ПЛАН
Предикати і квантори.
Поняття формули обчислення предикатів.
Аксіоматичне уявлення вузького числення предикатів.
Натуральне вузьке числення предикатів.
Занурення арістотелівської силлогистики в вузьке числення предикатів.
5. Розширене числення предикатів.
Література
1. Предикати і квантор
Обчислення висловлювань утворює основну частину математичної логіки. Але воно не становить достатньої базису для аналізу всіх правил міркувань, бо залишає осторонь внутрішню структуру висловлювань. Обчислення предикатів має на меті розширити наші уявлення про правила правильних міркувань на підставі обліку внутрішньої структури висловлювань.
Аналіз змісту висловлювань таких як «Роза-рослина», «а> в», «Точка А лежить між точками В і С» тощо дозволяє зробити висновок, що у висловлюваннях мова йде про те, що предмети, зазначені у висловлюваннях, мають якимись властивостями або перебувають в якихось відносинах. Ту частину висловлювання, в якій йдеться про властивості або стосунках прийнято вважати предикатом, якщо імена предметів, які володіють цими властивостями або відносинами, замінені змінними, які приймають значення з безлічі самого загального вигляду. Так що предикат залежить не тільки від того, про які властивості чи відносинах йде мова, але і від змінних. Наприклад, з вислову «Роза рослина» виходить предикат «х - рослина», з вислову «а> в» - предикат «х> у», а з вислову «Точка А лежить між точками В і С» - предикат «Точка Х лежить між точками Y і Z ».
Якщо позначити ту частину висловлювань, в якій йдеться про властивості чи відносинах великими латинськими буквами Р, Q, R, ... з індексами або без них, а змінні - традиційно малими латинськими буквами х, y, z, ... з індексами або без них, то позначення предиката набуде вигляду Р (х), Q (х, у), L (х, y, z) і т.д. Число n змінних чи аргументів, від яких залежить предикат називається n-місцевістю предиката, так що можна говорити про одномісному предикаті, двомісному і т.д.
Запис предиката Р (х), Q (х, у) і т.д. нічим не відрізняється від запису математичної функції. Але це не тільки випадковий збіг. Якщо підставляти у предикати імена предметів, ці імена традиційно позначаються малими латинськими буквами а, в, с, d, ... з індексами або без них, то предикати перетворюються на висловлювання істинні або помилкові. Так якщо Р (х) вважати записом предиката «х - рослина», то, підставляючи замість х імена «Роза», «Лілея» отримуємо справжнє висловлювання «Троянда - рослина», «Лілія - рослина». Якщо ж замість х підставити імена « камінь »,« залізо »- то хибне висловлювання« камінь-рослина »,« залізо - рослина ». Позначивши через «0» «брехня», а через «1» «істину», отримуємо з предиката Р (х 1, х 2, ..., х п) двозначним функцію, аргументи якої приймає значення з безлічі самого загального вигляду.
При підстановці в предикат, замість змінних імен предикатів він перетворюється у висловлювання. Так що предикат, скажімо предикат Р (х), можна розглядати записом деякого безлічі висловлювань, потужність якого дорівнює потужності множини значень аргументу.
У логіці поряд з підстановкою, що перетворює предикат у вислів, використовуються й інша операція, яка робить це. Ця операція полягає в зв'язуванні змінних, що входять в предикат, кванторами. Застосовуються квантори двох видів: квантор спільності, його зазвичай позначають символом ", і читається він« для всіх »,« для будь-кого »,« все », і квантор існування, він позначається $ і читається« існує таке ». Вислів" (х) Р (х) читається: «Для всіх х Р (х)» або «Для будь-якого х Р (х)». Висловлювання $ х Р (х) читається: «Існує таке х, що Р (х)» або «Для деяких х Р (х) ».
Слід ще раз підкреслити, що заміняти в предикаті змінну, до якої належить квантор, на імена предметів, щоб перетворити предикат у вислів, не має сенсу. Така змінна вважається зв'язаною. Змінні предикати, не пов'язані кванторами, називаються вільними.
Якщо Р (х 1, х 2, ..., х п) - n-місцевий предикат і m його змінних (m £ n) зв'язуються кванторами, то він перетворюється в (nm) місцевий предикат.
