Основні поняття математичного аналізу 2

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст

Подвійні інтеграли

Визначення певного інтеграла

Правило обчислення подвійного інтеграла.

Обчислення об'ємів тіл за допомогою подвійного інтеграла

Обчислення площ поверхонь фігур за допомогою подвійного інтеграла.

Потрійні інтеграли

Обчислення об'ємів тіл за допомогою потрійного інтеграла.

Невласні інтеграли.

Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

3. Лінійні диференціальні рівняння

4. Рівняння Бернуллі

Диференціальні рівняння другого порядку.

Три випадки зниження порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Комплексні числа

Геометричне зображення комплексних чисел

Дії над комплексними числами.

Твір.

Приватне.

Піднесення до степеня.

Витяг кореня

Ряди.

Числові ряди.

Властивості числових рядів.

Знакоположітельние ряди

Ознаки збіжності та расходимости знакоположітельних рядів.

Знакозмінні та Знакозмінні ряди.

Подвійних інтегралів

Визначення певного інтеграла

- Інтегральна сума.

Геометричний сенс ОІ: дорівнює площі криволінійної трапеції.

Аналогічно ОІ виводиться і подвійний інтеграл.

Нехай задана функція двох змінних z = f (x, y), яка визначена в замкнутій області S площині ХОУ.

Інтегральною сумою для цієї функції називається сума













Вона поширюється на ті значення i і до, для яких точки (x i, y k) належать області S.

Подвійний інтеграл від функції z = f (x, y), визначеної в замкнутій області S площині ХОУ, називається межа відповідної інтегральної суми.



Правило обчислення подвійного інтеграла

Подвійний інтеграл обчислюється через повторні або дворазові інтеграли. Розрізняються два основних види областей інтегрування.











1. (Рис.1) Область інтегрування S обмежена прямими х = а, х = в і кривими

.



Для такої області подвійний інтеграл обчислюється через повторний за формулою:





Спочатку обчислюється внутрішній інтеграл:

При обчисленні внутрішнього інтеграла 'у' вважається змінною, а 'х'-постійною.

2. (Рис.2) Область інтегрування S обмежена прямими у = С, у = d і кривими



.



Для такої області подвійний інтеграл обчислюється через повторний за формулою:





Спочатку обчислюється внутрішній інтеграл, потім зовнішній.

При обчисленні внутрішнього інтеграла 'х' вважається змінною, а 'j-постійною.

3. Якщо область інтегрування не відноситься ні до 1 ні до другого випадку, то розбиваємо її на частини таким чином, щоб кожна з частин ставилася до одного з цих двох видів.

Обчислення об'ємів тіл за допомогою подвійного інтеграла











Об'єм тіла, обмеженого зверху поверхнею z = f (x, y), знизу-площиною z = 0 (площину ХОУ) і з боків-циліндричною поверхнею, вирізаний на площині ХОУ область S, обчислюється за формулою:

Обчислення площ поверхонь фігур за допомогою подвійного інтеграла

Якщо гладка поверхня задана рівнянням z = f (x, y), то площа поверхні (S пов.), Що має своєю проекцією на площину ХОУ область S, знаходиться за формулою:

- Площа поверхні.

Потрійні інтеграли

Визначається аналогічно подвійному інтегралу.

Потрійний інтеграл від функції U = f (x, y, z), поширеним на область V, називається межа відповідної трикратної суми.

Обчислення потрійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення звичайних (одноразових) нтегралов.

Обчислення об'ємів тіл за допомогою потрійного інтеграла

Обсяг тіла обчислюється за формулою:

Невласні інтеграли

Це інтеграли: - з нескінченними межами; - від необмеженої функції.

Перший вид

Невласні інтеграли з нескінченними межами мають вигляд:

; ;

Невласні інтеграли від функції в межах від (а) до ( ) Визначаються рівністю.

1. ; 2. ; 3.

