Повне дослідження функцій і побудова їх графіків

Дисципліна: Вища математика

Тема: Повне дослідження функцій і побудова їх графіків.

1. Зростання і спадання функції

Рішення різних завдань з області математики, фізики та техніки призводить до встановлення функціональної залежності між що у даному явищі змінними величинами. Якщо таку функціональну залежність можна виразити аналітично, тобто у вигляді однієї або декількох формул, то з'являється можливість досліджувати її засобами математичного аналізу. Мається на увазі можливість з'ясування поведінки функції при зміні тієї чи іншої змінної величини (де функція зростає, де убуває, де досягає максимуму і т.д.). Застосування диференціального числення до дослідження функції спирається на досить просту зв'язок, який існує між поведінкою функції і властивостями її похідної, насамперед її першої та другої похідної.

Розглянемо спочатку, як можна знаходити інтервали зростання чи зменшення функції, тобто інтервали її монотонності. У п. 8.2 було дано визначення монотонно спадною і зростаючої функції. Виходячи з цього, можна сформулювати прості теореми, що дозволяють зв'язати значення першої похідної даної функції з характером її монотонності.

Теорема 1.1. Якщо функція , Дифференцируемая на інтервалі , Монотонно зростає на цьому інтервалі, то в будь-якій його точці ; Якщо вона монотонно убуває, то в будь-якій точці інтервалу .

Доказ. Нехай функція монотонно зросте на , Значить, виходячи з визначення 8.2.2, для будь-якого достатньо малого виконується нерівність: (Рис. 1.1).

Рис. 1.1

Розглянемо межу . Якщо , То , Якщо , То . В обох випадках вираз під знаком межі позитивно, отже, і межа позитивний, тобто , Що й потрібно було довести. Аналогічно доводиться і друга частина теореми, пов'язана з монотонним убуванням функції.

Теорема 1.2. Якщо функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, і, крім того, для будь-якого , То дана функція монотонно зростає на ; Якщо для будь-якого , То дана функція монотонно убуває на .

Доказ. Візьмемо і , Причому . По теоремі Лагранжа (п. 14.2), . Але і , Значить, , Тобто . Отриманий результат вказує на монотонне зростання функції, що й потрібно було довести. Аналогічно доводиться друга частина теореми.

2. Екстремуми функції

При дослідженні поведінки функції особливу роль грають точки, які відділяють один від одного інтервали монотонного зростання від інтервалів її монотонного спадання.

Визначення 2.1. Точка називається точкою максимуму функції , Якщо для будь-якого, скільки завгодно малого , , А точка називається точкою мінімуму, якщо .

Точки мінімуму і максимуму мають загальну назву точок екстремуму. У кусочно-монотонної функції таких точок кінцеве число на кінцевому інтервалі (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Теорема 2.1 (необхідна умова існування екстремуму). Якщо дифференцируемая на інтервалі функція має в точці з цього інтервалу максимум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю. Те ж саме можна сказати і про точку мінімуму .

Доказ цієї теореми випливає з теореми Ролля (п. 14.1), в якій було показано, що в точках мінімуму або максимуму , І дотична, проведена до графіка функції в цих точках, паралельна осі .

З теореми 2.1 випливає, що якщо функція має похідну у всіх точках, то вона може досягати екстремуму в тих точках, де .

Проте ця умова не є достатнім, так як існують функції, у яких зазначена умова виконується, але екстремуму немає. Наприклад, у функції в точці похідна дорівнює нулю, однак екстремуму в цій точці немає. Крім того, екстремум може бути в тих точках, де похідна не існує. Наприклад, у функції є мінімум в точці , Хоча похідна у цій точці не існує.

Визначення 2.2. Точки, в яких похідна функції звертається в нуль або терпить розрив, називаються критичними точками цієї функції.

Отже, теореми 2.1 недостатньо для визначення екстремальних точок.

Теорема 2.2 (достатня умова існування екстремуму). Нехай функція неперервна на інтервалі , Який містить її критичну точку , І дифференцируема у всіх точках цього інтервалу, за винятком, можливо, самої точки . Тоді, якщо при переході цієї точки зліва направо знак похідної змінюється з плюса на мінус, то це точка максимуму, і, навпаки, з мінуса на плюс - точка мінімуму.

Доказ. Якщо похідна функції змінює свій знак при переході точки зліва направо з плюса на мінус, то функція переходить від зростання до спадаючій, тобто сягає в точці свого максимуму і навпаки.

З вищесказаного випливає схема дослідження функції на екстремум:

1) знаходять область визначення функції;

2) обчислюють похідну ;

3) знаходять критичні точки;

4) щодо зміни знака першої похідної визначають їх характер.

Не слід плутати завдання дослідження функції на екстремум із завданням визначення мінімального і максимального значення функції на відрізку. У другому випадку необхідно знайти не лише екстремальні точки на відрізку, а й порівняти їх із значенням функції на його кінцях.

3. Інтервали опуклості і угнутості функції

Ще однією характеристикою графіка функції, яку можна визначати за допомогою похідної, є його опуклість або увігнутість.

Визначення 3.1. Функція називається опуклою на проміжку , Якщо її графік розташований нижче будь дотичній, проведеної до нього на даному проміжку, і навпаки, називається увігнутою, якщо її графік виявиться вище будь дотичній, проведеної до нього на даному проміжку.

Доведемо теорему, що дозволяє визначати інтервали опуклості і угнутості функції.

Теорема 3.1. Якщо у всіх точках інтервалу друга похідна функції безперервна і негативна, то функція опукла і навпаки, якщо друга похідна неперервна і позитивна, то функція увігнута.

