Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра ЕТТ
РЕФЕРАТ
На тему:
«Модель Кронінга-Пенні. Структура енергетичних зон »
МІНСЬК, 2008
Модель Кроніга-Пенні.
d = a + b
E <
У моделі Кроніга-Пенні розглядається рух електронів в лінійній ланцюжку прямокутних потенційних ям. Амплітудне рівняння Шредінгера для руху в такому полі має вигляд:
Як показав Блох, вирішенням цього рівняння є хвильова функція такого типу:
Вона являє собою твір рівняння плоскої біжучої хвилі
Для областей I (U = 0) і областей II (U =
В області потенційного бар'єру хвильовий вектор приймає уявне значення
За допомогою функції Блоха
Визначити А, В, С, D можна з урахуванням того, що функція u (x) і її перша похідна є безперервними в місцях стрибка потенціалу
(З U 1 = 0 до U 2 = U 0)
І має властивості періодичності з періодами рівним d = a + b
Вирішуючи систему з чотирьох рівнянь за умови
Використання цих умов дозволяє визначити не тільки А, В, С, D, але встановити зв'язок між
Для нескінченно тонкого і нескінченно високого бар'єру отримуємо:
Це рівняння виражає залежність енергії електрона E, що входить в змінну
Так як
Відповідно до формули:
заштриховані ділянки визначають область дозволених енергій електрона - енергетичні зони.
Ці зони відокремлені один від одного смугами заборонених енергії - забороненими зонами. Їм відповідають області значень
Зі збільшенням енергії електрона ширина дозволених зон збільшується, а ширина заборонених зон зменшується.
Ширина зон залежить також від параметра Р. При
Висловимо Е з допомогою
Розглянемо залежність енергії електрона від хвильового вектора
Всередині кожної зони енергії електрона безупинно росте з ростом хвильового вектора. При значеннях:
Ми отримаємо формулу Вульфа-Бреггa, яка має умова відображення хвиль від плоскої решітки для випадку, коли кут падіння дорівнює 90 °. Розриви в енергетичному спектрі електрона в кристалі відбуваються при виконанні умови Брегговского відображення електронних хвиль від площини грат. Електрони з такою довжиною хвилі зазнають в кристалі повне внутрішнє віддзеркалення і поширюватися в кристалі не можуть.
Нехай на грати діють промені з довжиною хвилі λ. Промені, відбиті від атомних площин, інтерферують між собою і
посилюють або послаблюють одна одну.
Посилення відбувається в тому випадку, якщо різниця ходу променів відбитих від сусідніх атомних площин, буде целократна довжині хвилі. Різниці ходу променів
Тому умова посилення запишеться:
Промені падають на атомні площині під кутом, що задовольняє цій умові, повністю відбиваються і через грати пройти не можуть. При
ми отримуємо: 
У випадку пов'язаного електрона при значеннях хвильового вектора кратних π / a енергія терпить розрив. Зі збільшенням сили зв'язку електрона висота розривів стає більше.
Зони Бріллюена.
При зміні хвильового вектора від Про до ± 2 (π / a), енергія зростає при k = π / a безперервно, вона зазнає перший розрив. При подальшому збільшенні k енергія знову зростає безупинно, поки при k = ± 2 (π / a) не зазнає другий розриву і т.д.
Області значень k, в межах яких енергія електрона змінюється безперервно, а на кордонах зазнає розрив, називаються зонами Бріллюена.
Зона I для лінійної моделі кристала простирається від - π / a до + π / a, зона II - Від -2 (π / a) до - π / a і від + π / a до +2 (π / a) і має протяжність рівну 2 (π / a). Усі зони Брілюена мають одну і ту ж саму протяжність рівну 2 (π / a).
Поняття зон Брілюена поширюється і на випадок двох-і тривимірних решіток. У межах кожної зони енергія електрона змінюється безперервно з зміною хвильового вектора, на межах зон вона зазнає розрив. Твердження про рівність всіх зон Брілюена справедливо для двох-і тривимірних випадків.
Тепер про зворотну решітці. Будь-якої просторової решітці може бути протиставлена зворотна решітка. Зворотній решітка має ті ж геометричними властивостями, що і пряма. В основі оберненої гратки лежить елеметарная осередок, утворена трьома незалежними базисними векторами b1; b2.
Паралельним переносом елементарної комірки (трансляцією) можна отримати всю зворотну грати. Всі вузли оберненої гратки можуть бути описані вектором:
Базисні вектори оберненої гратки (або постійні оберненої гратки) пов'язані з постійними прямий решітки наступними співвідношеннями у вигляді векторних творів:
З наведених виразів видно, що вектор b перпендикулярний як a2 так і a3. Чисельні значення базисних векторів оберненої гратки рівні:
b1 = 2 π / a1; b2 = 2 π / a2; b3 = 2 π / a3
Кожному виду елементарної комірки в прямій решітці відповідає певний вид елементарної комірки у зворотній решітці. Так, простий кубічної осередку відповідає також проста кубічна осередок оберненої гратки з ребрами 2 π / a (див. рис.)