Якщо ця межа існує і кінцевий, то невласний інтеграл називається збіжним, якщо межа не існує або дорівнює нескінченності, то невласний інтеграл називається розбіжним (ряд сходиться або розходиться?). Це і є відповідь.

Другий вид

Невласні інтеграли від необмеженої функції мають вигляд: , Де існує точка "з" (точка розриву) така, що ; , Тобто (Зокрема c = a; c = b).

Якщо функція f (x) має нескінченний розрив в точці "з" відрізка [a; b] і неперервна при або , То вважаємо:

Якщо межі в правій частині останнього рівності існують і кінцеві, то невласний інтеграл сходиться, якщо межі не існують або дорівнювати нескінченності - то розходяться.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

1. Диференціальне рівняння - рівняння, що зв'язує незалежну змінну х, шукану функцію f (x) та її похідні.

Символічно диференціальне рівняння виглядає:

F (x, y, y ', y''..., y (n)) = 0 або .

2. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, яка входить в рівняння:

Приклад.

F (x, y, y ') = 0 - диференціальне рівняння першого порядку.

F (x, y, y ', y'') = 0 - диференціальне рівняння другого порядку.

3. Рішенням диференціального рівняння називається всяка функція , Яка при підстановці в рівняння, звертає його в правильне тотожність.

Для того щоб вирішити диференціальне рівняння треба його проінтегрувати.

Приклад.

Диференціальне рівняння першого порядку.

Загальне і приватне рішення.

F (x, y, y ') = 0

Це рівняння можна привести до виду y '= f (x, y).

Інтегруємо рівняння.

Після обчислення виникає постійна С. Тому рішення фактично залежить не тільки від х, але і від С, тобто y = f (x, C). Надаючи З різні значення, ми отримуємо безліч різних рішень диференціального рівняння. Ці рішення (y = f (x, C)) називаються загальним рішенням диференціального рівняння.

Надаючи З різні значення отримуємо різні рішення диференціального рівняння. Так як С має нескінченну безліч значень, то і рішень буде безліч (які відрізняються один від одного шляхом зсуву на кілька одиниць).

Геометрично спільне рішення являє собою сімейство кривих на координатній площині ХОУ.

Приватне рішення.

Нехай у диференціальному рівнянні задані додаткові умови, що при х = х0 функція приймає значення у = у0. Це додаткова умова називається початковою умовою і записується: а). у = у0 при х = х0, б). ; В). у (х0) = у0.

Геометрично початкова умова означає деяку точку (х0, у0) на площині ХОУ.

Підставляючи в початкове умова , Знаходимо цілком певні значення постійної С. Тоді є приватним рішенням рівняння.

Геометрично приватне рішення позначає: початкова умова задає деяку точку на площині і з сімейства кривих (спільне рішення) вибирається та єдина крива, яка проходить через цю точку.

Теорема існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння (теорема Коші).

Якщо в диференціальному рівнянні y = f (x, y) функція f (x, y) та її приватна похідна визначені і неперервні в деякій області Д на площині ХОУ, то якою б не була внутрішня точка (х0, у0) цієї області, дане рівняння має єдине рішення , Що задовольнить початковому умові у = у0 при х = х0.

Геометрично сенс полягає в наступному: кожній точці (х0, у0) області Д відповідає тільки одна інтегральна крива, що проходить через цю точку (кожній точці відповідає тільки одне приватне рішення).

Зауваження. "Знайти приватне рішення" = "Вирішити задачу Коші".

Існує 4 види диференціальних рівнянь першого порядку.

1. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.

Диференціальні рівняння першого порядку в загальному вигляді можна записати або через похідні F (x, y, y ') = 0, або через диференціали

.

Диференціальне рівняння-рівняння з відокремлюваними змінними, якщо його можна представити у вигляді:

- - Через похідну.

- - Через диференціал.

У цих рівняннях в творах стоять функції, кожна з яких залежить від однієї змінної (х або у). Тобто рівняння буде рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна перетворити так, щоб в одній його частині була тільки одна змінна, а в іншій - тільки інша.

