
Вибіркове спостереження - це таке несуцільне спостереження, при якому відбір підлягають обстеженню, як передбачено у випадковому порядку, відібрана частина вивчається, а результати поширюються на всю вихідну сукупність. Спостереження організовується таким чином, що ця частина відібраних одиниць у зменшеному масштабі репрезентує (представляє) всю сукупність.
Для характеристики надійності вибіркових показників розрізняють середню і граничну помилки вибірки.
2.1. Основні формули
Середня помилка вибірки при власне випадковому методі відбору ( ):
а) повторний відбір:
б) бесповторного відбір:
де n - чисельність вибіркової сукупності;
N - чисельність генеральної сукупності;
s ² - дисперсія середньої або частки;
відсоток вибірки.
Дисперсія середньої перебуває з використанням формул, зазначених у п. 5.
Дисперсія вибіркової частки:
де - Частка одиниць, що володіють даною ознакою у вибірковій сукупності;
m - одиниці вибіркової сукупності, що володіють даною ознакою.
Гранична помилка вибірки (D):
де t - коефіцієнт кратності (довіри).
Довірчі інтервали:

а) для середньої:				(2.5)
б) для частки:			(2.6)

Обсяг вибірки при повторному відборі:

а) для середньої			(2.7)
б) для частки:			(2.8)

Обсяг вибірки при бесповторном відборі:

а) для середньої				(2.9)
б) для частки:			(2.10)

2.2. Рішення типових завдань
Завдання № 2.1
З метою вивчення витрат часу на виготовлення деталі робітниками заводу проведена 10% випадкова бесповторного вибірка в результаті якої отримано дане розподіл деталей по витратах часу, представлено в наступній таблиці:
На основі цих даних обчислити:
1. З імовірністю 0.954 граничну помилку вибіркової середньої і можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі;
2. З імовірністю 0.954 граничну помилку вибіркової частки і межі питомої ваги числа деталей з витратами часу на їх виготовлення від 10 до 14 хв.

Рішення:
1. Визначаємо середні витрати часу на виготовлення 1 деталі для вибіркової сукупності за формулою середньої арифметичної зваженої:

Розраховуємо дисперсію для вибіркової сукупності за формулою середньозваженої для згрупованих даних:

Так як вибірка за умовою задачі дорівнює 10%, а n дорівнює 100 шт., То N рівне 1000 шт.Средняя помилка вибірки при бесповторном відборі розраховується за формулою:

Так ймовірність дорівнює 0,954, то коефіцієнт довіри t дорівнює 2. Гранична помилка вибірки визначається за формулою:

Довірчі інтервали (межі) середньої розраховуємо, виходячи з подвійного нерівності:
;
;
Таким чином, з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі лежать в межах від 12, 34 хв. до 13, 06 хв.
2. Визначаємо за вибіркової сукупності частку деталей з витратами часу на їх виготовлення від 10 до 14 хвилин за формулою:

Тоді дисперсія вибіркової частки дорівнює:

Середня помилка вибірки визначається за аналогічною формулою, що і для вибіркової середньої і дорівнює:

Гранична помилка вибірки для частки і довірчі інтервали визначається за формула:

.
Таким чином, з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка деталей, виготовлених з витратами часу від 10 до 14 хвилин становить від 61,3% до 78,9% у загальній кількості деталей.
Завдання № 2.2
Для визначення середнього віку 1200 студентів факультету необхідно провести вибіркове обстеження методом випадкового бесповторного відбору. Попередньо встановлено, що середнє квадратичне відхилення віку студентів одно 3 роки.
Визначити кількість студентів, яку потрібно обстежити, щоб з ймовірністю 0,954 середня помилка вибірки не перевищувала 3 роки.

