Оцінювання зміщення статистики взаємної спектральної щільності багатовимірного часового ряду

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Математичний факультет

Кафедра інформатики та прикладної математики

Курсова робота НА ТЕМУ:

«ОЦІНЮВАННЯ ЗСУВУ СТАТИСТИКИ ВЗАЄМНУ Спектральна густина Багатовимірні ТИМЧАСОВОГО РЯДУ»

Брест 2009

ЗМІСТ

ВСТУП

1. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ, ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ У РОБОТІ

2. ОЦІНЮВАННЯ ЗСУВУ СТАТИСТИКИ ВЗАЄМНУ Спектральна густина

3. ВІКНА ПЕРЕГЛЯДУ ДАНИХ

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ДОДАТОК

ВСТУП

Сучасний етап розвитку теорії ймовірностей і математичної статистики характеризується значним розширенням теоретичних досліджень по статистичного спектрального аналізу (аналізу у приватній області) тимчасових рядів і їх практичним застосуванням у багатьох областях людської діяльності, таких, як економіка, спектроскопія, медицина, біологія, страхування, фінанси, соціологія, радіоелектроніка, електротехніка, геофізика, геологія та багато інших. Мета вивчення тимчасових рядів можуть бути різними. Можна, наприклад, прагнути передбачати майбутнє на підставі знання минулого, керувати процесом, що породжує ряд, з'ясувати механізм, який породжує ряд, або просто стисло описати характерні особливості ряду. Тому під статистичними спектральним аналізом часових рядів розуміють статистичний спектральний аналіз стаціонарних випадкових процесів.

Однією з головних задач спектрального аналізу часових рядів є побудова та дослідження оцінок спектральних щільностей стаціонарних випадкових процесів, оскільки вони дають важливу інформацію про структуру процесу.

Існують параметричні і непараметричні методи спектрального аналізу. Серед непараметричних методів виділяють метод, в якому для побудови оцінки спектральної щільності проводиться осредненіе періодограмм, побудованих за непересічним інтервалам вихідної послідовності спостережень і вводяться вікна перегляду даних для зменшення зсуву оцінок.

У даній роботі оцінюються зміщення статистики взаємної спектральної щільності. Побудовано графіки оцінки спектральної щільності для послідовності спостережень - сонячної активності по Вольфу з 1749 р. по 1901 р.

Також побудовані графіки для центрованого випадкового процесу.

1. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ, ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ У РОБОТІ

Тимчасовим поруч називають послідовність спостережень, звичайно упорядковану в часі, хоча можливо впорядкування і якомусь іншому параметру.

Сукупність функцій виду

назвемо r-компонентним векторним тимчасовим поруч (r-мірним тимчасовим поруч).

Мінлива t зазвичай відповідає часу виконання або реєстрації спостережень і вимірювань.

Дійсним випадковим процесом = називається сімейство випадкових величин, заданих на вероятностном просторі , Де , , - Деяке параметричне безліч.

Якщо , Або підмножина з , То говорять, що , - Випадковий процес з дискретним часом.

Якщо , Або підмножина з , То говорять, що , - Випадковий процес з безперервним часом.

Аргумент найчастіше інтерпретується як час, хоча при вирішенні практичних завдань він може мати й інше смислове значення.

При кожному фіксованому , , - Безліч випадкових величин.

Якщо у визначенні випадкового процесу , , , То = називається -Мірним випадковим полем.

Введемо характеристики випадкового процесу , , В тимчасовій області.

Математичним очікуванням випадкового процесу , , Називається функція виду

, .

Дисперсією випадкового процесу , , Називається функція виду

, .

Кореляційною функцією випадкового процесу , , Називається функція виду

, .

Ковариационной функцією випадкового процесу , , Називається функція виду

.

Зауважимо, що якщо , То , .

Змішаним моментом го порядку, , Випадкового процесу , , Називається функція виду

, , .

Зауважимо, що

, .

Нехай - Значення випадкового процесу в точках .

Змішаний момент го порядку, , Можна також визначити як

, , .

Змішаним семіінваріантом (кумулянтом) го порядку, , Випадкового процесу , , Називається функція виду

, , ,

яку також будемо позначати як .

