Міністерство загальної та професійної

освіти Російської Федерації

Московський Державний Університет Економіки статистики та інформатики.

Реферат
з вищої математики
Тема: «Невизначений інтеграл»
Виконала:
Студентка:
Лобінов Л.А.
Сергієв Посад
2005
План:
1) Первісна та невизначений інтеграл
2) Таблиця інтегралів
3) Деякі властивості невизначеного інтеграла
4) Інтегрування методом заміни зміною або способом підстановки
5) Інтегрування по частинах
6) Раціональні дроби. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування
7) Інтегрування раціональних дробів
8) Інтеграли від ірраціональних функцій
1) Первісна та невизначений інтеграл
Розглянемо задачу: Дана функція f (x); потрібно знайти таку функцію F (x), похідна якої дорівнює f (x), тобто F ^'(x) = f (x).
Визначення: 1.Функция F (x) називається первообразной від функції f (x) на відрізку [a, b], якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність F ^'(x) = f (x).
Приклад. Знайти первісну від функції f (x) = x ^2. З визначення первісної випливає, що функція F (x) = х ³ / ³ є первісною, так як (х ³ / ³⁾ '= x ^2.
Легко бачити, що якщо для даної функції f (x) існує первообразная, то ця первообразная не є єдиною. Так, у попередньому прикладі можна було взяти в якості первісних наступні функції:
, Або взагалі (Де С-довільна постійна), так як   . З іншого боку, можна довести, що функціями виду вичерпуються всі Первісні від функції x ^2. Це випливає з наступної теореми.
Теорема. Якщо F ₁ (x) і F ₂ (х) - дві Первісні від функції f (x) на відрізку [a, b], то різниця між ними дорівнює постійному числу.
Доказ. У силу визначення первісної маємо
F ₁ '(х) = f (x), F _2' (х) = f (x) (1)
При будь-якому значенні х на відрізку [a, b].
Позначимо
F ₁ (х) - F ₂ (х) = φ (х). (2)
Тоді на підставі рівностей (1) буде F _'1 (х) - F' ₂ (х) = f (x) - f (x) = 0 або φ '(х) = [F' ₁ (х) - F ' ₂ (х)] '≡ 0 при будь-якому значенні х на відрізку [a, b]. Але з рівності φ '(х) = 0 випливає, що φ (х) є постійна. Дійсно, застосуємо теорему Лагранжа до функції φ (х), яка, очевидно, безперервна і диференціюється на відрізку [a, b]. Яка б не була точка х на відрізку [a, b], ми маємо в силу теореми Лагранжа φ (х) - φ (а) = (х-а) φ '(z), де а <z <x.Так як φ '(z) = 0, то φ (х) - φ (а) = 0, або φ (х) = φ (а). (3)
Таким чином, функція φ (х) у будь-якій точці х відрізка [a, b] зберігає значення φ (а), а це означає, що функція φ (х) є постійною на відрізку [a, b]. Позначаючи постійну φ (а) через С, з рівностей (2) та (3) отримуємо F ₁ (х) - F ₂ (х) = С.
З доведеної теореми випливає, що якщо для даної функції f (x) знайдена якась одна первообразная F (x), то будь-яка інша первообразная для f (x) має вигляд F (x) + С, де С = const /
Визначення 2. Якщо функція F (x) є первісною для f (x), то вираз F (x) + С називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається ∫ f (x) dx.Такім чином за визначенням, ∫ f (x) dx = F (x) + С, якщо F ^'(x) = f (x). При цьому функцію f (x) називають подинтегральной функцією, f (x) dx-Фундаментальний вираз, знак ∫ - знаком інтеграла.
Таким чином, невизначений інтеграл представляє собою сімейство функцій y = F (x) + С.
З геометричної точки зору невизначений інтеграл представляє сукупність (сімейство) кривих, кожна з яких виходить шляхом зсування однієї з кривих паралельно самій собі вгору або вниз, тобто уздовж осі Оу.
Природно виникає питання: для будь-якої чи функції f (x) існують Первісні (а значить, і невизначений інтеграл)? Виявляється, що на для всякої. Зауважимо, проте, без доказу, що якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], то для цієї функції існує первообразная (а значить, і невизначений інтеграл).
Знаходження первісної для даної функції f (x) називається інтегруванням функції f (x).
Зауважимо наступне: якщо похідна від елементарної функції завжди є елементарною функцією, то первообразная від елементарної функції може виявитися і не представимо за допомогою кінцевого числа елементарних функцій. З визначення 2 слід:
1.Проізводная від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, т.е.еслі F ^'(x) = f (x), то й
(∫ f (x) dx) '= (F (x) + C)' = f (x). (4)
Остання рівність треба розуміти в тому сенсі, що похідна від будь-якої первообразной дорівнює підінтегральної функції.
2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює Фундаментальний вираз:
d (∫ f (x) dx) = f (x) dx. (5)
Це виходить на підставі формули (4).
3. Невизначеного інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції плюс довільна постійна:
∫ dF (x) = F (x) + C.
Справедливість останнього рівності легко перевірити диференціюванням (диференціали від обох частин рівності рівні dF (x)).
2. Таблиця інтегралів.
Перш ніж приступити до викладу методів інтегрування, наведемо таблицю інтегралів від простих функцій.
1. = . (Тут і в наступних формулах під З розуміється
довільна постійна.).
2. = .
3. =
4. =
5. = .
6. = .
7. = .
8. = .
9. = .
10. =
11. = .
11 '. = .
12. = .
13. = .
13 ' = .
14. = .
Справедливість формул 7,8,11 ', 12,13' і 14 легко встановлюється за допомогою диференціювання.
У випадку формули 7 маємо '= ,
отже, .
У випадку формули 8
'= ,
отже, = .
У випадку формули 12
'= ,
отже, = .
У випадку формули 14

