РЕФЕРАТ
на тему:
" Поздовжніх і поперечних хвиль "
учениця 11 класу
Мельник Анжела
Поздовжніх і поперечних хвиль
У фізиці ми маємо справу з хвилями різної природи: механічними, електромагнітними і т.д. Незважаючи на відмінності, ці хвилі мають багато спільних рис. Хвилі, що розглядається параметр яких (зміщення молекул, механічне напруження, і т.д.) змінюється періодично вздовж осі розповсюдження, називаються поздовжніми хвилями. Якщо коливання відбуваються перпендикулярно до напрямку поширення хвилі (як у електромагнітних хвиль, наприклад), то такі хвилі називаються поперечними.
Якщо взаємозв'язок між частинками середовища здійснюється силами пружності, що виникають внаслідок деформації середовища при передачі коливань від одних частинок до інших, то хвилі називаються пружними. До них відносяться звукові, ультразвукові, сейсмічні й ін хвилі. На першій анімації зображений процес поширення поздовжньої пружної хвилі в решітці, що складається з кульок, з'єднаних пружними пружинками. Кожна кулька коливається по гармонічному закону в поздовжньому напрямку, що збігається з напрямком поширення хвилі. Амплітуда кожної кульки однакова і дорівнює A, а фаза коливань лінійно зростає зі збільшенням номера кульки на тобто
x 0 = A sin ( t); x 1 = A sin ( t + ); x 2 = A sin ( t + 2 ); x 3 = A sin ( t + 3 ); і т. д.
де -частота хвилі, t - час, - зміна фази від кульки до кульки
У поперечної хвилі коливання відбуваються в напрямку, перпендикулярному напрямку поширення хвилі. Як і у випадку поздовжніх хвиль амплітуди коливань всіх кульок однакові, а фаза лінійно змінюється від кульки до кульки
y 0 = B sin ( t); y 1 = B sin ( t + ); y 2 = B sin ( t + 2 ); y 3 = B sin ( t + 3 ); і т.д.
У загальному вигляді рівняння поширення хвилі може бути записано у вигляді: z = A cos ( t kx де z - координата, по якій відбувається рух частинок, x - координата осі, вздовж якої поширюється хвиля, k - хвильове число, рівне / v, v - швидкість розповсюдження хвилі. Знаючи частоту хвилі та швидкість її поширення, ми можемо знайти зсув фаз між сусідніми кульками (частками): / v) a, де a - відстань між кульками в решітці.
На наступній анімації зображено накладення поздовжньої і поперечної хвиль рівною амплітуди, зсунутих за фазою на 90 градусів. У результаті кожна маса здійснює кругові рухи. Рівняння руху кожної кульки може бути описано рівнянням:
x = A cos ( t + ); y = A sin ( t + )
У хвиль, які спостерігаються на поверхні рідини, так званих поверхневих хвиль, взаємозв'язок між сусідніми елементами поверхні рідини при передачі коливань здійснюється не силами пружності, а силами поверхневого натягу і тяжкості. Коливання мас у сітці моделюють рух молекул у хвилі на поверхні рідини. У разі малої амплітуди хвилі кожна маса рухається по колу, радіус якої зменшується з відстанню від поверхні. Маси внизу сітки перебувають у спокої
.
Хвилі на поверхні рідини не є ні поздовжніми, ні поперечними. Як ми можемо бачити на анімації, червона кулька, що моделює молекулу поверхні рідини, рухається по круговій траєкторії. Таким чином, хвиля на поверхні рідини являє собою суперпозицію поздовжнього і поперечного руху молекул.
Інтерференції і дифракції хвиль на поверхні рідини
Інтерференція двох лінійних хвиль
Розглянемо хвилю, яка виникає на поверхні рідини під впливом коливань довгого циліндричного стрижня:
z = A cos ( t
де A - амплітуда коливань циліндра, = 2 f, f - частота коливань, t - час.