Доказ проведемо для інтервалу опуклості функції. Візьмемо довільну точку і проведемо в цій точці дотичну до графіка функції (Рис. 3.1). Теорема буде доведена, якщо буде показано, що всі точки кривої на проміжку лежать під цією дотичній. Інакше кажучи, необхідно довести, що для одних і тих же значень ординати кривої менше, ніж ординати дотичної, проведеної до неї у точці .

Рис. 3.1

Для визначеності позначимо рівняння кривої: , А рівняння дотичній до неї у точці : або . Складемо різниця і :

.

Застосуємо до різниці теорему про середню Лагранжа (п. 14.2):

,

де .

Застосуємо тепер теорему Лагранжа до виразу у квадратних дужках:

,

де . У нашому випадку, як видно з малюнка, , Тоді і . Крім того, за умовою теореми, . Перемножая ці три множника, отримаємо, що , Що й потрібно було довести.

Визначення 3.2. Точка, що відокремлює інтервал опуклості від інтервалу угнутості, називається точкою перегину.

З визначення 3.1 випливає, що в даній точці дотична перетинає криву, тобто з одного боку крива розташована нижче дотичній, а з іншого - вище.

Теорема 3.2. Якщо в точці друга похідна функції дорівнює нулю або не існує, а при переході через точку знак другої похідної змінюється на протилежний, то дана точка є точкою перегину.

Доказ даної теореми випливає з того, що знаки по різні сторони від точки різні. Значить, з одного боку від точки функція опукла, а з іншого - увігнута. У цьому випадку, згідно з визначенням 3.2, точка є точкою перегину.

Дослідження функції на опуклість і увігнутість проводиться за тією ж схемою, що і дослідження на екстремум.

4. Асимптоти функції

У попередніх пунктах були розглянуті методи дослідження поведінки функції за допомогою похідної. Однак серед питань, що стосуються повного дослідження функції, є й такі, які з похідною не пов'язані.

Так, наприклад, необхідно знати, як веде себе функція при нескінченному віддаленні точки її графіка від початку координат. Така проблема може виникнути в двох випадках: коли аргумент функції йде на нескінченність і коли при розриві другого роду в кінцевій точці йде на нескінченність сама функція. В обох цих випадках може виникнути ситуація, коли функція буде прагнути до деякої прямої, званої її асимптотой.

Визначення. Асимптотой графіка функції називається пряма лінія, що володіє тим властивістю, що відстань від графіка до цієї прямої прямує до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Розрізняють два типи асимптот: вертикальні і похилі.

До вертикальних асимптота належать прямі лінії , Які володіють тим властивістю, що графік функції в їх околиці йде на нескінченність, тобто, виконується умова: . Очевидно, що тут задовольняється вимога зазначеного визначення: відстань від графіка кривої до прямої прагне до нуля, а сама крива при цьому йде на нескінченність. З такою поведінкою функцій ми стикалися в п. 11.1, коли мова йшла про розриви другого роду. Отже, в точках розриву другого роду функції мають вертикальні асимптоти, наприклад, в точці . Отже, визначення вертикальних асимптот функції збігається з перебуванням точок розриву другого роду.

Похилі асимптоти описуються загальним рівнянням прямої лінії на площині, тобто . Значить, на відміну від вертикальних асимптот, тут необхідно визначити числа і .

Отже, нехай крива має похилу асимптоту, тобто при точки кривої як завгодно близько підходять до прямої (Рис. 4.1). Нехай - Точка, розташована на кривій. Її відстань від асимптоти буде характеризуватися довжиною перпендикуляра . Згідно з визначенням, . Але обчислюється досить складно, набагато простіше знайти .

З трикутника випливає, що , Так як . Значить, . Отже, .

Але вище було сказано, що , Звідки випливає, що . Винесемо в даному виразі за дужки: . Оскільки за умовою , То . Тут , Отже, , Звідки отримуємо:

.

Рис. 4.1

Знаючи , Розглянемо знову межа: . Він виконується лише за умови, що

.

Таким чином, знайдено і , А з ними і рівняння похилій асимптоти. Якщо , То отримуємо окремий випадок горизонтальної асимптоти . При неможливості знайти хоча б один межа (при обчисленні або ) Робиться висновок, що похилій асимптоти немає.

Аналогічно проводиться дослідження і при .

5. Загальна схема дослідження функцій

На підставі наведених результатів можна провести повне дослідження функції з якісним побудовою її графіка. План цього дослідження наступний:

1) знаходять область визначення функції;

2) визначають точки розривів функції та їх характер;

3) знаходять корені функції;

4) визначають парність або непарність функції;

5) перевіряють функцію на періодичність;

6) обчислюють похідну функції, знаходять її критичні точки, знаходять інтервали монотонності і екстремуми;

7) обчислюють другу похідну функції і по ній визначають інтервали опуклості, угнутості і точки перегину;

8) знаходять асимптоти функції;

9) за отриманими даними будують якісний графік досліджуваної функції.

Література

1. Зайцев І.А. Вища математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.

2. Краснов М. Вся вища математика т. 1 вид. 2. Едіторіал УРСС, 2003. - 328 с.

3. Мироненко О.С. Вища математика. М: Вища школа, 2002. - 109 с.

4. Мироненко Е.С., Розанова С.А., ред., Др, Розанової С.А., Кузнєцова Т.А. Вища математика. Вид-во: Физматлит ®, 2009. - 168 c.

5. Міхєєв В.І., Павлюченко Ю.В. Вища математика. Вид-во: Физматлит ®, 2007. - 200 c.

6. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. Сталкер, 1997. - 560 с.