Квантори спільності та існування можуть вживатися комбіновано. Порядок вживання кванторів в багатомісних предикатів грає істотну роль. Наприклад для двомісного предиката Р (х, у) ми маємо такі найпростіші форми складання: "х" у Р (х, у) - читати цю формулу слід так: «Для всіх х і для всіх у має місце ставлення Р (х, у ) ».
$ Х $ у Р (х, у) «Існує деякий х і якийсь у, для яких має місце Р (х, у)».
$ Х "у Р (х, у) -« Існує таке х, яке до кожного у знаходиться у відношенні Р (х, у) ».
"Х $ у Р (х, у) -« Для кожного х існує деякий у, таке, що має місце Р (х, у) ».
У виразі "х" у Р (х, у) знаки спільності можуть бути переставлені без зміни змісту висловлення. Те ж саме має місце у виразі $ х $ у Р (х, у).
Навпаки, у виразі "х $ у Р (х, у) порядок проходження знаків" х і $ у відіграє істотну роль. Наприклад, вислів "х $ у (х <у) -« Для кожного числа х існує число у таке, що х менше у - істинно ». Але якщо ми переставимо в цьому висловлюванні знаки" х і $ у, то отримаємо висловлювання $ у "х (х <у) -« Існує число у, яке більше будь-якого числа х », - яке помилково. Так що порядок проходження в комбінаціях кванторів спільності та існування, і назад, перед предикатом грає важливу роль.
2. ПОНЯТТЯ ФОРМУЛИ числення предикатів
Як вже говорилося, запис предиката можна розглядати як безліч висловлювань. З предикатів виходять висловлювання при заміні (підстановці) змінних постійними або за допомогою зв'язування їх кванторами. Так що предикати можна з'єднувати між собою і з висловлюваннями тими ж зв'язками «¯», «Ù», «Ú», «®», «º», які прийняті в численні висловів, отримуючи формули обчислення предикатів. Більш точно поняття формули обчислення предикатів (коротко формули) визначається наступним чином:
Змінне висловлювання є формула.
Предикати є формулами.
Якщо j є формула, то j - формула.
Якщо j і y якісь формули, причому одна і та ж змінна не зустрічається зв'язковою всередині однієї формули і вільною, усередині іншої, то j Ù y, j Ú y, j ® y, j º y суть формули.
Якщо j (х) означає якусь формулу, в якій мінлива х виступає як вільної змінної, то "х j (х) і $ х j (х) суть формули. Те ж саме справедливо для інших вільних змінних.
Значить, відповідно до пункту 5. Одна і та ж змінна не зустрічається у формулі одночасно у вільній і зв'язаній формі.
Для економії дужок вводяться такі угоди: знаки Ù, Ú, ®, º поділяють вираз сильніше, ніж знаки спільності та існування. Наприклад, вираз "х F (х) Ù р, є більш простим способом запису виразу (" х F (х)) Ù р. Колишнє угоду, що знак Ù пов'язує тісніше, ніж знаки Ú, ®, º, знак Ú - пов'язує тісніше, ніж знаки ® і º, знак ® тісніше, ніж º залишається в силі.
Далі, до всякого зустрічається у формулі знаку спільності чи існування належить частина формули, до якої він відноситься. Цю частину формули містять в дужки, поміщаючи перед ними відповідний знак. Так, у формулі "х (F (х) ® $ у G (у)) область дії знаку" простягається до кінця формули. У формулі "х F (х) ® $ у G (у) - лише до знака ®.
Подальше зменшення кількості дужок досягається за допомогою наступного правила: якщо кілька знаків спільності чи існування йдуть безпосередньо один за одним, не будучи розділеними дужками, то це завжди потрібно розуміти так, що, їх область дії простягається до одного і того ж місця. Наприклад, вираз:
"Х $ у" z (Р (х, у, z) Ù Q (у, z)) Ù R (u) є більш проста запис вираження
"Х ($ у (" z (Р (х, у, z) Ù Q (у, z)))) Ù R (u).
Для зручності позначень формул приймаються ще й такі угоди:
Замість Р (х) пишуть просто `Р (х);
Замість "х Р (х) пишуть просто` "х Р (х);
Замість $ х Р (х) пишуть просто `$ х Р (х).
