Варіант 2
1. Розв'яжіть рівняння
Рішення:
За визначенням .
Тоді і рівняння набуває вигляду
звідки отримуємо
.
Відповідь: .
2. В урні знаходиться 7 білих і 5 чорних куль. Знайти ймовірність того, що два одночасно вилучених кулі будуть білими.
Рішення:
Спочатку в урні 12 куль і ймовірність витягти першу кулю білий становить . Після того як витягнутий перший білий кулю в урні залишається 11 куль, з них 6 білих, отже ймовірність витягти друга біла куля складе
.
У результаті ймовірність спільного появи двох білих куль дорівнює:
Відповідь: .
3. У ящику 10 деталей, з яких 4 стандартні. Контролер взяв навмання 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з вилучених деталей виявиться стандартною.
Рішення:
Події «хоча б одна стандартна» і «всі деталі не стандартні» протилежні і сума їх ймовірностей дорівнює 1.
Знайдемо ймовірність того, що 3 витягнутих деталі не стандартні.
Загальне число можливих елементарних фіналів вибору 3-х деталей з 10 дорівнює числу сполучень із 10 елементів по 3: , Де
, Тоді
Визначимо число результатів, що сприяють цікавого для нас події А (серед 3-х обраних деталей 3 не стандартних). Три деталі з 6 наявних можна вибрати способами отже, число благоприятствующих фіналів
.
Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа фіналів, благоприятствующих потрібного події, до числа всіх елементарних фіналів: .
Тоді шукана ймовірність того, що хоча б одна з вилучених деталей виявиться стандартною дорівнює:
Відповідь: .
4. У коробці 7 олівців, з яких 4 червоні. З цієї коробки навмання витягується 3 олівця. Х - число червоних олівців. Знайти закон розподілу випадкової величини Х, функцію розподілу та основні числові характеристики.
Рішення:
Серед 3-х витягнутих олівців може бути 0, 1, 2 або 3 червоних.
Знайдемо ймовірність кожного результату.
0 червоних:
1 червоний:
2 червоні:
3 червоних:
Закон розподілу приймає вигляд:
Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
р | | | | |
Запишемо функцію розподілу отриманої випадкової величини Х:
Математичне сподівання М (Х) випадкової величини знаходиться за формулою:
,
і підставляючи дані отримаємо:
Дисперсію дискретної випадкової величини можна обчислити за формулою:
,
і, підставляючи дані, отримаємо:
Середньоквадратичне відхилення: s (Х) =
Відповідь: ;
;
5. По даній вибірці побудуйте полігон. Знайти емпіричну функцію.
Х i | 4 | 7 | 8 |
Ni | 5 | 2 | 3 |
Рішення:
Побудуємо полігон частот - ламану, що сполучає точки з координатами (Х i; Ni).
Обсяг вибірки дорівнює N = 5 + 2 + 3 = 10.
Знайдемо відносні частоти і складемо емпіричну функцію розподілу:
Х i | 4 | 7 | 8 |
wi | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Відповідь: рішення вище.