Рішення:
Так як обстеження проведено методом бесповторного відбору для визначення середнього віку студентів, то необхідний обсяг вибірки розраховується за формулою:

Таким чином, вибірка чисельністю 43 людини забезпечує задану точність при бесповторном відборі.
2.3. Контрольні завдання
Завдання № 2.1
З метою контролю за дотриманням норм витрат сировини проведено вибіркове обстеження партії готової продукції. При механічному (бесповторном) способі відбору 5% виробів отримані певні дані про вагу обстежених одиниць, представлені в наступній таблиці:
На підставі вибіркових даних обчислити:
1. За «способу моментів»:
а) середня вага виробу;
б) дисперсію.
2. Cреднее квадратичне відхилення.
3. Коефіцієнт варіації.
4. З імовірністю 0.997 можливі межі, в яких укладено середня вага виробів у всій партії.
5. З імовірністю 0.954 можливі межі питомої ваги (частки) стандартної продукції у всій партії за умови, що до стандартної продукції відносяться всі вироби з вагою від 100 г до 130 г.
Завдання № 2.2
Для вивчення вікової структури робітників заводу за станом на 1 липня було проведено 3% вибіркове обстеження за методом випадкового бесповторного відбору. Результати обстеження розподілу робочих за віком представлені в наступній таблиці:
На підставі даних вибіркового обстеження обчисліть:
1. За «способу моментів»:
а) середній вік робітника;
б) дисперсію.
2. Середнє квадратичне відхилення.
3. Коефіцієнт варіації.
4. З імовірністю 0.997 можливі межі середнього віку робітників заводу.
5. З імовірністю 0.954 можливі межі частки робітників заводу, вік яких становить менше 20 років.
Завдання № 2.3
При вивченні продуктивності праці працівників торгівлі вироблено 10%-е вибіркове обстеження виконання норм виробітку касирами магазинів. У результаті механічного відбору отримані такі дані про розподіл вибіркової сукупності з виконання норм виробітку, представлені в таблиці:
За даними вибірки визначити для генеральної сукупності:
1. З імовірністю 0.954 межі значення частки касирів, які виконують норму виробітку.
2. З імовірністю 0.997 межі, в яких знаходиться середній відсоток виконання касирами норм виробітку.
Завдання № 2.4
На електроламповому заводі в порядку 5% механічної вибірки підтверджено 2000 лампочок, з яких 20 забраковано. Визначити з імовірністю 0,997, у яких межах коливається відсоток бракованих лампочок.