Зауваження. При вирішенні диференціальне рівняння відповіді можна надати різну форму в залежності від того, як записана довільна постійна С.

Рішення.

-

; -Інтегруємо і отримуємо рішення.

-

;

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Функція f (x, y) називається однорідною функцією n-го виміру, якщо при будь-якому виконується умова: .

Диференціальне рівняння y '= f (x, y) є однорідне, якщо функція f (x, y) є однорідною функцією нульового виміру.

Диференціальне рівняння P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 однорідне, якщо P (x, y) і Q (x, y) є однорідними функціями одного і того ж вимірювання.

P (x, y) dx =- Q (x, y) dy;

Однорідне рівняння завжди можна привести до виду і з допомогою заміни однорідне рівняння завжди приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними ( ; Y = xt; y '= t + xt').

Лінійні диференціальні рівняння

ЛДУ - рівняння виду y '+ P (x) y = Q (x) - першого порядку відносно у і у'.

Для вирішення ЛДУ застосовуємо заміну: y = UV, тоді y '= U' V + UV '

U'V + UV '+ P (x) UV = Q (x)

V (U '+ P (x) U) + UV' = Q (x)

Далі U '+ P (x) U = 0, отримуємо два вирівняна з відокремлюваними змінними:

1). U '+ P (x) U = 0 знаходимо U. 2). UV '= Q (x) знаходимо V. . З ставиться тільки при обчисленні другого рівняння.

Зауваження. Вираз, що стоїть в дужках, можна прирівняти до нуля, тому що одну з функцій можна взяти довільною, іншу - визначаємо на підставі ЛДУ.

Рівняння Бернуллі

УБ - диференціальні рівняння виду y '+ P (x) y = Q (x) * y n, де

- Т.к. при цих значеннях рівняння буде лінійним.

УБ вирішуються так само, як і лінійні.

Диференціальні рівняння другого порядку

Диференціальні рівняння другого порядку в загальному вигляді записуються: F (x, y, y ', y'') = 0

Як і у випадку диференціальних рівнянь першого порядку для вирішення диференціальних рівнянь другого порядку існують загальне і приватне рішення. Але, якщо для диференціальних рівнянь першого порядку рішення залежало від однієї константи, то для диференціальних рівнянь другого порядку рішення залежить від двох постійних: - Спільне рішення.

Якщо задані початкові умови (у = у0, у = у0 при х = х0), то отримуємо приватне рішення, що задовольняє цим початковим умовам.

Початкові умови також можуть задаватися у вигляді:

у = у0 при х = х0; у = у1 при х = х1.

Три випадки зниження порядку

1. Випадок безпосереднього інтегрування

F (x, y ") = 0

y''= f (x) - рішення цього рівняння знаходиться шляхом дворазового інтегрування.

; ; ;

2. Коли диференціальне рівняння явно не містить у, тобто F (x, y ', y ") = 0

За допомогою заміни у '= р; це рівняння приводимо до рівняння першого порядку .

3. Коли диференціальне рівняння явно не містить х, тобто F (y, y ', y ") = 0.

За допомогою заміни y '= p, це рівняння приводимо до рівняння першого порядку .

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Лінійними однорідними діфурамі другого порядку з постійними коефіцієнтами називаються рівняння виду:

y''+ py '+ qy = 0,

де p і q - деякі числа.

Складемо характеристичне рівняння:

,

яке виходить з даного рівняння шляхом заміни в ньому похідних шуканої функції відповідними ступенями "до". Причому сама функція замінюється одиницею.

Якщо к1 і к2 - коріння характерісітіческого рівняння, то загальний розв'язок однорідного рівняння має один з наступних трьох видів:

1). , Якщо к1 і к2 - дійсні і різні, тобто D> 0.

2). , Якщо к1 і к2 - дійсні і рівні, тобто к1 = к2, D = 0.

3). , Якщо к1 і к2 - комплексні, тобто ; D <0.

