Лекція 1. Вступна
Нарисна геометрія - розділ геометрії, в якому просторові форми з їх геометричними закономірностями вивчаються у вигляді їх зображень на площині.
Основоположником нарисної геометрії, як науки, є французький вчений 18 століття Гаспар Монж, систематизував усі існуючі знання в цій області і створив працю «Geometry descriptive», виданий в 1799 р.. Г. Монж говорив, що «... потрібно привчити користуватися нарисної геометрією всіх здібних молодих людей, як багатих, для того, щоб вони були в стані вживати свої капітали з користю - одно для себе і держави, так і для тих, у яких освіта є єдиним багатством, для того, щоб вони могли збільшити ціну своєї праці ».
У Росії вперше цей предмет був введений в Московському вищому училищі в 1810 році в Інституті шляхів сполучення в Петербурзі.
«Креслення - це мова техніки», - говорив Г. Монж, а проф. Курдюмов продовжував цю думку: «А нарисна геометрія - це граматика цієї мови, тому що вчить нас правильно читати чужі та викладати наші власні думки, користуючись як слів тільки лініями і точками, як елементами всякого зображення ».
Нарисна геометрія ставить перед собою 2 завдання:
1. Пряма - навчитися зображати на площині за оригіналом тривимірні геометричні об'єкти.
2. Зворотній - по заданому кресленням відновити становище оригіналу в просторі.
Існують центральний і паралельний методи проектування. Розглянемо перший.
Метод центрального проектування
Якщо дана деяка площину П 1, яку ми назвемо площиною проекцій, центр проекцій S поза нею, а також точку А, то провівши через т. А з центру S проектує промінь, ми отримаємо проекцію т. А на пл. проекцій П 1. Якщо таких довільно розташованих точок буде кілька, то в результаті ми отримаємо якусь конічну поверхню, тому цей метод називається ще і конічним. При такому способі проектування немає розмірного відповідності між зображенням і моделлю. (Малюнок 1)
Малюнок 1 Малюнок 2
Метод паралельного проектування
У тих випадках, коли розмірне відповідність обов'язково, використовують метод паралельного або циліндричного проектування, коли центр проектування знаходиться в нескінченності і проектують промені паралельні між собою (малюнок 2). Як фіксованого базису використовують три взаємно-перпендикулярних площині проекцій.
Перша з них називається фронтальною площиною і позначається латинською літерою V. Вона стаціонарне. А проекціям точок цієї площини присвоюють індекс цій же площині, наприклад А v, А н, А w.
Друга пл. проекцій, розташована горизонтально, так і називається - горизонтальна і позначається - Н. Для отримання плоского креслення її повертають відносно осі ох передню підлозі вниз, задню вгору.
Третя площина розташована, як і перша вертикально, але перпендикулярна до фронтальної, і розгортається проти годин стрілки навколо осі oz при суміщенні площин в єдину і називається профільної - W.
Ці три площини взаємно перпендикулярні і ділять простір на 8 кутів - октантів.
Перетинаючись між собою, три площини утворюють лінії перетину - осі.
V ∩ H Þ ox (вісь абсцис); H ∩ W Þ oy (вісь ординат); V ∩ W Þ oz (вісь аплікат).
Нижче на кресленні представлена модель простору-густо зображення її на площині.
Рисунок 3 Рисунок 4
При цьому слід пам'ятати, що проектують промені паралельні між собою і перпендикулярні до площин проекцій.
При проектуванні ми будемо використовувати такі геометричні образи як точка, пряма, площина, об'ємні тіла.
Точка
Точка - це геометричний образ, який не має вимірів. Проекцією точки є підстава перпендикуляра проецирующей променя, опущеного на площину проекцій із заданої просторової точки. Точка може бути задана на кресленні своїми координатами, наприклад: А (20, 30, 15,) або проекціями.
Х - вказує на відстань до профільної площини проекцій, Y - до фронтальної, Z - до горизонтальної.
Ортогональний креслення точки утворюється при проведенні ліній зв'язку з відповідних координат. На перетині цих, перпендикулярних між собою ліній і утворюються проекції точок.
X, Y Þ A h; X, Z Þ A v; Y, Z Þ A w.
Лінія зв'язку - це пряма, що з'єднує дві проекції точки. Слід пам'ятати, що фронтальна A v і профільна A w проекції точки завжди знаходяться на горизонтальній лінії зв'язку, а фронтальна A v і горизонтальна A h - на вертикальній
Існує 3 способи отримання третього проекції:
1. Проекційний, коли ніжка циркуля встановлюється в початок координат О, і розчином циркуля, рівним координатою проводиться дуга до перетину з віссю ох.
2. За допомогою постійної креслення k-45 °, коли з початку координат під кутом 45 ° проводять пряму.
