Опуклі фігури

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Ставропольський ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра геометрії
Курсова робота на тему:
«Опуклі фігури»

Виконала студентка
2 курсу ФМФ спеціальності
«Фізика» гр. «А»
Валаева С.В.




Ставрополь 2007р.
ЗМІСТ
Введення ................................................. .................................................. ................ 3
Опуклі фігури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
Криві постійної ширини та їх застосування ............................................ ........ 7
Властивості кривих постійної ширини .............................................. ................. 14
Література ................................................. .................................................. .......... 17
ВСТУП.
Поняття опуклості виникло в античні часи. Воно зустрічається у творах Архімеда, «Про кулі і циліндрі», є такі слова: «Я називаю опуклими в одну і ту ж сторону такі поверхні, для яких відрізки, що з'єднують дві точки, будуть ... знаходитися по один бік від поверхні ».
У новий час вивчення опуклих фігур почалося в XIX столітті. Як окрема гілка геометрії, опукла геометрія народилася в працях О. Коші, Я. Штейнера та Г. Мінковського.
У нас в країні задачі про опуклих фігурах були популярні в довоєнних шкільних математичних гуртках. Видатний математик Лев Генріхович Шнирельман, один з організаторів математичного гуртка при Московському університеті, обрав однією з тем для занять опуклу геометрію. Ця тема була підхоплена Давидом Шклярський, аспірантом мехмату, математиком, що подавали великі надії, але не повернулися з війни. Шклярський надав кухоль зовсім іншу форму, що збереглася і до нашого часу. Основна увага стала приділятися вирішенню не-стандартних завдань. Випуклість виявилася благодатним грунтом для розвитку геометричних здібностей: краса і значущість її результатів поєднувалися з досконалою елементарністю постановок завдань і засобів їх дослідження.
На базі багаторічних занять по опуклості геометрії зі школярами та студентами І.М. Яглом і В.Г. Болтянский, учасники гуртка Шклярського, що продовжили його справу, написали чудову книгу «Найпростіші опуклі фігури».
На Заході відбувається справжній «опуклий бум», пов'язаний з народженням нового напрямку в теорії екстремуму, що отримав назви лінійного програмування. Це напрям зародився в нашій країні. Його родоначальником був Леонід Віталійович Канторович, відзначений за свій внесок у теорію лінійного програмування і економіку Нобелівської премії. Результати Канторовича були перевідкрили на Заході, там було усвідомлено значення опуклих екстремальних завдань при вирішенні актуальних проблем економіки та військово-промислового комплексу, багато дослідників взяли участь у розбудові нової дисципліни, що отримала назву опуклого аналізу.
Тут мені хочеться торкнутися деяких вузлових тим опуклого аналізу, зробивши наголос на їх геометричну суть.
Опуклі фігури.




Багатокутник (і взагалі будь-яку фігуру) називають опуклим, якщо для будь-яких його двох точок відрізок з кінцями в цих точках повністю належить багатокутнику (фігури). Зокрема, трикутник і коло - опуклі фігури, а кордон трикутника (трехзвенная замкнута ламана) і окружність - неопуклі фігури.
Багатокутник є опуклим тоді і тільки тоді, коли всі його внутрішні кути менше 180 ° (див. малюнок). Опуклий багатокутник завжди розташований в одній півплощині щодо кожної прямої, що проходить через його бік.
Опуклими фігурами є: трикутник, паралелограм, трапеція, коло, еліпс (рис.1).





На рис.2 наведено приклади неопуклих фігур.




Є корисні твердження, які справедливі для багатокутників незалежно від того, випуклі вони чи ні:
1. Сума внутрішніх кутів n-кутника (n ³ 3) дорівнює 180 ° (n - 2).
2. n-кутник (n ³ 4) має рівно діагоналей (під діагоналлю багатокутника розуміють відрізок, що з'єднує будь-які його дві несуміжні вершини).
3. Якщо і - Довжини діагоналей чотирикутника, а a - кут між прямими, що проходять через ці діагоналі, то площа чотирикутника дорівнює .

4. Якщо прямі, що містять діагоналі чотирикутника, перпендикулярні, то суми квадратів його протилежних сторін рівні.
Криві постійної ширини та їх застосування.
