КОСТРОМСЬКИЙ ФІЛІЯ ВІЙСЬКОВОГО УНІВЕРСИТЕТУ РХБ ЗАХИСТУ
Кафедра «Автоматизації управління військами»
"Затверджую"
Начальник кафедри № 9
полковник ЯКОВЛЄВ А.Б.
«____»______________ 2004
доцент СМИРНОВА А.І.
"ВСТУП"
ЛЕКЦІЯ № 1 / 1
Обговорено на засіданні кафедри № 9
«____»___________ 2004р.
Протокол № ___________
Кострома, 2004
Зміст
Введення
1. Предмет математики. Історичні відомості.
2. Побудова курсу математики в училищі.
3. Прямокутна система координат. Полярні координати та їх зв'язок з прямокутними.
Висновок
Література
1. В.Є. Шнейдер та ін, Короткий курс вищої математики, т.1, гл.1, § 1, 2, 3.
2. В.Є. Єфімов, Короткий курс аналітичної геометрії, гл.1, § 1, 2, 3, 4.
ВСТУП
На лекції розглядається предмет математики, короткі історичні відомості, побудова курсу математики в училищі. Курсантам нагадуються і систематизуються відомості про прямокутній системі координат на площині, знайомі їм зі шкільного курсу. Вводиться полярна система координат та встановлюється її зв'язок з прямокутною. Ця лекція є вступної для всього курсу вищої математики і є підготовкою для розгляду надалі питань аналітичної геометрії.
Перший навчальний питання
ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ. ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
Математика являє собою одну з найважливіших функціональних наук. У широкому сенсі математика - це наука в якій вивчаються кількісні відносини і просторові форми дійсного світу. Виникнення математики відноситься до глибокої давнини. Перший її період отримав назву "елементарної математики". Її особливості:
1. Нерухомість аналізованих об'єктів;
2. Не використання ідеї нескінченності;
3. Відсутність загальних методів.
Бурхливий розвиток виробництва, техніки, природознавства в XYII-XYIII століттях зажадало створення математичного апарату, придатного до вивчення змінних величин, що знаходяться між собою у функціональній залежності.
Виникла нова, так звана, вища математика з її розділами: аналітична геометрія, диференціальне та інтегральне числення, теорія диференціальних рівнянь та інші. У загальних рисах математику ділять на геометрію і аналіз. В аналітичній геометрії був даний загальний метод розв'язку геометричних задач - метод координат.
Математичний аналіз займається змінними величинами і їх взаємозв'язком.
Основи аналітичної геометрії були дані французьким математиком Декартом / 1596-1650 /. Відкриття диференціального й інтегрального числення належить англійському математику Ньютону / 1642 -1727 / і німецькому математику Лейбніц / 1642-1716 /. Видатна роль у створенні класичного математичного аналізу зіграли Ейлер / 1707 - 1783 /, Лагранж / 1736 - 1813 /, Гаус / 1777 - 1855 /, Коші / 1789 - 1857 /, Вейерштрасс / 1815-1897 / та ін
Розквіт математики настав тоді, коли без неї не можуть обійтися інші науки. До кінця XIX століття математика набуває величезне практичне значення. Тепер область знання перетворюється на зриму науку, якщо в ній використовуються математичні методи.
Математичні методи плідно використовуються в багатьох областях. На підставі теорії числення нескінченно малих величин Ньютон вивів закони руху небесних тіл. На основі диференціального й інтегрального числення були сформульовані всі фізичні закони, відкриті у XVIII - XIX століттях. У 1848 році французький вчений Левер'є теоретично передбачив існування планети Нептун, а потім відкрив їх.
РОЛЬ РОСІЯН ВЧЕНИХ
Великому математику, петербурзькому академіку Ейлера, належать фундаментальні результати майже у всіх областях математичного знання.
Н.І. Лобачевський / 1792-1856 / зробив справжню революцію в геометрії, створивши нову науку "Геометрія Лобачевського".
М.В. Остроградський / 1801-1861 / вивів важливе співвідношення в теорії кратних інтегралів.
Російський учений П.Л. Чебишев / 1821-1894 / у зв'язку зі своїми чудовими роботами з теорії механізмів створив новий розділ математики "Теорія найкращого наближення функції". Він є засновником однієї з найбільш сильних математичних шкіл у світі - Петербурзької математичної школи, блискучими представниками якої були А.А. Марков, В.А. Стеклов, О.М. Крилов та інші.
С.В. Ковалевська / 1850 - 1891 / працювала в області диференціальних рівнянь і теоретичної механіки і отримала там першокласні результати
У XX столітті триває бурхливий процес математизації інших наук. Математичні методи з успіхом використовуються не тільки в механіці, фізиці, астрономії, але і в біології, економіці, військовій справі, медицині, лінгвістиці і інших областях.
Останні десятиліття ознаменувалися бурхливим розвитком засобів і методів обчислювальної математики. Математичне моделювання і прогнозування дозволяє розрахувати такі процеси, які навіть недоступні до постановки досвіду (проблема термоядерного керованого синтезу, фізики плазми, лазерів і інші задачі).
Відзначимо, що в даний час досягнення російських математиків знаходяться на рівні передової математичної думки.
Зупинимося на ролі математики у військовій справі. В даний час математичні методи широко застосовуються у всіх загальнонаукових та інженерних дисциплінах, необхідних при підготовці військового фахівця. Методи математичного аналізу та теорії ймовірностей використовуються в тактиці, теорії стрільби та боєприпасів, теорії ефективності бойових дій та ін
У військовій науці широке поширення набуло математичне моделювання, що дозволяє з допомогою ЕОМ моделювати і вивчати багато технічні, екологічні процеси, а також розробляти і прогнозувати військові операції.
2-oй навчальний питання
ПОБУДОВА КУРСУ МАТЕМАТИКИ В УЧИЛИЩЕ
Курс вищої математики має об'єм 300 навчальних годин. І вивчається протягом чотирьох семестрів. Зміст курсу ув'язано з потребами загальнонаукових, загальноінженерних, військових дисциплін, що вивчаються курсантами в училищі, орієнтоване на використання обчислювальних засобів.
У першому семестрі вивчаються елементи аналітичної геометрії, а так само розділи математичного аналізу: теорія меж, диференціальне числення функції однієї зміною.
У другому семестрі основними є такі розділи математичного аналізу: дослідження функції за допомогою похідної, інтегральне числення, функції кількох змінних.
У третьому семестрі вивчаються диференціальні рівняння та теорія ймовірностей.
У четвертому семестрі вивчаються елементи математичної статистики, ряди, а також деякі прикладні питання.
З вищої математики проводяться такі види занять: лекції, практичні заняття, лабораторні роботи.
На лекціях викладач викладає теоретичні питання і загальні методи розв'язання задач. Конспекти лекцій рекомендується вести в окремих зошитах, які викладач може брати для перегляду.
На практичних заняттях (для взводу) проводиться опитування теорії і виробляється рішення практичних завдань під керівництвом викладача. Для практичних занять необхідно мати окремий зошит. На практичних заняттях по кожній темі проводяться невеликі письмові самостійні роботи - "летючки" з виставленням оцінок. За важливих тем в якості контролю проводяться двогодинні контрольні роботи. У I, II і III семестрах передбачено по дві контрольні роботи, в IV семестрі одна
У кожному семестрі проводиться кілька лабораторних робіт з використанням мікрокалькуляторів. Всього за період навчання 14 лабораторних робіт. Для лабораторних робіт необхідна окрема зошит. На лабораторних роботах відпрацьовуються практичні обчислювальні методи з різних тем. В кінці кожної роботи курсанти оформляють звіт, захищають його і отримують оцінку. У четвертому семестрі передбачена курсова робота, що включає в себе рішення системи практичних завдань.