3. Координатний (найточніший і тому кращий), коли на лінії зв'язку А v - А w від осі Z відкладають координату Y.
Класифікація точок у просторі
Просторова точка А перебуває (Î) в просторі R, коли жодна з її координат не дорівнює 0.
Якщо одна з кордінат = 0, а інші не рівні, то в загальному випадку точка належить площині проекцій. Так, якщо:
1. Х = 0, а Y, Z ¹ 0, то точка належить профільної площини проекцій.
2. Y = 0, а X, Z ¹ 0, то точка належить фронтальній площині проекцій.
3. Z = 0, а X, Y ¹ 0, то точка належить горизонтальній площині проекцій.
Якщо дві координати точки = 0, то точка знаходиться на осі. Так, якщо:
1. Y, Z = 0, а X ¹ 0, то точка знаходиться на осі X,
2. X, Z = 0, а Y ¹ 0, то точка знаходиться на осі Y,
3. Х, Y = 0, а Z ¹ 0, то точка знаходиться на осі Z
Коли точка лежить на початку координат О - (орігамі - початок, лат.), То всі її координати рівні 0.
При виконанні креслень і вирішенні завдань не завжди потрібна третя проекція, тому в таких випадках користуємося системою двох взамно-перпендикулярних площин V і H. Наприклад, епюри точок А, В, С, D, E, F в системі чвертей виглядають наступним чином:
Рисунок 5
Перевірте себе, чи знаєте ви:
Що вивчає предмет «Нарисна геометрія»?
Чим відрізняються методи центрального і паралельного проектування?
Що таке площині проекцій, скільки кутів у просторі вони утворюють, перетинаючись між собою?
Як утворюється плоский креслення (епюр)?
Визначення точки в просторі і способи завдання її на кресленні.
Способи побудови третю проекцію точки.
Класифікацію точки в просторі.
Чи можете ви за кресленням визначити, як у просторі розташована крапка? (Див. малюнок 5).
Лекція 2
Пряма
Пряма - це безліч точок з одним виміром. Пряма на кресленні може бути задана проекціями точок або точкою і напрямком. У просторі пряма нескінченна і для її обмеження використовуються терміни і поняття - відрізок, промінь.
Положення прямої в просторі:
Пряма у просторі може займати 7 різних положень щодо площин проекцій.
Лінії рівня - це прямі, паралельні тільки до однієї площини проекцій, на яку проектуються у натуральну величину:
а) фронтальна f б) горизонтальна h в) профільна p
Рисунок 1
Проектують прямі - прямі, паралельні двом площинам проекцій і перпендикулярні до третьої. На дві пл. проекцій проектуються у натуральну величину на третю - в точку.
а) горізонт.-проектую. m, б) фронт.-проектую. в) проф.-проектую. р
Рисунок 2
Лінії загального положення - це лінії, які ні на одну з площин проекцій не проектується в натуральну величину. Для такої прямої
1. Z А - Z У ¹ 0 2. Y А - Y В ¹ 0, 3. X А - X У ¹ 0,
Рисунок 3
Метод прямокутного трикутника
Щоб визначити натуральну величину (Н.В). прямий загального стану та кути її нахилу до пл. проекцій, необхідно скористатися методом прямокутного трикутника.
Рисунок 3
Розподіл відрізка в заданому відношенні
Нехай потрібно відрізок АВ розділити точкою С в заданому відношенні СА: СВ = 2: 3. З точки А проведемо в довільному напрямі допоміжну пряму і на ній відкладемо 2 +3 = 5 рівних масштабних відрізків будь-якої довжини, отримавши відрізок А5. Точки 5 і В з'єднаємо прямою. Через точку 2 проведемо пряму, паралельну В5, в перетині цієї прямої з відрізком АВ отримаємо шукану точку С. відрізку СА відповідають два масштабних відрізка на допоміжній прямий, а відрізку СВ - три таких відрізка. Точка С ділить відрізок АВ у відношенні 2: 3.
Рисунок 4
Відносне положення точки і прямої в просторі
Можливі два випадки:
1. А є l 2. А Ï l
Якщо точка належить прямій, то на епюрі їх однойменні проекції збігаються.
1.Точка D є l, тоді Dh є lh, Dv є lv, Dw є lw
Завдання 1.
По заданому кресленню визначити положення точок відносно заданої прямої.
Рисунок 5
Сліди прямої
Сліди прямої - це точки перетину прямої або її продовження з площинами проекцій. У горизонтального сліду Z = 0, у фронтального Y = 0.
Для того щоб знайти горизонтальний слід, необхідно фронтальну проекцію прямої продовжити до перетину з віссю Х. і провести лінію зв'язку до перетину її з горизонтальною проекцією прямої.