Якщо хвиля поширюється без загасання, то будь-яка точка поверхні рідини буде коливатися з тією ж амплітудою, що і стрижень, але фаза коливань буде змінюватися пропорційно відстані від нього:
z = A cos ( t kx
де k = / v, v - швидкість розповсюдження хвилі. У загальному випадку, хвиля буде затухати з-за внутрішнього тертя рідини і амплітуда коливань A буде зменшуватися з відстанню.
Далі розглянемо випадок інтерференції хвиль від двох стрижнів, вібруючих з однаковою частотою. Припустимо, що відстань між стрижнями - d. Амплітуда коливань поверхні рідини в будь-якій точці з координатою x може бути знайдена як сума двох хвиль:
z = A cos ( t - kx) + A cos ( t + k (x - d))
Хвильове число k входить в вищевказану формулу з різними знаками, що відповідає протилежного напрямку поширенню хвиль від двох стержнів. Ця формула може бути також переписана у вигляді:
z = 2 A cos ( t - kd / 2) cos (kx - kd / 2)
Отриманий вираз описує інтерференцію двох лінійних хвиль, що розповсюджуються в протилежних напрямках (стояча хвиля). Ми можемо бачити з цього виразу, що існують точки на поверхні рідини, де хвилі інтерферують в протифазі і коливання в цих точках відсутні (так звані вузли), і є точки, де хвилі накладаються, посилюючи один одного, і в цих точках коливання відбуваються з подвоєною амплітудою 2 A (пучності). Вузли виникають в точках, для яких вірно рівність cos (kx - kd / 2) = 0, тобто в точках x = / 2 (1 / 2 + n) + d / 2, де n - ціле число, а - довжина хвилі. Це означає, відстань між сусідніми вузлами дорівнює половині довжини хвилі. Те ж саме твердження справедливо і для відстані між максимумами інтерференційної картини. Так пучності з'являються в точках для яких cos (kx - kd / 2) дорівнює +1 або -1, тобто в точках x = n / 2 + d / 2. Знаючи частоту коливань стрижнів і вимірюючи відстань між вузлами або пучностями (за допомогою, наприклад, мікроскопа), ми можемо знайти швидкість поширення хвиль на поверхні рідини і потім, знаючи ці дані, ми можемо обчислити багато важливих параметрів середовища, в якій розповсюджується хвиля.
Анімація показує інтерференцію двох хвиль на поверхні рідини, порушуваних вібруючими стрижнями. Хвилі розповсюджуються в протилежних напрямках і інтерферують з утворенням стоячої хвилі. Червоний кулька розташований у пучності стоячій хвилі і коливається з максимальною амплітудою. Паралелепіпед розташований у вузлі інтерференційної картини і амплітуда його коливань дорівнює нулю (він здійснює лише обертальні рухи, дотримуючись нахилу хвилі).
Кругові хвилі на поверхні рідини
Спостереження хвиль на поверхні рідини дозволяє вивчити і візуально уявити багато хвильові явища, загальні для різних типів хвиль: інтерференцію, дифракцію, відображення хвиль і т.д. Розглянемо кругову хвилю на поверхні рідини, створювану точковим джерелом, в якості якого ми візьмемо маленьку кульку на поверхні рідини, що коливається у вертикальному напрямі з малою амплітудою. Так як кулька має кінцеві розміри, то кожна його точка, що стикається з рідиною, є, по суті, точковим джерелом хвиль, накладення яких і дає дійсну хвилю. Однак на відстані, багато більшому діаметру кульки, цим можна знехтувати і утворюються хвилі розглядати як кругові, тобто складається з концентричних кіл. При цьому сам кулька приймають за точкове джерело хвиль. Відзначимо, що плоску хвилю завжди можна представити як сферичну, але з нескінченно великим радіусом, тобто вважати центр плоскої хвилі знаходяться у нескінченності.