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Мають вигляд:

,

де p і q - деякі числа.

Загальне рішення має вигляд: , Де

y0 - спільне рішення відповідного однорідного рівняння; - Приватне рішення відповідного однорідного рівняння.

Тобто для знаходження спільного рішення неоднорідного рівняння 'у', спочатку знаходять спільне рішення відповідного однорідного рівняння у0, а потім приватне рішення , І складають їх.

Приватне рішення неоднорідного рівняння знаходиться методом невизначених коефіцієнтів.

Для знаходження приватних рішень розглянемо декілька випадків.

1. Нехай права частина f (x) має вигляд:

, Де P n (x) - многочлен n-го ступеня.

Тоді можливі наступні 3 випадки:

А). Якщо 'а' не є коренем характеристичного рівняння k 2 + pk + q = 0, то приватне рішення має вигляд: , Де Q n (x) - многочлен тій же мірі, що і P n (x), тільки з невизначеними коефіцієнтами.

Наприклад.

P n (x) = 8 - многочлен 0-го ступеня (n = 0). Q n (x) = A;

P n (x) = 2 x -3 - многочлен 1-го ступеня (n = 1). Q n (x) = Ax + B;

P n (x) = x 2 - многочлен 2-го ступеня (n = 2). Q n (x) = Ax 2 + Bx + C;

P n (x) = 3 x 3 -3 x - многочлен 3-го ступеня (n = 3). Q n (x) = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D.

Зауваження. Многочлен Q n (x) завжди повинен бути повний, тобто містити всі ступені х. Коефіцієнти А, В, С, Д і т.д. знаходимо за методом невизначених коефіцієнтів безпосередньо при рішенні кожного конкретного рівняння.

Б). Якщо а є одноразовим коренем характеристичного рівняння k 2 + pk + q = 0, тобто збігається з одним із коренів характеристичного рівняння, то частинний розв'язок має вигляд: .

В). Якщо а є дворазовим коренем характеристичного рівняння k 2 + pk + q = 0, тобто збігається з двома країнами характеристичного рівняння, то частинний розв'язок має вигляд: .

Підсумок.

Якщо , То , Де r - кратність кореня 'а' в характеристичному рівнянні, тобто r = 0, якщо 'а' не є корінь; r = 1, якщо 'а' збігається з одним з коріння; r = 2, якщо 'а 'збігається з двома країнами.

2. Якщо права частина f (x) має вигляд:, де P n (x)-многочлен n-го ступеня; Q m (x)-многочлен m-го ступеня.

Тоді можливі наступні два випадки:

А). Якщо не є коренем характеристичного рівняння k 2 + pk + q = 0 ( ), То приватне рішення має вигляд: , Де S N (x), T N (x)-багаточлени ступеня N з невизначеними коефіцієнтами, де N = max з n і m (N = max {n, m}), тобто ступінь N многочленів S N (x) і T N (x) дорівнює найбільшою зі ступенів многочленів P n (x) і Q m (x).

Б). Якщо є коренем характеристичного рівняння k 2 + pk + q = 0 ( ), То приватне рішення має вигляд:

Зауваження.

- Якщо в правій частині f (x) неоднорідного рівняння у 2 випадку відсутня одна з складових, тобто P n (x) = 0 або Q m (x) = 0, то приватне рішення все одно записується в полоном вигляді.

- Якщо права частина f (x) неоднорідного рівняння в 1 і 2 випадках є сума кількох функцій (f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + ... f n (x)), то .

- Так само розглядаємо всі комбінації при розрахунку : Cosx, sinx, xcosx, xsinx, x 2 cosx, x 2 sinx.

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА

Комплексним числом (z) називається вираз z = x + iy, де х і у-дійсні числа, i-уявна одиниця.

i визначається: i 2 =- 1, звідси .

х-дійсна частина (x = Rez);

у-уявна частина (y = Imz).

Геометричне зображення комплексних чисел

Існують такі форми комплексних чисел: алгебраїчна (x + iy), тригонометрична (r (cos + Isin )), Показова (re i ).