Щоб знайти фронтальний слід, необхідно горизонтальну проекцію прямий продовжити до перетину з віссю Х і провести лінію зв'язку до перетину її з фронтальною проекцією прямої.
Малюнок 6
Взаємне положення прямих відносно один одного.
Прямі можуть бути перетинатися між собою і тоді точки перетину їх однойменних проекцій лежать на одній лінії зв'язку (малюнок а).
Прямі можуть схрещуватися між собою і тоді точки перетину їх однойменних проекцій не лежать на одній лінії зв'язку (малюнок б).
Прямі можуть бути паралельні між собою і тоді їх однойменні проекції також паралельні між собою (малюнок с).
а) б) в)
Малюнок 7
Перевірте себе:
1. Що таке пряма?
2. Способи завдання прямій на кресленні.
3. Положення прямої в просторі щодо площин проекцій.
4. У чому полягає сутність методу прямокутного трикутника?
5. Розподіл прямої в заданому відношенні.
6. Що таке сліди прямий і як побудувати їх проекції?
7. Взаємне положення прямих у просторі.
Лекція 3
Площина
Площина - це безліч точок з двома вимірами. Визначником площині є три точки. Через одну і дві точки можна провести безліч площин, і тільки через три точки можна провести єдину площину. Площина безмежна, але якщо її обмежують будь-яким контуром, то вона називається відсіком
Існує шість способів завдання площин (рис. 1):
трьома крапками,
прямий і точкою, не лежить на цій прямій,
двома паралельними прямими,
двома пересічними прямими,
плоскою фігурою,
слідами
Рисунок 1
Щодо площин проекцій площину задана може займати шість різних положень:
площині рівня: горизонтальна (1), фронтальна (2) і профільна (3), які паралельні відповідним площинах проекцій, і перпендикулярні двом іншим (малюнок 1),
проектують площині: горизонтально-проектують (4), фронтально-проектують (5), профільно-проектують (6), які перпендикулярні тільки до однієї площини проекцій (рис. 1),
площину загального положення, не паралельна і не перпендикулярна до жодної з площини проекцій (рис. 2).
Рисунок 2
З рисунка 2 видно, що сліди площин є ніщо інше, як нульові горизонталі і фронталі, пересічні між собою на осі ОХ, але для простоти обидва сліду позначають однією і тією ж буквою.
Прямі лінії й точки в площині
Пряма лінія належить площині, якщо:
а) вона проходить через дві точки цій площині (рисунок 3а);
б) сліди прямий лежать на однойменних слідах площині (рисунок 3б - окремий випадок п.1);
в) вона проходить через довільну точку заданої площині паралельно будь-якої прямої цій площині (рисунок 3в).
а) б) в)
Рисунок 3
Головні лінії площини
Це прямі:
Горизонталь, h - це пряма, що лежить в площині заданою і паралельна горизонтальній площині проекцій (малюнки 4 а, б, в).
Фронталь, f - пряма, що лежить в заданій площині і паралельна фронтальній площині проекцій (малюнок 4).
а) б) в) г)
Рисунок 4
Лінія найбільшого ската, 1-2 (рисунок 4 г) - пряма, що належить заданій площині і перпендикулярна до її горизонталях і фронталь. Прямий кут, складений л.н.с. площині з її горизонталлю, проектується на горизонтальну площину без спотворення.
Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, що належить цій площині.
Завдання
Вказати, які з заданих на кресленні точок, належать площині Р.
Рисунок 5
Перевірте себе:
Що являє собою площину?
Що є визначником площині?
Скільки існує способів завдання площин? Назвіть їх.
Які положення щодо площин проекцій може займати у просторі площину?
Умови приналежності прямої площини.
Умови приналежності точки площині.
Що являють собою головні лінії площині?
Лекція 4
Взаємне положення площин у просторі
Площині можуть бути між собою паралельні, можуть перетинатися і, як окремий випадок перетину, можуть бути перпендикулярні один до одного (див. відповідно малюнок 5 - а, б та в).
Рисунок 5
Якщо площині паралельні між собою, то одна з них проходить через пряму, паралельну цій площині. Однойменні сліди таких площин паралельні між собою.
Завдання 1. Через точки А і В провести площині Р (Р н, Р v) і Р (m ∩ n) паралельну площині (рисунок 6).
Малюнок 6 Малюнок 7
Задача 2
Перевірити, паралельні чи між собою площині b (F ∩ h) і S (m ∩ n) (малюнок 7).
Пересічні площині.
Щоб побудувати лінію перетину двох площин, необхідно визначити їх дві спільні точки. Або одну спільну точку і через неї провести пряму паралельно будь-якої прямої іншій площині.