Між змішаними моментами і змішаними семіінваріантамі го порядку, , Існують зв'язують їх співвідношення, які мають вигляд

(1.1)

(1.2)

підсумовування по всіляких розбиття множини .

Спектральною щільністю випадкового процесу , , Називається функція виду

= , ,

за умови, що

.

З визначення видно, що спектральна щільність безперервна, періодична функція з періодом, рівним по кожному з аргументів.

Семіінваріантной спектральною щільністю го порядку, , Випадкового процесу , , Називається функція виду

= , ,

за умови, що

.

Лемма 1. Для будь-якого цілого справедливе співвідношення

(1.3)

Теорема 1. Для змішаного семіінваріанта го порядку, , Випадкового процесу справедливі подання

, (1.4)

Доказ. Домножити обидві частини співвідношення (1.1) на

, ,

та інтегруючи обидві частини отриманого нерівності за на , Одержимо

.

Використовуючи лему 1, отримаємо при необхідний результат. Теорема доведена.

Лемма 2. Якщо функція інтегровна і періодична з періодом , То для будь-якого дійсного має місце співвідношення

Доказ. Припустимо, що > 0. Можна записати

У третьому доданку правої частини останнього рівності зробимо заміну змінних інтегрування і, враховуючи періодичність з періодом функції , Отримуємо необхідну. Випадок, коли <0, доводиться аналогічно. Лемма доведена.

Спектральною щільністю випадкового процесу , , Називається функція виду

= , ,

за умови, що

.

З визначення видно, що спектральна щільність безперервна, періодична функція з періодом, рівним по кожному з аргументів.

2. ОЦІНЮВАННЯ ЗСУВУ СТАТИСТИКИ ВЗАЄМНУ Спектральна густина

Розглянемо дійсний стаціонарний в широкому сенсі випадковий процес , , З математичним очікуванням , , Взаємної ковариационной функцією , І взаємної спектральної щільністю .

Припустимо, є Т послідовних, отриманих через рівні проміжки часу спостережень за складової , Розглянутого процесу . Як оцінку взаємної спектральної щільності в точці розглянемо статистику

(2.1)

де , - Довільна, яка не залежить від спостережень парна целочисленная функція, для , А

(2.2)

s - ціле число, - Ціла частина числа .

Статистика , Звана вибіркової взаємної спектральної щільністю або періодограммой, задається співвідношенням

(2.3)

визначено рівністю (2.2).

Відомо, якщо розглядати як оцінку взаємної спектральної щільності в точці , То вона є асимптотично незміщеної, але не заможної оцінкою цієї спектральної щільності. Зауважимо, що оцінка (2.1) взаємної спектральної щільності побудована шляхом осереднення значень періодограмми в точках деякої ваговій функцією .

Лемма 3. Для будь-якого дійсного , І будь-якого справедливо нерівність

де - Ядро фейєра, що задається рівністю

(2.4)

, А

, (2.5)

Доказ. Враховуючи парність функції і елементарне нерівність

(2.6)

справедливе для всіх x, таких, що , Маємо

Зробимо заміну змінної інтегрування тоді права частина останнього нерівності набуде вигляду

Застосувавши для оцінки першого інтеграла, що стоїть у квадратних дужках, нерівність , А для оцінки другого - нерівність , Одержимо

Лемма доведена.

Проведено чисельний аналіз для співвідношення (2.5) при Т = 100 і при , T , Де T - число спостережень і отримані наступні результати

0,1

0.663138

2.13239

0,2

0.447986

1.48005

0,3

0.308154

1.04694

0,4

0.216092

0.7554

0,5

0.154768

0.556644

0,6

0.113483

0.41954

0,7

0.085422

0.323925

0,8

0.06619

0.256576

0,9

0.0529213

0.208718

1

0.0437283

0.348932

α

0,1

0.663138

1.63184

0,2

0.447986

1.10052

0,3

0.308154

0.755087

0,4

0.216092

0.527538

0,5

0.154768

0.375825

0,6

0.113483

0.273535

0,7

0.085422

0.203842

0,8

0.06619

0.155894

0,9

0.0529213

0.122613

1

0.0437283

0.0993358

3. ВІКНА ПЕРЕГЛЯДУ ДАНИХ

Для виділення певних характеристик спектральних оцінок, нерідко вдаються до згладжування значень на кінцях випадкового тимчасового ряду. Тимчасовий згладжування представляє собою множення ряду на «вікно даних».