З самого сенсу знаків спільності та існування виходять наступні еквівалентності:
$ Х Р (х) º `" х `Р (х) (33)
$ Х `Р (х) º` "х Р (х) (34)
`$ Х Р (х) º "Х` Р (х) (35)
`$ Х` Р (х) º "х Р (х) (36)
На підставі цих змістових співвідношень можна замінювати квантор існування квантором спільності і навпаки, а значить, при побудові числення предикатів обійтися лише одним квантором.
Проілюструємо подання в символічній формі висловлювань. Припускаючи, що змінні пробігають безліч людей, застосуємо наступні угоди
М (х): х є чоловік;
V (х): х є жінка;
J (х, у): х молодше, ніж у;
R (х, у): х є дитина у;
G (х, у): х перебуває у шлюбі з у;
K (х): х живе в Києві;
L (х): х живе в Луганську.
Уявімо у символічній формі наступний вислів: «Кожна людина має батька і матір». Воно буде мати вигляд:
("Х ($ у (М (у) Ù R (х, у)) Ù $ z (V (z) Ù R (х, z )))).
3. Аксіоматичний ПОДАННЯ вузького числення предикатів
У численні висловів проблема можливості розв'язання полягала у вирішенні питання, чи є дана складна функція висловлювання, представлена формулою обчислення висловлювань, тотожне істинної, здійсненним або тотожне помилковою. У цьому обчисленні метод таблиць і метод приведення до досконалим нормальним формам давав ефективний спосіб вирішення цього питання. І це тому, що кожному атомарному висловом приписувалося лише два значення.
У вузькому численні предикатів проблема можливості розв'язання полягає в постановці аналогічного питання: чи є складна, функція, яка представляється формулою обчислення предикатів тотожно істинною за будь-яких значеннях змінних і будь-яких предикатах, здійсненним, або тотожне помилковою. Скористатися методом таблиць у вузькому численні предикатів вже не можна. Наприклад, за визначенням вислів "ХР (х) еквівалентно кон'юнкції висловлювань Р (а) Ù Р (в) Ù Р (с) Ù ... Ця кон'юнкція істинна, якщо і тільки якщо істинні всі висловлювання Р (а), Р (в), ... Однак у тих випадках, коли змінна х в Р (х) пробігає нескінченну предметну область, встановити справжнє значення кожного з висловлювань Р (а), Р (в) і т.д. не завжди вдається. А це означає, що питання про істиннісне значення формули "ХР (х) або формули, яка містить" ХР (х) може залишатися відкритим.
Отже, проблема можливості розв'язання в численні предикатів є дуже складне і в цілому аж ніяк не вирішену проблему. І навіть можна вважати безнадійними спроби дати її повне рішення. Але з причини центрального значення проблеми великий інтерес представляють спроби дати її рішення хоча б для можливо більш широких класів формул. Один з таких класів представляється аксіоматичним поданням обчислення предикатів.
Існують різні еквівалентні системи аксіом вузького числення предикатів. Одна з них, запропонована Гільбертом як аксіоми містить чотири аксіоми числення висловлювань:
р Ú р ® р
р ® р Ú q
р Ú q ® q Ú р
(Р ® q) ® (r Ú р ® r Ú q)
До цих аксіом приєднуються ще дві аксіоми для кванторів "І $
"Х F (х) ® F (у)
F (у) ® $ х F (х)
Перша з цих аксіом читається так: «Якщо предикат F виконується для всіх х, то він виконується також для будь-якого у». Друга аксіома читається так: «Якщо предикат F виконується для якогось у, то існує х, для якого виконується F».
Для отримання нових формул з аксіом, так само як вже з виведених формул використовуються правила і формули обчислення висловлювань, а також наступні правила.
a) Правило підстановки.
a 1) У формулі змінну, що позначає висловлення, можна замінити будь формулою за умови, що ця заміна відбувається одночасно у всіх місцях, в яких зустрічається дана змінна, що позначає висловлення, і що при цьому взагалі знову виходить формула. Заміна допустима лише в тому випадку, якщо підставляється формула не містить предметної змінної, що зустрічається у вихідній формулі у зв'язаному вигляді.
a 2) Вільна предметна змінна може бути замінена іншою предметної змінної при умові, що заміна відбувається одночасно в усіх місцях в яких зустрічається ця вільна змінна. Підставляємо змінна не повинна, крім того, зустрічатися де-небудь пов'язаної в первісної формулою.
