ЛЕНІНГРАДСЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ І ФІНАНСІВ
Факультет менеджменту
Кафедра вищої математики
ЗВІТ
про лабораторній роботі № 5
з дисципліни: «Економіко-математичне моделювання»
на тему: «Модель ринкової економіки Кейнса»
варіант № 3
Виконав
студент денного відділення
факультету менеджменту
II курсу 241 групи
Погосян Т.Р.
Гатчина
2006
РОЗДІЛ 2. ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ
2.4. Економічний аналіз отриманих результатів
Введення
Класична модель давала відповідь на завдання пошуку рівноваги в економіці в умовах повної зайнятості. У моделі Кейнса показано, що рівновага при повній зайнятості не є загальним випадком. Загальний випадок - це рівновага при наявності безробіття, а повна зайнятість лише особливий випадок. Але як прийти до рівноваги, якщо економіка при певному збігу обставин далеко відійшла від рівноважного стану і характеризується масовим безробіттям? Щоб досягти бажаного стану повної зайнятості, держава зобов'язана проводити особливу політику щодо її досягнення, оскільки автоматично діючі ринкові сили без цієї підтримки не гарантують її досягнення. Розглянемо, як визначається рівноважний стан економіки в моделі, запропонованої Кейнсом.
Метою даної роботи є визначення умов рівноваги на ринках грошей і товарів, а також визначення параметрів моделі непрямим методом найменших квадратів.
Дана робота складається з вступу, двох розділів, висновків та двох додатків.
Перший розділ присвячено визначенню умов рівноваги на ринках грошей та товарів, дається постановка задачі, обчислюються показники, і дається економічний аналіз отриманих результатів.
Другий розділ роботи присвячена визначенню параметрів рівняння функції споживання в простій кейнсіанської моделі формування доходів, визначаються параметри рівняння регресії непрямим методом найменших квадратів, а також дається економічний аналіз отриманих результатів.
РОЗДІЛ 1. ВИЗНАЧЕННЯ УМОВ РІВНОВАГИ НА РИНКАХ ГРОШЕЙ І ТОВАРІВ
1.1. Постановка завдання
У моделі передбачається, що існує три види активів: гроші, облігації, фізичний капітал. Відносна ціна грошей, виражена в облігаціях, - це ставка відсотка за облігаціями. Передбачається, що в умовах рівноваги норма прибутку на фізичний капітал (тобто на наявний запас інвестиційних товарів) дорівнює ставці доходу за облігаціями.
Таким чином, з'являється можливість простежити, як грошово-кредитна політика впливає на виробництво. Наприклад, збільшення грошової маси шляхом друкування нових грошей змінює пропорції обміну між грошима та облігаціями. Якщо грошей стане більше, їх будуть зберігати тільки при зниженні норми відсотка на облігації (альтернативний вид активів), при цьому норма прибутку також повинна знизитися, оскільки облігації і капітал - близькі предмети.
Розглянемо тепер критерій максимуму прибутку по відношенню до капіталу (фондів) при фіксованому рівні зайнятості. Прибуток визначається за формулою:
П = p * F (K, L) - r * К, (1.1)
де р - ціна одиниці валового внутрішнього продукту;
К - капітал, залучений у виробництво;
L - трудові ресурси, залучені у виробництво;
r - норма прибутку (ставка відсотка).
Необхідна умова екстремуму:
оскільки
тобто гранична продуктивність фондів у вартісному вигляді дорівнює нормі прибутку (ставці відсотка).
Таким чином, падіння норми прибутку згідно (1.3) означає падіння граничного продукту капіталу, а оскільки граничний продукт падає з ростом К, то падіння норми прибутку з необхідністю передбачає збільшення попиту на інвестиційні товари, отже, і на товари в цілому. Простеживши всю причинно-наслідковий ланцюжок, бачимо, що порівняно невелике збільшення грошової маси призводить до зростання попиту на товари, відповідно, до зростання пропозиції товарів, тобто до збільшення кінцевого продукту.
Розглянемо більш детально ринок праці в моделі Кейнса. Нагадаємо, що в класичній моделі рівновага наступало при повній зайнятості, і рівноважне значення реальної заробітної плати
При цьому рівноважний кінцевий продукт визначається формулою: Y 0 = F (K, L 0), де L 0 - число зайнятих при повній зайнятості. Припустимо тепер, що з певних причин попит Е (на продукцію) виявився меншим пропозиції Y 0 при повній зайнятості. У цьому випадку, як вважав Кейнс, фактично вироблений кінцевий продукт Y буде дорівнює попиту: Y = E. Таким чином, фактична зайнятість буде менше повної зайнятості Y <Y 0. Це негайно вплине на ринок робочої сили у зв'язку з тим, що за інших рівних умов менший обсяг продукту можна зробити за допомогою меншого числа робітників, тобто L <L 0.
Таким чином, якщо в класичній моделі реальна заробітна плата (w / p) 0 визначала число зайнятих
Справа в тому, що виробники не можуть продати стільки, скільки вони хотіли б, але виробляють і продають тільки в обсязі попиту. Тому крива попиту на робочу силу, яка виводилася у припущенні максимізації прибутку, не може бути застосована.
Отже, основні нововведення моделі Кейнса в порівнянні з класичною моделлю полягають у наступному:
1. Рівновага на ринку товарів досягається при рівності планованого попиту і фактичної пропозиції.