Будь-яке комплексне число z = x + iy можна зобразити на площині ХОУ у вигляді точки А (х, у).

Площина, на якій зображуються комплексні числа, називається площиною комплексного змінного z (на площині ставимо символ z).

Вісь ОХ - дійсна вісь, тобто на ній лежать дійсні числа. ОУ - уявна вісь з уявними числами.

x + iy - алгебраїчна форма запису комплексного числа.

Виведемо тригонометричну форму запису комплексного числа.

;

Підставляємо отримані значення в початкову форму:

, Тобто

r (cos + Isin ) - Тригонометрична форма запису комплексного числа.

Показова форма запису комплексного числа випливає з формули Ейлера:

, Тоді

z = re i - Показова форма запису комплексного числа.

Дії над комплексними числами

1. Складання. Z 1 ​​+ z 2 = (x 1 + iy 1) + (x 2 + iy 2) = (x 1 + x 2) + i (y 1 + y 2);

2. віднімання. z 1 - z 2 = (x 1 + iy 1) - (x 2 + iy 2) = (x 1 - x 2) + i (y 1 - y 2);

3. Множення. Z 1 ​​z 2 = (x 1 + iy 1) * (x 2 + iy 2) = x 1 x 2 + i (x 1 y 2 + x 2 y 1 + iy 1 y 2) = (x 1 x 2 - y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1);

4. поділ. z 1 / z 2 = (x 1 + iy 1) / (x 2 + iy 2) = [(x 1 + iy 1) * (x 2 - iy 2)] / [(x 2 + iy 2) * (x 2 - iy 2)] =

Два комплексних числа, які відрізняються тільки знаком уявної одиниці, тобто z = x + iy (z = x-iy), називаються сполученими.

Твір

- Якщо комплексні числа задані в тригонометричної формі.

z1 = r (cos + Isin ); Z2 = r (cos + Isin ).

Те твір z 1 * z 2 комплексних чисел знаходиться: , Тобто модуль твори дорівнює добутку модулів, а аргумент твори дорівнює сумі аргументів співмножників.

- Якщо комплексні числа задані в показовій формі.

; ;

Приватне

- Якщо комплексні числа задані в тригонометричної формі.

- Якщо комплексні числа задані в показовій формі.

Піднесення до степеня

1. Комплексне число задано в алгебраїчній формі.

z = x + iy, то z n знаходимо за формулою бінома Ньютона:

z n = (x + iy) n.

- Число сполучень із n елементів по m (число способів, скількома можна взяти n елементів з m).

; N! = 1 * 2 * ... * n; 0! = 1; .

Застосовуємо для комплексного числа.

В отриманому виразі потрібно замінити ступеня i їх значеннями:

i 0 = 1 Звідси, в ​​загальному випадку отримуємо: i 4 k = 1

i 1 = i i 4k +1 = i

i 2 =- 1 i 4k +2 =- 1

i 3 =- i i 4k +3 =- i

i 4 = 1

i 5 = i

i 6 =- 1

Приклад.

i 31 = i 28 i 3 =- i

i 1063 = i 1062 i = i

2. Якщо комплексне число задано в тригонометричній формі.

z = r (cos + Isin ), То

- Формула Муавра.

Тут n може бути як "+" так і "-" (цілим).

3. Якщо комплексне число задано в показовій формі:

Витяг кореня

Розглянемо рівняння: .

Його рішенням буде корінь n-го ступеня з комплексного числа z: .

Корінь n-го ступеня з комплексного числа z має рівно n рішень (значень). Корінь з чинного числа n-го ступеня має тільки одне рішення. В комплексних - n рішень.

Якщо комплексне число задано в тригонометричній формі:

z = r (cos + Isin ), То корінь n-го ступеня від z знаходиться за формулою:

, Де к = 0,1 ... n-1.