Інтерференція хвиль від двох точкових джерел
Розглянемо тепер два маленькі кульки, хто хитається на поверхні рідини. Кожен з кульок збуджує хвилю. Накладаючись, ці хвилі дають інтерференційну картину, показану на анімації. Розглянемо рівняння, що описує інтерференційну картину.
Якщо знехтувати загасанням, то хвиля від кожної кульки може бути записана наступним чином:
s 1 = A 1 cos ( t - kr 1); s 2 = A 2 cos ( t - kr 2);
де A 1 і A 2 - амплітуди хвиль, r 1 і r 2 - відстані відповідно від першого і другого кульки, k = / v, v - швидкість розповсюдження хвиль.
Так як різниця = r 2 - r 1 багато менше, ніж кожне з відстаней r 1 і r 2, ми можемо покласти A = A 1 = A 2. У цьому наближенні накладення хвиль s 1 і s 2 описується наступним виразом:
s = s 1 + s 2 = 2 A cos [k (r 2 - r 1) / 2] cos [ t - k (r 1 + r 2) / 2]
З цього виразу видно, що в точках, для яких r 2 - r 1 = (1 / 2 + n), поверхня рідини не коливається. Ці вузлові точки (лінії) чітко видно на анімації.
Інтерференція кругової хвилі в рідині з її відображенням від стінки
Розглянемо точкове джерело хвиль на поверхні рідини (коливний кулька) і повністю відображає стінку, встановлену в на деякій відстані від нього. Якщо відстань від джерела до стінки кратно цілому числу півхвиль, то вихідна кругова хвиля буде інтерферувати з хвилею, відбитої від стінки, створюючи в хвильової ванні інтерференційну картину, як показано на анімації. Згідно з принципом Гюйгенса, відбита хвиля збігається з тією, яка б збуджувалася фіктивним точковим джерелом, розташованим по інший бік стінки симетрично реального джерела кругових хвиль. При цьому якщо відстань від джерела до стінки кратно цілому числу півхвиль, то праворуч від джерела на осі з'єднує фіктивним і реальне джерело різниця фаз буде кратна цілому числу хвиль і кругова хвиля накладається у фазі з хвилею, відбитої від стінки, збільшуючи висоту гребенів у інтерференційної картини .
На наступній анімації також зображена картина інтерференції кругової хвилі на поверхні рідини з її відображенням від стінки. У цьому випадку відстань між точковим джерелом і стінкою кратно цілому числу півхвиль плюс чверть хвилі (або, інакше кажучи, так само непарному числу чверть хвиль). При цьому праворуч від джерела кругова хвиля накладається в протифазі з хвилею, відбитої від стінки. У результаті ми бачимо, що в широкій смузі праворуч від джерела коливання рідини відсутні.
Дифракція кругової хвилі на вузької щілини
На наступній анімації наведено модель дифракції кругової хвилі на вузької щілини в стінці, встановленої в кюветі з рідиною. Зліва від стінки ми бачимо появу відбитої хвилі, а праворуч від стінки виникає нова кругова хвиля з меншою амплітудою, що відповідає принципу Гюйгенса-Френеля. Згідно з цим принципом, спочатку введеному голландським ученим Х. Гюйгенсом (Ch.Huygens, 1678), кожен елемент поверхні, якої досягла в даний момент хвиля, є центром елементарних хвиль, що огинає яких буде хвильовою поверхнею в наступний момент часу, при цьому зворотні елементарні хвилі до уваги не приймаються. Французький фізик О. Ж. Френель (AJFresnel, 1815) доповнив принцип Гюйгенса, ввівши уявлення про когерентності елементарних хвиль і інтерференції хвиль, що дозволило розглядати на основі принципу Гюйгенса-Френеля багато дифракційні явища. Згідно з цим принципом, хвилеве обурення за непроникною стінкою зі щілиною, як показано на анімації, можна розглядати як результат інтерференції вторинних хвиль, які виникають в просторі щілини. Якщо щілина вузька і віддалена на значну відстань від джерела, то за стінкою буде поширюватися кругова хвиля, центром якої є щілину. Оскільки велика частина хвилі від джерела гаситься на стінці, амплітуда минулої хвилі буде багато менше падаючої.