2. Фактичний попит на робочу силу визначається фактично затребуваним продуктом, і, значить, рівновага на ринку робочої сили може бути досягнуто тоді, коли ринок товарів знаходиться в рівновазі.
У цілому модель Кейнса можна записати в наступному вигляді:
Ринок грошей:
M S = M S ; M D = K * p * Y + Lq (r),
M S = M D, (1.7)
де Lq (r) - попит на облігації в залежності від відсоткової ставки.
Y = E. (1.9)
При дослідженні поведінки економіки формули (1.5) - (1.9) повинні бути замінені конкретними залежностями, що відбивають поведінка ринків.
Розглянемо рівновагу на ринку товарів, вважаючи, що залежності C (Y), I (r) лінійні. У цьому випадку попит на споживчі товари росте лінійно з ростом пропозиції товарів:
C (Y) = a + b * Y, (1.10)
де а> 0, 0 <b <1.
Попит на інвестиційні товари лінійно зменшується з зростанням норми відсотка:
I (r) = d - f * r, (1.11)
де d> 0, f > 0.
У цьому випадку умова рівноваги (1.9) запишеться в такій формі:
звідки
тобто крива рівноваги на ринку товарів (крива IS) є лінійно-спадною функцією r і, отже, при фіксованому значенні r є єдине рівноважне значення Y G (r).
Розглянемо тепер рівновага на ринку грошей у припущенні, що попит на облігації Lq (r) лине:
Lq (r) = h - j * r. (1.14)
Умова рівноваги (1.7) при цьому запишеться в наступному вигляді:
Таким чином, крива рівноваги на ринку грошей (крива LM) є зростаючою лінійною функцією r, отже, за фіксованого r є єдине рівноважне значення Y M (r).
Загальна рівновага на ринках грошей і товарів досягається в тому випадку, коли:
Y G (R 0) = Y M (r 0) = Y 0, (1.16)
причому точка рівноваги (Y 0, r 0), тобто точка перетину кривих IS та LM єдина.
Загальна картина рівноваги може бути представлена графічно. При цьому в першому квадраті зображені криві IS і LM, а в четвертому квадраті виробнича функція економіки ПФ як функція трудових ресурсів, у третьому - криві попиту L D і пропозиції L S на робочу силу.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1.
На рис. 1. прийняті наступні позначення:
- R 0, Y 0, L 0, (w / p) 0, (w / p) n - відповідно, відсоткова ставка, кінцевий продукт, зайнятість, максимальний і мінімальний рівні реальної заробітної плати при неповної зайнятості;
- R 0, Y 0, L 0, (w / p) 0 - відповідно, відсоткова ставка, кінцевий продукт, зайнятість, рівень реальної заробітної плати при повній зайнятості.
Причинні зв'язки направлені від ринків товарів і грошей до ринку робочої сили через виробничу функцію. Причому ринок праці не є визначеним. Сукупна рівновага на ринках грошей і товарів однозначно визначає фактичну потребу в робочій силі Y 0 = F (K, L 0) і, якщо класична модель передбачає автоматичну тенденцію до повної зайнятості, то в моделі Кейнса такої немає.
Дійсно, нехай рівновага встановилася при зайнятості L 0 <L 0. Тоді, для того щоб домогтися повної зайнятості L 0, треба збільшити випуск продукції до Y 0 = F (K, L 0), що вимагало б змістити криву LM в положення LM 0. Як це видно з (1.15), такий зсув можна забезпечити при екзогенно заданому пропозиції грошей M S і фіксованих коефіцієнтах k і h тільки шляхом зниження цін р, але ніякого механізму зниження цін при фіксованій ставці заробітної плати w 0 в моделі Кейнса не закладено. Отже, для переходу до повної зайнятості потрібна спеціальна державна політика.
І ще одна особливість: рівень планованих витрат Е буває настільки високий, що виробництво Y не може досягти цього рівня. Це відбувається тоді, коли точка перетину кривих IS і LM має від'ємне значення норми відсотка.
Корекцією підходу Кейнса є монетаристський підхід до аналізу економіки, розвинений на початку 70-х років XX ст. Фрідменом. Суть відмінності в підходах Кейнса і Фрідмена в наступному. Кейнс вважав, що саме значний вплив на рух основних макроекономічних показників робить попит на товари, в той час як, на думку Фрідмена, головне - це контроль над пропозицією грошей.
Монетаристи вважають, що спекулятивний попит на гроші не залежить від ставки відсотка, тому збільшення пропозиції грошей призводить до зростання цін, але не обсягів виробництва, як це слід було б з моделі Кейнса. Монетаристи вважають, що грошово-кредитна політика не може вплинути в довгостроковому плані на реальний обсяг виробництва і безробіття, хоча в короткостроковому плані це можливо.
Як свідчить досвід Росії та інших країн, іноді виправдовувався підхід Кейнса, іноді підхід Фрідмена. При малій і контрольованою державою інфляції діє кейнсіанський підхід. При гіперінфляції і слабкому контролі держави діє монетаристський підхід.
1.2. Алгоритм обчислення показників і економічний аналіз отриманих результатів
В якості досліджуваної системи береться економіка умовного об'єкту.