У повсякденному житті нерідко виникає необхідність перевезти з місця на місце важкий предмет. Користуватися при цьому візком не завжди зручно: осі її від великого навантаження можуть прогнутися і навіть тріснути. У таких випадках важкий предмет кладуть на плоску платформу, встановлену на циліндричних ковзанках. У міру просування платформи звільнилися задні катки заносять уперед і укладають перед нею. Ні сама платформа, ні спочивають на ній предмет при русі по рівній горизонтальній поверхні не відчувають вертикальних переміщень по тій простій причині, що циліндричні ковзанки в перерізі мають форму кола, а кордон кола - коло - належить до числа замкнутих кривих, що володіють важливою властивістю - « постійної шириною ».
Якщо замкнуту криву помістити між двома паралельними прямими і рухати ці прямі до тих пір, поки вони не торкнуться нашої кривої, то відстань між паралельними прямими в момент торкання буде називатися шириною даної кривої в напрямку, перпендикулярному паралельних прямих. Еліпс, очевидно, не має однакової ширини по всіх напрямах: платформа, встановлена ​​на ковзанках у формі еліптичного циліндра, при русі відчувала б вертикальні переміщення (моряки сказали б «відчувала диферент», тобто качку з носа на корму). Саме тому, що окружність має однакову ширину по всіх напрямах, її можна обертати між двома паралельними прямими, не змінюючи відстані між ними.
Чи існують інші замкнуті криві постійної ширини, крім кола? Більшість людей вважають, що таких кривих немає, показуючи, наскільки сильно може вводити в оману математична інтуїція. У дійсності кривих постійної ширини нескінченно багато. Будь-яка з них може служити поперечним перерізом ковзанки, за яким платформа буде котитися так само рівно, як і по циліндру. Якщо б криві постійної ширини не були відкриті, незнання їх привело б до самих фатальних наслідків в техніці! Уявімо собі, що на кораблебудівному заводі збирають корпус підводного човна, перевіряючи його
Трикутник
Рис. 3. Трикутник.
а - побудова; б - обертання усередині квадрата.
циліндричної, промірами максимального діаметра в усіх напрямках. Як ми незабаром дізнаємося, корпус міг би бути жахливо деформованим і тим не менш благополучно пройти подібні випробування. Саме тому циліндричної корпусу підводного човна перевіряється спеціальними шаблонами.
Найпростіша крива постійної ширини, відмінна від окружності, називається трикутником Рело на честь математика та інженера Франца Рело (1829-1905), викладав у Берлінській королівської вищій технічній школі. Сама по собі ця крива була відома математикам і до Рело, але саме він вперше довів її дивна властивість - постійність ширини.
Якщо крива постійної ширини обмежена двома парами паралельних прямих і одна пара перетинається з іншого під прямим кутом, то крива постійної ширини з необхідністю повинна бути вписана в квадрат. Подібно кола або будь-який інший кривої постійної ширини, трикутник може обертатися в квадраті, щільно прилягаючи до сторін останнього, тобто весь час торкаючись всіх чотирьох сторін квадрата (рис. 3, б). Читач може переконатися в цьому, вирізавши трикутник з картону і вставивши його в квадратний отвір належних розмірів.
При обертанні трикутника Рело всередині квадрата кожна з вершин трикутника проходить майже весь периметр квадрата. Невеликі відхилення є лише поблизу вершин квадрата: кути виходять злегка закругленими. Трикутник знаходить застосування в багатьох механічних пристроях, але ні в одному з них не використовуються його чудові властивості кривої постійної ширини. Лише в 1914 році англійський інженер Гаррі Джеймс Уаттс винайшов інструмент, який мав у перерізі форму трикутника Рело, для свердління отворів квадратних. З 1916 року одна з фірм приступила до виробництва свердел Уаттса. «Ми всі
Свердло Уаттса і патрон для затиску свердла
Рис. 4. Свердло Уаттса і патрон для затиску свердла.