Завдання № 2.5
У порядку механічною 5%-ої вибірки було піддано випробуванню на розрив 1000 ниток з партії. Встановлено, що середня фортеця пряжі дорівнює 340 г при середньому квадратичному відхиленні 1920 З ймовірністю 0,954 визначте межі, в яких перебуває середня фортеця пряжі в партії.
Завдання № 2.6
У місті Н з числом сімей 15000 передбачається методом випадкового бесповторного відбору визначити частку сімей з дітьми ясельного віку. Яка повинна бути чисельність вибірки, щоб з ймовірністю 0,954 помилка вибірки не перевищувала 0,03, якщо на основі попередніх обстежень відомо, що дисперсія дорівнює 0,3.
2.4. Контрольні питання
1. Переваги вибіркового спостереження перед суцільним.
2. Дати визначення понять: помилка спостереження, помилка реєстрації, помилка репрезентативності, максимально можлива помилка.
3. Умови правильного відбору одиниць сукупності при вибірковому спостереженні.
4. Генеральна і вибіркова сукупності.
5. Відмінності між повторної і бесповторного вибірками.
6. Формули взаємозв'язку середньої і граничної помилки вибірки.
7. Формули розрахунку середньої помилки при повторному і бесповторном відборі.
8. Нерівності, що встановлюють можливі межі, в яких перебуватимуть характеристики генеральної сукупності.
9. Формули для розрахунку необхідного обсягу вибірки.
10. Сутність теорем П.Л. Чебишева і А.М. Ляпунова.
11. Поширення результатів вибіркового спостереження на генеральну сукупність.
2.5. Тести
1. Сукупність, з якої проводиться відбір одиниць для вибіркового спостереження називається:
а) вибіркової;
б) генеральної;
в) однорідною;
г) свою відповідь.
2. Види помилок статистичних спостережень:
а) реєстрації;
б) систематичні;
в) випадкові;
г) репрезентативності;
д) всі відповіді вірні.
3. За методом відбору розрізняють:
а) бесповторного відбір;
б) випадковий відбір;
в) повторний відбір;
г) всі відповіді вірні.
4. Якщо кількість одиниць у сукупності менше 30, то вибірка вважається:
а) великий;
б) малої;
в) середньої;
г) немає вірної відповіді.
5. Види вибірок:
а) випадкова;
б) типова;
в) механічна;
г) групова.
6. При 6%-ої вибірці з партії деталей в 600 од. обсяг вибірки n становить:
а) 54 од;
б) 36 од;
в) 46 од.
7. Для характеристики надійності вибіркових показників розрізняють такі види помилок вибірки:
а) середню;
б) випадкову;
в) граничну;
г) репрезентативності.
8. Розмір середньої помилки вибірки залежить від:
а) обсягу вибірки;
б) однорідності сукупності;
в) асиметрії;
г) ступеня варіювання досліджуваної ознаки.
9. Чим більше чисельність вибірки при інших рівних умовах, тим величина середньої помилки вибірки:
а) більше;
б) менше;
в) точніше
г) свою відповідь.
10. Чим більше варіація ознаки, тим ______ середня помилка вибірки:
а) більше;
б) менше;
в) точніше;
г) свою відповідь.
11. Середня помилка вибірки показує __________.
12. Середня помилка вибірки має одиниці виміру:
а) що і кількісний ознака;
б) не має одиниць вимірювання;
в) представлена ​​коефіцієнтом;
г) у відсотках.
13. Для відбору одиниць з неоднорідною сукупності застосовується:
а) типова вибірка;
б) механічна вибірка;
в) власне-випадкова вибірка;
г) серійна вибірка.
14. Відбір одиниць з генеральної сукупності за допомогою жеребкування або якого-небудь іншого подібного способу - це:
а) типова вибірка;
б) механічна вибірка;
в) власне-випадкова вибірка;
г) серійна вибірка.
15. Довірчі інтервали (межі) для середньої ___________.
16. Для швидкості розрахунків з кредиторами підприємств корпорації в комерційному банку була проведена випадкова вибірка 100 платіжних документів, за якими середній термін перерахування та отримання грошей виявився рівним 22 дні зі стандартним відхиленням 6 днів.
Визначити з імовірністю p рівною 0,954 граничну помилку вибіркової середньої і довірчі межі середньої тривалості розрахунків підприємств даної корпорації.
а) 1,2 дня; ;
б) 2,2 дня; ;
в) 3 дні; .
17. Серед вибіркового обстеження 1000 сімей регіону за рівнем душового доходу (вибірка 2%-а, механічна) малозабезпечених виявилося 300 сімей.
Визначити з імовірністю 0,997 частку малозабезпечених сімей у всьому регіоні і довірчі інтервали.
а) 2%; ;
б) 1,4%; ;
в) 5%; .
18. Для визначення частки робітників зі стажем роботи 20 років і більше на заводі з числом робочих 10000 була проведена механічна вибірка. Визначити якою повинна бути чисельність, щоб з ймовірністю 0,954 помилка вибірки не перевищувала 0,05, якщо на основі попередніх обстежень відомо, що дисперсія дорівнює 0,2.
а) 300 чол.;
б) 500 чол.;
в) 250 чол ..