ЛАВ

Числові ряди

Нехай змінна а приймає послідовно значення а 1, а 2, а 3, ..., а n. Таке перенумеровані безліч чисел називається послідовністю. Вона нескінченна.

Числовим рядом називається вираз а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = . Числа а 1, а 2, а 3, ..., а n - члени ряду.

Наприклад.

а 1 - перший член ряду.

а n - n-ий або загальний член ряду.

Ряд вважається заданим, якщо відомий n-ий (загальний член ряду).

Числовий ряд має нескінченне число членів.

Чисельники - арифметична прогресія (1,3,5,7 ...).

n-ий член знаходиться за формулою

а n = а 1 + d (n-1); d = а n-а n-1.

Знаменник - геометрична прогресія.

b n = b 1 q n -1; .

Розглянемо суму перших n членів ряду і позначимо її Sn.

Sn = а1 + а2 + ... + а n.

Sn - n-а часткова сума ряду.

Розглянемо межа:

S - сума ряду.

Ряду сходиться, якщо ця межа кінцевий (кінцевий межа S існує).

Ряд розходиться, якщо ця межа нескінченний.

Надалі наша задача полягає в наступному: встановити який ряд.

Одним з найпростіших, але часто зустрічаються рядів є геометрична прогресія.

, C = const.

Геометрична прогресія є збіжним рядом, якщо , І розбіжним, якщо .

Також зустрічається гармонійний ряд (ряд ). Цей ряд розбіжний.

Властивості числових рядів

1. Якщо сходиться а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = , То сходиться і ряд а m +1 + а m +2 + а m +3 + ..., отриманий з даного ряду відкиданням перші m членів. Цей отриманий ряд називається m-им залишком ряду. І, навпаки: з збіжності m-го залишку ряду випливає збіжність даного ряду. Тобто збіжність і розбіжність ряду не порушується, якщо додати або відкинути кінцеве число його членів.

2. Якщо ряд а 1 + а 2 + а 3 + ... сходиться і його сума дорівнює S, то ряд Са 1 + Са 2 + ..., де С = так само сходиться і його сума дорівнює СS.

3. Якщо ряди а 1 + а 2 + ... і b 1 + b 2 + ... сходяться і їх суми дорівнюють відповідно S1 і S2, то ряди (а 1 + b 1) + (а 2 + b 2) + (а 3 + b 3) + ... і (а 1 - b 1) + (а 2 - b 2) + (а 3 - b 3) + ... також сходяться. Їх суми відповідно рівні S1 + S2 і S1-S2.

4. А). Якщо ряд сходиться, то його n-ий член прямує до 0 при необмеженому зростанні n (зворотне твердження невірно).

- Необхідний ознака (умова) збіжності ряду.

б). Якщо то ряд розбіжний - достатня умова расходимости ряду.

-Ряди такого виду досліджуються тільки по 4 властивості. Це розбіжні ряди.

Знакоположітельние ряди

Ознаки збіжності та расходимости знакоположітельних рядів.

Знакоположітельние ряди це ряди, всі члени яких позитивні. Ці ознаки збіжності та расходимости ми будемо розглядати для знакоположітельних рядів.

1. Перша ознака порівняння.

Нехай дано два знакоположітельних ряду а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = (1) і b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n + ... = (2).

Якщо члени ряду (1) не більше відповідних членів ряду (2), тобто а n b n і ряд (2) сходиться, то і ряд (1) також сходиться.

Якщо члени ряду (1) не менше відповідних членів ряду (2), тобто а n b n і ряд (2) розходиться, то й ряд (1) також розходиться.

Ця ознака порівняння справедливий, якщо нерівність виконується не для всіх n, а лише починаючи з деякого.

2. Друга ознака порівняння

Якщо існує кінцевий і відмінний від нуля межа , То обидва ряди сходяться чи розходяться одночасно.

-Ряди такого виду розходяться по другому ознакою порівняння. Їх треба порівнювати з гармонійним поруч.

