Оператор зсуву в гільбертовому просторі

Оператор зсуву
Зміст
1. Введення
Частина 1. Оператор зсуву в гільбертовому просторі
§ 1. Основні поняття і факти теорії лінійних операторів
1. Визначення та приклади лінійних операторів
2. Обмеженість і норма лінійного оператора
3. Сума і добуток лінійних операторів. Простір лінійних неперервних операторів
4. Зворотний оператор
5. Спектр оператора. Резольвента
§ 2. Унітарні оператори. Оператор зсуву
6. Зважені зрушення
7. Оператори зсуву в просторі функції на одиничному колі
Частина 2. Нестандартне розширення оператора зсуву
1. Нестандартне розширення поля дійсних чисел
2. Розширення просторів і
3. Оператори зсуву в нестандартному розширенні
Висновок
Список літератури

ВСТУП
Тема для написання дипломної роботи була обрана не випадково. Теорія лінійних операторів - це цікава і важлива область, яка дозволяє не тільки активно застосовувати вже наявні знання з аналізу, але і дізнатися багато нового.
У даній роботі розглядаються лінійні оператори одностороннього та двостороннього зсуву. Вводяться основні поняття: спектр, резольвента, спектральний радіус оператора. Розглядаються завдання, в ході вирішення яких з'ясовуються деякі властивості спектрів операторів зсуву. Визначається клас зважених зрушень, виводиться співвідношення для норми і спектрального радіусу оператора зваженого зсуву.
Відомо, що якщо розглядати поле дійсних чисел за умови, що аксіома Архімеда не виконується, то отримаємо нове, розширене поле, в якому існують нескінченно великі і нескінченно малі елементи. На підставі цього розширення можна побудувати весь математичний аналіз - нестандартний аналіз.
Природно, частина основних понять і властивостей лінійних операторів було б цікаво визначити і довести і в нестандартному аналізі, що і було зроблено в роботі.
Зокрема, був встановлений наступний факт: хоча стандартний оператор зсуву не має власних векторів, але його нестандартне розширення має «майже власні» вектори, тобто вектори, в певному сенсі нескінченно близькі до власних.

Частина 1. Оператор зсуву в гільбертовому просторі
§ 1. Основні поняття і факти теорії лінійних операторів
1. Визначення та приклади лінійних операторів
Нехай Е і Е ₁ - два лінійних нормованих простору над полем комплексних чисел. Лінійним оператором, чинним з Е в Е ₁ називається відображення

(

задовольняє умові

для всіх

.
Сукупність D _A всіх тих

, Для яких відображення А визначено, називається областю визначення оператора А; взагалі кажучи, не передбачається, що D _A = E, проте ми завжди будемо вважати, що D _A є лінійне різноманіття, тобто, якщо х, у D _A, то й

за будь-яких

.
Визначення 1. Оператор

називається безперервним в точці х ₀

D _A , Якщо для будь-якої околиці V точки у ₀ = Ах ₀ існує така околицю U точки х _0, що Ах V, як тільки х . Оператор А називається безперервним, якщо він безперервний у кожній точці х

D _A.
Оскільки Е і Е ₁ - нормовані простори, то це визначення рівносильно наступному: оператор А називається безперервним, якщо виконується така умова:

(

.
Приклади лінійних операторів
1. Нехай А - лінійний оператор, що відображає n-мірний простір R ⁿ c базисом е _1, ..., е _n в m-мірний простір R ^m з базисом f _1, ..., f _m. Якщо х - довільний вектор з R ⁿ , То

і, в силу лінійності оператора А

.
Таким чином, оператор А заданий, якщо відомо, в які елементи він переводить базисні вектори е _1, ..., е _n. Розглянемо розкладання вектора Ае _i по базису f _1, ..., f _m . Маємо

. Отже, оператор А визначається матрицею коефіцієнтів а _ij. Образ простору R ⁿ і R ^m являє собою лінійний простір, розмірність якого дорівнює, очевидно, рангом матриці

, Тобто у всякому разі не перевершує n (властивість рангу матриці). Відзначимо, що в скінченновимірному просторі всякий лінійний оператор автоматично неперервний.
2. Розглянемо Гільбертів простір Н і в ньому деяку підпростір Н _1. Розклавши Н в пряму суму підпростору Н ₁ і його ортогонального доповнення, тобто представивши кожен елемент

у вигляді

(

покладемо Р h = h _1. Цей оператор Р природно назвати оператором проектування, проектує весь простір Н на Н _1. Очевидно, що Р є лінійним і безперервним оператором.
3. Розглянемо у просторі