ВІДБИТТЯ УДАРНИХ ХВИЛЬ
Хвилі з великою амплітудою, що виникають при детонації вибухових речовин, електричному іскровому розряді, і т.д., і звані ударними хвилями, розповсюджуються за іншими законами, ніж хвилі з малими амплітудами, які ми розглядали до цих пір. У ударної хвилі виникає, образно висловлюючись, дуже крута гора з пов'язаною з її задній стороні пологої, злегка хвилястою долиною. Це хвилі з аномально великою амплітудою мають більшу швидкість ніж нормальні звукові хвилі. Внаслідок великої щільності повітря в гребенях хвиль їх можна фотографувати як тіньові картини.
ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ХВИЛІ
Розглянемо плоску електромагнітну хвилю, що поширюється вздовж осі абсцис. Рівняння такої хвилі може бути записано у вигляді:
E x = 0, E y = E 0 cos ( t - kx), E z = 0;
H x = 0, H y = 0, H z = H 0 cos ( t - kx);
Тут k = u - хвильове число, u - швидкість хвилі. Розглянута хвиля зображена схематично у вигляді анімації. Як видно, вздовж осі абсцис, по якій хвиля поширюється, не відбувається коливань векторів поля (E x = H x = 0). Це означає, що електромагнітна хвиля є поперечною. Цим вона принципово відрізняється від пружних хвиль, у яких практично завжди є поздовжня складова.
Інший принцип поширення електромагнітної хвилі полягає в тому, що вектора напруженості електричного і магнітного поля E і H коливаються в фазі, тобто вони досягають максимуму і мінімуму в одних і тих же точках простору.
АКУСТИЧНІ ХВИЛІ
Відчуття звуку виникає завдяки механічним коливанням барабанної перетинки вуха. Ці коливання збуджуються акустичної хвилею, що поширюється від джерела звуку до вуха. Будь-який коливний предмет може порушувати акустичну хвилю, але вухо здатне сприймати лише коливання в частотному діапазоні 20 Гц - 20кГц. Звукові хвилі, що лежать вище цього частотного діапазону (ультразвук) і нижче нього (інфразвук) можуть реєструватися лише спеціальними приладами. Розглянемо процес генерації звуку гучномовцем. Змінний струм, протікаючи по котушці гучномовця, збуджує коливання дифузора. У результаті, повітря, розташований поблизу дифузора, виявляється поперемінно то стислим, то розрідженим. Області з надлишковим тиском поширюються в просторі у вигляді акустичних хвиль. Коли така хвиля досягає вуха, вона збуджує коливання барабанної перетинки і ми чуємо звук. Так як коливання молекул повітря відбуваються у напрямку поширення хвилі, акустична хвиля в повітрі становить собою типовий приклад поздовжньої хвилі.
Якщо розмір джерела звуку багато менше довжини хвилі, то буде порушуватися сферична хвиля, а джерело звуку може бути розглянуто як точкове джерело. В іншому випадку, коли розмір джерела багато більше, ніж довжина хвилі, порушуватиметься плоска звукова хвиля. Швидкість акустичної хвилі залежить від властивостей середовища, в якій вона поширюється. Формула для швидкості звукових хвиль була запропонована Лапласом (1749-1827):
де - адіабатична постійна, R - універсальна газова константа, T - температура газу, - молекулярна вага газу. Ця формула була виведена в припущенні, що поширення звуку - адіабатичний процес. З цієї формули випливає зокрема, що швидкість звуку в повітрі при температурі T = 273 K дорівнює 330 м / с, що знаходиться в хорошому відповідності з експериментальними результатами.