3. ЛАВИ ДИНАМІКИ
Ряд динаміка представляє собою ряд розташованих у хронологічній послідовності числових значень статистичного показника, що характеризують зміну суспільних явищ у часі. Побудова та аналіз рядів динаміки дозволяє виявити і виміряти закономірності розвитку суспільних явищ у часі.
Аналіз інтенсивності зміни в часі здійснюється за допомогою показників, одержуваних в результаті порівняння рівнів ряду: абсолютний приріст, темп зростання, темп приросту, абсолютне значення одного відсотка приросту. Система середніх показників включає середній рівень ряду, середній абсолютний приріст, середній темп зростання, середній темп приросту.
3.1. Основні формули
Таблиця 3.1 - Основні характеристики ряду динаміки
Таблиця 3.2 - Середні показники ряду динаміки
Таблиця 3.3 - Середній рівень ряду
Таблиця 3.4 - Вимірювання зв'язку. Рівняння регресії
Параметри а ₀ і а ₁ визначаються із системи рівнянь:
а) лінійна регресія:
б) парабола другого порядку:
в) гіпербола:
Для визначення меж інтервалів прогнозованих явищ:
де - Коефіцієнт довіри з розподілу Стьюдента;
- Залишковий середнє квадратичне відхилення від тренду:
де m - число параметрів адекватної моделі тренду;
n - число рівнів ряду динаміки.
3.2. Рішення типових завдань
Завдання № 3.1
Динаміка виробництва електроенергії в Україні характеризується такими даними, представленими в таблиці 3.5 (стовпець 1 - 2):
Розрахувати:
1. Ланцюгові та базисні аналітичні показники ряду динаміки.
Перевірити взаємозв'язку.
2. Середні: рівень ряду, абсолютний приріст, темпи росту і приросту.
Таблиця 3.5 - Вихідні дані та розрахункові значення
Продовження таблиці 3.5
Рішення:
1. Перевірка взаємозв'язків:
а) абсолютних приростів:

б) темпів зростання:

2. Так як досліджуваний ряд динаміки являє собою інтервальний ряд з однаковими інтервалами, то розрахунок середнього розміру виробництва електроенергії виробляємо за формулою:

Середній абсолютний приріст розраховується за формулами:


Cредний темп зростання визначаємо за формулами:



Середній темп приросту визначається за формулою:


Завдання № 3.2
Є дані про врожайність зернових культур (вихідні дані в стовпцях 1 і 2):
Визначити врожайність на листопад поточного року, побудувавши лінійну трендовую модель.
Рішення:
Для вирівнювання ряду використовуємо лінійну трендовую модель -
рівняння прямої:
Параметри шуканого рівняння прямої визначаємо з наступної системи нормальних рівнянь:

звідки

Рівняння прямої буде мати вигляд:
Підставляючи в даній рівняння послідовно значення t, рівні -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, знаходимо вирівняні рівні .
Якщо , В нашому прикладі ці суми рівні між собою і дорівнюють 153,4, отже, значення рівнів вирівняного ряду знайдені вірно.
Отримане рівняння показує, що, незважаючи на значні коливання в окремі роки, спостерігається тенденція збільшення врожайності зернових культур в середньому на в місяць.
Використовуючи отримане рівняння методом екстраполяції при t рівному 11, визначаємо очікувану врожайність культур на листопад поточного року:

Знаючи точкову оцінку прогнозованого значення врожайності , Визначаємо імовірнісні кордону інтервалу за формулою:

При довірчій ймовірності, що дорівнює 0,95, коефіцієнт довіри Стьюдента дорівнює 2,306.


Таким чином, з імовірністю, рівною 0,95, можна стверджувати, що врожайність зернових культур в листопаді поточного року буде не менше ніж 10,25, але й не більше ніж 20,89 ц / га.
3.3. Контрольні завдання
Завдання № 3.1
Динаміка кредитних ресурсів комерційного банку характеризується наступними даними (на початок місяця, млн. у.о.), представленими в таблиці:
Визначити середній обсяг кредитних ресурсів за 1 квартал, 2 квартал та перше півріччя.
Завдання № 3.2
Вартість основних виробничих фондів підприємства виросла за період з 2003 по 2007 р. з 5,7 млн. у.о. до 8,6 млн. у.о. Чисельність працівників збільшилася за цей же час на 10%. Визначити середньорічні темпи приросту вартості основних фондів та чисельності персоналу.
Завдання № 3.3
Представлені дані комерційного: