Джуліо М. Оттіно
Просте двовимірне періодичне рух в'язкої рідини може стати хаотичним, що призведе до ефективного перемішуванню. Експерименти і комп'ютерне моделювання прояснюють механізм цього явища
Що спільного між катастрофічним виверженням вулкана Кракатау, виготовленням листкового тіста і яскравістю зірок? Скрізь в тій чи іншій мірі присутній перемішування. Інтенсивне перемішування магми могло ініціювати виверження Кракатау; розминку і витягування - операції, що лежать в основі будь-якого перемішування, - виробляються при замісі листкового тіста, а перемішування речовини усередині зірки визначає її хімічний склад і яскравість. Приклади перемішування можна виявити буквально всюди у Всесвіті. Часові та просторові масштаби цих явищ змінюються у величезних межах. Газ, що потрапляє в атмосферу, змішується з навколишнім повітрям за лічені секунди, тоді як процеси перемішування в мантії Землі тривають кілька сотень мільйонів років і навіть більше.
Перемішування має також вирішальне значення у сучасній технології. Воно дозволяє хімікам контролювати хімічні реакції для виробництва полімерних матеріалів з унікальними властивостями і розподіляти добавки, що зменшують в'язке тертя в трубопроводах. Однак, незважаючи на всюдисущість як у природі, так і у виробництві, процес перемішування до цих пір залишається до кінця не ясним. Дослідники в різних областях не можуть поки навіть встановити загальну термінологію для нього і використовують різні назви.
Безсумнівно одне - процес перемішування є надзвичайно складним і виявляється в найрізноманітніших системах. При створенні теорії перемішування доводиться розглядати, наприклад, розчинні і частково розчинні, хімічно активні та інертні рідини, повільні ламінарні потоки, а також швидкі турбулентні потоки. Тому не дивно, що не існує єдиної теорії, здатної детально пояснити процес перемішування в рідинах, і що прямими обчисленнями неможливо охопити всі важливі аспекти цього явища.
Однак певна інформація про процес перемішування може бути отримана як за допомогою фізичних експериментів, так і з використанням комп'ютерного моделювання. Протягом останніх років мої співробітники і я намагалися використовувати обидва підходи для вивчення різних аспектів цього процесу, особливо перемішування в повільних потоках і грузлих, маслоподобних рідинах.
Гарним прикладом служить змішування двох масляних фарб. Буквально через кілька секунд виходить барвиста картина витягнутих і викривлених смуг. (Іноді такий «мармуровий» малюнок використовують для прикраси обкладинок та останніх сторінок книг.) Якщо ж їх цілеспрямовано не перемішувати, то між візерунками зі смуг можуть залишитися незмішані «острівці» чистих фарб. При перемішуванні в'язких рідин можуть виходити не тільки незвично складні, але і в деякій мірі регулярні та когерентні структури.
Разом зі студентами Массачусет-ського університету в Амхерсті ми проводили дослідження для з'ясування характеристик потоків, у яких виникають подібні структури. Вони включали експерименти і комп'ютерне моделювання процесів, що нагадують перемішування двох фарб. У деяких експериментах в безбарвний гліцерин, що знаходиться в глибокій порожнини, вводилися краплі пофарбованого гліцерину. Коли стінки порожнини наводилися в періодичне рух, в такій в'язкої рідини виникали зсувні процеси, що могли вельми химерним чином витягати і згинати забарвлену краплю. Досить скоро усередині порожнини з'являлася складна картина складок, які в свою чергу утворюють складки. Однак така ж крапля в точно такий же прямокутної порожнини могла майже не відчувати витягування, а лише зміщатися і повертатися, але при цьому періодично повертатися в початкове положення. У чому причина такого різного поведінки?
Основи механіки рідин
Ключем до розуміння основних аспектів змішування є концепція «руху» - ідея, висхідна до XVIII ст. і пов'язана з ім'ям відомого математика Леонарда Ейлера. «Рух» рідини описується математичним виразом, що показує, в якій точці простору буде знаходитися кожен елемент рідини в будь-який момент часу в майбутньому. Якщо «рух» для даного потоку відомо, то в принципі можна дізнатися майже все і про перемішуванні, яке цей потік може зробити. Наприклад, можна обчислити сили і повну енергію, необхідну для досягнення потрібного ступеня перемішування в системі.