Вихідні дані наведені в таблиці 1:
Таблиця 1
За заданими в таблиці 1 значень: a, b, d, f, використовуючи табличний редактор Excel, розраховуємо за формулою (1.13) залежність Y G = F 1 (r). Значення r задаємо в межах від 0 до 1,0 з кроком Δr = 0,05. Результати обчислень представлені в таблиці 2:
Таблиця 2
Аналогічно проводимо розрахунки значень функції Y М = F 2 (r), використовуючи формулу (1.15). Чисельні значення M S, h, j, k, p наведені в таблиці 1.
Результати обчислень наведені в таблиці 3:
Таблиця 3
За отриманими даними будуємо графіки залежностей Y G = F 1 (r) і Y М = F 2 (r), застосувавши «Майстер діаграм» табличного редактора Excel (Додаток 1). За точці перетину цих графіків знаходимо велічіниY 0 і r 0, що визначають рівновагу на ринках грошей і товарів:
Виходячи з умови рівноваги на ринках грошей та товарів, визначаємо аналітичним шляхом величину r 0 за формулою:
За формулою (1.17) отримуємо: r 0 = 0,38
Порівнюючи отримане значення r 0 зі значенням r 0, знайденим графічним шляхом, робимо висновок, що вони збігаються. Підставляємо значення r 0 у формули (1.13) і (1.15) і знаходимо аналітичне значення Y 0. Аналітичне значення Y 0 = 180134,09. Порівнюючи його з Y 0, отриманим графічним шляхом, робимо висновок, що вони практично збігаються.
Факультет менеджменту
Кафедра вищої математики
ЗВІТ
про лабораторній роботі № 5
з дисципліни: «Економіко-математичне моделювання»
на тему: «Модель ринкової економіки Кейнса»
варіант № 3
Виконав
студент денного відділення
факультету менеджменту
II курсу 241 групи
Погосян Т.Р.
Гатчина
2006
зміст
Введення
РОЗДІЛ 1. ВИЗНАЧЕННЯ УМОВ РІВНОВАГИ НА РИНКАХ ГРОШЕЙ І ТОВАРІВ1.1. Постановка завдання
1.2. Алгоритм обчислення показників і економічний аналіз отриманих результатівРОЗДІЛ 2. ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ
2.1. Постановка завдання
2.2. Визначення параметрів рівняння регресії з використанням КМНК
2.3 Визначення параметрів рівняння регресії з використанням МНК2.4. Економічний аналіз отриманих результатів
ВИСНОВОК
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
ДОДАТКИВведення
Класична модель давала відповідь на завдання пошуку рівноваги в економіці в умовах повної зайнятості. У моделі Кейнса показано, що рівновага при повній зайнятості не є загальним випадком. Загальний випадок - це рівновага при наявності безробіття, а повна зайнятість лише особливий випадок. Але як прийти до рівноваги, якщо економіка при певному збігу обставин далеко відійшла від рівноважного стану і характеризується масовим безробіттям? Щоб досягти бажаного стану повної зайнятості, держава зобов'язана проводити особливу політику щодо її досягнення, оскільки автоматично діючі ринкові сили без цієї підтримки не гарантують її досягнення. Розглянемо, як визначається рівноважний стан економіки в моделі, запропонованої Кейнсом.
Метою даної роботи є визначення умов рівноваги на ринках грошей і товарів, а також визначення параметрів моделі непрямим методом найменших квадратів.
Дана робота складається з вступу, двох розділів, висновків та двох додатків.
Перший розділ присвячено визначенню умов рівноваги на ринках грошей та товарів, дається постановка задачі, обчислюються показники, і дається економічний аналіз отриманих результатів.
Другий розділ роботи присвячена визначенню параметрів рівняння функції споживання в простій кейнсіанської моделі формування доходів, визначаються параметри рівняння регресії непрямим методом найменших квадратів, а також дається економічний аналіз отриманих результатів.
РОЗДІЛ 1. ВИЗНАЧЕННЯ УМОВ РІВНОВАГИ НА РИНКАХ ГРОШЕЙ І ТОВАРІВ
1.1. Постановка завдання
У моделі передбачається, що існує три види активів: гроші, облігації, фізичний капітал. Відносна ціна грошей, виражена в облігаціях, - це ставка відсотка за облігаціями. Передбачається, що в умовах рівноваги норма прибутку на фізичний капітал (тобто на наявний запас інвестиційних товарів) дорівнює ставці доходу за облігаціями.
Таким чином, з'являється можливість простежити, як грошово-кредитна політика впливає на виробництво. Наприклад, збільшення грошової маси шляхом друкування нових грошей змінює пропорції обміну між грошима та облігаціями. Якщо грошей стане більше, їх будуть зберігати тільки при зниженні норми відсотка на облігації (альтернативний вид активів), при цьому норма прибутку також повинна знизитися, оскільки облігації і капітал - близькі предмети.
Розглянемо тепер критерій максимуму прибутку по відношенню до капіталу (фондів) при фіксованому рівні зайнятості. Прибуток визначається за формулою:
П = p * F (K, L) - r * К, (1.1)
де р - ціна одиниці валового внутрішнього продукту;
К - капітал, залучений у виробництво;
L - трудові ресурси, залучені у виробництво;
r - норма прибутку (ставка відсотка).
Необхідна умова екстремуму:
оскільки
тобто гранична продуктивність фондів у вартісному вигляді дорівнює нормі прибутку (ставці відсотка).