При визначенні розширеного кінцевого перетворення Фур'є, що задається співвідношенням

введена функція , Звана вікном перегляду даних (множником збіжності, коефіцієнтом згладжування).

Функцію

(3.1)

називають частотним вікном. Зі співвідношення (3.1) випливає, що

Характерна поведінка функції полягає в тому, що вона стає все більш сконцентрованої в околиці нуля при .

Приклади вікон перегляду даних:

  1. 1 - вікно Діріхле;

  2. 1 - - Вікно фейєра;

  3. ;

  4. - Вікно Хеннінг;

  5. - Вікно Хеммінга;

  6. - Вікно Хеммінга;

  7. , Де - Вікно Хеммінга;

  1. 1 - - Вікно Рісса.

ВИСНОВОК

У даній роботі досліджена оцінка спектральної щільності виду

де , А періодограмма задана наступним співвідношенням

Оцінюється зміщення даної спектральної щільності. Побудовано графіки цієї оцінки для різних вікон даних на підставі спостережень за сонячною активністю по Вольфу з 1749 р. по 1901 р.

Також побудовані графіки для центрованого випадкового процесу.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

  1. Бріллінджер Д. Тимчасові ряди. Обробка даних і теорія. - М.: Мир, 1980. - 536 с.

  2. Андерсон Т. Статистичний аналіз часових рядів. - М.: Мир, 1976. - 755 с.

  3. Труш М.М. Асимптотичні методи статистичного аналізу часових рядів. - Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.

  4. Журбенко І.Г. Спектральний аналіз часових рядів. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.

  5. Труш М.М., Мирская Є.І. Випадкові процеси. Перетворення Фур'є спостережень. - Мн.: БГУ, 2000.

ДОДАТОК

Для дослідження оцінки (2.1) був досліджений ряд, що складається з 100 спостережень за сонячною активністю по Вольфу з 1749 р. по 1901 р.

Рис. 1 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Дирихле

Рис. 2 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Дирихле для центрованого випадкового процесу

Рис. 3 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна фейєра

Рис. 4 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна фейєра для центрованого випадкового процесу

Рис. 5 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна виду 3

Рис. 6 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна виду 3 для центрованого випадкового процесу

Рис. 7 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Хеннінг

Рис. 8 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Хеннінг для центрованого випадкового процесу

Рис. 9 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Хеммінга виду 5

Рис. 10 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Хеммінга виду 5 для центрованого випадкового процесу

Рис. 11 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Хеммінга видана 6

Рис. 12 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Хеммінга виду 6 для центрованого випадкового процесу

Рис.13 - Графік оцінки спектральної щільності (2.1) для вікна Хеммінга виду 7

Рис. 14 - Графік оцінки спектральної щільності (1) для вікна Хеммінга виду 7 для центрованого випадкового процесу

Рис. 15 - Графік оцінки спектральної щільності (1) для вікна Рісса

Рис. 16 - Графік оцінки спектральної щільності (1) для вікна Рісса для центрованого випадкового процесу

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
110.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Завдання статистики в ринковій економіці Система показників демографічної статистики
Дозвілля як складова часового простору
Прилади Резонансні, на ефекті зміщення поля, на ефектах Фарадея
Діалектика багатовимірного світу
Оптимізація Методи багатовимірного пошуку
Інститут взаємної соціальної відповідальності і його проблеми
Філософські аспекти взаємної додатковості гравітермодінаміческіх параметрів
Прямі інвестиції Японії в країнах - членах єс та їх вплив на розвиток взаємної торгівлі
Аналіз можливості застосування методів багатовимірного аналізу для класифікації та оцінки конкурентоспроможності
© Усі права захищені
написати до нас