Важливу роль при вивченні курсу математики відіграє самостійна робота курсантів. До кожного практичного та лабораторного заняття курсанти повинні виконати дане їм завдання на самопідготовку, що включає теоретичні питання та практичні завдання. Додатково рекомендується після кожної лекції вивчати її конспект, а також рекомендовану літературу.
Як підсумкових форм контролю з вищої математики проводяться заліки та іспити. У I і III семестрах передбачений іспит, в II і IV семестрах - залік.
Третя навчальний питання
Прямокутній системі координат. ПОЛЯРНІ КООРДИНАТИ І ЇХ ЗВ'ЯЗОК СПРЯМОУГОЛЬНИМІ
Прямокутна система координат на площині вводиться таким чином. Візьмемо на площині дві взаємно перпендикулярні числові осі 0 х і 0 у, що мають спільний початок точку 0 і загальну одиницю масштабу.
ВИЗНАЧЕННЯ 1. Площина, в якій розташовані осі 0 х і 0 у, називається координатною площиною і позначається 0 ху.
ВИЗНАЧЕННЯ 2. Горизонтальну вісь 0 х називають віссю абсцис, вертикальну вісь 0 у - віссю ординат, загальне початок осей, крапку 0 називають початком координат.
Осі 0 х і 0 у утворюють прямокутну (декартову) систему координат на площині.
Візьмемо на координатній площині 0 ху довільну точку М. Опустимо з неї перпендикуляри на осі координат. На осях отримаємо точки М 1 і М 2 - проекції точки М відповідно на вісь 0 х і 0 у (див. рис. 1).
Рис. 1.
ВИЗНАЧЕННЯ 3. Координата х точки М 1 на осі 0 х називається абсцисою точки М, координата у точки М 2 на осі 0 у називається ординатою точки М.
ВИЗНАЧЕННЯ 4. Упорядкована пара чисел (х; у), де х - абсциса точки М, у - ордината точки М, називаються п р я м про в пана про л ь н и м і (або декартовими прямокутними) координатами точки М. Записується так: М (х; у).
Відзначимо, що осі 0 х і 0 у ділять координатну площину на чотири частини, званими чвертями або квадрантами. (Див. мал. 2)
Рис. 2
Ясно, що кожній точці на площині відповідає єдина впорядкована пара чисел х і у - її прямокутні координати. Зворотно, кожна упорядкована пара чисел х і у визначає єдину точку на площині.
Коли кажуть "дана точка" або "знайти точку", то це означає, що задано чи потрібно знайти координати цієї точки.
Спосіб визначення положення точки за допомогою чисел називається методом координат.
Творцем координатного методу був французький математик Декарт, який докладав цей метод до багатьох геометричним завданням і створив математичну дисципліну - аналітичну геометрію.
Розглянемо два важливих завдання аналітичної геометрії на площині, які вирішуються методом координат.
Завдання 1. Відстань між двома точками на площині.
На площині дано дві точки М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Знайдемо відстань між ними d. Виконаємо креслення, розташувавши для простоти точки в першій чверті.
Рис. 3
Через точки М 1 і М 2 проведемо відрізки М 1 k çç 0 х; М 2 k çç 0 y.
Розглянемо прямокутний трикутник D М 1 М 2 k. Його катети М 1 k = х 2 - х 1; М 2 k = у 2 - у 1.
За теоремою Піфагора:
Отримаємо формулу
ЗАВДАННЯ 2. Координати середини відрізка.
Відомі координати кінців відрізка М 1 М 2 - М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Знайдемо координати точки М, що є серединою відрізка.
Виконаємо креслення, розташувавши точки в першій чверті.
Рис. 4
Позначимо шукані координати точки М (х; у). М - середина відрізка М 1 М 2, тобто М 1 М = ММ 2. Спроектуємо точки М 1, М 2 і М на вісь 0 х, отримаємо там точки р 1, р 2, р. З геометрії відомо, що р 1 р = рр. 2. Висловимо ці відрізки через координати:
р 1 р = х - х 1; рр. 2 = х 2 - х
Отримаємо: х - х 1 = х 2 - х
Висловимо х: 2 х = х 2 + х 1 Þ
Проектуючи точки на вісь 0 у аналогічно одержимо:
Формули
дозволяють знаходити координати середини відрізка.