Таким чином, падіння норми прибутку згідно (1.3) означає падіння граничного продукту капіталу, а оскільки граничний продукт падає з ростом К, то падіння норми прибутку з необхідністю передбачає збільшення попиту на інвестиційні товари, отже, і на товари в цілому. Простеживши всю причинно-наслідковий ланцюжок, бачимо, що порівняно невелике збільшення грошової маси призводить до зростання попиту на товари, відповідно, до зростання пропозиції товарів, тобто до збільшення кінцевого продукту.
Розглянемо більш детально ринок праці в моделі Кейнса. Нагадаємо, що в класичній моделі рівновага наступало при повній зайнятості, і рівноважне значення реальної заробітної плати
При цьому рівноважний кінцевий продукт визначається формулою: Y 0 = F (K, L 0), де L 0 - число зайнятих при повній зайнятості. Припустимо тепер, що з певних причин попит Е (на продукцію) виявився меншим пропозиції Y 0 при повній зайнятості. У цьому випадку, як вважав Кейнс, фактично вироблений кінцевий продукт Y буде дорівнює попиту: Y = E. Таким чином, фактична зайнятість буде менше повної зайнятості Y <Y 0. Це негайно вплине на ринок робочої сили у зв'язку з тим, що за інших рівних умов менший обсяг продукту можна зробити за допомогою меншого числа робітників, тобто L <L 0.
Таким чином, якщо в класичній моделі реальна заробітна плата (w / p) 0 визначала число зайнятих
Справа в тому, що виробники не можуть продати стільки, скільки вони хотіли б, але виробляють і продають тільки в обсязі попиту. Тому крива попиту на робочу силу, яка виводилася у припущенні максимізації прибутку, не може бути застосована.
Отже, основні нововведення моделі Кейнса в порівнянні з класичною моделлю полягають у наступному:
1. Рівновага на ринку товарів досягається при рівності планованого попиту і фактичної пропозиції.
2. Фактичний попит на робочу силу визначається фактично затребуваним продуктом, і, значить, рівновага на ринку робочої сили може бути досягнуто тоді, коли ринок товарів знаходиться в рівновазі.
У цілому модель Кейнса можна записати в наступному вигляді:
Ринок робочої сили:
L S = L S (w / p), L D = L D (Y 0). (1.5)Ринок грошей:
M S = M S ; M D = K * p * Y + Lq (r),
M S = M D, (1.7)
де Lq (r) - попит на облігації в залежності від відсоткової ставки.
Ринок товарів:
Y = Y (L), E = C (Y) + I (r),Y = E. (1.9)
При дослідженні поведінки економіки формули (1.5) - (1.9) повинні бути замінені конкретними залежностями, що відбивають поведінка ринків.
Розглянемо рівновагу на ринку товарів, вважаючи, що залежності C (Y), I (r) лінійні. У цьому випадку попит на споживчі товари росте лінійно з ростом пропозиції товарів:
C (Y) = a + b * Y, (1.10)
де а> 0, 0 <b <1.
Попит на інвестиційні товари лінійно зменшується з зростанням норми відсотка:
I (r) = d - f * r, (1.11)
де d>
У цьому випадку умова рівноваги (1.9) запишеться в такій формі:
звідки
тобто крива рівноваги на ринку товарів (крива IS) є лінійно-спадною функцією r і, отже, при фіксованому значенні r є єдине рівноважне значення Y G (r).
Розглянемо тепер рівновага на ринку грошей у припущенні, що попит на облігації Lq (r) лине:
Lq (r) = h - j * r. (1.14)
Умова рівноваги (1.7) при цьому запишеться в наступному вигляді:
Таким чином, крива рівноваги на ринку грошей (крива LM) є зростаючою лінійною функцією r, отже, за фіксованого r є єдине рівноважне значення Y M (r).
Загальна рівновага на ринках грошей і товарів досягається в тому випадку, коли:
Y G (R 0) = Y M (r 0) = Y 0, (1.16)
причому точка рівноваги (Y 0, r 0), тобто точка перетину кривих IS та LM єдина.
Загальна картина рівноваги може бути представлена графічно. При цьому в першому квадраті зображені криві IS і LM, а в четвертому квадраті виробнича функція економіки ПФ як функція трудових ресурсів, у третьому - криві попиту L D і пропозиції L S на робочу силу.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
r |
r 0 |
r 0 |
IS |
LM 0 |
LM 0 |
Y 0 |
Y |
Y 0 |
ПФ |
L |
w / p |
(W / p) 0 |
(W / p) 0 |
(W / p) n |
L S |
L D |
L 0 |
L 0 |
Рис. 1.
На рис. 1. прийняті наступні позначення:
- R 0, Y 0, L 0, (w / p) 0, (w / p) n - відповідно, відсоткова ставка, кінцевий продукт, зайнятість, максимальний і мінімальний рівні реальної заробітної плати при неповної зайнятості;
- R 0, Y 0, L 0, (w / p) 0 - відповідно, відсоткова ставка, кінцевий продукт, зайнятість, рівень реальної заробітної плати при повній зайнятості.