У минулому столітті такий підхід змінився описом через поле швидкостей рідини, коли задається вираз для швидкості в кожній точці потоку в будь-який момент часу. Однак, знаючи «рух», можна легко вирахувати поле швидкостей, тоді як знання поля швидкостей не дозволяє явно обчислити «рух». Оскільки опис потоку через «рух» рідини є більш фундаментальним, мої співробітники і я вважаємо за краще працювати, дотримуючись цієї концепції, хоча багато хто може вважати її застарілою.
Рис 1. Хаотично і НЕХАОТІЧЕСКІЙ потоки. Знімки отримані К. Ленг і автором статті в Массачусетсом університеті в Амхерсті. Порожнина прямокутної форми заповнена гліцерином, безпосередньо під поверхню якого були введені дві пробні краплі, флуоресціюючі червоним і зеленим світлом (угорі). Кожна стінка порожнини може незалежно від інших переміщатися паралельно самій собі. У цьому експерименті верхня і нижня стінки здійснювали періодичне переривистий рух.
Верхня стінка протягом деякого часу рухалася зліва направо і потім зупинялася. У цей момент нижня стінка починала рухатися з тією ж швидкістю справа наліво і рухалася стільки ж часу, скільки верхня, завершуючи один період. Після 10 періодів (внизу) червона крапля витягнулася і багаторазово зігнулася, утворивши складки: вона потрапила в область хаотичного перемішування. Зелена крапля лише кілька витягнулася - це «острів» нехаотіческого перемішування.
В основі опису через «рух» лежить так зване точкове перетворення - математична операція, яка переводить кожну цю частку рідини в певну точку простору в деякий момент часу в майбутньому. Таким чином, за допомогою цього перетворення кожна частка переводиться в нове положення. Частинки, спочатку знаходяться в різних точках, ніколи не можуть одночасно займати одне і те ж положення, і одна частинка ніколи не може одночасно зайняти два положення (роздвоїтися). Хоча теоретично такі точкові перетворення існують для будь-яких перемішуючих потоків, явно знайти їх можна тільки для найпростіших систем. Тому багато що з того, що відомо про перемішуванні, обмежено випадками дуже простих потоків, таких як прямолінійні потоки, в яких слід пробної частинки залишається прямим. Потоки такого типу не можуть призводити до процесів, які забезпечують ефективне перемішування, оскільки воно зумовлене саме криволінійній траєкторії частинок рідини. Щоб отримати уявлення про ці процеси, необхідно розглянути стаціонарні двовимірні потоки.
Двовимірні потоки
Всі двовимірні потоки побудовані з однакових «блоків», пов'язаних з гіперболічними (сідлових) і еліптичними точками (див. малюнок 4). До гіперболічної точці рідина рухається в одному напрямку, від неї - в іншому, а еліптичну точку рідина обтікає. (Слід згадати також точки третього типу, які називають параболічними. У цих точках відбувається зсувне, або тангенціальне, протягом, подібне, наприклад, течією рідини уздовж твердої стінки. При описі механізму перемішування в двовимірних потоках параболічними точками можна знехтувати.) Як можна було очікувати , перемішування у стаціонарному двовимірному потоці менш ефективно в порівнянні з перемішуванням у тривимірних потоках, особливо якщо останні нестаціонарні в часі. Дійсно, в стаціонарному обмеженому двовимірному потоці є тільки дві можливості: частки рідини або періодично проходять один і той же шлях, званий лінією струму, або не рухаються зовсім.
