Обчислення меж функцій похідних та інтегралів

Зміст

Завдання № 1

Завдання № 2

Завдання № 3

Завдання № 4

Завдання № 5

Завдання № 7

Завдання № 8

Завдання № 4

Завдання № 5

Завдання № 6

Список літератури

Завдання № 1

3. б) Знайти межі функції:

Рішення

Одна з основних теорем, на якій грунтується обчислення меж:

Якщо існують

і , То:

Отже:

Відповідь: межа функції

Завдання № 2

3. б) Знайти похідну функції:

Рішення

Скористаємося правилом диференціювання складних функцій:

Нехай y = f (x); u = g (x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.

Тоді

Застосуємо це правило до заданої функції:

Відповідь:

Завдання № 3

3. Дослідити функцію і побудувати її графік:

Рішення

1. Знайдемо область визначення функції:

D (y) = R

2. Досліджуємо функцію на парність та непарність, на періодичність.

Умова парності: f (x) = f (- x)

Умова непарності: f (- x) =- f (x)

при x = 1: y = 0

при x = - 1: y = -4

Умови не виконуються, отже, функція не є парною і непарною.

Періодичної називається така функція, значення якої не змінюються при додаванні до аргументу деякого (відмінного від нуля) числа - періоду функції.

Функція

НЕ періодична.

3. Знайдемо проміжки знакопостоянства, з'ясуємо поведінку функції на кінцях проміжків.

y = 0 при

;

Отже, маємо три проміжку:

Визначимо знак на кожному проміжку:

при x = -1 y =- 4 <0

при x = 0,5 y = 0,125> 0

при x = 2 y = 2> 0

Тоді: для

, Для

Розглянемо поведінку функції на кінцях проміжків:

4. Знайдемо проміжки монотонності функції, її екстремуми.

Знайдемо похідну функції:

при

,

- Точки екстремуму, вони ділять область визначення функції на три проміжку:

Досліджувана функція в проміжку

- Зростає

- Убуває

- Зростає

5. Знайдемо проміжки опуклості графіка функції, її точки перегину.

Знайдемо другу похідну функції:

при - Точка перегину

Для

,

отже, графік функції на цьому інтервалі опуклий вгору.

Для

,

отже, графік функції на цьому інтервалі опуклий вниз.

6. За отриманими даними побудуємо графік функції.

Рис. 3 Графік функції

Завдання № 4

Знайти інтеграл:

3.

Рішення

Невизначеним інтегралом функції f (x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:

F (x) + C.

Записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є безперервність функції на цьому відрізку.

Заміна змінної у невизначеному інтегралі проводиться за допомогою підстановки:

Відповідь: .

Завдання № 5

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, використовуючи певний інтеграл. Зробити креслення.

, , , .

Рішення.

Побудуємо графік функції:

при х =- 2: y = 12

при х =- 1: y = 5

при х = 0: y = 0

при х = 1: y = -3

при х = 2: y = -4

при х = 3: y = -3

при х = 4: y = 0

при х = 5: y = 5

Рис. 1 Графік

Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю Про x:

Визначимо площа отриманої фігури через певний інтеграл:

кв. од.

Відповідь: площа фігури, обмеженої заданими лініями = 13 кв. од.

Завдання № 7.

Знайти спільне рішення або загальний інтеграл диференціального рівняння, вирішити задачу Коші для заданих початкових умов:

, при

Рішення

Загальний вигляд диференціального рівняння:

Спільним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається функція від змінної x і довільної сталої C, що звертає рівняння в тотожність. Загальне рішення, записане в неявному вигляді , Називається загальним інтегралом.

Рішення, отримане із загального при фіксованому значенні С: , Де - Фіксоване число, отримане при заданих початкових умовах , Називається приватним рішенням, або рішенням завдань Коші.

Знайдемо загальний розв'язок або загальний інтеграл:

-

спільне рішення диференціального рівняння

Знайдемо приватне рішення для при

Отримуємо:

Відповідь: - Будь-яке число.

Завдання № 8

Знайти ймовірність випадкової події.

Умова: Брошена гральна кістка. Яка ймовірність того, що випаде непарне число очок? Що випаде шістка »?

Рішення.

Ймовірністю події А називається математична оцінка можливості появи цієї події в результаті досвіду. Ймовірність події А дорівнює відношенню числа, що сприяють події А фіналів досвіду до загального числа попарно несумісних результатів досвіду, що утворюють повну групу подій.

Вихід досвіду є сприятливим події А, якщо поява в результаті досвіду цього результату тягне за собою появу події А.

Позначимо в даній задачі випадання непарного числа - подія А, випадання «шістки» - подія В. На гральної кістки шість граней, очевидно, що на трьох з них число непарне, на одній - «шістка».

Тоді відповідно до записаними вище формулами одержуємо:

.

Відповідь: 1. ймовірність випадання непарного числа дорівнює ;

2. ймовірність випадання «шістки» дорівнює .

Методи обчислень і ЕОМ

Завдання № 4.

Впровадження автоматизованого способу обробки інформації знизило витрати на її обробку з 238200 крб. до 50175 руб. Визначте, на скільки відсотків знизилися витрати на обробку інформації. Наведіть раціональний алгоритм обчислень на МК.

Рішення:

Завдання № 5

Витрати на перевезення пошти в II кварталі зменшилися на 2,5% в порівнянні з I кварталом; в III кварталі збільшилися на 2,9% в порівнянні з II кварталом; IV кварталі вони знову збільшилися на 3,1% в порівнянні з III кварталом. Визначте з точністю до 0,1%, як змінилися витрати в IV кварталі в порівнянні з I кварталом. Запишіть раціональний алгоритм обчислень на МК.

Рішення:

За умовою задачі задано послідовна зміна початкового показника N = 100 відсотків на

Р1 = 2,5%, Р2 = 2,9%, Р3 = 3,1%.

Тоді:

Nn = 100 (1-2,5 / 100) (1 +2,9 / 100) (1 +3,1 / 100) = 100 (1-0,025) (1 +0,029) (1 +0,031) = 100 * 0,975 * 1,029 * 1,031 = 103,4%

Алгоритм виконання цього обчислення на МК:

100 - 2,5% + 2,9% + 3,1%

Завдання № 6

Бригаді монтажників за місяць нараховано 16713 руб. Розподіліть заробітну плату між членами бригади пропорційно наступними даними. Наведіть раціональний алгоритм обчислень на МК, а також рішення задачі за допомогою табличного процесора (Excel, Super Calc та ін.) Точність 0,01 руб.

Алгоритм рішення на МК:

6,6 * 165 М +

8,8 * 72 М +

7,5 * 216 м +

_{16713 / MR MR} * 1089 = М +

^CC 633,6 = М +

1620 = М + _MR

^C

Рішення задачі за допомогою табличного процесора Excel:

1. Введення назв граф документа:

2. Введення вихідних даних:

3. Введення розрахункових формул:

4. Кінцевий результат:

Список літератури

1. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.

2. Гусак А.А., Гусак Г.М., Брічкова Е.А. Довідник з вищої математики. - Мінськ. ТетраСістемс, 2004. - 640 с.

3. Гмурман В.Є. Теорія ймовірності і математична статистика. - М.: Вища школа, 1998. - 479 с.

4. Міносці В.Б. Курс вищої математики. Частина 2. М. 2005. - 517 с.

5. Пономарьов К.К. Курс вищої математики. Ч. 2. - М.: Инфра-С, 1974. - 520 с.