Причинні зв'язки направлені від ринків товарів і грошей до ринку робочої сили через виробничу функцію. Причому ринок праці не є визначеним. Сукупна рівновага на ринках грошей і товарів однозначно визначає фактичну потребу в робочій силі Y 0 = F (K, L 0) і, якщо класична модель передбачає автоматичну тенденцію до повної зайнятості, то в моделі Кейнса такої немає.
Дійсно, нехай рівновага встановилася при зайнятості L 0 <L 0. Тоді, для того щоб домогтися повної зайнятості L 0, треба збільшити випуск продукції до Y 0 = F (K, L 0), що вимагало б змістити криву LM в положення LM 0. Як це видно з (1.15), такий зсув можна забезпечити при екзогенно заданому пропозиції грошей M S і фіксованих коефіцієнтах k і h тільки шляхом зниження цін р, але ніякого механізму зниження цін при фіксованій ставці заробітної плати w 0 в моделі Кейнса не закладено. Отже, для переходу до повної зайнятості потрібна спеціальна державна політика.
І ще одна особливість: рівень планованих витрат Е буває настільки високий, що виробництво Y не може досягти цього рівня. Це відбувається тоді, коли точка перетину кривих IS і LM має від'ємне значення норми відсотка.
Корекцією підходу Кейнса є монетаристський підхід до аналізу економіки, розвинений на початку 70-х років XX ст. Фрідменом. Суть відмінності в підходах Кейнса і Фрідмена в наступному. Кейнс вважав, що саме значний вплив на рух основних макроекономічних показників робить попит на товари, в той час як, на думку Фрідмена, головне - це контроль над пропозицією грошей.
Монетаристи вважають, що спекулятивний попит на гроші не залежить від ставки відсотка, тому збільшення пропозиції грошей призводить до зростання цін, але не обсягів виробництва, як це слід було б з моделі Кейнса. Монетаристи вважають, що грошово-кредитна політика не може вплинути в довгостроковому плані на реальний обсяг виробництва і безробіття, хоча в короткостроковому плані це можливо.
Як свідчить досвід Росії та інших країн, іноді виправдовувався підхід Кейнса, іноді підхід Фрідмена. При малій і контрольованою державою інфляції діє кейнсіанський підхід. При гіперінфляції і слабкому контролі держави діє монетаристський підхід.
1.2. Алгоритм обчислення показників і економічний аналіз отриманих результатів
В якості досліджуваної системи береться економіка умовного об'єкту.
Вихідні дані наведені в таблиці 1:
Таблиця 1
| a | d | f | b | M S | k | h | j | p | A | |
| 127500 | 85000 | 229500 | 0,31 | 11000 | 0,25 | 5100 | 19800 | 0,3 | 2700 | 0,51 |
Таблиця 2
| r | Y G |
| 0 | 307971 |
| 0,05 | 291340,58 |
| 0,1 | 274710,14 |
| 0,15 | 258079,71 |
| 0,2 | 241449,28 |
| 0,25 | 224818,84 |
| 0,3 | 208188,41 |
| 0,35 | 191557,97 |
| 0,4 | 174927,54 |
| 0,45 | 158297,10 |
| 0,5 | 141666,67 |
| 0,55 | 125036,23 |
| 0,6 | 108405,80 |
| 0,65 | 91775,36 |
| 0,7 | 75144,93 |
| 0,75 | 58514,49 |
| 0,8 | 41884,06 |
| 0,85 | 25253,62 |
| 0,9 | 8623,19 |
| 0,95 | -8007,25 |
| 1 | -24637,68 |
Результати обчислень наведені в таблиці 3:
Таблиця 3
| r | Y M |
| 0 | 78666,67 |
| 0,05 | 91866,67 |
| 0,1 | 105066,67 |
| 0,15 | 118266,67 |
| 0,2 | 131466,67 |
| 0,25 | 144666,67 |
| 0,3 | 157866,67 |
| 0,35 | 171066,67 |
| 0,4 | 184266,67 |
| 0,45 | 197466,67 |
| 0,5 | 210666,67 |
| 0,55 | 223866,67 |
| 0,6 | 237066,67 |
| 0,65 | 250266,67 |
| 0,7 | 263466,67 |
| 0,75 | 276666,67 |
| 0,8 | 289866,67 |
| 0,85 | 303066,67 |
| 0,9 | 316266,67 |
| 0,95 | 329466,67 |
| 1 | 342666,67 |
| r 0 | 0,4 |
| Y G 0 | 184266,67 |
Виходячи з умови рівноваги на ринках грошей та товарів, визначаємо аналітичним шляхом величину r 0 за формулою:
За формулою (1.17) отримуємо: r 0 = 0,38
Порівнюючи отримане значення r 0 зі значенням r 0, знайденим графічним шляхом, робимо висновок, що вони збігаються. Підставляємо значення r 0 у формули (1.13) і (1.15) і знаходимо аналітичне значення Y 0. Аналітичне значення Y 0 = 180134,09. Порівнюючи його з Y 0, отриманим графічним шляхом, робимо висновок, що вони практично збігаються.
Використовуючи виробничу функцію вида:
Y = A * L , (1.18)
знаходимо величину L 0 за формулою:
Значення величин A і беремо з таблиці 1. За формулою (1.19) отримуємо:
L 0 = 3775,08.
