РЕФЕРАТ
На тему:
Позначення та визначення тензорною алгебри
Зміст
1. Індексні позначення
2. Умова про підсумовуванні
3. Додавання, множення і згортання об'єктів
4. Симетричні і антисиметричною об'єкти
Література
1. Індексні позначення
Система індексних позначень складає таку значну частину тензорного числення, що читач, освоївшись одного разу з її особливостями, зможе йти далі самостійно. Тому ми присвятимо цю главу тільки самій системі позначень, виклавши коротко її застосування лише до теорії визначників, і відкладемо до наступної глави власне тензорною алгебру. Якщо нам дана сукупність трьох незалежних змінних, то вони можуть бути позначені трьома різними буквами, наприклад х, у, z, але ми вважаємо більш зручним позначати змінні даної сукупності однієї і тієї ж буквою, розрізняючи їх за допомогою індексів. Таким чином, ми можемо записати три змінні у вигляді xv х2, х3, або в більш компактній формі:
Тут ми написали індекс г внизу, але в рівній мірі ми могли б використовувати замість цього верхній значок, так що змінні були б записані у вигляді х1, х2, х3, або
Зрозуміло, що х г не означає зведення х в r-ю ступінь; індекс г використовується просто для того, щоб розрізнити три змінні. Згодом ми будемо використовувати як верхні, так і нижні індекси; в наступному розділі ми припишемо положенню індексу спеціальний зміст. Надалі ми побачимо, що для наших змінних зручна форма запису 2), а не 1).
Однорідна лінійна функція змінних звичайно записується у вигляді
де а,, а2, а3-константи. Таким чином, коефіцієнти лінійної форми можуть бути записані у вигляді
Об'єкти, які, подібно хт і ат, залежать тільки від одного індексу, називаються об'єктами першого порядку, а окремі букви з індексами х1, х2, х3 і аг, а2, а3 називаються елементами або складовими об'єкта. Об'єкти першого порядку, що мають три складові, назовемтрехмернимі. Є два типи об'єктів першого порядку, а саме ті, у яких індекс вгорі, і ті, у яких індекс внизу, отже, всі об'єкти першого порядку належать до одного з двох типів
З іншого боку, однорідна квадратична функція трьох змінних має вигляд
де a mn-константи. Ми бачимо, що коефіцієнти квадратичної форми залежать від двох індексів і записуються так:
Об'єкти, які залежать від двох індексів, називаються об'єктами другого порядку. З того, що індекси бувають верхні і нижні, випливає, що об'єкти другого порядку можуть бути трьох типів:
Легко бачити, що в цьому випадку кожен об'єкт має 9 складових.
Аналогічно можна отримати об'єкти третього порядку, які залежатимуть від трьох індексів і можуть належати до будь-якого з чотирьох типів:
Тут кожен об'єкт містить З3 або 27 складових. Ми можемо
продовжувати це побудова і отримати об'єкти будь-якого порядку. Для завершеності цієї послідовності ми назвемо об'єкт а, що не має індексів, об'єктом нульового порядку. Ми взяли число вимірювань рівним трьом лише для визначеності. Все, що було сказано вище, застосовується також до будь-якого числа вимірів, якщо домовитись, що число значень, пробігаємо індексом, так само | числа вимірів. Наприклад, якщо число вимірів дорівнює чотирьом, слід вважати, що індекси можуть пробігати значення від 1 до 4, а але від 1 до 3, як передбачалося вище.
2. Умова про підсумовуванні
Ми введемо тепер дві важливі умови щодо індексів. У тензорному обчисленні ми часто маємо справу з сумами типу C) і E); неважко помітити, що в цих формулах індекси, за якими йде підсумовування, з'являються двічі. Наші формули можна зробити компактніше, якщо позбутися від знаку 2 - Це може бути здійснено, якщо прийняти, що знак 2 буде розумітися в будь-якому випадку, коли в одночленів вираженні індекс повторюється. Тоді C) можна записати так:
а (5) набуде вигляду
Єдина незручність в застосуванні нашого умови виникає в тому випадку, коли ми бажаємо виписати один член якої-небудь із сум (8) або (9). Нам це потрібно дуже рідко, але ми запасемося для цього випадку угодою, що умова про підсумовуванні застосовується тільки, коли повторюється індекс записаний малої буквою, а використання великих букв для повторюваних індексів не означає підсумовування. Таким чином, окремі члени сум (8) і (9) будуть позначатися відповідно. Наше перша умова, отже, читається так:
Повторюваний малий латинський індекс означає підсумовування від 1 до 3.
Так як повторюваний індекс означає підсумовування від 1 до 3, то застосування який-небудь спеціальної літери для повторюваних індексів не обов'язково, і ми можемо замінити її будь-якою буквою, яка нам зручна, без зміни значення аналізованого виразу. Таким чином,
З цієї причини повторюваний індекс часто називають німим. Індекс, який в якомусь одночленів вираженні не повторюється, назвемо вільним. Таким чином, всі індекси в формулах D), F) і G)-вільні індекси; слід зазначити, що в. цих формулах вільні індекси пробігають значення від 1 до 3. Ми маємо, отже, наше друга умова:
Вільні (неповторювані) малі латинські індекси пробігають значення від 1 до 3.