отже, = .
3). Деякі властивості невизначеного інтеграла
Теорема 1. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох або кількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх інтегралів:
(1)
З докази знайдемо похідні від лівої і правої частин цієї рівності. На підставі рівності (4) пункту № 1 знаходимо

Таким чином, похідні від лівої і правої частин рівності (1) рівні між собою, тобто похідна від будь-якої первообразной, що стоїть в лівій частині, дорівнює похідною від будь-якої функції, що стоїть в правій частині рівності. Отже по теоремі з пункту № 1 будь-яка функція, що стоїть в лівій частині рівності (1), відрізняється від будь-якої функції, що стоїть в правій частині рівності (1), на постійний доданок. У цьому сенсі і треба розуміти рівність (1).
Теорема 2. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто якщо a = const, то
(2)


Для доказу рівності (2) знайдемо похідні від лівої і правої його частин:

Похідні від правої і лівої частин рівні, отже, як і у рівності (1), різниця двох будь-яких функцій, що стоять ліворуч і праворуч, є постійна. У цьому сенсі і слід розуміти рівність (2).
При обчисленні невизначених інтегралів буває корисно мати на увазі наступні правила.
1). Якщо

то
(3)
Дійсно, диференціюючи ліву і праву частини рівності (3) отримаємо
Похідні від правої і лівої частин рівні, що й потрібно було довести.
2). Якщо

то
(4)
3. Якщо

то
. (5)
Рівності (4) і (5) доводяться диференціюванням правої і лівої частин рівності.
Приклад 1.

=
Приклад 2.

=
=
Приклад 3.
.
Приклад 4.

Приклад 5.

4) Інтегрування методом заміни зміною або способом підстановки
Нехай потрібно знайти інтеграл , Причому безпосередньо підібрати первісну для f (x) ми не зможемо, але нам відомо, що вона існує.
Зробимо заміну змінної в Фундаментальний вираз, поклавши
x = φ (t), (1)
де φ (t)-безперервна функція з безперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді dx = φ '(t) dt; доведемо, що в цьому випадку має місце рівність:
(2)
Тут мається на увазі, що після інтегрування в правій частині рівності замість t буде підставлено його вираз через х на підставі рівності (1).
Для того щоб встановити, що висловлювання, які стоять праворуч і ліворуч, рівні у вказаному вище значенні, потрібно довести, що їх похідні по х рівні між собою. Знаходимо похідну від лівої частини: Праву частина рівності (2) будемо диференціювати по х як складну функцію, де t-проміжний аргумент. Залежність t від х виражається рівністю (1), при цьому і за правилом диференціювання оберненої функції .
Таким чином, маємо

Отже, похідні від х від право й і лівої частин рівності (2) рівні, що й потрібно було довести.
Функцію слід вибирати так, щоб можна було вирахувати невизначений інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (2).
Зауваження. При інтегруванні іноді доцільніше підбирати заміну змінної не у вигляді , А у вигляді   Проілюструємо це на прикладі. Нехай потрібно обчислити інтеграл, що має вигляд
               .
Тут зручно покласти
                                                                                                                                                                                    