безперервних функцій на відрізку [a; b] з нормою

оператор, який визначається формулою

, (1)
де k (s, t) - деяка фіксована безперервна функція двох змінних. Функція

неперервна для будь-якої неперервної функції

, Так що оператор (1) дійсно переводить простір неперервних функцій в себе. Його лінійність очевидна. Можна довести також, що він безперервний.
Той же оператор можна розглянути на безлічі безперервних функцій З ² _{[a, b]} з нормою

, Де він також безперервний.
4. Один з найважливіших для аналізу прикладів лінійних операторів - оператор диференціювання. Його можна розглядати в просторі C _{[a, b]:} Df (t) =

Цей оператор D визначений не на всьому просторі неперервних функцій, а лише на лінійному різноманітті функцій, що мають неперервну похідну. Оператор D лине, але не неперервний. Це видно, наприклад, з того, що послідовність

сходиться до 0 (у метриці С _{[a, b]),} а послідовність

не сходиться.
Оператор диференціювання можна розглядати як оператор, який діє з простору D ₁ безперервно диференційовних функцій на [a, b] з нормою

в простір С _{[a, b].} У цьому випадку оператор D лине і безперервний і відображає все D ₁ на всі З _{[a, b].}
Розгляд оператора диференціювання як оператора, що діє з D ₁ в С _{[a, b],} не цілком зручно, тому що, хоча при цьому ми і отримуємо безперервний оператор, визначений на всьому просторі, але не до будь-якої функції з D ₁ можна застосовувати цей оператор двічі. Зручніше розглядати оператор диференціювання в ще більш вузькому просторі, ніж D _1, а саме в просторі

нескінченно диференційовних функцій на відрізку [a; b], в якому топологія задається лічильної системою норм

. Оператор диференціювання переводить весь цей простір у себе, і, як можна перевірити, він безперервний на цьому просторі.
2. Обмеженість і норма лінійного оператора
Визначення 2. Лінійний оператор, який діє з Е в Е _1, називається обмеженим, якщо він визначений на всьому Е і кожне обмежене безліч переводить знову в обмежений. Між безперервністю і обмеженістю лінійного оператора існує тісний зв'язок, тобто справедливі наступні твердження:
Теорема 1. Для того, щоб лінійний оператор

був безперервним, необхідно і достатньо, щоб він був обмежений.
1. Нехай оператор А необмежений. Тоді існує М Е - обмежена кількість, таке, що безліч АМ Е ₁ не обмежена. Отже, в Е ₁ знайдеться така близько нуля V, що жодне з множин

АМ не міститься в V. Але тоді існує така послідовність х _n M, що жоден з елементів

Ах _n не належить V і отримуємо, що

в Е, але

не сходиться до 0 в Е; це суперечить безперервності оператора А.
2. Якщо оператор А не безперервний у точці 0, то в Е ₁ існує така послідовність

, Що Ах _n не прямує до 0. При цьому послідовність

обмежена, а послідовність

не обмежена. Отже, якщо оператор А не безперервний, то А і не обмежений. Затвердження доведено.
Якщо Е і Е ₁ - нормовані простори, то умова обмеженості оператора А, що діє з Е в Е _1, можна сформулювати так: оператор А називається обмеженим, якщо він переводить будь-яку кулю в обмежений безліч.
У силу лінійності оператора А цю умову можна сформулювати так: оператор А обмежений, якщо існує С = const, що для будь-якого

Е:

.
Визначення 3. Найменше з чисел С, що задовольняють цьому нерівності, називається нормою оператора А і позначається .
Теорема 2 [1]. Для будь-якого обмеженого оператора А, що діє з нормованого простору на нормований

.
3. Сума і добуток лінійних операторів. Простір лінійних неперервних операторів
Визначення 4. Нехай А і В - два лінійних оператора, що діють з лінійного топологічного простору Е в простір Е _1. Назвемо їх сумою А + В оператор С, що ставить у відповідність елементу

елемент у = Ах + Вх,

.
Можна перевірити, що С = А + В - лінійний оператор, безперервний, якщо А і В безперервні. Область визначення D _C оператора С є перетин

областей визначення операторів А і В.
Якщо Е і Е ₁ - нормовані простори, а оператори А і В обмежені, то З теж обмежений, причому

(2)
Дійсно, для будь-яких х

, Отже, виконується нерівність (2).
Визначення 5. Нехай А і В - лінійні оператори, причому А діє з Е в Е _1, а В діє з Е ₁ в Е _2. Твором ВА операторів А і В називається оператор С, що ставить у відповідність елементу

