Переклад чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
Арифметичні операції з числами в позиційних системах числення
Системою числення називається сукупність прийомів найменування та запису чисел. У будь-якій системі числення для подання чисел вибираються деякі символи (їх називають цифрами), а інші числа виходять в результаті будь-яких операцій над цифрами даної системи числення.
Система називається позиційною, якщо значення кожної цифри (її вага) змінюється в залежності від її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображують число.
Число одиниць якого-небудь розряду, що об'єднуються в одиницю більш старшого розряду, називають підставою позиційної системи числення. Якщо кількість таких цифр дорівнює P, то система числення називається P-ічной. Основа системи числення збігається з кількістю цифр, що використовуються для запису чисел в цій системі числення.
Запис довільного числа x в P-ічной позиційній системі числення грунтується на представленні цього числа у вигляді многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + ... + A1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + A-mP-m
Арифметичні дії над числами в будь-якій позиційній системі числення здійснюються за тими ж правилами, що і десятковій системі, так як всі вони грунтуються на правилах виконання дій над відповідними многочленами. При цьому потрібно тільки користуватися тими таблицями додавання і множення, які відповідають даній підставі P системи числення.
При перекладі чисел з десяткової системи числення в систему з основою P> 1 зазвичай використовують наступний алгоритм:
1) якщо переводиться ціла частина числа, то вона ділиться на P, після чого запам'ятовується залишок від ділення. Отримане приватне знову ділиться на P, залишок запам'ятовується. Процедура триває до тих пір, поки приватне не стане рівним нулю. Залишки від ділення на P виписуються в порядку, зворотному їх отримання;
2) якщо переводиться дробова частина числа, то вона множиться на P, після чого ціла частина запам'ятовується і відкидається. Знову отримана дробова частина множиться на P і т.д. Процедура триває до тих пір, поки дробова частина не стане рівною нулю. Цілі частини виписуються після двійковій комою в порядку їх отримання. Результатом може бути або кінцева, або періодична двійкова дріб. Тому, коли дріб є періодичною, доводиться обривати множення на будь-якому кроці і задовольнятися наближеною записом вихідного числа в системі з основою P.
Приклади розв'язання задач
1. Перевести дане число з десяткової системи числення в двійкову:
а) 464 (10), б) 380,1875 (10), в) 115,94 (10) (отримати п'ять знаків після коми в двійковому представленні).
Рішення.
464 | 0380 | 0 | 1875 115 | 1 | 94
232 | 0190 | 0 0 | 375 57 | 1 1 | 88
116 | 0 95 | 1 0 | 75 28 | 0 1 | 76
58 | 0 47 | 1 1 | 5 14 | 0 1 | 52
а) 29 | 1 б) 23 | 1 1 | 0 в) 7 | 1 1 | 04
14 | 0 11 | 1 3 | 1 0 | 08
7 | 1 5 | 1 1 | 1 0 | 16
3 | 1 2 | 0
1 | 1 1 | 1
а) 464 (10) = 111 010 000 (2), б) 380,1875 (10) = 101111100,0011 (2), в) 115,94 (10) »+1110011,11110 (2) (у цьому випадку було отримано шість знаків після коми, після чого результат був заокруглений).
Якщо необхідно перевести число з двійкової системи числення в систему числення, підставою якої є ступінь двійки, досить об'єднати цифри двійкового числа в групи по стільки цифр, який показник ступеня, і використовувати наведений нижче алгоритм. Наприклад, якщо переказ здійснюється у вісімкову систему, то групи будуть містити три цифри (8 = 23). Отже, в цілій частині будемо виробляти угруповання справа наліво, в дробової - зліва направо. Якщо в останній групі бракує цифр, дописуємо нулі: у цілої частини - зліва, у дробовій - справа. Потім кожна група замінюється відповідною цифрою нової системи. Відповідності наведені в таблицях.
| P | 2 | 00 | 01 | 10 | 11 |
| 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 2 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| 8 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P | 2 | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 16 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Переведемо з двійкової системи в шістнадцяткову число 1111010101,11 (2).