Розраховуємо за формулою (1.18) виробничу функцію Y = F 3 (L) і будуємо її графік, використовуючи можливості табличного редактора Excel (Додаток 2). Результати обчислень наведені в таблиці 4:
Таблиця 4
За значенням Y 0 знаходимо графічним шляхом величину L 0. Графічне значення L 0 = 3775,08. Порівнюючи його із значенням L 0, отриманим аналітично, робимо висновок, що вони збігаються.
РОЗДІЛ 2. ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ
C t = a + b * Y t + u t; (2.1)
Y t = C t + I t, (2.2)
де t - індекс, який вказує на те, що рівняння (2.1), (2.2) є системою одночасних рівнянь для моментів часу t 1-t n;
u t - випадкова складова;
C t, Y t - функції споживання і доходу, відповідно є ендогенними змінними;
I t - екзогенно задана функція, що відображає інвестиційний попит.
Змінні C t і Y t є ендогенними. Ендогенної вважається та змінна, значення якої визначається всередині рівняння регресії, всередині моделі. Як екзогенної змінної в даній задачі виступають інвестиції I t. Екзогенної є та змінна, значення якої визначається поза рівняння регресії, поза моделі і тому береться як задана.
Параметри рівняння регресії необхідно визначити двома способами:
· Непрямим методом найменших квадратів;
· Прямим методом найменших квадратів.
Таблиця 5
Методом найменших квадратів (МНК) з рівняння (2.1) знайти параметри a і b неможливо, оскільки оцінки будуть зміщеними. У зв'язку з цим необхідно використовувати непрямий метод найменших квадратів (КМНК).
Для цього ендогенні змінні C t, Y t висловлюємо через екзогенну змінну I t. З цією метою підставляємо вираз (2.1) в (2.2):
Y t = a + b * Y t + u t + I t, (2.3)
звідси отримуємо:
Підставляємо вираз (2.4) в рівняння (2.1) і отримуємо:
Дане рівняння не містить в правій частині ендогенних змінних, а має тільки екзогенну змінну у вигляді I t (інвестицій). Екзогенна змінна не корелює з випадковою складовою u t і, отже, параметри цього рівняння можуть бути знайдені за допомогою МНК.
Уявімо це рівняння у наступному вигляді:
де
Для цих цілей застосовуємо наявний у табличному редакторі Excel пакет прикладних програм, що реалізує визначення параметрів рівняння регресії методом найменших квадратів. Активізація цього методу проводиться командами: «Сервіс» - «Аналіз даних» - «Регресія».
Після визначення значень a 1 і b 1 необхідно визначити незміщені оцінки величин a і b, використавши співвідношення:
де a ", b" - відповідно незміщені оцінки a, b.
Самі значення величин a ", b" визначаємо за формулами:
Використавши знайдені значення a "і b", записуємо рівняння функції споживання (2.1):
C (t) = 127811,09 + 0,31 * Y t + u t.
Порівнюємо знайдені за формулою (2.10) значення a "і b" з величинами a і b, заданими в таблиці 1 (a табл. = 127500, b табл. = 0,31) і розраховуємо відсотки розбіжності даних величин за формулами:
2.3. Визначення параметрів рівняння регресії з використанням МНК
Для визначення параметрів рівняння регресії за допомогою прямого МНК, необхідно визначити за формулою (2.2) значення величин Y t (для t в межах від t1 до t14), використовуючи значення C t і I t з таблиці 5. Отримані значення заносимо в таблицю 6.
Таблиця 6
Прийнявши в якості вихідних даних наявні значення C t і Y t, визначаємо за допомогою МНК зміщені оцінки a см і b см величин a і b, використовуючи рівняння (2.1). Для цього використовуємо наявний у табличному редакторі Excel пакет прикладних програм, що реалізує визначення параметрів рівняння регресії методом найменших квадратів. Активація цього методу здійснюється командами: «Сервіс» - «Аналіз даних» - «Регресія».
У розглянутій задачі:
Далі порівнюємо отримані значення a см і b см з табличними значеннями a і b, і знаходимо відсотки розбіжності даних величин за формулами:
2.4. Економічний аналіз отриманих результатів
Порівнюючи значення відсотків розбіжності параметрів моделі, отриманих у разі визначення рівняння регресії за допомогою КМНК (для a - 0,24%, для b -1,15%) і за допомогою МНК (для a -3,03%, для b -4 , 39%), видно, що в першому випадку відсотки розбіжності значно менше, ніж у другому. Це говорить про те, що при використанні КМНК отримане рівняння регресії більш точне, ніж рівняння регресії, отримане за допомогою МНК.
Оцінка достовірності залежності C t від a і b проводиться за величиною R 2 (коефіцієнт множинної детермінації). Отримане в першому випадку значення R 2 = 0,79 менше значення R 2 = 0,90, отриманого в другому випадку. Але обидва ці значення близькі до одиниці і підтверджують достовірність наявності залежності. У другому випадку достовірність залежності вище.
Оцінка значущості рівняння регресії в цілому дається за допомогою F-критерію Фішера. При цьому висувається нульова гіпотеза Н о, що коефіцієнт регресії b дорівнює нулю. У цьому завданню значимість F при знаходженні рівняння регресії методом КМНК дорівнює 2,33 E-05, а при знаходженні рівняння регресії методом МНК вона дорівнює 2,35 E-07. Обидва значення близькі до нуля, тобто така ймовірність прийняття нульової гіпотези. Отже, в обох випадках нульову гіпотезу можна відкинути, особливо для рівняння регресії, знайденого за допомогою МНК.
