Основна теорема алгебри

Федеральне агентство з освіти Російської Федерації
САРАТОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ Н. Г. ЧЕРНИШЕВСЬКОГО
Кафедра комп'ютерної алгебри та теорії чисел
Основна теорема алгебри
Курсова робота
студента 1 курсу 121 групи механіко-математичного факультету
Батура Ірина Сергіївна
Науковий керівник Є.В. Коробченко, асистент
Зав. кафедрою В. М. КУЗНЄЦОВ, д.т.н., професор
САРАТОВ
2009

ЗМІСТ
1. Введення
2. Основні визначення, використовувані в курсовій роботі
3. Елементи теорії меж для комплексних чисел
4. Доказ основної теореми
5. Список використаної літератури

1. ВСТУП
Дана робота присвячена Основний теоремі Алгебри, вивченню існування коренів у полі . Як припущення ця теорема вперше зустрічається у німецького математика Пітера роутити (1617г.). Д'Аламбер першим в 1746г. опублікував доведення цієї теореми. Його доказ грунтувалося на лемі. Доказ це було б абсолютно строгим, якби Д'Аламбер міг довести, що щось на комплексній площині значення модуля многочлена досягає найменшого значення. У другій половині 18 століття з'являються докази Ейлера, Лапласа, Лагранжа і інших. У всіх цих доказах передбачається заздалегідь, що якісь "ідеальні" коріння многочлена існують, а потім доводиться, що, принаймні, один з них є комплексним числом. З часів доведення теореми в алгебрі було відкрито дуже багато нового, тому сьогодні "основний" цю теорему назвати вже не можна: ця назва тепер є історичною.
Метою моєї роботи є виявлення, що поле комплексних чисел алгебраїчно замкнуто. Для доказу Основний теореми Алгебри я використовувала ряд лем: лема Даламбера і лема про досягнення точної нижньої межі значень.
При написанні роботи мною була використана наступна література: Д. К. Фадєєв "Лекції з алгебри", Л. Д. Кудрявцев "Курс математичного аналізу". А. Г. Курош "Курс вищої алгебри".

2. Основні визначення, використовувані в курсовій роботі
Множини, що задовольняють вимогам :1-операція додавання ,2-операція множення ,3-зв'язок операцій додавання і множення, і містять хоча б один елемент, відмінний від нуля, називається полями.
Безліч комплексних чисел можна визначити як безліч впорядкованих пар дійсних чисел, , , В якому введено операції додавання і множення згідно з наступним визначенням:

У результаті цього визначення безліч зазначених пар перетворюється на полі, тобто задовольняє умовам 1,2,3. Отримане таким чином поле, називається полем комплексних чисел.
Послідовність комплексних чисел - це функція, визначена на множині натуральних чисел і що має своїми значеннями комплексні числа.
Послідовність називається підпослідовність , Якщо для будь-якого k існує таке натуральне , Що = , Причому Б тоді і тільки тоді, коли .
Комплексне число - розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума , Де x і y-дійсні числа, i-уявна одиниця, тобто число, яке задовольняє рівнянню .
Дійсне число (дійсне число) - будь-яке позитивне число, від'ємне число або нуль.
Функція - 1) Залежна змінна величина, 2) Відповідність між змінними величинами, у силу якого кожного розглянутого значенням деякої величини x (аргумент чи незалежної змінної) відповідає певне значення величини y (залежної змінної або функції у значенні 1).
Теорема Больцано-Вейєрштрасса: з будь-якої обмеженої послідовності можна витягти сходящуюся підпослідовність.
Послідовність називається обмеженою на множині Е, якщо існує така постійна М> 0, що для всіх і всіх виконується нерівності
Послідовність сходиться до функції f рівномірно безлічі Е, якщо для будь-якого існує такої номер , Що якщо , То для всіх виконується нерівність . Послідовність називається рівномірно збіжної на безлічі Е, якщо існує функція f, до якої вона рівномірно сходиться на Є.
3. Елементи теорії меж для комплексних чисел
У моїй роботі поліноми розглядаються тільки над полями і як функції від комплексної або дійсної змінної, так що моя робота є швидше главою математичного аналізу, а не алгебри, хоча теорема про існування кореня у будь-якого відмінного від константи полінома з комплексними коефіцієнтами (тобто встановлення замкнутість алгебри поля ) Називається основний теореми алгебри.
Визначення: Нехай задана послідовність комплексних чисел . Число називається її межею, якщо для будь-якого дійсного числа існує такий номер , Що при виконується нерівність . У цьому випадку пишуть lim , А = lim , B = lim . Граничне співвідношення lim = C рівносильно співвідношенню , Бо