Візьмемо на площині точку 0, яку назвемо полюсом. Проведемо з полюса промінь 0 р, званий полярною віссю.
Полюс і полярна вісь утворюють полярну систему координат на площині. (Див. мал. 5)
Нехай М - довільна точка площини, не збігається з полюсом. З'єднаємо цю точку М з полюсом 0 відрізком 0 М.
Рис. 5
ВИЗНАЧЕННЯ 5. Відстань r від точки М до полюса називають полярним радіусом точки М. Кут j між полярною віссю і відрізком ОМ називають полярним кутом точки М.
ВИЗНАЧЕННЯ 6. Полярний радіус і полярний кут називають полярними координатами точки М.
Будемо записувати М (r; j).
Полярний радіус приймає значення r ³ 0 (r = 0 для полюса!).
Полярний кут j відраховується від полярної осі до відрізка 0 М проти годинникової стрілки. Значення полярного кута досить розглядати з проміжку 0 £ j <2p.
ЗАУВАЖЕННЯ. У деяких питаннях доводиться розглядати кути, великі 2p, а також негативні кути, тобто кути, відлічувані від полярної осі за годинниковою стрілкою.
ЗВ'ЯЗОК МІЖ ПРЯМОКУТНИХ і полярних координатах
Іноді доводиться одночасно користуватися прямокутними і полярними координатами на площині. Розглянемо перехід від полярних координат до прямокутним і назад.
Формули (2) виражають полярні координати точки через її прямокутні.
Зауважимо, що значенню тангенса, знайденому за формулою
ПРИКЛАД 1. Знаючи декартові координати точки М (
Рішення. За формулами (2) отримаємо:
Цьому значенню тангенса відповідають два значення кута
Значить полярні координати точки
ПРИКЛАД 2. Записати в полярних координатах рівняння кола з центром у початку координат радіуса а.
Рішення. Рівняння кола з центром у початку координат радіуса а в декартових координатах має вигляд: х 2 + у 2 = а 2.
Підставимо замість х, у їх вираження через полярні координати за формулами (1). Отримаємо (r cos j) 2 + (r sin j) 2 = a 2.
r 2 (cos 2 j + sin 2 j) = A 2 Þ r 2 = a 2 Þ r = a.
Отримаємо r = а - полярне рівняння кола з центром у початку координат радіуса а.
Припустимо, що полюс полярної системи координат збігається з початком прямокутної системи координат 0 ху, а полярна вісь збігається з позитивною полуосью 0 х.
Рис. 6
1. Перехід від полярних координат до прямокутним.
Нехай відомі полярні координати довільної точки М (r; j). Х = 0 K, y = MK - Прямокутні координати точки М. З креслення на рис.6 з прямокутного трикутника ОМК отримаємо:
Формули (3) висловлюють прямокутні координати точки через її полярні координати.
2. Перехід від прямокутних координат до полярних.
З прямокутного трикутника ОАМ отримуємо по теоремі Піфагора:
З того ж трикутника маємо:
Відзначимо, що полярні координати, поряд з прямокутними, широко використовується в топографії для визначення положення об'єктів на місцевості.
ВИСНОВОК
На лекції розглянуто предмет математики, деякі історичні відомості. Новим питанням є поняття полярних координат, які знаходять широке застосування на практиці. Характерно, що прямокутні і полярні координати часто використовують одночасно, тому важливо засвоїти зв'язок між ними. Курсантам рекомендується при вивченні матеріалу лекції підготувати відповіді на пропоновані далі питання.
доцент Смирнова О.І.
"____" __________ 2004
Кафедра «Автоматизації управління військами»
"Затверджую"
Начальник кафедри № 9
полковник ЯКОВЛЄВ А.Б.