Якщо обидві площини задані слідами, то загальні точки знаходять на перетині однойменних слідів (малюнок 8 а, б, в, г,). В інших випадках вводяться допоміжні площині - посередники (8 е).
Задача 3
Побудувати лінії перетину двох площин.
а) б) в) г) д) е)
Малюнок 8
Лекція 5
Пряма і площина
Пряма може бути паралельна площині (як окремий випадок належати їй) і може перетинати її, у тому числі і під прямим кутом.
1. Пряма, паралельна площині
Якщо пряма паралельна будь-якої прямої площини, то вона паралельна і самій площині (рисунок 8).
Малюнок 8
2. Точка зустрічі прямої і площини
Щоб визначити точку зустрічі прямої і площини, необхідно:
укласти пряму в площину, тобто через задану пряму провести площину, якій вона б належала (малюнок 9).
Малюнок 7
2) побудувати лінію перетину цих площин
3) на перетині заданої прямої і лінії перетину і буде перебувати шукана точка.
Приклади
Рисунок 10
3. Пряма перпендикулярна площині
Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна двом пересічним прямим цій площині.
Щоб провести перпендикуляр до площини на епюрі, необхідно з фронтальної проекції точки провести перпендикуляр на фронтальну проекцію фронталі (або фронтальний слід), а з горизонтальної проекції - перпендикуляр на горизонтальну проекцію горизонталі (або горизонтальний слід площини, який, власне і є нульовою горизонталлю).
Для знаходження точки зустрічі перпендикуляра з площиною, необхідно скористатися правилом, раніше розглянутим, для знаходження точки зустрічі прямий і площиною.
Задача 1
З точки А. опустити перпендикуляр на пл. Р.
Рисунок 11
Задача 2
З точки А площині Р відновити перпендикуляр і, вибравши на ньому довільну точку, визначити її відстань до цієї площини.
Рисунок 12
Площина, перпендикулярна до іншої тоді, коли вона проходить через пряму, перпендикулярну до цієї площини (малюнки 13 а і в).
Якщо сліди площин взаємно перпендикулярні-, це ознака того, що площини не перпендикулярні.
а) в) с)
Рисунок 13
Перпендикулярність геометричних елементів
Проектування кутів
1. Довільний кут між двома довільними проектується без спотворення тільки на ту площину, якій він паралельний.
2. Теорема.
Прямий кут між двома прямими проектується на площину в натуральну величину, якщо одна із сторін цього кута паралельна цій площині.
Рисунок 14
Перевірте себе:
1. Які положення відносно один одного займають площини в просторі?
2. У чому полягає ознака паралельності двох площин?
3. У чому полягає ознака перпендикулярності двох площин?
4. У чому полягає ознака паралельності прямої і площини?
5. У чому полягає ознака перпендикулярності прямої і площини?
6. У чому сенс теореми прямого кута?
Лекція 6
Методи перетворення
Існує два методи перетворення:
Метод обертання, сутність якого полягає в тому, що площині проекцій залишаються незмінними, а геометричний об'єкт обертається в просторі навколо заданої осі таким чином, як це необхідно для виконання завдання.
У свою чергу, метод обертання підрозділяється на:
а) обертання навколо осей перпендикулярних до площин проекцій:
На малюнку 1а - навколо фронтально-проецирующей осі точка повертається на 30 °, на 1б - навколо горизонтально-проецирующей осі т. А обертається до збігу з пл. Р
а) б)
Рисунок 1
б) обертання трикутника АВС навколо горизонтальної лінії рівня дає нам його натуральну величину (малюнок 2):
Рисунок 2 Рисунок 3
в) обертання відрізка АВ навколо горизонтального сліду площини R до сполучення з горизонтальною площиною проекцій, на якій відображається Н.В. АВ і кути його нахилу до площин проекцій (окремий випадок обертання навколо горизонтальної лінії рівня) - (рисунок 3);
г) обертання без вказівки осей (метод плоско-паралельного переміщення) - рисунок 4. на якому ми також отримуємо натуральну величину відрізка АВ;
Рисунок 4
Суть методу плоскопараллельного переміщення полягає в тому, що площині проекцій залишаються незмінними, а геометричний об'єкт змінює своє положення так, як це необхідно для виконання завдання. При цьому одна з проекцій залишається незмінною за величиною і пропорціями, міняючи тільки своє становище, а точки інший переміщуються паралельно між собою і другій площині проекцій.
2 - метод заміни площин проекцій - його сутність полягає в тому, що геометричний елемент залишається нерухомим, а вводиться додаткова площину проекцій, на яку г.о. проектується як це необхідно за умовами задачі.
На малюнку 5 натуральна величина відрізка АВ знайдена вищевказаним методом.
Рисунок 5