Оцінка достовірності та статистичної значущості коефіцієнтів рівняння регресії проводиться за t-критерієм Стьюдента. В обох випадках значення t - критерію Стьюдента перевищує його табличне значення, що говорить про вірогідність коефіцієнтів рівнянь регресій.
Висновок
У даній роботі була розглянута кейнсіанська модель в якій передбачається, що існує три види активів: гроші, облігації, фізичний капітал.
Були проведені розрахунки різних показників, побудова графіків і знаходження графічних значень цих показників і було зроблене порівняння графічних значень показників з розрахунковими. У результаті отримали, що графічні та розрахункові показники практично збігаються.
У даній роботі було також проведено визначення параметрів рівняння регресії двома способами:
· Непрямим методом найменших квадратів;
· Прямим методом найменших квадратів.
Порівнюючи отримані результати, можна зробити висновок про те, що при визначенні параметрів моделі за допомогою непрямого МНК отримане рівняння регресії більш точне, ніж рівняння регресії, отримане за допомогою прямого МНК, і коефіцієнти рівняння регресії є найбільш достовірними і статистично значимими.
Список використаної літератури
1. Венецкий І.Г., Венецкая В.І. Основні математико-статистичні поняття і формули в економічному аналізі.
2. Колеман В.А. Математична економіка: підручник для вузів. - М: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.
3. Курицький, Пошук оптимальних рішень в EXCEL - М., 2000, 245 с.
4. Пучков В.Ф. Математичні моделі макроекономіки: навчальний посібник. -Гатчина: Видавництво ЛОІЕФ, 2005. - 157 с.
5. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Уч. посібник / В.В. Федосєєв, О.М. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін; Під ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНИТИ
Y = A * L , (1.18)
знаходимо величину L 0 за формулою:
Значення величин A і беремо з таблиці 1. За формулою (1.19) отримуємо:
L 0 = 3775,08.
Розраховуємо за формулою (1.18) виробничу функцію Y = F 3 (L) і будуємо її графік, використовуючи можливості табличного редактора Excel (Додаток 2). Результати обчислень наведені в таблиці 4:
Таблиця 4
| L | Y |
| 0 | 0 |
| 1000 | 87138,73 |
| 2000 | 124953,04 |
| 3000 | 154281,66 |
| 4000 | 179177,07 |
| 5000 | 201222,08 |
| 6000 | 221232,99 |
| 7000 | 239696,79 |
| 8000 | 256931,9 |
| 9000 | 273160,15 |
| 10000 | 288543,46 |
| 11000 | 303204,36 |
| 12000 | 317238,21 |
| 13000 | 330721,01 |
| 14000 | 343714,47 |
| 15000 | 356269,54 |
| 16000 | 368428,85 |
| 17000 | 380228,51 |
| 18000 | 391699,43 |
| 19000 | 402868,32 |
| 20000 | 413758,41 |
РОЗДІЛ 2. ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ
2.1. Постановка завдання
У даній роботі необхідно визначити в простій кейнсіанської моделі формування доходів параметри рівняння функції споживання. Вихідна система рівнянь має вигляд:C t = a + b * Y t + u t; (2.1)
Y t = C t + I t, (2.2)
де t - індекс, який вказує на те, що рівняння (2.1), (2.2) є системою одночасних рівнянь для моментів часу t 1-t n;
u t - випадкова складова;
C t, Y t - функції споживання і доходу, відповідно є ендогенними змінними;
I t - екзогенно задана функція, що відображає інвестиційний попит.
Змінні C t і Y t є ендогенними. Ендогенної вважається та змінна, значення якої визначається всередині рівняння регресії, всередині моделі. Як екзогенної змінної в даній задачі виступають інвестиції I t. Екзогенної є та змінна, значення якої визначається поза рівняння регресії, поза моделі і тому береться як задана.
Параметри рівняння регресії необхідно визначити двома способами:
· Непрямим методом найменших квадратів;
· Прямим методом найменших квадратів.
2.2. Визначення параметрів рівняння регресії з
використанням КМНК
Вихідні значення величин C t і I t представлені в таблиці 5:Таблиця 5
| t | C t | I t |
| 1 | 220063 | 85000 |
| 2 | 231828 | 78115 |
| 3 | 207359 | 71230 |
| 4 | 218337 | 64345 |
| 5 | 207851 | 57460 |
| 6 | 202994 | 50575 |
| 7 | 195524 | 43690 |
| 8 | 203944 | 36805 |
| 9 | 201672 | 29920 |
| 10 | 186648 | 23035 |
| 11 | 187864 | 16150 |
| 12 | 185659 | 9265 |
| 13 | 193932 | 2380 |
| 14 | 187232 | 85 |
Для цього ендогенні змінні C t, Y t висловлюємо через екзогенну змінну I t. З цією метою підставляємо вираз (2.1) в (2.2):
Y t = a + b * Y t + u t + I t, (2.3)
звідси отримуємо:
Підставляємо вираз (2.4) в рівняння (2.1) і отримуємо:
Дане рівняння не містить в правій частині ендогенних змінних, а має тільки екзогенну змінну у вигляді I t (інвестицій). Екзогенна змінна не корелює з випадковою складовою u t і, отже, параметри цього рівняння можуть бути знайдені за допомогою МНК.