чули про гайкових ключі, пристосованих для гайок з лівою різьбою, зав'язаних у вузол водопровідних трубах і бананах з чавуну, - було написано в одній з рекламних листівок цієї фірми. - Ми вважали подібні речі смішними дрібничками і відмовлялися навіть вірити, що вони коли-небудь зустрінуться нам насправді. І раптом з'являється інструмент, що дозволяє свердлити квадратні отвори! »
Свердло Уаттса зображено на рис. 4. Праворуч показано поперечний переріз свердла всередині квадратного отвору. Свердління проводиться так. Спочатку на метал накладають металевий шаблон з квадратним отвором потрібних розмірів. Свердло, обертаючись усередині отвору в направляючої пластині (шаблон), врізається крайками в метал і просвердлює в ньому квадратний отвір. Як видно з рис.8, свердло Уаттса є просто-напросто трикутник, в якому прорізані поглиблення для відведення стружки і заточені ріжучі кромки. Коли трикутник обертається, його центр не стоїть на місці, тому патрон для затиску свердла Уаттса не повинен перешкоджати цьому руху. Компанія запатентувала спеціальний патрон зі «вільно плавають у ньому свердлом", що задовольняє всім потрібним вимогам.
З усіх кривих з заданій постійній шириною трикутник має найменшу площею. Якщо ширина трикутника Рело дорівнює , То його площа дорівнює . Кути при вершинах трикутника рівні 120 °. Це самі «гострі» з кутів, які тільки можуть бути у кривої постійної ширини. Ці
Симетрична крива постійної ширини з закругленими кутами
Рис. 5. Симетрична крива постійної ширини із закругленими кутами.
кути можна заокруглити, продовживши кожну зі сторін вихідного (прямолінійного) рівностороннього трикутника на одне і те ж відстань в обидві сторони (рис. 5). Проводячи дугу кола з центром у вершині А, треба збільшити розчин циркуля і провести потім ще одну дугу кола (цього разу FG) також з центром у вершині А. Те ж потрібно виконати і в вершинах В і С. Отримана крива буде в усіх напрямках мати ширину, що дорівнює сумі радіусів дуг, описаних з кожної вершини, тобто буде кривої постійної ширини. Інші симетричні криві постійної кривизни ви побудуєте, узявши замість рівностороннього трикутника правильний п'ятикутник (або взагалі будь-який правильний багатокутник з непарним числом сторін) і виконавши над ним аналогічну процедуру. Існують способи, що дозволяють будувати і несиметричні криві постійної кривизни. Один з них полягає в наступному.
Візьміть зірчастий багатокутник неправильної форми (число вершин у такого багатокутника неодмінно буде непарних), утворений відрізками прямих рівної довжини (на мал. 6 показаний зірчастий семикутник). Поставивши ніжку циркуля в кожну вершину, проведіть дугу кола, що з'єднує дві протилежні вершини. Оскільки всі дуги мають однаковий радіус, вийшла крива (на рис. 10, вона показана жирною лінією) буде кривої постійної ширини. Її кути можна заокруглити, скориставшись для цього вже описаним раніше способом: продовжити боку зірчастого багатокутника на одне і те ж відстань
Побудова кривої постійної ширини методом зірчастого багатокутника
Рис. 6. Побудова кривої постійної ширини методом зірчастого багатокутника.
в обидві сторони і з'єднати кінці продовжених відрізків дугами кіл з центрами у вершинах зірки. Крива із закругленими вершинами, проведена на рис. 6 тонкою лінією, буде інший кривої постійної ширини.
Ще один метод побудови кривих постійної ширини зображений на рис. 7. Проведіть будь-яке число пересічних прямих, потім, ставлячи по черзі ніжку циркуля в усі точки перетину, сполучайте щоразу дугою кола ті дві прямі, які перетинаються в обраній вами точці. Почати можна з будь-якої точки, а потім продовжувати викреслювання кривої, поєднуючи чергову дугу з попередньою. Якщо ви провели всі дуги досить акуратно, крива повинна замкнутися, і ви отримаєте ще один різновид кривих постійної ширини. (Доказ того, що крива дійсно повинна замкнутися і бути кривої постійної ширини, ми залишаємо читачеві як цікавого, але неважко вправи.) Всі побудовані нами до цих пір криві постійної ширини були утворені дугами кіл лише двох різних радіусів, але з тим же успіхом можна було б будувати криві постійної ширини з дуг будь-якого наперед заданого числа кіл.
Більше того, крива постійної ширини може взагалі не складатися з дуг окружності. У самому справі, візьмемо квадрат і проведемо довільну криву, що з'єднує його верхнє підстава з нижнім і що стосується лівої сторони (крива AВС на рис. 7 праворуч).
