Нелінійні багатохвильові взаємодії в пружних системах

Нелінійні багатохвильові взаємодії в пружних системах

На основі закону збереження енергії пропонується фізична інтерпретація властивостей розв'язків еволюційних рівнянь, що описують амплітудно-фазову модуляцію нелінійних хвиль. Наводиться алгоритм приведення диференціальних рівнянь, що описують нелінійні багатохвильові процеси в розподілених системах, до нормальної форми. Вивчаються питання виникнення резонансу.
Solutions to the evolution equations describing the phase and amplitude modulation of nonlinear waves are physically interdivted basing on the law of energy conservation. An algorithm reducing the governing nonlinear partial differential equations to their normal form is proposed. The occurrence of resonance at the expense of nonlinear multi-wave coupling is discussed.

Введення

Принципи нелінійних багатохвильових взаємодій були вперше визнані приблизно два століття тому, завдяки експериментальним та теоретичним роботам Фарадея (1831), Мельде (1859), Релея (1883, 1887). Непоганий історичний огляд цієї теми може бути знайдений в роботі [1], так що необхідні лише тільки кілька вступних зауважень. До першої світової війни подібні ідеї втілювалися в радіотелефонних пристроях. Після другої світової війни з'явилася безліч нових додатків в техніці та технологіях, включаючи високочастотну електроніку, нелінійну оптику, океанології, фізику плазми і т.д. Сьогодні теорія нелінійних багатохвильових взаємодій, стосовно до механічних систем, розвинена не в тій мірі, щоб знайти вже зараз своє гідне застосування на практиці.
У роботі представлена ​​спроба об'єднання та узагальнення тематичної інформації на основі вже досить відомих, але розрізнених фактів. На основі закону збереження енергії пропонується фізична інтерпретація властивостей розв'язків еволюційних рівнянь, опісиваюціх амплітудно-фазову модуляцію нелінійних хвиль. Наводиться алгоритм приведення диференціальних рівнянь, що описують нелінійні багатохвильові процеси в розподілених системах, до нормальної форми. Вивчаються питання виникнення резонансу в нелінійних багатохвильових системах.

Еволюційні рівняння

Поширення слабонелінейних хвиль в пружних середовищах зазвичай описується квазілінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними
,
де і - Лінійні диференціальні матричні оператори, що характеризують інерційні та пружні властивості системи, тобто ; - Вектор нелінійних величин; - Малий параметр завдання, що характеризує міру нелінійності [1]. У будь-який момент часу шукані змінні системи відносяться до просторових координатах .
Нехай закон руху системи визначається функцією Лагранжа . Нехай при існує вироджений лагранжіан , Що виробляє лінеаризовані рівняння руху. Нехай рішення останніх "породжують" рівнянь представляється суперпозицією нормальних гармонійних хвиль:
.

Тут - Комплексні амплітуди хвиль [2]; - Швидко обертові хвильові фази; символ позначає комплексно зв'язані складові. Власні частоти і відповідні хвильові вектори пов'язані дисперсійним співвідношенням .
При малих значеннях рішення нелінійних рівнянь можна формально представити в тій же самій формі, що і в лінійному випадку, якщо не вважати малих просторово-часових варіацій амплітуд хвиль . Фізично, спектральне опис в нових координатах , Замість польових змінних , Пов'язане з виникненням нових просторово-часових масштабів і, відповідно, з поділом рухів на швидкі і повільні.
У цій замітці переважно будуть вивчатися лагранжевих нелінійні динамічні системи.
Щоб ясніше зрозуміти сутність еволюційних рівнянь, вводиться функція Гамільтона , Де . Далі розглядається вироджений гамільтоніан системи . Звідси випливає, що амплітуди лінеаризованої рішення , Що представляють собою константи інтеграції при , Повинні задовольняти наступному співвідношенню
,
де - Дужка Лі-Пуассона з слушно певними функціональними похідними. У свою чергу, при , Комплексні амплітуди є повільно мінливими функціями, так що . Це означає, що
(1) і ,
де різниця можна інтерпретувати як "вільну енергію" системи. Таким чином, якщо скаляр , То нелінійна "динамічна структура" повинна виникати спонтанно, навпаки, при системі потрібна деяка порція енергії для організації структури, в той час як випадок представляється прикордонним між цими двома станами. Зауважимо, що систему (1) можна формально переписати у вигляді
(2) ,
де - Векторна функція, одним з формальних аргументів якої, а саме , Є операція диференціювання по просторових координатах. У полярних координатах рівняння (2) приводяться до стандартної формі
(3) ; ,
де . У більшості випадків векторна функція представляється поруч по малому параметру , Що дозволяє застосовувати відомі асимптотичні методи дослідження.