,
тоді
.
Наведемо кілька прикладів на інтегрування за допомогою заміни змінних.
Приклад 1.
Зробимо підстановку t = sin x; тоді dt = cosx dx і, отже,

Приклад 2.
Вважаємо t = 1 + x ^2; тоді dt = 2xdx і

Приклад 3.
Вважаємо ; Тоді dx = a dt,

Приклад 4. . Вважаємо ; Тоді dx = a dt,

(Передбачається, що a> 0).
У прикладах 3 і 4 виділені формули, наведені в таблиці інтегралів під номерами 11'і 13 '(див. вище, пункт № 2).
Приклад 5. Вважаємо t = lnx; тоді
.
Приклад 6. ? Вважаємо ; Тоді dt = 2xdx,

Метод заміни змінних є одним з основних методів обчислення невизначених інтегралів. Навіть у тих випадках, коли ми інтегруємо яким-небудь іншим методом, нам часто доводиться в проміжних обчисленнях вдаватися до заміни змінних. Успіх інтегрування залежить значною мірою від того, чи зуміємо ми підібрати таку вдалу заміну змінних, яка спростила б даний інтеграл. По суті кажучи вивчення методів інтегрування зводиться до з'ясування того, яку треба зробити заміну змінної при тому чи іншому вигляді Фундаментальний вираз. Цьому присвячені велика частина цього пункту.
5) Інтегрування по частинах
Нехай u та v два диференціюються функції від х. Тоді, як відомо, диференціал твори uv обчислюється за наступною формулою: d (uv) = udv + vdu.Отсюда, інтегруючи, отримуємо або
. (1)
Остання формула називається формула інтегрування частинами. Ця формула найчастіше застосовується до інтегрування виразів які можна так представити у вигляді добутку двох співмножників u і dv, щоб відшукати функцію v за її диференціалу dv та обчислення інтеграла становили в сукупності завдання більш просту, ніж безпосереднє обчислення інтеграла . Уміння розбивати розумним чином дане Фундаментальний вираз на множники u і dv виробляється в процесі виконання завдання, і ми покажемо на ряді прикладів, як це робиться.
Приклад 1. ? Покладемо u = x, dv = sinxdx; тоді du = dx, v =-cosx.Следовательно,
.
Зауваження. При визначенні функції v по диференціалу dv ми можемо брати будь-яку довільну постійну, так як в кінцевий результат вона не входить (що легко перевірити, підставивши в рівність (1) замість v вираз v + C). Тому зручно вважати цю постійну рівною нулю.
Правило інтегрування по частинах застосовується в багатьох випадках. Так, наприклад, інтеграли виду

деякі інтеграли, що містять зворотні тригонометричні функції, обчислюються за допомогою інтегрування по частинах.
Приклад 2. Потрібно обчислити . Покладемо u = arctg x, dv = dx; тоді . Отже,

Приклад 3. Потрібно обчислити . Покладемо тоді
.
Останній інтеграл знову інтегруємо по частинах, вважаючи
Тоді
. Остаточно будемо мати
.
6) Раціональні дроби. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування
Як ми побачимо нижче, далеко не всяка елементарна функція має інтеграл, що виражається в елементарних функціях. Тому дуже важливо виділити такі класи функцій, інтеграли яких виражаються через елементарні функції. Найпростішим з цих класів є клас раціональних функцій.
Всяку раціональну функцію можна представити у вигляді раціонального дробу, тобто у вигляді відношення двох многочленів:

Не обмежуючи спільності міркування, будемо припускати, що ці многочлени не мають спільних коренів.
Якщо ступінь чисельника нижче ступеня знаменника, то дріб називається правильною, у противному випадку дріб називається неправильним.
Якщо дріб неправильна, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна представити цю дріб у вигляді суми многочлена і деякою правильної дробу:
;
тут М (х)-многочлен, а - Правильна дріб.
Приклад. Нехай дана неправильна раціональний дріб

Розділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), отримаємо
.
Так як інтегрування многочленів не становить труднощів, то основна трудність при інтегруванні раціональних дробів полягає в інтегруванні правильних раціональних дробів.
Визначення. Правильні раціональні дроби виду
(1).
(2). (K-ціле позитивне число
(3) (Коріння знаменника комплексні, тобто ).
(4) (K-ціле позитивне число ; Коріння знаменника комплексні), називаються простими дробами (1), (2), (3) і (4) типів.
Інтегрування найпростіших дробів типу (1), (2) і (3) не становить великих труднощів, тому ми наведемо їх інтегрування без будь-яких додаткових пояснень:
(1)
(2)