Оскільки в стаціонарному потоці лінії струму фіксовані і траєкторії частинок рідини ніколи не перетинаються, вони не можуть увійти в контакт один з одним, тобто перемішатися. Чи існує який-небудь спосіб уникнути обмежень, пов'язаних з необхідністю рухатися періодично по одному і тому ж шляху уздовж лінії струму? Такий спосіб є. Для цього треба змусити потік змінюватися з часом так, щоб лінії струму, відповідні картинам течії в різні моменти часу, перетиналися.
Найбільш просто цього можна добитися (і провести теоретичний аналіз), якщо потік буде періодично змінюватися в часі. Щоб такий потік приводив до ефективного перемішування, необхідні періодично повторювані витягування і вигини ділянок рідини і повернення їх в початкове положення. Процедура витягування і утворення складок відповідає так званої підковоподібної структурі, описаної С. Смейл з Каліфорнійського університету в Берклі.
1 ПЕРІОД | 3 ПЕРІОДУ |
8 ¼ ПЕРІОДУ | 8 ½ ПЕРІОДУ |
5 ПЕРІОДІВ | 8 ПЕРІОДУ |
8 ¾ ПЕРІОДУ | 9 ПЕРІОДІВ |
Рис 2. Витягування та Утворення складок при хаотичному перемішуванні. Спостереження ведеться за допомогою послідовного фотографування змін форми пробної краплі червоного кольору. Умови експерименту ті ж, що в дослідах, показаних на рис. 1. Витягнуте-складчаста структура виразно видно вже після трьох періодів руху. Зелений «острів», який вказує на область в основному нехаотіческого перемішування, і складки, відповідні ділянкам хаотичного перемішування, рухаються відносно стінок порожнини, повертаючись в початкове положення (в деякій мірі деформованими) після кожного періоду. Невеликий відросток, що утворився у зеленій краплі, показує, що вона робить складне обертання. Якщо провести експеримент у зворотному порядку, то зелена крапля практично відновить форму і повернеться в початкове положення, оскільки помилка в описі її руху при зворотному проходженні збільшується лінійно. Зворотне відновлення червоною краплі абсолютно неможливо, оскільки в цьому випадку помилка зростає експоненціально. |
Те, що для досягнення більш ефективного перемішування матеріалу необхідно частину його повертати в початкове положення, суперечить звичайним уявленням. Тим не менш, якщо змішування проводиться в обмеженій системі, альтернативи не існує. Якщо, наприклад, періодично пускати стріли в ціль, з часом яка-небудь з них випадково потрапляє дуже близько до іншого - просто з тієї причини, що площа мішені обмежена. Точно так само при багаторазовому повторенні витягування і вигинів ділянок рідини в замкнутій порожнині деякі частинки в певний момент часу обов'язково виявляться як завгодно близько до свого початкового стану.
Якщо через деякий час в періодично мінливому потоці частка повертається точно в своє початкове положення, то вона визначає так звану періодичну крапку. Залежно від числа періодів, необхідних для повернення частки в початкове положення, ці точки називають періодичними з періодом один, два і т. д. Їх можна класифікувати так само, як еліптичні і гіперболічні в залежності від напрямку потоку в безпосередній близькості від них.
Оскільки еліптична періодична точка циклічно рухається по замкнутій траєкторії, частки рідини поблизу цієї точки не тільки циркулюють навколо неї (як це було б у випадку нерухомої еліптичної точки), але і переміщаються разом з нею. Однак, незважаючи на те, що в цій області частки рідини здійснюють обертальний і поступальний руху, переміщення речовини в іншу частину рідини не відбувається. Такі області видно як «острівці»; перемішування в них йде повільно. Оскільки речовина не може ні увійти, ні покинути околиця еліптичної періодичної точки, такі точки являють собою перешкоди для ефективного перемішування.
Подібним чином при циклічному русі гіперболічної періодичної точки оточуюче її речовина, що рухається разом з цією точкою, відчуває скорочення в одному напрямку і витягування в іншому. При цьому крапка як би виштовхує назовні витягнуті ділянки в одному напрямку і втягує речовина з іншого напрямку. (Якщо вважати рідина нестисливої, витягування і скорочення повинні компенсувати одне одного.)