Нормальна форма рівнянь

Розглядається натуральна [3] квазілінійних механічна система, рух якої характеризується лагранжевом рівняннями, представленими в квазінормальной матричній формі [2]
(4) і
з відповідними граничними та початковими умовами. Тут позначає комплексний -Мірний вектор рішення ( - Матриця лінійного нормализующего перетворення шуканих змінних , - одинична матриця); - діагональна матриця диференціальних операторів з власними значеннями , Де - Просторовий диференціальний оператор (очевидно [4], що ); - -Мірний вектор нелінійності , Представлений поряд з , Тобто
,
де - Однорідні векторні поліноми ступеня , Наприклад


Тут і - Деякі задані диференціальні оператори.
Поряд з системою (4) розглядається відповідна лінеаризовані підсистема
(5) і ,
аналітичне рішення якої, задовольняє відповідним крайовим і початкових умов, представляється суперпозицією нормальних хвиль
,
де - Постійні комплексні амплітуди; - Число нормальних хвиль -Го типу. Виникає питання - чи є суттєва різниця між цими двома системами, інакше кажучи, - наскільки істотно присутність малої нелінійності. У відповідності з теорією нормальних форм (див. наприклад [4]), рішення рівнянь (4) шукається у вигляді майже тотожного перетворення змінних, тобто
(6)
де - Невідома -Мірна векторна функція, компоненти якої формально представимо поруч по , Тобто майже білінійна форма:
(7) ,
Наприклад

де і - Невідомі коефіцієнти, які підлягають визначенню. При підстановці (6) в (4), виходять такі диференціальні рівняння з приватними похідними для знаходження :
.
Очевидно, що власні числа оператора , Що діє на поліноміальні компоненти функції , Тобто , Являють собою лінійні цілочисельні комбінації власних чисел оператора при різних значеннях векторів .
У першому наближенні виходять лінійні рівняння для знаходження нормализующего перетворення:
.
Будь-якої поліноміальної компоненті має власне число , Тобто , Де
або
,
в той час як в найнижчими наближенні розкладання по .
Аналогічно, у другому наближенні розкладання рішення по :

власні значення оператора можна виразити в наступному вигляді: , Де . Продовжуючи і далі подібні ітераційні процедури, можна побудувати шукане перетворення (7).
Таким чином, якщо хоча б одне власне значення оператора прагне до нуля, , То відповідні коефіцієнти ряду (7) прагнуть до нескінченності, тобто кажуть, що в системі настає резонанс порядку . В іншому випадку, якщо власні значення оператора не дорівнюють нулю, то системи (4) і (5) називаються формально еквівалентними, оскільки ряд (7) все ж таки може бути розбіжним. Якщо ж виявляється обмеженою аналітичною функцією, то системи (4) і (5) вважаються аналітично еквівалентними.
У теорії нормальних форм існує основна теорема Пуанкаре, накладає одночасно дуже сильні умови на спектральні параметри системи і на коефіцієнти нормализующего перетворення, для того щоб дві відповідні різні системи звичайних диференціальних рівнянь виявилися аналітично еквівалентними. У безлічі задач про коливання нелінійних механічних систем умови теореми Пуанкаре, як правило, не виконуються. Наприклад, основні типи резонансів другого порядку асоціюються з трьоххвилеві резонансними процесами, коли і ; Процесом генерації другої гармоніки, коли і .
Найбільш важливі випадки резонансів третього порядку наступні: чотирьох хвилевих резонансні процеси, при виконанні умов синхронізму: ; (Взаємодія двох пар хвиль), або за інших умов синхронізму і (Розпад високочастотної хвилі на трійку низькочастотних хвиль); вироджені трьоххвилеві резонансні процеси, при і ; Генерація третій гармоніки, при і .
В усіх наведених прикладах резонансів другого і третього порядків в загальному випадку спостерігається яскраво виражена амплітудна модуляція, глибина якої зростає, коли фазова расстройка прагне до нуля. Хвилі, фази яких задовольняють умовам фазового синхронізму, формують так звані резонансні ансамблі.
Нарешті, у другому нелінійному наближенні завжди присутні так звані нерезонансні взаємодії, коли умови фазового синхронізму вироджуються в наступні "тривіальні" випадки: крос-взаємодії пари хвиль, при і ; Самовпливу хвилі, і .
Нерезонансні взаємодії в основному характеризуються лише фазовою модуляцією хвиль.
Основна пропозиція цього пункту можна сформулювати наступним чином. Якщо в системі (4) немає резонансів, починаючи з порядку і до порядку включно, то слід очікувати, що нелінійність призведе лише тільки до малих поправкам до рішень відповідної лінеаризованої системи. Ці поправки будуть того ж порядку, , Що і міра нелінійності, і аж до часів .
Для отримання формально придатного перетворення (7) в резонансному випадку, слід переглянути структуру системи порівняння (5) у бік модифікації її правій частині:
(8) ; ,
таким чином, щоб нелінійні складові , Де - Однорідні поліноми -Го порядку, містили б тільки лише резонансні члени. У цьому випадку рівняння (8) асоціюються з так званими нормальними формами. У практичних завданнях, ряди зазвичай коротшають до одного-двох доданків відповідного порядку по .