«____»______________ 2004
доцент СМИРНОВА А.І.
"ВСТУП"
ЛЕКЦІЯ № 1 / 1
Обговорено на засіданні кафедри № 9
«____»___________ 2004р.
Протокол № ___________
Кострома, 2004
Зміст
Введення
1. Предмет математики. Історичні відомості.
2. Побудова курсу математики в училищі.
3. Прямокутна система координат. Полярні координати та їх зв'язок з прямокутними.
Висновок
Література
1. В.Є. Шнейдер та ін, Короткий курс вищої математики, т.1, гл.1, § 1, 2, 3.
2. В.Є. Єфімов, Короткий курс аналітичної геометрії, гл.1, § 1, 2, 3, 4.
ВСТУП
На лекції розглядається предмет математики, короткі історичні відомості, побудова курсу математики в училищі. Курсантам нагадуються і систематизуються відомості про прямокутній системі координат на площині, знайомі їм зі шкільного курсу. Вводиться полярна система координат та встановлюється її зв'язок з прямокутною. Ця лекція є вступної для всього курсу вищої математики і є підготовкою для розгляду надалі питань аналітичної геометрії.
Перший навчальний питання
ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ. ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
Математика являє собою одну з найважливіших функціональних наук. У широкому сенсі математика - це наука в якій вивчаються кількісні відносини і просторові форми дійсного світу. Виникнення математики відноситься до глибокої давнини. Перший її період отримав назву "елементарної математики". Її особливості:
1. Нерухомість аналізованих об'єктів;
2. Не використання ідеї нескінченності;
3. Відсутність загальних методів.
Бурхливий розвиток виробництва, техніки, природознавства в XYII-XYIII століттях зажадало створення математичного апарату, придатного до вивчення змінних величин, що знаходяться між собою у функціональній залежності.
Виникла нова, так звана, вища математика з її розділами: аналітична геометрія, диференціальне та інтегральне числення, теорія диференціальних рівнянь та інші. У загальних рисах математику ділять на геометрію і аналіз. В аналітичній геометрії був даний загальний метод розв'язку геометричних задач - метод координат.
Математичний аналіз займається змінними величинами і їх взаємозв'язком.
Основи аналітичної геометрії були дані французьким математиком Декартом / 1596-1650 /. Відкриття диференціального й інтегрального числення належить англійському математику Ньютону / 1642 -1727 / і німецькому математику Лейбніц / 1642-1716 /. Видатна роль у створенні класичного математичного аналізу зіграли Ейлер / 1707 - 1783 /, Лагранж / 1736 - 1813 /, Гаус / 1777 - 1855 /, Коші / 1789 - 1857 /, Вейерштрасс / 1815-1897 / та ін
Розквіт математики настав тоді, коли без неї не можуть обійтися інші науки. До кінця XIX століття математика набуває величезне практичне значення. Тепер область знання перетворюється на зриму науку, якщо в ній використовуються математичні методи.
Математичні методи плідно використовуються в багатьох областях. На підставі теорії числення нескінченно малих величин Ньютон вивів закони руху небесних тіл. На основі диференціального й інтегрального числення були сформульовані всі фізичні закони, відкриті у XVIII - XIX століттях. У 1848 році французький вчений Левер'є теоретично передбачив існування планети Нептун, а потім відкрив їх.
Жуковський, професор московського університету, теоретично передбачив можливість фігур вищого пілотажу і незабаром перша фігура "мертва петля" була використана Нестеровим.
Великий внесок у розвиток математики внесли російські вчені. Зупинимося на деяких важливих результати, отримані вченими Росії.РОЛЬ РОСІЯН ВЧЕНИХ
Великому математику, петербурзькому академіку Ейлера, належать фундаментальні результати майже у всіх областях математичного знання.
Н.І. Лобачевський / 1792-1856 / зробив справжню революцію в геометрії, створивши нову науку "Геометрія Лобачевського".
М.В. Остроградський / 1801-1861 / вивів важливе співвідношення в теорії кратних інтегралів.