елемент

з Е _2.
Область визначення D _C оператора С = ВА складається з тих х D _A, для яких Ах D _B. Ясно, що оператор З лине. Він безперервний, якщо А і В безперервні.
Якщо А і В - обмежені оператори, що діють в нормованих просторах, то і оператор С = ВА - обмежений, причому

(3)
Дійсно,

, Отже, виконується (3).
Сума та добуток трьох і більше операторів визначаються послідовно. Обидві ці операції асоціативні.
Твір оператора А на число до (позначається кА) визначається як оператор, який елементу х ставить у відповідність елемент ках.
Сукупність Z (E, E ₁₎ всіх безперервних лінійних операторів, визначених на всьому Е і відображають Е в Е ₁ (де Е і Е ₁

- Фіксовані лінійні нормовані простори), утворює, по відношенню до введених операцій додавання і множення на число, лінійний простір. При цьому Z (E, E ₁₎ - нормоване пространстово (з тим визначенням норми оператора, яке було дано вище).
4. Зворотний оператор
Нехай А - лінійний оператор, який діє з Е в Е _1, і D _A область визначення, а R _A - Область значень цього оператора.
Визначення 6. Оператор А називається оборотним, якщо для будь-якого у R _A рівняння Ах = у має єдине рішення.
Якщо А звернемо, то будь-якому елементу у R _A можна поставити у відповідність єдиний елемент х D _A , Що є рішенням рівняння Ах = у. Оператор, який здійснює це відповідність, називається зворотним до А і позначається А ^-1.
Теорема 3 [1]. Оператор А ^-1, зворотний лінійному оператору А, також лине.
Доказ.

Досить перевірити виконання рівності

.
Покладемо Ах ₁ = у ₁ і Ах ₂ = у _2, в силу лінійності А маємо

(*)
За визначенням зворотного оператора А ^-1 у ₁ = х ₁ і А ^-1 у ₂ = х _2, помножимо обидва рівності відповідно на

.
З іншого боку з рівності (*) слід

, Отже,

.
Теорема доведена.
Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха про зворотне операторі)
Нехай А - лінійний обмежений оператор, взаємно однозначно відображає Банахів простір Е на Банахів простір Е _1. Тоді зворотний оператор А ^-1 обмежений.
Теорема 5 [3]. Нехай Е - Банахів простір, I - тотожний оператор в Е, а А - такий обмежений лінійний оператор, що відображає Е в себе, що

. Тоді оператор (I - A) ^-1 існує, обмежений і представляється у вигляді

.
Доказ.
Так як

, То ряд

сходиться. А так як

для всіх

, То ряд

також сходиться. Простір Е повно, значить, з збіжності ряду

випливає, що сума ряду

являє собою обмежений лінійний оператор. Для будь-якого n маємо:

, Переходячи до межі і враховуючи, що

, Отримуємо

, Отже

.
Теорема доведена.
5. Спектр оператора. Резольвента.
Усюди, де мова йде про спектр оператора, вважаємо, що оператор діє в комплексному просторі.
У теорії операторів та її застосуваннях першорядну роль відіграє поняття спектру оператора. Розглянемо це поняття спочатку стосовно до операторів у скінченновимірному просторі.
Нехай А - лінійний оператор в n-мірному просторі Е ^n. Число

називається власним значенням оператора А, якщо рівняння

має ненульові рішення. Сукупність усіх власних значень називається спектром оператора А, а всі інші значення

- Регулярними.
Інакше кажучи,

є регулярна точка, якщо оператор

звернемо. При цьому оператор

^-1, Як і будь-який оператор у скінченновимірному просторі, обмежений, тому в скінченновимірному просторі існує дві можливості:
1) рівняння

має ненульовий рішення, тобто

є власне значення для А, оператор

^-1 При цьому не існує;
2) існує обмежений оператор

^-1, Тобто

є регулярна крапка.
У нескінченновимірних просторі існує третя можливість:
3) оператор

^-1 Існує, тобто рівняння

має лише нульовий розв'язок, але цей оператор не обмежений.
Введемо наступну термінологію. Число

ми назвемо регулярним для оператора А, що діє в (комплексному) лінійному нормованому просторі Е, якщо оператор

^-1, Званий резольвенти оператора А, визначений на всьому Е і безперервний. Сукупність усіх інших значень

називається спектром оператора А. Спектру належать всі власні значення оператора А, тому що якщо

х = 0 при деякому

, То

^-1 Не існує. Їх сукупність називається точковим спектром. Інша частина спектру, тобто сукупність тих