Доречні наступні зауваження

Теорія нормальних форм досить просто узагальнюється на випадок так званих істотно нелінійних систем, оскільки малий параметр може бути опущений у виразах (4) - (8) без жодного збитку для кінцевого результату, при цьому і оператор може також залежати від просторової змінної .
Формально, власні значення оператора можуть бути довільними комплексними числами. Це означає те, що резонанси порядку можуть бути визначені і проклассифицировать навіть і для неколебательних процесів, наприклад стосовно до еволюційних рівнянь.

Резонанс в багатохвильових системах
Явище резонансу грає ключову роль в динаміці більшості фізичних систем. Інтуїтивно, резонанс асоціюється з одним приватним випадком силового порушення лінійних коливальних систем. Таке порушення супроводжується з більш-менш швидким зростанням амплітуди коливань при достатній близькості однією з власних частот коливань системи до частоти зовнішнього періодичного обурення. У свою чергу, у випадку так званого параметричного резонансу виникають певні раціональні співвідношення між власними частотами системи і частотою параметричного обурення. Таким чином, резонанс можна найпростіше класифікувати, згідно вище наведеним ескізу, за його порядку, починаючи з першого, , Якщо включити в розгляд та лінійні і нелінійні динамічні системи. Тому, в загальному випадку, поняття резонансу в коливальних системах може бути пов'язане з фізичним явищем, яке характеризується накопиченням енергії одним або кількома коливальними об'єктами за рахунок енергії іншої групи коливальних об'єктів, коли всі коливальні процеси об'єднані деяким просторово-тимчасовим спорідненістю. Так звані нерезонансні процеси, такі як крос-взаємодії і самовплив, також можуть бути включені в таке визначення, але зі спеціальною, який стосується їх специфічних динамічних властивостей.
Для широкого класу механічних систем зі стаціонарними крайовими умовами математичне визначення резонансу випливає з розгляду наступних усереднених функцій
(9) , При ,
де - Комплексні константи відповідні рішенням лінеаризованих еволюційних рівнянь (5); - Просторовий об'єм, займаний системою. Якщо функція зазнає скачок при заданих значеннях і , То систему слід віднести до резонансної [5]. Останнє підтверджується основними результатами теорії нормальних форм. Резонанс має місце за умови виконання умов фазового синхронізму
і .
Тут - Число резонансно взаємодіючих квазірармонік; - Деякі цілі числа ; і - Параметри малої розладу.
Приклад 1. Розглядаються лінійні поперечні коливання тонкої балки, підданого дії малої зовнішньої періодичної сили і параметричного збудження, згідно з рівнянням
,
де , , , , , і - Деякі відповідні константи, . Це рівняння переписується в стандартній формі
,

де , , . При , Рішення рівняння таке, де власні частоти задовольняють дисперсійних співвідношень . Якщо , Тоді малі амплітудні варіації задовольняють наступному рівнянню

де , - Групова швидкість амплітудної огинаючої. Усереднення правій частині цього рівняння, відповідно до (9), дає
, При ;
, При і ;
у кожному іншому випадку.
Відзначимо, що резонансні властивості системи з нестаціонарними крайовими умовами не завжди можуть бути виявлені за допомогою функції .
Приклад 2. Розглядаються рівняння, що описують коливання балки по моделі Бернуллі-Ейлера:

з граничними умовами ; ; . Після приведення рівнянь до стандартної форми і використанні формули (9), визначається скачок функції за умов
і .
У той же час, резонанс першого порядку, випробовуваний поздовжньої хвилею на частоті , Автоматично вже не визначається.

Література

1. Kaup PJ, Reiman A. and Bers A. Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. Interactions in a homogeneous medium, Rev. of Modern Phys., (1979) 51 (2), 275-309.
2. Ковригін Д.А., Потапов А.І. Нелінійна хвильова динаміка одновимірних пружних систем. Изв. вузів. ПНД, (1996) 4 (2), 72-102.
3. Маслов В. П. Операторні методи. М.: Наука, 1973, с.544.
4. Jezequel L., Lamarque C. - H. Analysis of nonlinear dynamical systems by the normal form theory, J. of Sound and Vibrations, (1991) 149 (3), 429-459.
5. Журавльов В.Ф., Климов Д. М. Прикладні методи в теорії коливань. М.: Наука, 1973, с.328.