Російський учений П.Л. Чебишев / 1821-1894 / у зв'язку зі своїми чудовими роботами з теорії механізмів створив новий розділ математики "Теорія найкращого наближення функції". Він є засновником однієї з найбільш сильних математичних шкіл у світі - Петербурзької математичної школи, блискучими представниками якої були А.А. Марков, В.А. Стеклов, О.М. Крилов та інші.
С.В. Ковалевська / 1850 - 1891 / працювала в області диференціальних рівнянь і теоретичної механіки і отримала там першокласні результати
У XX столітті триває бурхливий процес математизації інших наук. Математичні методи з успіхом використовуються не тільки в механіці, фізиці, астрономії, але і в біології, економіці, військовій справі, медицині, лінгвістиці і інших областях.
Останні десятиліття ознаменувалися бурхливим розвитком засобів і методів обчислювальної математики. Математичне моделювання і прогнозування дозволяє розрахувати такі процеси, які навіть недоступні до постановки досвіду (проблема термоядерного керованого синтезу, фізики плазми, лазерів і інші задачі).
Відзначимо, що в даний час досягнення російських математиків знаходяться на рівні передової математичної думки.
Зупинимося на ролі математики у військовій справі. В даний час математичні методи широко застосовуються у всіх загальнонаукових та інженерних дисциплінах, необхідних при підготовці військового фахівця. Методи математичного аналізу та теорії ймовірностей використовуються в тактиці, теорії стрільби та боєприпасів, теорії ефективності бойових дій та ін
У військовій науці широке поширення набуло математичне моделювання, що дозволяє з допомогою ЕОМ моделювати і вивчати багато технічні, екологічні процеси, а також розробляти і прогнозувати військові операції.
2-oй навчальний питання
ПОБУДОВА КУРСУ МАТЕМАТИКИ В УЧИЛИЩЕ
Курс вищої математики має об'єм 300 навчальних годин. І вивчається протягом чотирьох семестрів. Зміст курсу ув'язано з потребами загальнонаукових, загальноінженерних, військових дисциплін, що вивчаються курсантами в училищі, орієнтоване на використання обчислювальних засобів.
У першому семестрі вивчаються елементи аналітичної геометрії, а так само розділи математичного аналізу: теорія меж, диференціальне числення функції однієї зміною.
У другому семестрі основними є такі розділи математичного аналізу: дослідження функції за допомогою похідної, інтегральне числення, функції кількох змінних.
У третьому семестрі вивчаються диференціальні рівняння та теорія ймовірностей.
У четвертому семестрі вивчаються елементи математичної статистики, ряди, а також деякі прикладні питання.
З вищої математики проводяться такі види занять: лекції, практичні заняття, лабораторні роботи.
На лекціях викладач викладає теоретичні питання і загальні методи розв'язання задач. Конспекти лекцій рекомендується вести в окремих зошитах, які викладач може брати для перегляду.
На практичних заняттях (для взводу) проводиться опитування теорії і виробляється рішення практичних завдань під керівництвом викладача. Для практичних занять необхідно мати окремий зошит. На практичних заняттях по кожній темі проводяться невеликі письмові самостійні роботи - "летючки" з виставленням оцінок. За важливих тем в якості контролю проводяться двогодинні контрольні роботи. У I, II і III семестрах передбачено по дві контрольні роботи, в IV семестрі одна
У кожному семестрі проводиться кілька лабораторних робіт з використанням мікрокалькуляторів. Всього за період навчання 14 лабораторних робіт. Для лабораторних робіт необхідна окрема зошит. На лабораторних роботах відпрацьовуються практичні обчислювальні методи з різних тем. В кінці кожної роботи курсанти оформляють звіт, захищають його і отримують оцінку. У четвертому семестрі передбачена курсова робота, що включає в себе рішення системи практичних завдань.