Сліди хаосу
Куди йде речовина від гіперболічної періодичної точки? Звідки воно приходить? Одна з можливостей полягає в тому, що впадає потік безперервно переходить у випливає, тобто матеріал, що вийшов з гіперболічної точки, приходить назад до неї або до іншої гіперболічної точці. Саме такий механізм здійснюється у стаціонарних потоках (коли гіперболічні точки фіксовані і не є періодичними), тому ефективного витягування і освіти складок не відбувається.
Нестаціонарні двовимірні потоки можуть приводити до ефективного перемішування, оскільки в цьому випадку відтік, пов'язаний з однією гіперболічної періодичної точкою, може перетинати область випливає потоку цієї ж або який-небудь інший гіперболічної точки. Крапку, в якій перетинаються що втікають і витікаючі потоки, пов'язані з однією гіперболічної точкою, називають трансверсально гомоклінной точкою. Якщо ці пересічні потоки пов'язані з двома різними гіперболічними точками, то точку перетину потоків називають трансверсально гетероклінной точкою.
Рис 3.ПЕРЕМЕШІВАНІЕ РІДИН в природних явищах і виробничих процесах відбувається як у результаті витягування і утворення складок, так і під впливом дифузії і руйнування крапель. Тільки в ідеальному випадку пофарбована крапля (зліва вгорі) може нескінченно витягуватися і складатися, не відчуваючи розривів і не диффундируя в сусідні області (вгорі праворуч). Цікаво, що в такій гіпотетичній ситуації для досягнення ефективного перемішування частина такої пробної краплі повинна повернутися у вихідне положення. Процеси молекулярної дифузії (без яких неможливе ефективне перемішування) зазвичай призводять до розмивання меж між двома розчинними рідинами (зліва внизу). У разі нерозчинних рідин пробна крапля може зруйнуватися на безліч бризок, які потім зливаються у краплі меншого розміру, ніж вихідна (справа внизу). |
Гомоклінние і гетероклінние перетину - характерні сліди хаосу. З математичної точки зору система, в якій можуть виникати подкововідние структури або транс-сальна гомо-чи гетероклінние перетину, може вважатися хаотичною. Виявляється, що в потоці, описуваному подкововідной структурою, обов'язково повинні бути присутніми трансверсальних гомо-клині точки; точно так само наявність хоча б однієї такої точки означає, що потік описується подкововідной структурою.
Виявляється, навіть єдине перетин впадає і випливає потоків з неминучістю призводить до появи трансверсальних гомоклінних точок і що подібні перетину можуть виникати навіть у таких «добрих» системах, як системи, описувані законами руху Ньютона. Цей факт вперше був відкритий в XIX ст. французьким математиком Анрі Пуанкаре. Однак складність аналізу перебігу рідини при наявності такого перетинання (подібний стан системи зараз називають хаосом) вразила Пуанкаре, і він вирішив більше не займатися цією проблемою.
Якщо перемішування може бути представлено детермінованим точковим перетворенням, воно повинно бути кінематично оборотним. Іншими словами, здійснивши всі рухи у зворотному порядку, можна було б розділити змішані рідини (якщо знехтувати молекулярної дифузією). Однак повсякденний досвід показує, що змішування необоротно. Навіть якщо теоретично система детермінована, руху, що призводять до повторюваних витягування і утворення складок, не можуть бути звернені в часі.
Подібна ситуація зустрічається і в інших фізичних системах. Прикладом може служити вивчена Пуанкаре система, що складається з великого числа частинок, відносний рух яких описується детермінованими рівняннями (так званими гамільтоновим рівняннями). Видатний американський фізик XIX ст. Дж. Віллард Гіббс прийшов до висновку, що навіть гамільтоновим системам властиві незворотність і непередбачуваність. Показово в цьому відношенні, що для ілюстрації незворотності їм був запропонований гіпотетичний експеримент, у якому розглядалося перемішування. Мабуть, висновок Гіббса залишався непоміченим до тих пір, поки в 1955 р. в одному з журналів не була опублікована стаття шведського океанолога П. Велландера.