0011 1101 0101,1100 (2) = 3D5, C (16).
При перекладі чисел із системи числення з основою P у десяткову систему числення необхідно пронумерувати розряди цілої частини справа наліво, починаючи з нульового, і в дробової частини, починаючи з розряду відразу після коми зліва направо (початковий номер -1). Потім обчислити суму добутків відповідних значень розрядів на основу системи числення в ступені, що дорівнює номеру розряду. Це і є уявлення початкового числа в десятковій системі числення.
2. Перевести дане число в десяткову систему числення.
а) 1000001 (2).
1000001 (2) = 1 × 26 +0 × 25 +0 × 24 +0 × 23 +0 × 22 + 0 × 21 +1 × 20 = 64 +1 = 65 (10).
Зауваження. Очевидно, що якщо в якому-небудь розряді варто нуль, то відповідне доданок можна опускати.
б) 1000011111,0101 (2).
1000011111,0101 (2) = 1 × 29 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2-2 + 1 × 2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125 (10).
в) 1216,04 (8).
1216,04 (8) = 1 × 83 +2 × 82 +1 × 81 +6 × 80 +4 × 8-2 = 512 +128 +8 +6 +0,0625 = 654,0625 (10).
г) 29A, 5 (16).
29A, 5 (16) = 2 × 162 × 161 +9 +10 × 160 × +5 16-1 = 512 +144 +10 +0,3125 = 656,3125 (10).
Для виконання арифметичних операцій в системі числення з основою P необхідно мати відповідні таблиці додавання і множення. Для P = 2, 8 і 16 таблиці представлені нижче.
|
|
|
|
|
|
3. Скласти числа:
а) 10000000100 (2) + 111 000 010 (2) = 10111000110 (2).
б) 223,2 (8) + 427,54 (8) = 652,74 (8).
в) 3B3, 6 (16) + 38B, 4 (16) = 73E, A (16).
10000000100 223,2 3B3, 6
+ 111000010 + 427,54 +38 B, 4
------------ ------- -----
10111000110 652,74 73E, A
4. Виконати віднімання:
а) 1100000011,011 (2) - 101010111,1 (2) = 110101011,111 (2).
б) 1510,2 (8) - 1230,54 (8) = 257,44 (8).
в) 27D, D8 (16) - 191,2 (16) = EC, B8 (16).
1100000011,011 1510,2 27D, D8
- 101010111,1 -1230,54 -191,2
-------------- ------- ------
+110101011,111 257,44 EC, B8
5. Виконати множення:
а) 100111 (2) '1000111 (2) = 101011010001 (2).
б) 1170,64 (8) '46,3 (8) = 57334,134 (8).
в) 61, A (16) '40, D (16) = 18B7, 52 (16).
100111 1170,64 61, A
* 1000111 * 46,3 * 40, D
------------- -------------- ----------
100111 355 234 4F 52
+ 100111 + 7324 70 + 1868
100111 47432 0 ----------
100111 ------------- 18B7, 52
------------- 57334,134
101011010001
Завдання з позиційних систем числення
Контрольні питання і завдання
Дати визначення системи числення. Назвати та охарактеризувати властивості системи числення.
Які символи використовуються для запису чисел у двійковій системі числення, вісімковій, шістнадцятковій?
Чому рівні ваги розрядів зліва від точки, що розділяє цілу і дробову частину, у двійковій системі числення (вісімковій, шістнадцятковій)?
Чому рівні ваги розрядів праворуч від точки, що розділяє цілу і дробову частину, у двійковій системі числення (вісімковій, шістнадцятковій)?
Зашифруйте наступні десяткові числа, перетворивши їх в двійкові (вісімкові, шістнадцяткові): 0, 1, 18, 25, 128.
Дешифрує наступні двійкові числа, перетворивши їх в десяткові: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.
Дешифрує наступні вісімкові числа, перетворивши їх в десяткові: 777, 375, 111, 1015.
Дешифрує наступні шістнадцяткові числа, перетворивши їх в десяткові: 15, A6, 1F5, 63.