, Для яких

^-1 Існує, але не безперервний, називається безперервним спектром. Отже, будь-яке значення

є для оператора А або регулярним, або власним значенням, або точкою безперервного спектру. Можливість наявності в оператора безперервного спектру - істотна відмінність теорії операторів в нескінченновимірних просторі від конечномерного випадку.
Теорема 6 [3]. Якщо А-обмежений лінійний оператор у банаховому просторі і

, То

- Регулярна крапка.
Доказ.
Тому що, очевидно

, То

. При

цей ряд сходиться (теорема 4), тобто оператор

має обмежений зворотний. Інакше кажучи, спектр оператора А міститься в колі радіуса

з центром в нулі.
Теорема доведена.
Приклад. У просторі

функцій, неперервних на відрізку

, Розглянемо оператор А, який визначається формулою А x (t) = M (t) x (t), де M (t) - фіксована безперервна функція. Візьмемо довільне число

, Тоді

, А

.
Спектр розглянутого оператора складається з усіх

, Для яких Якщо функція M (t) -

звертається в нуль при деякому t, укладеному між 0 і 1, то оператор

не визначений на всьому просторі

, Так як функція

вже не зобов'язана бути безперервною. Якщо ж функція M (t) -

не звертається в нуль на відрізку

, То функція

неперервна на цьому відрізку, а, отже, обмежена: для деякого

при всіх

. Отже, оператор

обмежений, а число

- Регулярне для оператора А. Таким чином, спектр оператора А є сукупність усіх значень функції M (t) на відрізку [0; 1], причому власні значення відсутні, тобто оператор множення на t являє собою приклад оператора з чисто безперервним спектром.

Зауваження
1) Будь-який обмежений лінійний оператор, визначений у комплексному банаховому просторі, що має бодай один відмінний від нуля елемент, має непорожній спектр. Існують оператори, у яких спектр складається з єдиної точки (оператор множення на число).
2) Теорема 5 може бути уточнена наступним чином. Нехай

(Можна довести, що ця межа існує для будь-якого обмеженого оператора А), тоді спектр оператора А цілком лежить всередині кола радіуса r з центром в нулі. Величина r називається спектральним радіусом оператора А.
3) Резольвентние оператори

, Що відповідають точкам

, З перестановки між собою і задовольняють співвідношенню

, Яке легко перевірити, помноживши обидві частини цієї рівності на

. Звідси випливає, що якщо

- Регулярна точка для А, то похідна від

по

при

, Тобто

, Існує (в сенсі збіжності за операторної нормі) і дорівнює

.
§ 2. Унітарні оператори. Оператор зсуву
У цьому розділі будемо розглядати простір Н зі скалярним добутком, яке є окремим випадком нормованого простору.
6. Оператор зсуву. Спектр оператора зсуву
Визначення 7. Обмежений лінійний оператор U в просторі Н називається ізометричним, якщо він не змінює величини скалярного твори:

для будь-яких

.
У цьому випадку, якщо х = у, то

, Або

. Значить, ізометричний оператор зберігає норму елемента, а норма самого такого оператора, як випливає з визначення норми, дорівнює 1 (

).
Поняття ізометричного оператора можна ввести також для операторів, що діють у нормованому просторі.
Визначення 8. Обмежений лінійний оператор U в нормованому просторі Е називається ізометричним, якщо він не змінює величини норми:

для будь-яких

.
Лемма 1. Для того, щоб лінійний оператор U в просторі Н був ізометричним, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова:

для будь-яких

.
Доказ. Потрібно довести тільки достатність. Для цього використовуємо тотожність

. Його легко перевірити, якщо уявити ліву частину у вигляді скалярних добутків:

. Оскільки ліва частина не зміниться при заміні векторів

на вектори

, То права теж не зміниться, тобто

.
Визначення 9. Оператор U називається унітарною, якщо він ізометричний і має зворотний оператор, визначений на всьому просторі Н.
Теорема 7. Спектр унітарного оператора - це безліч, що лежить на одиничному колі.
Доказ. Доказ проведемо у два етапи:
I. Доведемо, що спектр унітарного оператора U міститься в одиничному колі.
II. Розглянемо зворотний оператор і покажемо, що він теж унітарний. Доведемо, що, якщо

належить спектру оператора U, то

належить спектру оберненого оператора і навпаки.
Для доказу I етапу застосуємо теорему 4: е сли А - обмежений лінійний оператор у нормованому просторі і

, То

- Регулярна крапка. Інакше кажучи, спектр оператора А міститься в колі радіуса

з центром в нулі. А норма унітарного оператора U, як було показано, дорівнює 1 (

). Отже, спектр унітарного оператора міститься в одиничному колі.
Перейдемо до II етапу. Доведемо, що оператор, зворотний до унітарної оператору, також унітарний оператор. Покажемо, що він задовольняє умові ізометрії:

для всіх

. Покладемо Ux = y, тоді

, І

, Т. е.

