Обчислення визначених інтегралів Квадратурні формули

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І науки України
Національний технічний університет
"ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНІЙ ІНСТИТУТ"
Кафедра "Обчіслювальної технікі та програмування"
Реферат з курсу "Чисельні методи"
Тема: "Обчислення визначених інтегралів. Квадратурні формули "
Виконала:
студент групи
Перевірів:
Харків

Зміст
  Введення
1. Обчислення визначених інтегралів
2. Побудова квадратурних формул з плаваючими вузлами
Список використаних джерел

Введення

Задача обчислення визначеного інтеграла у випадках, коли неможливо аналітично отримати Первісні, може бути вирішена за допомогою квадратурних формул.
Основна ідея побудови квадратурних формул полягає в тому, що обчислення інтеграла (площі) замінюється висловом, в якому використовуються деякі значення підінтегральної функції. Як квадратурного висловлювання, як правило вибирають зважену суму значень підінтегральної функції.

1. Обчислення визначених інтегралів

Кількість параметрів квадратурного вираження тісно пов'язане зі ступенем підінтегральної функції, якщо остання може бути описана статечним поліномом обмеженою ступеня. У загальному випадку це неможливо, наприклад, коли підінтегральна функція терпить розрив.
Для усунення особливості інтегровною функції, останню представляють твором вагового співмножники, що включає в себе характерну особливість, і частини підінтегральної функції, яка після виключення особливості може представлятися статечним многочленом.
Можливість подання підінтегральної функції поліномом дозволяє оцінити мінімально необхідну кількість параметрів у квадратурної формулою, виходячи з критерію отримання по ній абсолютно точного значення інтеграла. Так, для підінтегральної функції, представленої поліномом нульової ступеня, обчислення площі в інтервалі [a, b] досить одного значення функції (площа прямокутника). Для полінома першого ступеня - два значення (площа трапеції). Для другого ступеня - три, і т.д. Останнє випливає з того, що через (n +1) точку можна провести єдину криву n-го ступеня.
Параметрами квадратурних формул є коефіцієнти при значеннях поліноміальної підінтегральної функції і значення незалежної змінної, при яких обчислюється підінтегральна функція.

де - Параметри квадратурної формули,
- Функція з виділеною особливістю,
- Вагова функція, що включає особливість.
Для подинтегральних функцій без особливостей p (x) = 1.
Квадратурні формули будуються для меж інтегрування і . Заміна меж інтегрування на або здійснюється лінійним перетворенням, яке вище було вже розглянуто.
Побудова будь квадратурної формули починається з вирішення питання про клас подинтегральних функцій, для яких формула буде абсолютно точна. Якщо вибрані функції статечного базису, то число параметрів, яке необхідно ввести в квадратурної формули, так само найвищого ступеня n базисної функції, збільшеної на одиницю.
Якщо точки, в яких обчислюються значення підінтегральної функції, визначені умовами зручного положення або простотою обчислення в них, то в квадратурної формулою число доданків дорівнюватиме кількості параметрів. Якщо положення точок теж взяті в якості параметрів, то число доданків може виявитися і вдвічі менше. У квадратурної формули можна ввести також значення похідних підінтегральної функції в заданих точках, якщо обчислення похідних простіше, ніж обчислення функції.
Коли всі умови побудови квадратурної формули обумовлені, то, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів (параметрів), складають систему алгебраїчних рівнянь шляхом підстановки в інтеграл і квадратурної формули базисних функцій. Так як кількість їх дорівнює числу параметрів, то система буде визначена.

2. Побудова квадратурних формул з плаваючими вузлами

В якості прикладу знайдемо квадратурної формули з трьома плаваючими вузлами для функцій , Що належать безлічі , Де n = 5.
Формула повинна мати 3 доданків з шістьма параметрами. Інтервал інтегрування візьмемо .

де - Невідомі вагові коефіцієнти,
- Невідомі вузлові точки, в яких повинна
обчислюватися підінтегральна функція.
Обчислюються певні інтеграли для безлічі базисних функцій:

Підстановка базисних функцій у вираз з параметрами та їх прирівнювання відповідним значенням інтегралів від базисних функцій призводить до наступних систем нелінійних рівнянь:

Вирішення таких рівнянь засноване на існуванні двох канонічних форм запису нулів статечних рівнянь:

де - Коефіцієнти, що виражаються через корені .
І перша і друга форми звертаються в нуль, якщо .
Щоб виділити з системи рівнянь вузлові многочлени, помножимо перші 4 рівняння системи на коефіцієнти з лівої колонки і знайдемо їх суму, потім помножимо відповідні рівняння на середню колонку і знайдемо їх суму і, нарешті, - на праву колонку і теж підсумуємо:



Всі взяті у круглі дужки вузлові многочлени зобов'язані бути рівними нулю, так як у них підставлені значення вузлів , В яких многочлен зобов'язаний звертатися в нуль. Тому праві частини рівнянь дорівнюють нулю і після підстановки в ліві частини числових значень для виходить система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно поки невідомих констант :

.
Остання випливає з нерівності нулю визначника однорідного рівняння. Таким чином, вузлові точки, в яких будуть обчислюватися значення підінтегральної функції, знаходяться з кубічного рівняння:

Коріння легко знаходяться і рівні наступних значень:
.
Тепер залишається знайти вагові коефіцієнти, для чого в перші 3 рівняння підставимо знайдені значення вузлових точок:
. Звідси: .
У результаті квадратурна формула найвищого алгебраїчного степеня точності прийняла такий остаточний вигляд:

Оцінити похибку квадратурної формули можна, якщо в цих же межах проінтегрувати відкидається частина розкладання в ряд Тейлора підінтегральної функції. Перші n членів ряду визначають максимальну ступінь базисних функцій, а значить, і алгебраїчну ступінь точності отриманої на їх основі формули.

Список використаних джерел

1. Боярчук О.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., Ляшко І.І. Довідковий посібник з вищої математики. Математичний аналіз: введення в аналіз, похідна, інтеграл. Т.1, 2004. - 360 с.
2. Вержбицький, В.М. Чисельні методи. Математичний аналіз і звичайні диференціальні рівняння. М.: Вищ. шк., 2001. - 383с.
3. Волков, Е.А. Чисельні методи. СПб.: Лань, 2004. - 248с.
4. Гаврилов О.В., "Про оптимальних квадратурних формулах", Сиб. Журн. Індустрі. Матем., 8: 1 (2005), 50-52
5. Нікольський С.М. Квадратурні формули. М.: Наука, 1988.