a 3) У формулі j (F) містить змінний предикат F від n предметних змінних він може бути замінений формулою y містить щонайменше n вільних предметних змінних якщо вільні предметні змінні в y не зустрічаються в j у зв'язаному вигляді і якщо в результаті виходить формула .
b) Схема укладання
З формул виду j і j ® y, отримуємо нову формулу y.
g) Схема для кванторів
g 1) Нехай формула j ® y така, що j не містить предметну змінну х, а формула y містить її. Тоді, якщо формула j ® y виведена, то виведена і формула j ® "х y (х).
g 2) При тих же самих умовах щодо виду формул j і y отримуємо з y (х) ® j нову формулу $ х y (х) ® j.
d) Правила перейменування пов'язаних змінних
Пов'язану предметну змінну, що зустрічається у формулі, можна замінити іншою пов'язаної змінної. Цю заміну слід проводити в усіх місцях області дії і в відповідному знаку спільності та існування. При цьому передбачається, що після такої заміни взагалі знову виходить формула. Якщо змінна, яка повинна бути замінена, зустрічається одночасно в кількох кванторів (з різними областями дії), то заміну слід робити тільки щодо однієї області.
Розглянемо тепер кілька прикладів виведення формул з аксіом a), b), c), d), e), f).
Доведемо формулу p → "x (p Ú F (x))
Доказ:
р ® р Ú q (аксіома в)
р ® р Ú F (х) (за допомогою підстановки)
р ® "х (р Ú F (х)) (за правилом g)
Доведемо формулу:
"Х F (х) ® $ Х F (х)
Доказ:
"Х F (х) ® F (у) (аксіома e)
F (у) ® $ х F (х) (аксіома f)
Підставимо тепер в формулу (29) (р ® q) ® ((r ® р) ® (r ® q)) замість р вираз F (у), замість q вираз $ х F (х), замість r вираз "х F (х). Отримуємо: (F (у) ® $ х F (х)) ® ("х F (х) ® F (у)) ® (" х F (х) ® $ х F (х)).
Застосовуючи, правило 5 з урахуванням цієї формули і двох наведених вище формул отримуємо: "х F (х) ® $ х F (х).
НАТУРАЛЬНІ вузьке числення предикатів
У натуральному вузькому численні предикатів визначення формули обчислення предикатів таке ж, як і в аксіоматичному поданні вузького числення предикатів.
Основними правилами виводу в натуральному обчисленні предикатів є:
Всі основні правила виводу числення висловів.
Правила введення та видалення кванторів спільності та існування.
Для запису схем правил введення і видалення кванторів спільності та існування можна користуватися символом j (х / w), що позначає вираз, отримане з j підстановкою замість іменний змінної х вираження w при виконанні наступних умов:
У виразі j заміна змінної х провадиться лише у тих місцях, де вона вільна. Якщо х входить в j кілька разів, то стільки ж разів вона замінюється виразом w.
Якщо в j змінна х знаходиться в області дії квантора, що зв'язує предметну змінну z, то замість х не підставляється вираз містить z в якості вільної змінної. Коротше кажучи, підстановку варто робити так, щоб вільні змінні підставляємо вирази не виявилися пов'язаними у виразі, отриманому в результаті підстановки.
Якщо це правило порушується, то можна отримати хибне висловлювання. Так, у виразі $ m (m> n) змінна m пов'язана, а змінна n вільна. Якщо ми замість n підставимо m +1, то отримаємо помилкове вираз: $ m (m> m +1).
Правило видалення квантора спільності:
У " .
Прикладом міркування за правилом У ":
.
Правило введення квантора спільності:
В " застосовується лише за умови, що змінна х не входить в якості вільної в допущення непрямого докази.
Прикладом міркування за правилом
В ": .
Правило введення квантора існування:
В $ .
Прикладом міркування за правилом В $:
2 - парне і просте число
$ Х (х - парне і просте).
Правило видалення квантора існування:
У $ ,
де у 1, ... у n - Усі вільні іменні змінні вираження j, відмінні від змінної х, а вираз j (х / σ у 1, ... у n) - результат підстановки в вираз j постійної σ, зазначеної індексами у 1, ... у n замість х. Зауважимо, що змінні у 1, ... у n, що входять у вираз σ у 1, ... у n розглядаються як вільних. Тому вираз σ у 1, ... у n можна підставляти у вираз j замість змінної х тоді, і тільки тоді, коли ця змінна не знаходиться в області дії квантора, що зв'язує змінні у 1, ... у п.