для всіх

.
Доведемо, що, якщо точка

є регулярною для оператора U, то точка

є регулярною для оберненого оператора U ^-1. Точка

, Є регулярною для оператора U, якщо виконується умова:

(*).
Оператор U ^-1 є зворотним для оператора U, значить, для них вірно U ^-1 U = I = UU ^-1. Використовуючи це, рівність (*) можна переписати:

, Або

.
Використовуємо властивість зворотних операторів: оператор, зворотний твору операторів, дорівнює добутку обернених операторів до даних, узятих в протилежному порядку, тобто для двох операторів А і В маємо

. Тоді рівність можна переписати у вигляді:

.
Обчислимо окремо твір:

.
У підсумку

, Тобто

є регулярною для оберненого оператора U ^-1.
Візьмемо безліч точок

. Тоді точки виду

лежать поза одиничного кола і всі є для оператора

регулярними, так як він унітарний і його норма дорівнює 1. Але оскільки оператор

- Зворотний до оператора

, То точки, що входять до

, За попереднім міркуванню є для нього регулярними. Отже, спектр оператора U - Це множина, що лежить на одиничному колі.
Важливим прикладом ізометричного оператора є оператор зсуву.
Визначення 10. Оператор

, Заданий в просторі послідовностей, називається оператором зсуву, якщо він кожну послідовність виду (х _1, х _2, ..., х _n ...) переводить в послідовність виду (0, х _1, х _2, ..., х _n ...), т. е. виконується рівність:

(Х _1, х _2, ..., х _n ...) = (0, х _1, х _2, ..., х _n ...).
Можна також розглядати оператор зсуву, який діє в просторі послідовностей, нескінченних в обидві сторони. Елемент цього простору можна представити у такому вигляді: (... х _-2, х _-1, х _0, х _1, х _2, ...).
Визначення 11. Оператор

називається оператором двостороннього зсуву, якщо він кожну послідовність, нескінченну в обидві сторони, зрушує вправо, тобто виконується рівність:

.
Уточнимо, про які просторах послідовностей буде йти мова:
1) l ₂ - Простір односторонніх послідовностей комплексних чисел з натуральної нумерацією, для яких низка

- Сходиться. Скалярний добуток у цьому просторі визначається формулою

.
2) l ₂ (- ∞; ∞) - простір двосторонніх послідовностей комплексних чисел з нумерацією цілими числами, для яких відповідно ряд

- Сходиться. Скалярний добуток у цьому просторі визначається формулою

.
Розглянемо оператор одностороннього зсуву U (x _1, x _2, ..., x _n, ...) = (0, x _1, x _2, ...). Покажемо, що цей оператор є ізометричним. Дійсно, для будь-яких

. А, значить, цей оператор з Лемма 1 є ізометричним. Зазначений оператор U не є унітарною, так як його образ - це не весь простір l _2; вектори, що мають ненульову першу координату (наприклад вектори виду (1, х _1, х _2, ...)) не мають прообразу. Значить, оберненого оператора він не має.
Теорема 8. Оператор двостороннього зсуву є унітарною оператором
Доказ. Розглянемо оператор двостороннього зсуву
U (..., x _-1, x _{⁰ 0,} x _1, ...) = (..., x _-2, x _-1 ^0, x _0, x _1, ...).
Очевидно, що цей оператор зберігає норму, тобто є ізометричним:

. Покажемо, що він має зворотний оператор - це оператор, який будь-яку послідовність зрушує вліво.
У просторі послідовностей, як і в будь-якому метричному просторі, будь-який вектор представляється як лінійна комбінація елементів базису. У цьому просторі є канонічний базис - це послідовності виду
... ... ... ... ... ... ... ... ...
l _-1 =(.., 0, 1 ^-1, 0, ...)
l ₀ = (..., 0, 1 ^0, 0, ...)
l ₁ = (..., 0, ¹ 1, 0, ...)
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Подіємо оператором U на довільний елемент базису:
Ul _k = U (..., 0, 1 ^k, 0, ...) = (..., 0, 1 ^{k +1,} 0) = l _{k +1.}
Тобто кожен елемент базису оператор U переводить в наступний елемент. Щоб здійснювалося зворотну дію, ми повинні кожен елемент базису перевести в попередній елемент, тобто U ^-1 l _k = l _{k -1.}
Кожен вектор простору l ₂ х = (..., х _-1, х _0, х _1, ...) може бути представлений у вигляді:

. А так як оператор U ^-1 елементи базису переводить в попередні, то, діючи на послідовність

, Зрушить її вліво.
Отже, ми отримали, що оператор двостороннього зсуву U має зворотний оператор і є ізометричним, отже, він є унітарною. Спектр цього оператора лежить на одиничному колі.
7.Взвешенние зрушення
Визначення 12. Оператором зваженого зсуву називається твір оператора зсуву (одностороннього або двостороннього) на діагональний (в цьому ж базисі) оператор.
Більш детально: нехай

- Ортонормованих базис (n = 0, 1, 2, ... або n = 0,

2, ...) і нехай

- Обмежена послідовність комплексних чисел (n пробігає ті ж значення, що й вище). Оператором зваженого зсуву називається оператор виду SP, де S - оператор зсуву (Sl _n = l _{n +1),} а Р - діагональний оператор з діагоналлю

(Pl _n = l _n ).
Знайдемо вираз для норми і спектрального радіусу оператора зваженого зсуву через його ваги.
Згадаймо, що зрушення S ₁ - ізометричний оператор, значить, не змінює норми елементи:

для будь-якого

. Тому норма оператора А дорівнює нормі відповідного діагонального оператора: для будь-якого

і . Знайдемо норму діагонального оператора Pl _n = , Де

- Деяка обмежена послідовність комплексних чисел. Розглянемо довільну послідовність

з одиничною нормою:

. При цьому в базисі

елемент

має розкладання

. Подіємо на елемент х оператором Р:

. При цьому

. Звідси випливає, що

. Покажемо, що виконується також і зворотне нерівність. Якщо для послідовності

досягається, тобто

при деякому

, То візьмемо елемент

. Якщо ж

не досягається, то можна взяти підпослідовність

, Тоді

. Це говорить про те, що не може бути

. Отже,

. Ми отримали, що норма оператора зваженого зсуву дорівнює точної верхньої межі модулів його ваг.
Щоб знайти спектральний радіус оператора зваженого зсуву, знайдемо норми його ступенів. Обчислимо ступеня оператора А: Al _n = , A ² l _n = , A ³ l _n = , І так далі. Отже, А ^к можна представити у вигляді добутку ізометрії (к-го ступеня оператора зсуву) і діагонального оператора, у якого n-й діагональний член дорівнює добутку до послідовних чисел

, Починаючи з

. Значить,

, Звідси,

.
8. Оператори зсуву в просторі функції на одиничному колі
Розглянемо одиничну окружність на комплексній площині, тобто всілякі комплексні числа

, По модулю дорівнюють 1. Розглянемо комплексну послідовність

і складемо ряд

. Якщо він сходиться для всіх

, Таких, що

, То

- Функція від змінної

, Визначена на одиничному колі. Зауважимо, що для послідовностей з простору

, Таких, що ряд

сходиться, ряд

сходиться для всіх

, Таких, що

. Отже, існує взаємно однозначна відповідність

між простором

і безліччю A функцій на одиничному колі, які представлені у вигляді суми узагальненого степеневого ряду з абсолютно збіжним рядом коефіцієнтів. Розглянемо, в якій оператор переходить при цьому оператор зсуву U. Позначимо цей оператор

. Нехай

- Відповідна функція. Тоді

. Отже, у просторі А оператору зсуву відповідає оператор множення на функцію

.
Розглянемо тепер оператор

зваженого зсуву з вагами

. Його область визначення - не весь простір

, А тільки ті послідовності

, Для яких сходиться ряд

. При цьому

. Таким чином, у просторі А оператору зсуву

відповідає оператор диференціювання.
Частина 2. Нестандартне розширення оператора зсуву
1. Нестандартне розширення поля дійсних чисел

Поле R дійсних чисел є розширенням поля раціональних чисел за допомогою певної конструкції. Наприклад, можна розглядати дійсні числа як класи фундаментальних послідовностей раціональних чисел.
Існує деяка конструкція і для розширення поля R. При цьому виходить нове поле з лінійним порядком, але без виконання аксіоми Архімеда:

. У новому полі існують позитивні елементи, менші будь дробу

, Де

. Такі елементи називаються нескінченно малими. Також існують позитивні елементи, великі будь-якого