3. Ознака Даламбера

Якщо для знакоположітельного ряду (а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = ) Існує (1), то ряд сходиться, якщо q <1, розходиться, якщо q> 1. Якщо q = 1 то питання залишається відкритим.

4. Ознака Коші радикальний

Якщо для знакоположітельного ряду існує межа (2), то ряд сходиться, якщо q <1, розходиться, якщо q> 1. Якщо q = 1 то питання залишається відкритим.

5. Ознака Коші інтегральний

Згадаймо невласні інтеграли.

Якщо існує межа . Це є невласний інтеграл і позначається .

Якщо ця межа кінцевий, то говорять, що невласний інтеграл сходиться. Ряд, відповідно, сходиться або розходиться.

Нехай ряд а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = - Знакоположітельний ряд.

Позначимо a n = f (x) і розглянемо функцію f (x). Якщо f (x) - функція позитивна, монотонно спадна і безперервна, то, якщо невласний інтеграл збігається, то і даний ряд сходиться. І навпаки: якщо невласний інтеграл розбігається, то і ряд розходиться.

Якщо ряд кінцевий, то він сходиться.

Дуже часто зустрічаються ряди - Ряд Деріхле. Він сходиться, якщо p> 1, розходиться p <1. Гармонійний ряд є поруч Деріхле при р = 1. Збіжність і розбіжність даного ряду легко довести за допомогою інтегрального ознаки Коші.

Знакозмінні та Знакозмінні ряди

Знакозмінний ряд - це ряд, серед членів якого є як + так і - члени.

Окремим випадком знакозмінних ряду є Знакозмінні ряд. Це ряд, у якого за кожним + членом слід -, і навпаки, тобто знаки чергуються.

Нехай заданий знакозмінний ряд а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = (1) (члени як + так і -).

Візьмемо ряд (3), складений з абсолютних величин членів ряду (1). Ряд (3) є знакоположітельним поруч.

Якщо ряд (3) сходиться, то ряд (1) також сходиться і називається абсолютно збіжним (відповідь отримано відразу).

Якщо ряд (3) розходиться, а:

- Ряд (1) сходиться, то ряд (1) називається умовно збіжним;

- Ряд (1) розходиться, то ряд (1) називається розбіжним.

При дослідженні знакоположітельних рядів можемо отримати 2 відповіді: ряд сходиться або ряд розходиться.

При дослідженні знакозмінних рядів можуть вийти 3 відповіді: ряд сходиться абсолютно, ряд сходиться умовно, ряд розходиться.

Схема

Якщо (3) - сходиться (1) - сходиться абсолютно.

Якщо (3) - розходиться

При дослідженні на збіжність знакозмінного ряду (1) починати треба з розбору знакоположітельного ряду (3). Т.к. ряд (3) - знакоположітельний ряд, то до нього можна застосувати всі ознаки збіжності для знакоположітельних рядів.

З расходимости ряду (3) не слід расходимость ряду (1), але якщо (3) розходиться за ознаками Даламбера або Коші радикальний, то розходиться не тільки ряд (3), але і ряд (1).

Якщо ряд - Знакозмінні, то для нього дається ще одна ознака збіжності:

Ознака Лейбніца

Якщо для Знакозмінні ряду b 1 - b 2 + b 3 - b 4 + ... (bn 0) виконуються умови:

1. B 1 b 2 b 3 b 4 ...;

2. , - То даний ряд сходиться умовно.

33


Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Виклад
138.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Основні поняття математичного аналізу
Основні поняття математичного програмування Побудова моделі задачі лінійного програмування
Предметна область системного аналізу Основні поняття системного аналізу
Основи математичного аналізу
Основні поняття системного аналізу
Вклад ЛЕйлера у розвиток математичного аналізу
Реалізація міжпредметних зв`язків на елективних курсах з початків математичного аналізу в класах
Наукові основи економічного аналізу Поняття та значення економічного аналізу його місце в системі
Основні теорії праворозуміння Основні причини і закономірності появи права Поняття соціального
© Усі права захищені
написати до нас