Як приклади виведення формул в натуральному вузькому численні предикатів розглянемо висновок аксіом e), f), а також формул (37), (38).
е) "х F (х) ® F (у)
Доказ:
"Х F (х) {Допущення}
F (у) {У ": 1}
f) F (у) ® $ Х F (х)
Доказ:
F (у) {Допущення}
$ Х F (х) {В $: 1}
Доведемо формулу (37):
р ® "х (р Ú F (х))
Доказ:
р {Допущення}
р Ú F (х) {ВД: 1}
"Х р Ú F (х) {В": 2}
Доведемо тепер формулу (38):
"Х F (х) ® $ х F (х)
Доказ:
"Х F (х) {Допущення}
2) F (у) {У ": 1}
$ Х F (х) {В $: 2}
5. ЗАНУРЕННЯ Аристотелевская сіллогістіку У вузьке числення предикатів
У логіці Арістотеля і його послідовників аж до кінця Х І Х століття основна роль приписувалася чотирьох видів суджень, званим категоричними А, Е, I, О. Символічні судження А «Всі S суть Р» записується так:
"Х ( S (х) ® Р (х)) (39)
Судження Е «Ніяке S не є Р»:
`$ Х (S (х) Ù Р (х)) (40) або по іншому" х ( S (х) ® `R (х)) (40 1)
Судження I «Деякі S суть Р»:
$ Х (S (х) Ù Р (х)) (41)
Судження Про «Деякі S не суть Р»:
$ Х (S (х) Ù `R (х)) (42)
Доведемо деякі модуси безпосередніх умовиводів.
Модус АSР ® ISР, користуючись (39) - (42) запишемо так:
"Х ( S (х) ® Р (х)) ® $ х (S (х) Ù Р (х)) (43)
Доказ:
"Х ( S (х) ® Р (х)) {Допущення}
S (у) ® Р (у) {У ": 1}
S (у) {Допущення}
Р (у) {ПО: 2,3}
S (у) Ù Р (у) {ВК: 3,4}
$ Х (S (х) Ù Р (х)) {В $: 5}
Модус ЕSР ® ОSР знову-таки за допомогою (39-42) записуємо так:
"Х ( S (х) ® `R (х)) ® $ Х (S (х) Ù `R (х)) (44)
Доказ:
"Х ( Sх ® `R (х)) {Допущення}
"Х ( S (х) ® `R (х)) ® (S (у) ®` R (у)) {підстановка в аксіому е)}
S (у) ® `R (у) {ПО: 1,2}
S (у) {Допущення}
`R (у) {ПО: 3,4}
S (у) Ù `R (у) {ВК: 4,5}
$ Х S (х) Ù `R (х) {В $: 6}
Модус АSР ® IРS записуємо у вигляді:
"Х ( Sх ® R (х)) ® $ х (S (х) ÙR (х)) (45)
Доказ:
"Х ( S (х) ® R (х)) {Допущення}
"Х ( S (х) ® R (х)) ® (S (у) ® R (у)) {підстановка в аксіому е)}
S (у) ® R (у) {ПО: 1,2}
S (у) {Допущення}
R (у) {ПО: 3,4}
S (у) ÙR (у) {ВК: 4,5}
$ Х S (х) ÙR (х) {В $: 6}
Аналогічно записуються і доводяться інші модуси безпосередніх умовиводів.
Доведемо тепер справедливість деяких модусів силогізмів.
Використовуючи (39) - (42), записує перший модус першої фігури силогізму АМР Ù АSМ ® АSР так:
"Х (М (х) ® Р (х)) Ù "Х (S (х) → М (х)) →" х (S (х) → Р (х)) (46)
Доказ:
"Х (М (х) ® Р (х)) Ù" х (S (х) → М (х)) {Допущення}
"Х (М (х) ® Р (х)) {КК: 1}
"Х (S (х) → М (х)) {КК: 1}
М (у) ® Р (у) {У ": 2}
S (у) ® М (у) {У ": 3}
S (у) ® Р (у) {(29): 4,5}
"Х (S (х) → Р (х)) {В": 6}
Доведемо справедливість перших модуси другій фігурі силогізму
ЕРМ Ù АSМ → ЕSР.