Наприклад, об'єкт другого порядку буде тепер записуватися у вигляді
без якого-небудь додаткового згадки про число значень, пробігаємо г і s. Іншими словами, ara означає будь-яку з дев'яти складових
Зазначимо, що майже завжди німий індекс буде з'являтися в одним верхньому і в одній нижній положенні. Оскільки це виявиться можливим, в цьому розділі ми будемо дотримуватися такого розташування індексів.
3. Додавання, множення і згортання об'єктів
В алгебрі об'єктів з багатьма індексами є три головні операції, які називаються складанням, множенням і згортанням.
а) Додавання. Ця операція застосовується лише до об'єктів одного і того ж порядку і типу. Якщо нам дані два об'єкти одного і того ж порядку і типу і якщо ми складаємо кожну складову першого об'єкта з відповідною складовою другого, то ми, очевидно, приходимо до об'єкта того ж порядку і типу, що й доданки. Цей процес є операція додавання, і результуючий об'єкт називається сумою двох об'єктів. Таким чином, якщо arst і brst - два об'єкти третього порядку, то об'єкт , Визначений рівністю
Тобто сума і
. Ми маємо на увазі тут алгебраїчну суму, тому віднімання включено сюди як окремий випадок. Крім того, ця операція може бути поширено безпосередньо на випадок будь-якої кількості об'єктів, якщо тільки вони всі одного і того ж порядку і типу.
б) Множення. Ми зараз визначимо твір двох об'єктів. Якщо ми беремо два об'єкти будь-якого типу і множимо кожну складову першого об'єкта на кожну складову другого, ми отримуємо об'єкт, порядок якого дорівнює сумі порядків двох вихідних об'єктів; цей результуючий об'єкт називається твором двох об'єктів. Наприклад, якщо a r st - об'єкт третього порядку і b mn - об'єкт другого порядку, то ми бачимо, що об'єкт з rmn, складові якого визначаються рівністю
є об'єкт п'ятого порядку і є твором a r st і b mn. Цей процес, звичайно, може бути поширений на будь-яку кількість об'єктів.
в) Згортання. Процес згортання може бути пояснений на прикладі. Візьмемо об'єкт п'ятого порядку
який має як верхні, так і нижні індекси. Якщо ми тепер покладемо і рівним р, ми отримаємо об'єкт arsfp, і так як р є тепер повторюється індексом, то необхідно зробити підсумовування від 1 до 3, відповідно до нашого умовою. Отже, отриманий таким шляхом новий
Ми бачимо, що наш новий об'єкт A2)-третього по-рядка, тобто його порядок на два нижче, ніж порядок вихідного об'єкта. Операція може бути, очевидно, повторена кілька разів, тобто ми можемо зробити згортання щодо будь-якої пари індексів, один з яких є нижнім,, а другой-верхнім. У наведеному вище прикладі ми можемо зробити згортання ще раз за індексами rp, отримавши об'єкт першого порядку
Є ще одна операція, яка називається внутрішнім множенням, яка не є новою, так як в дійсності вона є комбінацією множення і згортання. Щоб виконати цю операцію над двома об'єктами, ми спочатку перемножуємо їх, а потім згортаємо твір по нижньому індексу одного об'єкта і верхньому індексом іншого. Таким чином, внутрішнє твір двох об'єктів є, наприклад,
4. Симетричні і антисиметричною об'єкти
Якщо ми маємо об'єкт а mn з двома нижніми індексами, то може статися, що кожна із складових не зміниться по величині і знаку при зміні місць індексів, т. е.
Такий об'єкт називають симетричним. У більш загальному випадку об'єкт, що має будь-яке число нижніх індексів, називається симетричним щодо двох із них, якщо складові не змінюються при зміні місць цих двох індексів. Об'єкт називається абсолютно симетричним щодо нижніх індексів, якщо при зміні місць будь-яких двох з них становлять не змінюються. Абсолютно симетричний об'єкт третього порядку буде, отже, задовольняти співвідношенням
З іншого боку, об'єкт а mn називається антисиметричною, якщо зміна місць індексів змінює знак складової, але не змінює її чисельного значення; в такому разі ми маємо
Ці рівності, виписані повністю, виглядають так:
звідки ми негайно укладаємо, що Як і вище, об'єкт може бути антисиметричною або щодо двох якихось нижніх індексів, або щодо всіх пар індексів, у останньому випадку об'єкт називається абсолютно антисиметричною. Абсолютно антисиметричною об'єкт третього порядку повинен задовольняти співвідношенням
Все сказане вище про симетрії і антисиметрії в рівній мірі стосується і верхнім індексами.
Література
1. Рашевський П.К., Ріманова геометрія і тензорний аналіз, Гостехиздат, Москва, 1953.
2. Гуревич Г.В., Основи теорії алгебраїчних інваріантів, Гостехиздат, Москва, 1948.
3. Праці семінару з векторного і тензорного аналізу, вип. I-X, Гостехиздат, Москва, 1933, 1956.
4. Каган В.Ф., Основи теорії поверхонь, т, 1, Гостехиздат, Москва, 1943, т. Ц, Москва, 1947.