Побудова кривої постійної ширини методом пересічних прямих. Праворуч показано, як добудувати довільно проведену дугу до кривої постійної ширини
Рис. 7. Побудова кривої постійної ширини методом пересічних прямих. Праворуч показано, як добудувати довільно проведену дугу до кривої постійної ширини.
Ця крива буде лівою частиною деякої однозначно визначеною кривою постійної ширини. Щоб побудувати відсутню праву частину, проведемо безліч прямих, кожна з яких паралельна одній з дотичних до дуги AВС і відстоїть від неї на відстань, яка дорівнює довжині сторони квадрата. Побудувати такі прямі неважко, якщо скористатися обома сторонами лінійки (вихідний квадрат слід вибирати таких розмірів, щоб його сторона була рівна ширині лінійки). Наклавши лінійку так, щоб одна з її сторін стосувалася дуги АВС, проведіть пряму уздовж її іншого боку. Проробіть цю операцію в якомога більшій кількості точок дуги AВС. Огинаюча до проведених прямим і буде відсутньої правою частиною кривої постійної ширини. Цей спосіб дозволяє будувати необмежену кількість «кривобокий» кривих постійної ширини. Необхідно зауважити, що дуга AВС не цілком довільна. Грубо кажучи, її кривизна ні в одній точці не повинна бути менше кривизни кола, радіус якої дорівнює стороні квадрата. Дуга AВС не може, наприклад, включати в себе відрізок прямої.
Якщо у вас є потрібні інструменти і ви вмієте різати по дереву, вам буде приємно виточити дерев'яні котки, що мають у перетині вид різних кривих постійної ширини. Більшість людей втрачають дар мови при вигляді товстої книги, яка рухається на кривобокий ковзанках строго паралельно поверхні столу, не відчуваючи жодної качки вгору і вниз. Ще простіше демонструвати надзвичайні властивості кривих постійної ширини, якщо вирізати їх з картону й прибити до дерев'яної планки на деякій відстані один від одного. Криві можуть бути самої різної форми, важливо лише, щоб цвяхи проходили через їх «центри». Якщо взяти велику, але легку картонну коробку, поставити її на вертикально стоять картонні криві, прибиті до планки, і покатати вперед і назад, то ви побачите разючу картину: обидва кінці планки роблять вертикальні переміщення, а коробка їде на картонних «колесах» так, як якщо б вони були круглими!
Властивості кривих постійної ширини.
Одне з дивних і важко доказуваних
Два тіла постійної ширини
Рис. 8. Два тіла постійної ширини.
властивостей полягає, в тому, що всі криві однієї і тієї ж постійної ширини n мають однакові периметри. Оскільки коло належить до числа кривих постійної ширини, периметр будь-якій кривій постійної ширини n дорівнює довжині кола діаметра n, тобто величиною n.
Тривимірні аналоги кривих постійної ширини називаються тілами постійної ширини. Сфера - не єдине тіло, яке може обертатися всередині куба, весь час, торкаючись всіх шести його граней. Цим же властивістю володіють всі тіла постійної ширини. Найпростішим прикладом несферичних тіла постійної ширини може служити тіло, що утворюється при обертанні трикутника Рело навколо однієї з його осей симетрії (див. ліве тіло на рис. 8). Існує нескінченно багато і інших тіл постійної ширини. Ті з них, які мають найменший об'єм при даній ширині, виходять з правильного тетраедра, так само як трикутник - з рівностороннього трикутника: спочатку на кожну грань тетраедра поміщають сферичні шапочки, а потім злегка округляють ребра. Ребра або виходять з однієї вершини, або утворюють трикутник. Прикладом такого викривленого тетраедра постійної ширини може служити тіло, зображене на (рис. 8) справа. Оскільки всі криві однакової постійної ширини мають один і той же периметр, може здатися, ніби і всі тіла однакової постійної ширини мають одну і ту ж площу поверхні. Однак таке твердження не вірно. Як показав відомий математик Герман Мінковський, всі тіні, що відкидаються тілами постійної ширини (передбачається, що промені сонця паралельні, а тінь падає на площину, перпендикулярну променів), мають форму кривих постійної ширини. Периметри всіх тіней, що відкидаються тілами однієї і тієї ж постійної ширини, однакові (і рівні d, де d - ширина тіла). Опукла фігура, яка може обертатися всередині багатокутника або багатогранника, торкаючись весь час всіх його сторін, називається ротором. Ми бачили, що трикутник є ротором мінімальної площі для квадрата. Ротор мінімальної площі для рівностороннього трикутника показаний на (рис. 9) зліва. Це - фігура у формі лінзи (зрозуміло, її контур не є кривою постійної ширини), утворена дугами двох кіл, радіус яких дорівнює висоті трикутника (кожна дуга становить 60 °). Важливо зауважити, що кінці ротора при обертанні описують весь периметр трикутника, не закруглений кутів. На жаль, технологи-
Ротор найменшою площі всередині рівностороннього трикутника. Праворуч показаний відрізок прямої, що обертається усередині гіпоціклоіди
Рис. 9. Ротор найменшою площі всередині рівностороннього трикутника. Праворуч показаний відрізок прямої, що обертається усередині гіпоціклоіди.