max
Послідовність така, що R, при деякому R, називається обмеженою.
Для дійсних змінних відома теорема Больцано-Вейєрштрасса: з будь-якої обмеженої послідовності можна витягти сходящуюся підпослідовність. Те ж саме вірно і для послідовностей, складених з комплексних чисел.
Дійсно, нехай обмежена послідовність, тобто , Тоді , Так що є обмежена послідовність дійсних чисел. З неї можна вибрати сходящуюся підпослідовність . Розглянемо відповідну підпослідовність уявних частин . Вона обмежена, і з неї можна витягти сходящуюся підпослідовність .
Відповідна підпослідовність комплексних чисел має сходяться послідовності дійсних і уявних частин і, отже, сходяться, і її межа дорівнює .
4. Доказ основної теореми
Перш ніж приступити до формального доказу, намітимо його ідею. Нехай -Поліном, що розглядається як функція від комплексної змінної . Уявімо собі "графік" функції , Вважаючи, що значення зображуються на горизонтальній площині, перпендикулярної до площини креслення, а значення відкладаються вгору в напрямку осі . Ми встановимо, що є неперервними функціями від на всій площині комплексної змінної. Функція від комплексної змінної називається безперервної в точці , Якщо достатньо близьким до значеннями відповідає як завгодно близькі до значення . У більш точних термінах - для будь-якого знайдеться таке , Що , Як тільки .
Безперервність дає підстави уявляти собі графік у вигляді безперервної поверхні, що накриває площину , І місцями доходить до цієї площини. Власне кажучи, нам і потрібно довести, що існує таке значення , В якому , І, тим самим, , Тобто що поверхня доходить до площини в точці . Ми доведемо, що якщо дана точка на поверхні , Яка розташована вище площини , То в її околиці знайдеться точка поверхні розташована нижче даної точки. Тоді залишиться тільки довести, що на поверхні існує найнижча точка, скажімо, при . Вона не може знаходитися вище площини , Бо тоді вона була б найнижчою точкою. Отже, і, отже , Тобто корінь полінома .
Тепер приступимо до доведення основної теореми, розбивши це доказ на ланцюжок лем.
Лемма 1. Дан поліном c нульовим вільним членом.
Тоді для будь-якого знайдеться таке , Що , Як тільки .
Доказ: Нехай . Тоді

Покладемо

Якщо
то
що й потрібно було довести.
Лемма 2. Поліном є безперервна функція у всіх точках площини комплексної змінної.
Доказ: Нехай дано поліном і крапка _. Розташуємо поліном по ступенях
,
Тоді так що

Права частина є поліном від   з нульовим вільним членом.
За Лемма 1 для будь-якого знайдеться таке , Що як тільки що й потрібно було довести.
Лемма 3. Модуль полінома є безперервна функція.
Доказ: З нерівності випливає, що для даного то , Яке "обслуговує" , Підходить і для . Дійсно, при маємо


Лемма 4. (Про зростання модуля полінома). Якщо -Поліном, відмінний від константи, то для будь-якого М> 0 існує таке R> 0, що M, як тільки .
Це означає, що будь-яка горизонтальна площина відрізає від поверхні кінцевий шматок, що накриває частина кола | z | ≤ R.
Доказ: Нехай

де поліном від c нульовим вільним членом.
У силу леми 1 для знайдеться таке , Що при , Буде . Модуль   може бути зроблений як завгодно великим, саме, при буде . Візьмемо Тоді при буде
і так що
Лемма 5. Точна нижня грань значень досягається, тобто існує таке , Що при всіх .
Доказ: Позначимо точну нижню межу через . Візьмемо послідовністю прагнуть до зверху. Кожна з цих чисел не є нижньою межею значень , Бо -Точна нижня грань. Тому знайдуться такі, що . Скористаємося тепер лемою про зростання модуля. Для знайдемо таке , Що при буде Звідси випливає, що при все . Послідовністю   виявилася обмеженою, і з неї можна витягти сходящуюся підпослідовність   . Нехай її межа дорівнює . Тоді в силу безперервності . Крім того, . Тому Отже , Що й потрібно було довести.
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Нехай поліном відмінний від константи, і нехай . Тоді знайдеться така точка , Що

Геометричний зміст цієї леми: якщо на поверхні дана точка, що знаходиться вище площини , То на ній знайдеться інша точка, розташована нижче першої.
Доказ: Розташуємо поліном за ступенями

Тоді Ідея докази полягає в тому, щоб за рахунок першого відмінного від нуля доданка "відкусити шматочок" від , А вплив подальших доданків зробити незначним. Нехай   - Перше відмінне від нуля доданок після , Тож (Якщо k> 1). Таке доданок є, так як не константа. Тоді
+
+ ( + ... + )) =
= c ₀ (1 + + ).
Тут
=
є поліном від з нульовим вільним членом. За Лемма 1 для = знайдеться таке , Що | | < , Як тільки | | < . Покладемо = ( ) І . Тоді
.
Виберемо так, що . Для цього потрібно взяти . Далі, покладемо , Тобто візьмемо . При такому виборі буде . Тепер покладемо
при і . Тоді і
| | = .

Лема доведена.
Зауважимо, що з тим же успіхом ми могли б узяти при так що при k> 1 (тобто у разі, коли -Корінь кратності полінома ) Є k напрямків спуску по поверхні . Вони поділяються напрямками підйому при
Дійсно, в цих напрямках
і
Так що якщо є корінь похідної кратності , То поверхня в околі точки "Гофровані" так, що на ній є "Долин" cпуска, роздільних "Хребтами" підйому.
Теорема: Поліном з комплексними коефіцієнтами, відмінний від постійної, має по меншою мірою один комплексний корінь (тобто полі , Комплексних чисел алгебраїчно замкнене).
Доказ: Нехай - Даний поліном, відмінний від константи. Нехай, далі, і - Точка, в якій ; Вона існує по лемі 5. Тоді бо інакше, згідно лемі 6, знайшлася б така точка що неможливо.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Д. К. Фадєєв Лекції з алгебри. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л. Д. Кудрявцев Курс математичного аналізу. - М.: Изд-во "Вищ. Школа", 1981р. - 687с.
А. Г. Курош Курс вищої алгебри. - М.: Изд-во "Наука", 1971 р. - 431с.