(3)
=
Більш складних обчислень вимагає інтегрування найпростіших дробів (4) типу. Нехай нам дано інтеграл такого типу:
(4)
Зробимо перетворення:

Перший інтеграл береться підстановкою :

Другий інтеграл-позначимо його через I _{k-запишемо} у вигляді
,
вважаючи

(За припущенням коріння знаменника комплексні, а отже, ). Далі поступаємо таким чином:
.
Перетворимо інтеграл:

Інтегруючи по частинах, будемо мати
.
Підставляючи цей вираз у рівність (1), отримаємо

=
= .
У правій частині міститься інтеграл того ж типу, що , Але показник ступеня знаменника підінтегральної функції на одиницю нижче ; Таким чином, ми висловили через Продовжуючи йти тим же шляхом, дійдемо до відомого інтеграла:

Підставляючи потім всюди замість t і m їх значення, отримаємо вираз інтеграла (4) через х і задані числа А, B, p, q.
7) Інтегрування раціональних дробів
Нехай потрібно обчислити інтеграл від раціонального дробу Якщо дана дріб неправильна, то ми представляємо її у вигляді суми многочлена M (x) і правильною раціонального дробу . Останню ж представляємо за формулою у вигляді суми найпростіших дробів. Таким чином, інтегрування всякої раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена і кількох найпростіших дробів.
Вид найпростіших дробів визначається коренями знаменника f (x). Тут можливі наступні випадки.
1.Случай.
Коріння знаменника дійсні та різні, тобто
F (x) = (xa) (xb) ... (xd).
У цьому випадку дріб розкладається на найпростіші дроби 1тіпа:

і тоді

2. Випадок.
Коріння знаменника дійсні, причому деякі з них кратні:

У цьому випадку дріб розкладається на найпростіші дроби 1 та 2 типів.
Приклад 1.

3. Випадок.
Серед коренів знаменника є комплексні неповторювані (тобто різні):

У цьому випадку дріб розкладається на найпростіші дроби 1,2 і 3 типів.
Приклад 2.Требуется обчислити інтеграл
. Розкладемо подинтегральной дріб на найпростіші:

Отже,
.
Вважаючи х = 1, отримаємо 1 = 2С, С = Ѕ; вважаючи х = 0, отримаємо 0 =-B + C, B = 1 / 2.
Прирівнюючи коефіцієнти при , Отримаємо 0 = А + С, звідки А = - Ѕ. Таким чином,

4. Випадок.
Серед коренів знаменника є комплексні кратні:

У цьому випадку розкладання дробу буде містити і найпростіші дроби 4 типи.
Приклад 3. Потрібно обчислити інтеграл
.
Рішення. Розкладаємо дріб на найпростіші:

звідки

Комбінуючи зазначені вище методи визначення коефіцієнтів, знаходимо А = 1, В = - 1, С = 0, D = 0, Е = 1.
Таким чином, отримуємо

З усього викладеного випливає, що інтеграл від будь-якої раціональної функції може бути виражений через елементарні функції в кінцевому вигляді, а саме:
1) через логарифми-у випадках найпростіших дробів 1 типу;
2) через раціональні функції-у випадку найпростіших дробів 2 типу
3) через логарифми і арктангенс-у випадку найпростіших дробів 3 типи
4) через раціональні функції і арктангенс-у випадку найпростіших дробів 4 типи.
5) Інтеграли від ірраціональних функцій
Не від всякої ірраціональної функції інтеграл виражається через елементарні функції. Зараз ми розглянемо ті ірраціональні функції, інтеграли від яких за допомогою підстановок приводяться до інтегралів від раціональних функцій і, отже, до кінця інтегруються.
1.Рассмотрім інтеграл , Де R-раціональна функція своїх аргументів [1]).
Нехай R-загальний знаменник дробів m / n, ... r / s. Зробимо підстановку . Тоді кожна дробова ступінь х виразиться через цілу ступінь t і, отже, підінтегральна функція перетворюється в раціональну функцію від t.
Приклад 1. Потрібно обчислити інтеграл
.
Рішення. Спільний знаменник дробів 1 / 2, 3 / 4, є 4; тому робимо підстановку ; Тоді

= .
2.Рассмотрім тепер інтеграл виду

Цей інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки

де - Загальний знаменник дробів m / n, ... r / s.
Приклад 2. Потрібно обчислити інтеграл
.
Рішення. Робимо підстановку тоді

=