, Вони називаються нескінченно великими. Це поле називається нестандартним розширенням поля дійсних чисел і позначається ^* R.
Та ж конструкція (яку ми не будемо тут описувати), дає розширення будь-якої безлічі, побудованого на підставі поля дійсних чисел, наприклад, булеан

, Або прямого твори

. Оскільки відображення

можна розглядати як підмножина

, То отримуємо також розширення всіх числових відображень. Всю отриману сукупність множин називають нестандартним універсумом. На підставі нестандартного універсуму можна побудувати теорію, аналогічну математичного аналізу, або нестандартний математичний аналіз.
Ми перерахуємо без доведення деякі необхідні в подальшому затвердження нестандартного аналізу.

Принцип перенесення

Якщо в стандартній теорії вірно деяке твердження, записане логічною формулою з кінцевим числом логічних символів, то аналогічне твердження вірне і в нестандартному універсум і навпаки.
Нехай дано бінарне відношення

. Відношення "спрямоване, якщо для будь-якого кінцевого набору елементів

існує елемент

, Який знаходиться у відношенні

з усіма елементами даного набору.

Принцип спрямованості. Нехай дано спрямоване ставлення

. Тоді в безлічі ^* В існує елемент

, Що знаходиться у відношенні

з усіма елементами множини А:

Приклад. Виведемо з принципу спрямованості існування нескінченно великого числа в ^* R. Візьмемо прямий добуток

і на ньому звичайне відношення порядку: елементи x і y перебувають у відношенні

, Якщо

. За принципом спрямованості:

, Що й означає, що в розширенні

існує елемент, який більше будь-якого стандартного дійсного числа, тобто нескінченно велике число.
Теорема 10 [2]. Нехай

- Стандартна послідовність. Тоді

. Тобто число

є межею стандартної послідовності тоді і тільки тоді, коли для розширеної послідовності всі члени з гіпернатуральнимі номерами нескінченно близькі до b.
(Співвідношення

, Означає, що

- Нескінченно мале число).
Доказ.
1) Нехай

, Тоді з визначення межі стандартної послідовності виконується умова

. Застосуємо принцип перенесення:

. Але все нескінченно великі номери будуть більше n _0, тому при будь-якому стандартному позитивному

для будь-якої нескінченної номера виконується нерівність

, Що й означає

.
2) Нехай

. Візьмемо стандартне ε> 0, тоді вірно твердження:

. За принципом перенесення таке ж твердження вірно і в стандартному універсумі, отже,

, Що й потрібно було довести.
Безліч, що входять до нестандартний універсум, називаються внутрішніми. Це безлічі, які є елементами розширення булеан якогось стандартного множини. Розглянемо множини, що є елементами

, Де

- Булеан

. Для всіх множин

виконується твердження: якщо множина обмежена зверху, то воно має точну верхню межу (аксіома безперервності). І визначення обмеженості зверху, і визначення точної нижньої грані можна записати формулою з кінцевим числом символів, тому до даного твердженням можна застосувати принцип переносу. Значить, якщо безліч

обмежена зверху деяким гіпердействітельним числом, то воно має точну верхню межу в

, Яку також будемо позначати

Теорема 11. Нехай є внутрішнє безліч А ^* R, причому

. Тоді

.
Доказ. Очевидно, дане безліч обмежена зверху, наприклад, числом

. Нехай М = sup А. Припустимо від протилежного: нехай умова

не виконується, значить, позитивне число

не нескінченно мале. Значить, існує таке стандартне позитивне число

, Що

. Звідси випливає, що

. А так як для будь-якого

число

нескінченно мале, то

, Отже, М не є точною верхньою межею множини А, і припущення не вірно.
2. Розширення просторів

Розглянемо наступні простору:
1) l ₂ - Простір односторонніх послідовностей комплексних чисел з натуральної нумерацією, для яких низка

- Сходиться.
2) l ₂ (- ∞; ∞) - простір двосторонніх послідовностей комплексних чисел з нумерацією цілими числами, для яких відповідно ряд

- Сходиться.
Відповідно, позначимо через ^* l ₂ нестандартне розширення простору l _2, яке також є лінійним простором над полем

, Наділеним скалярним добутком.
Визначимо, які послідовності гіперкомплексних чисел буде містити простір ^* l _2.
Так як щодо визначення l ₂ = {{x _i} /

≤ C}, то за принципом перенесення
^* L ₂ = {{x _{i} i} _{* N} /

^* R,

^* N:

≤ С} (*)
Тобто в l ₂ входять гіперкомплексні послідовності з гіпернатуральной нумерацією, що задовольняють умові (*). Аналогічно, в ^* l ₂ (-

) Будуть послідовності з гіперцелой нумерацією, члени яких також

^* З, задовольняють аналогічного (*) умові
* -

) = {{X _i} /

^* R,

≤ С}.
Природним чином в ^* l ₂ можна ввести норму:

, Але на відміну від норми в l _2, в ^* l ₂ норма може приймати також і нескінченні значення.
Доведемо, що для розширень стандартних послідовностей

.
Візьмемо стандартну послідовність {x _i} = x в просторі l ₂ з нормою

і будь-яка стандартна

. Скористаємося теоремою 1:

. З цього твердження випливає, що вірно наступне твердження:

, Тобто для будь-якого стандартного

число

є верхньою межею для множини всіх сум виду

(1).
Позначимо М

(2)
З попереднього випливає, що

. З іншого боку, так як М

, То

]. Але

, Значить, для будь-якого стандартного

, Отже, М

, Або

, Що й потрібно було довести.
3. Оператори зсуву в нестандартному розширенні простору послідовностей
Надалі Н - Гільбертів простір,

- Простір всіх лінійних обмежених операторів в Н.
Для лінійних операторів в нестандартних просторах можна ввести аналоги основних понять теорії операторів: обмеженості, норми, спектра. При цьому можна розглядати різні простору операторів: наприклад,

- Множина всіх розширень операторів з простору

;

- Множина всіх лінійних операторів

, Що мають кінцеву норму, тобто задовольняють умові

; ^* (L (H)) - розширення простору всіх лінійних обмежених операторів в Н.
Ми будемо розглядати оператори з простору ^* (L (H)). Для операторів з цього простору можна ввести норму як розширення норми на просторі ^* (L (H)). Але на відміну від стандартної норми вона може бути також і нескінченна. Назвемо оператор з ^* (L (H)) обмеженим, якщо його норма скінченна
Визначення 13. Спектром оператора А

^* (L (H)) називається безліч точок λ

, Для яких оператор А-λ I не має обмеженого зворотнього в ^* (L (H)).
Теорема 12. Якщо існує елемент

з не нескінченно малою нормою, такий, що

для деякого λ

, То число

належить спектру оператора А.
Доказ. Припустимо, що зворотний оператор

існує. Позначимо

. Тоді

, А

. Норма елемента

дорівнює 1, а норма елемента

нескінченно велика. Звідси випливає, що оператор

не обмежений.
Визначення 14. Елемент

з не нескінченно малою нормою, такий, що

для деякого λ

, Називається майже власним вектором оператора А, а число

- Точкою майже власного спектру оператора А.
Розглянемо оператор зсуву U в просторі _, Т. е. оператор, кожну послідовність виду переводить в послідовність виду

Також будемо розглядати оператор двостороннього зсуву

, Він кожну послідовність виду

зрушує вправо, тобто переводить в послідовність

.
Розглянемо таку задачу. У просторі ^*

візьмемо наступну послідовність:

, Де

- Нескінченно великий номер. Знайдемо норму цього елемента:

. Якщо ж якості

візьмемо

, То отримаємо

. Покажемо, що даний елемент є майже власним вектором оператора зсуву з майже власним числом

, Т. е.

. Дійсно,

, Отже,

.
Можна довести також більш загальний факт.
Теорема 13. Будь-яка точка одиничному колі є майже власним числом оператора двостороннього зсуву, відповідним деякого майже власним вектору.
Доказ. У просторі ^* l ₂ (-

) Розглянемо наступну послідовність:

, Де

- Деякий нескінченно великий номер. Знайдемо норму цього елемента:

. Візьмемо

і розглянемо різницю

. Так як
Ux =

,
то

. Знайдемо норму цієї різниці:

, Т. е.

Висновок

У роботі показано, що нестандартне розширення оператора зсуву зберігає багато властивостей стандартного зсуву, зокрема, властивість обмеженості і норму. Але також є і відмінності, наприклад, існування в нестандартного оператора зсуву майже власних векторів.

Список літератури
1. Гельфанд І.М. Лекції з лінійної алгебре.-М.: Світ, 1964.
2. Девіс Д. Прикладної нестандартний аналіз.
3. Колмогоров А.Н. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу [Текст]. / О.М. Колмогоров, С.В. Фомін. - М.: Просвещение, 1968.
4. Халмош П. Гільбертів простір в задачах [Текст]. - М.: Просвещение, 1972.