Використовуючи (39) - (42), записуємо його у вигляді:
"Х (Р (х) ®` М (х)) Ù "Х (S (х) → М (х)) →" х (S (х) → `Р (х)) (47)
Доказ:
"Х (Р (х) ®` М (х)) Ù "х (S (х) → М (х)) {Допущення}
"Х (Р (х) ®` М (х)) {КК: 1}
"Х (S (х) → М (х)) {КК: 1}
Р (у) ® `М (у) {У": 2}
S_ (у) ® М (у) {У ": 3}
`М (у) ®` Р (у) {(30): 4}
М (у) ® `Р (у) {(9): 6}
S (у) ® `Р (у) {(29): 5,7}
"Х (S (х) →` Р (х)) {У ": 8}
Нарешті, доведемо перший модус третьої фігури силогізму
АМР Ù АSМ → ІSР.
Використовуючи (39) - (42), записуємо його у вигляді:
"Х (М (х) ® Р (х)) Ù "Х (М (х) → S (х)) → $ х (S (х) Ù Р (х))
Доказ:
"Х (М (х) ® Р (х)) Ù" х (М (х) → S (х)) {Допущення}
"Х (М (х) ® Р (х)) {КК: 1}
"Х (М (х) → S (х)) {КК: 1}
М (у) ® Р (у) {У ": 2}
М (у) ® S (у) {У ": 3}
М (у) {Допущення}
S (у) {ПО: 5,6}
Р (у) {ПО: 4,5}
S (у) Ù Р (у) {ВК: 7,8}
$ Х (S (х) Ù Р (х)) {В $: 9}
6. Розширеного числення предикатів
У вузькому численні предикатів змінні є пропозіціональние змінні, іменні змінні і змінні представляють предикати. У формулах цього обчислення квантори зв'язують тільки іменні змінні. Це літочислення явно не завершено. Наприклад, формула "R" х (Р (х) Ú Р (х)) виконується для будь-якого предиката Р. значить, ми повинні розташовувати квантором спільності для предиката. З іншого боку формула "ХF (х) явно не общезначима. Але вона виконується для деяких F. Щоб виразити це ми повинні розташовувати і кванторами існування для предиката, і здійснимість цієї формули записати так: $ F" ХF (х).
Обчислення предикатів, що отримується за допомогою застосування квантора спільності і квантора існування не тільки до предметних змінним, а й до змінних предикатів, прийнято називати розширеним обчисленням предикатів. Очевидно, що всі правила вузького числення предикатів поширюються як на розширене числення предикатів, так і на будь-яку систему, одержувану приєднанням до розширеного обчисленню предикатів яких завгодно аксіом і нових правил утворення істинних формул. Справедливість цього зрозуміла, оскільки всі аксіоми і правила виводу числення предикатів, на підставі яких виведені похідні правила, у всіх випадках зберігаються.
Змішання символів для різних формул не може відбутися, тому що з контексту, звичайно, видно, в якому формалізмі виводиться та чи інша формула.
Розширене числення предикатів і отримані з нього деякі системи за допомогою додавання до його аксіомам аксіом спеціальної структури дали можливість отримати дуже важливі результати в теорії множин, геометрії, арифметики, теорії алгоритмів і в багатьох інших областях. Однак як показали К. Гедель та ін, проблема можливості розв'язання в таких системах стає дуже заплутаною. І вся справа в тому, що, формалізуючи словесний зворот «все» за допомогою квантора "ми намагаємося укласти нескінченне в кінцеві рамки. Але при цьому ми можемо розраховувати лише на приватний успіх.
Алгоритмічна нерозв'язність розширеного числення предикатів, формалізованої теорії множин, формалізованої арифметики та інших формальних систем зайвий раз доводить, що математика не є нанизуванням силогізмів в напрямку, обраному навмання. Алгоритмічна нерозв'язність показує, що математичне дослідження включає в себе інтуїцію, здогад, уяву та інші елементи творчості!
Література
Логічне судження. Руфулаев О.Н. К. - 2005 р.
Логіка - мистецтво мислення. Тімірязєв О.К. - К. 2000
Філософія і життя - журнал-К. 2004
Історія логіки і мислення - Касінов В.І. 1999.
Логіка і людина - М. 2000.
Філософія життя. Матюшенко В.М. - Москва - 2003 р.
Філософія буття. Марікова А.В. - К. 2000