ческие труднощі не дозволяють виготовляти свердла в формі ротора для рівностороннього трикутника, але свердла, що дозволяють робити отвори у формі правильних п'яти-, шести і навіть восьмикутник з незакруглені кутами, є. Доведено, що в тривимірному просторі існують несферичних ротори для правильного тетраедра, октаедра і куба, але не для додекаедра і ікосаедра. Щодо роторів у просторах більшої кількості вимірів майже нічого не відомо.
Безпосереднє відношення до теорії роторів має знаменита задача про голці, названа на честь сформулював її ще в 1917 році японського математика Какейя «проблемою Какейя». Полягає вона в наступному: у якій плоскої фігури, що має мінімальну площу, можна повернути на 360 ° одиничний відрізок прямої? Такий відрізок, очевидно, можна повернути на 360 ° в колі діаметром 1, але обмежуваний нею коло не буде мати мінімально можливу площу.
Досить довго математики вважали, що рішенням проблеми Какейя служить крива, зображена на (рис. 9 праворуч), її площа дорівнює половині площі кола. (Ця крива називається гіпоціклоідой. Таку криву описує точка кола, що котиться без ковзання всередині більшої окружності, якщо діаметр меншою кола становить 1 / 3 або 2 / 3 діаметра більшою.) Відламав шматок сірники потрібних розмірів, ви на досвіді переконаєтеся в тому, що її можна повернути всередині гіпоціклоіди як якийсь одномірний ротор. Зверніть увагу, що кінці сірники будуть увесь час залишатися на контурі гіпоціклоіди.
Сенсація сталася в 1927 році, через десять років після того, як Какейя поставив свою проблему. «Винуватцем» її став А. С. Безікович. Він довів, що проблема Какейя ... не має рішення! Точніше, з результатів Безиковича випливало, що не існує кривої з мінімальною площею, всередині якої одиничний відрізок можна було б повернути на 360 °. Наскільки б малої не була площа фігури, завжди можна побудувати іншу фігуру з ще меншою площею, всередині якої одиничний відрізок також зуміє розвернутися на 360 °. Уявімо собі відрізок, що тягнеться від Землі до Місяця. По теоремі Безиковича, його можна повернути на 360 ° всередині фігури, площа якої менше площі поштової марки із зображенням Лінкольна. Якщо і цього вам здасться мало, то той же відрізок можна повернути на 360 ° всередині фігури, площа якої менше площі, яку займає на поштовій марці носом Лінкольна.

Література:
1. Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрія. М:, 1990.
2. Атанасян Л.С., Базилєв В.Т. Геометрія, ч. 1, М:, Просвітництво 1986.
3. Данцер Л., Грбнбаум Б., теорема Хеллі .- М.: Світ, 1968.
4. Моденою П.С. Аналітична геометрія. М.: 1969.
5. Енциклопедичний словник юного математика / Упоряд. А.П. Савін .- М.: Педагогіка, 1985.
6. Математична енциклопедія: Гол. ред. І.М. Виноградов .- К.: «Радянська енциклопедія», 1984.
7. Бляшке В. Круг і куля .- М.: Світ, 1968.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
45.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Опуклі множини
Фігури мови
Негеральдичною фігури
Риторичні фігури
Стилістичні фігури мови
Стилістичні фігури і тропи
Поетичний синтаксис Фігури
Горгій і горгіанскіе фігури
Рисунок та живопис людської фігури
© Усі права захищені
написати до нас