Уявімо це рівняння у наступному вигляді:
де
Використовуючи наявні в таблиці 5 дані про величини C t і I t, знаходимо за допомогою МНК незміщені оцінки a * і b * з рівняння:
C t = a 1 + b 1 I t , (2.8)
де a 1 - несмещенная оцінка a *;
b 1 - несмещенная оцінка b *.Для цих цілей застосовуємо наявний у табличному редакторі Excel пакет прикладних програм, що реалізує визначення параметрів рівняння регресії методом найменших квадратів. Активізація цього методу проводиться командами: «Сервіс» - «Аналіз даних» - «Регресія».
| a 1 | b 1 |
| 184280,63 | 0,44 |
де a ", b" - відповідно незміщені оцінки a, b.
Самі значення величин a ", b" визначаємо за формулами:
| a " | b " |
| 127811,09 | 0,31 |
C (t) = 127811,09 + 0,31 * Y t + u t.
Порівнюємо знайдені за формулою (2.10) значення a "і b" з величинами a і b, заданими в таблиці 1 (a табл. = 127500, b табл. = 0,31) і розраховуємо відсотки розбіжності даних величин за формулами:
2.3. Визначення параметрів рівняння регресії з використанням МНК
Для визначення параметрів рівняння регресії за допомогою прямого МНК, необхідно визначити за формулою (2.2) значення величин Y t (для t в межах від t1 до t14), використовуючи значення C t і I t з таблиці 5. Отримані значення заносимо в таблицю 6.
Таблиця 6
| t | Y t |
| 1 | 305063 |
| 2 | 309943 |
| 3 | 278589 |
| 4 | 282682 |
| 5 | 265311 |
| 6 | 253569 |
| 7 | 239214 |
| 8 | 240749 |
| 9 | 231592 |
| 10 | 209683 |
| 11 | 204014 |
| 12 | 194924 |
| 13 | 196312 |
| 14 | 187317 |
У розглянутій задачі:
| a см | b см |
| 123638,32 | 0,32 |
2.4. Економічний аналіз отриманих результатів
Порівнюючи значення відсотків розбіжності параметрів моделі, отриманих у разі визначення рівняння регресії за допомогою КМНК (для a - 0,24%, для b -1,15%) і за допомогою МНК (для a -3,03%, для b -4 , 39%), видно, що в першому випадку відсотки розбіжності значно менше, ніж у другому. Це говорить про те, що при використанні КМНК отримане рівняння регресії більш точне, ніж рівняння регресії, отримане за допомогою МНК.
Оцінка достовірності залежності C t від a і b проводиться за величиною R 2 (коефіцієнт множинної детермінації). Отримане в першому випадку значення R 2 = 0,79 менше значення R 2 = 0,90, отриманого в другому випадку. Але обидва ці значення близькі до одиниці і підтверджують достовірність наявності залежності. У другому випадку достовірність залежності вище.
Оцінка значущості рівняння регресії в цілому дається за допомогою F-критерію Фішера. При цьому висувається нульова гіпотеза Н о, що коефіцієнт регресії b дорівнює нулю. У цьому завданню значимість F при знаходженні рівняння регресії методом КМНК дорівнює 2,33 E-05, а при знаходженні рівняння регресії методом МНК вона дорівнює 2,35 E-07. Обидва значення близькі до нуля, тобто така ймовірність прийняття нульової гіпотези. Отже, в обох випадках нульову гіпотезу можна відкинути, особливо для рівняння регресії, знайденого за допомогою МНК.
Оцінка достовірності та статистичної значущості коефіцієнтів рівняння регресії проводиться за t-критерієм Стьюдента. В обох випадках значення t - критерію Стьюдента перевищує його табличне значення, що говорить про вірогідність коефіцієнтів рівнянь регресій.
Висновок
У даній роботі була розглянута кейнсіанська модель в якій передбачається, що існує три види активів: гроші, облігації, фізичний капітал.
Були проведені розрахунки різних показників, побудова графіків і знаходження графічних значень цих показників і було зроблене порівняння графічних значень показників з розрахунковими. У результаті отримали, що графічні та розрахункові показники практично збігаються.
У даній роботі було також проведено визначення параметрів рівняння регресії двома способами:
· Непрямим методом найменших квадратів;
· Прямим методом найменших квадратів.
Порівнюючи отримані результати, можна зробити висновок про те, що при визначенні параметрів моделі за допомогою непрямого МНК отримане рівняння регресії більш точне, ніж рівняння регресії, отримане за допомогою прямого МНК, і коефіцієнти рівняння регресії є найбільш достовірними і статистично значимими.
Список використаної літератури
1. Венецкий І.Г., Венецкая В.І. Основні математико-статистичні поняття і формули в економічному аналізі.
2. Колеман В.А. Математична економіка: підручник для вузів. - М: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.
3. Курицький, Пошук оптимальних рішень в EXCEL - М., 2000, 245 с.
4. Пучков В.Ф. Математичні моделі макроекономіки: навчальний посібник. -Гатчина: Видавництво ЛОІЕФ, 2005. - 157 с.
5. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Уч. посібник / В.В. Федосєєв, О.М. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін; Під ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНИТИ
ДОДАТОК 1
\ S
ДОДАТОК 2
\ S
ДОДАТОК 2