Важливу роль при вивченні курсу математики відіграє самостійна робота курсантів. До кожного практичного та лабораторного заняття курсанти повинні виконати дане їм завдання на самопідготовку, що включає теоретичні питання та практичні завдання. Додатково рекомендується після кожної лекції вивчати її конспект, а також рекомендовану літературу.
Як підсумкових форм контролю з вищої математики проводяться заліки та іспити. У I і III семестрах передбачений іспит, в II і IV семестрах - залік.
Третя навчальний питання
Прямокутній системі координат. ПОЛЯРНІ КООРДИНАТИ І ЇХ ЗВ'ЯЗОК СПРЯМОУГОЛЬНИМІ
Прямокутна система координат на площині вводиться таким чином. Візьмемо на площині дві взаємно перпендикулярні числові осі 0 х і 0 у, що мають спільний початок точку 0 і загальну одиницю масштабу.
ВИЗНАЧЕННЯ 1. Площина, в якій розташовані осі 0 х і 0 у, називається координатною площиною і позначається 0 ху.
ВИЗНАЧЕННЯ 2. Горизонтальну вісь 0 х називають віссю абсцис, вертикальну вісь 0 у - віссю ординат, загальне початок осей, крапку 0 називають початком координат.
Осі 0 х і 0 у утворюють прямокутну (декартову) систему координат на площині.
у |
M |
M 1 |
y |
x |
M 2 |
0 |
x |
Рис. 1.
ВИЗНАЧЕННЯ 3. Координата х точки М 1 на осі 0 х називається абсцисою точки М, координата у точки М 2 на осі 0 у називається ординатою точки М.
ВИЗНАЧЕННЯ 4. Упорядкована пара чисел (х; у), де х - абсциса точки М, у - ордината точки М, називаються п р я м про в пана про л ь н и м і (або декартовими прямокутними) координатами точки М. Записується так: М (х; у).
II x <0; y> 0 |
у |
х |
0 |
I x> 0; y> 0 |
III x <0; y <0 |
IV x> 0; y <0 |
Рис. 2
Ясно, що кожній точці на площині відповідає єдина впорядкована пара чисел х і у - її прямокутні координати. Зворотно, кожна упорядкована пара чисел х і у визначає єдину точку на площині.
Коли кажуть "дана точка" або "знайти точку", то це означає, що задано чи потрібно знайти координати цієї точки.
Спосіб визначення положення точки за допомогою чисел називається методом координат.
Творцем координатного методу був французький математик Декарт, який докладав цей метод до багатьох геометричним завданням і створив математичну дисципліну - аналітичну геометрію.
Розглянемо два важливих завдання аналітичної геометрії на площині, які вирішуються методом координат.
Завдання 1. Відстань між двома точками на площині.
y 2 - y 1 |
у |
х |
х 1 |
х 2 |
k |
M 1 |
M 2 |
d |
x 2 - x 1 |
Рис. 3
Через точки М 1 і М 2 проведемо відрізки М 1 k çç 0 х; М 2 k çç 0 y.
Розглянемо прямокутний трикутник D М 1 М 2 k. Його катети М 1 k = х 2 - х 1; М 2 k = у 2 - у 1.
За теоремою Піфагора:
Отримаємо формулу
ЗАВДАННЯ 2. Координати середини відрізка.
Відомі координати кінців відрізка М 1 М 2 - М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Знайдемо координати точки М, що є серединою відрізка.
0 |
у |
х |
х 1 |
х 2 |
р |
M 1 |
M 2 |
М |
х |
р 2 |
р 1 |
Рис. 4
Позначимо шукані координати точки М (х; у). М - середина відрізка М 1 М 2, тобто М 1 М = ММ 2. Спроектуємо точки М 1, М 2 і М на вісь 0 х, отримаємо там точки р 1, р 2, р. З геометрії відомо, що р 1 р = рр. 2. Висловимо ці відрізки через координати:
р 1 р = х - х 1; рр. 2 = х 2 - х
Отримаємо: х - х 1 = х 2 - х
Висловимо х: 2 х = х 2 + х 1 Þ
Проектуючи точки на вісь 0 у аналогічно одержимо:
Формули
дозволяють знаходити координати середини відрізка.
ПОЛЯРНІ КООРДИНАТИ.
Крім прямокутних декартових координат на площині існують інші системи координат, що дозволяють визначити положення кожної точки площини за допомогою двох дійсних чисел. Найбільш вживаною після декартової системи координат є полярна система координат.Візьмемо на площині точку 0, яку назвемо полюсом. Проведемо з полюса промінь 0 р, званий полярною віссю.
Полюс і полярна вісь утворюють полярну систему координат на площині. (Див. мал. 5)
j |
М |
Р |
r |
0 |
) |
Рис. 5
ВИЗНАЧЕННЯ 5. Відстань r від точки М до полюса називають полярним радіусом точки М. Кут j між полярною віссю і відрізком ОМ називають полярним кутом точки М.
ВИЗНАЧЕННЯ 6. Полярний радіус і полярний кут називають полярними координатами точки М.
Будемо записувати М (r; j).
Полярний радіус приймає значення r ³ 0 (r = 0 для полюса!).
Полярний кут j відраховується від полярної осі до відрізка 0 М проти годинникової стрілки. Значення полярного кута досить розглядати з проміжку 0 £ j <2p.
ЗАУВАЖЕННЯ. У деяких питаннях доводиться розглядати кути, великі 2p, а також негативні кути, тобто кути, відлічувані від полярної осі за годинниковою стрілкою.
ЗВ'ЯЗОК МІЖ ПРЯМОКУТНИХ і полярних координатах
Іноді доводиться одночасно користуватися прямокутними і полярними координатами на площині. Розглянемо перехід від полярних координат до прямокутним і назад.
Формули (2) виражають полярні координати точки через її прямокутні.
Зауважимо, що значенню тангенса, знайденому за формулою
ПРИКЛАД 1. Знаючи декартові координати точки М (
Рішення. За формулами (2) отримаємо:
Цьому значенню тангенса відповідають два значення кута
Значить полярні координати точки
ПРИКЛАД 2. Записати в полярних координатах рівняння кола з центром у початку координат радіуса а.
Рішення. Рівняння кола з центром у початку координат радіуса а в декартових координатах має вигляд: х 2 + у 2 = а 2.
Підставимо замість х, у їх вираження через полярні координати за формулами (1). Отримаємо (r cos j) 2 + (r sin j) 2 = a 2.
r 2 (cos 2 j + sin 2 j) = A 2 Þ r 2 = a 2 Þ r = a.
Отримаємо r = а - полярне рівняння кола з центром у початку координат радіуса а.
Припустимо, що полюс полярної системи координат збігається з початком прямокутної системи координат 0 ху, а полярна вісь збігається з позитивною полуосью 0 х.
y |
х (р) |
x |
y |
r |
M |
0 |
До |
j |
Рис. 6
1. Перехід від полярних координат до прямокутним.
Нехай відомі полярні координати довільної точки М (r; j). Х = 0 K, y = MK - Прямокутні координати точки М. З креслення на рис.6 з прямокутного трикутника ОМК отримаємо:
Формули (3) висловлюють прямокутні координати точки через її полярні координати.
2. Перехід від прямокутних координат до полярних.
З прямокутного трикутника ОАМ отримуємо по теоремі Піфагора:
З того ж трикутника маємо:
Відзначимо, що полярні координати, поряд з прямокутними, широко використовується в топографії для визначення положення об'єктів на місцевості.
ВИСНОВОК
На лекції розглянуто предмет математики, деякі історичні відомості. Новим питанням є поняття полярних координат, які знаходять широке застосування на практиці. Характерно, що прямокутні і полярні координати часто використовують одночасно, тому важливо засвоїти зв'язок між ними. Курсантам рекомендується при вивченні матеріалу лекції підготувати відповіді на пропоновані далі питання.
доцент Смирнова О.І.
"____" __________ 2004