Більш складну зворотний грати мають гранецентрированная кубічна гратка і решітка типу алмазу (див. рис.).
Зона Брілюена тривимірного кристалу збігається з його зворотному гратами. У кристалі в с простої прямокутної гратами енергія електрона є періодичною функцією k з періодами 2π / а 1, 2π / а 2, 2π / а 3 по відповідним осях решітки (див. мал.). Таким чином, простір оберненої гратки представляє собою простір хвильового вектора.
Зона Брілюена для решітки типу алмазу являє собою багатогранник, оточений шістьма площинами типу (100) та вісьмома площинами типу (111). Зона Брілюена лежить в межах хвильового вектора-2π / а ≤ k ≤ 2π / а.
Позначення: [0 2π / а 0], [0 1 0].
Електрони мають хвильовими властивостями, і їх рух через кристал можна уявляти собі як процес поширення електронних хвиль. Якщо для цих хвиль умова Вульфа-Брегом не виконується, то рух електрона описується хвилею, що біжить e ikx та зв'язок енергії E з хвильовим числом є однозначною. При виконанні умови Вульфа-Брегг, тобто в точках k n = nπ / а настає відображення електронних хвиль від атомних площин, інтерференція відображених хвиль з біжать і освіта стоять хвиль. Тому в точках k n = nπ / a електрони слід представляти вже не хвилею, що біжить, а стоячій, що складається з двох однакових біжучих хвиль:
e ikx і e - ikx,
поширюються в протилежні сторони. Ці хвилі дають два рішення рівняння Шредінгера. Для точки k = π / a ці рішення мають такий вигляд:
ψ 1 = A 1 e i (π / a) x - B 1 e-i (π / a) x,
ψ 2 = A 2 e i (π / a) x + B 2 e-i (π / a) x.
Рішенням ψ 1 і ψ 2 відповідають різні енергії. Вирішенню ψ 2 відповідає енергія E min, яка відповідає верхній межі першої зони (точка А); рішенням ψ 1 - енергія E max, що відповідає нижній межі другої зони (точка B). При k трохи меншому π / а енергія електрона менше E min; при k дещо більше π / а власні значення енергії електрона лежать вище E max. У проміжку між E min і E max не лежить жодне власне значення енергії електрона, тобто область між E min і E max представляє собою заборонену зону енергії.
Про структуру енергетичних зон.
У тривимірному кристалі періодичність решітки в різних напрямках різна: a ≠ b ≠ c. Тому в тривимірному векторному просторі (k x, k y, k z) k x = ± nπ / a, k y = ± nπ / b, k z = ± nπ / c, при яких настає бреггівськими відображення електронних хвиль і виникають розриви в енергетичного спектра електрона, для різних напрямків у гратах повинні бути різними.
I. Припустимо, що область енергії, заборонена для одних напрямків, є дозволеною для інших напрямів. У цьому випадку заборонені смуги, що відповідають цим напрямами, які не перекриваються.
На малюнку: криві залежності енергії електрона від хвильового числа для напрямів k x, k y, k z. Заборонені смуги, що відповідають цим напрямами, які не перекриваються.
Напрями не перекриваються
Криві залежності енергії електрона від хвильового числа для направлення k x k y k z. Заборонені смуги відповідні цими напрямками не перекриваються.
Заборонені смуги перекриваються.
Тому, хоча певні області енергій заборонені для електронів, що рухаються в одному напрямку, вони є розв'язуваними для електронів рухаються в іншому напрямку. Енергетичний спектр в цілому виявляється квазінепріривним.
2. Випадок. Припустимо тепер, що смуги заборонених енергій для напрямів a, b, c, перекриваються. У цьому випадку існують області енергій, заборонені для електронів рухаються в будь-яких напрямках. Енергетичний спектр таких електронів буде складатися тоді із зон дозволених енергій, розділених смугами заборонених енергій.
Усередині зони хвильове число h змінюється від-П / а до П / а. Положення періодичних крайових умов обмежує k наступними значеннями
k = n2П / L, n = ± 0, ± 1, ± 2, ... ± L / 2
де L - довжина атомної ланцюжка, a - параметр решітки.
З формули видно, що число незалежних значень k одно L / a = N, де N - число атомів у ланцюгу.
Таким чином, в інтервалі-П / а до П / а k може прийняти тільки N різних значень, яким відповідає N різних енергетичних рівнів, для тривимірного кристалу N представляє собою число атомів в кристалі.
Наведені зони.
Розглянуті подання про періодичне характер залежності енергії від хвильового вектора, дозволяють привести залежність до першої зони Брілюена.
Енергія електронів в кожній дозволеної енергетичної зоні є періодичною функцією k при переході з однієї зони Брілюена в іншу. Період цієї залежності для лінійної решітки визначається величиною 2π / а. Це означає, що наступні зони Брілюена дають стану, еквівалентні станом першої зони Брілюена. Інакше кажучи, можна зрушити всі криві E (k) у різних зонах Брілллюена на ціле число періодів 2π / а, так щоб вони потрапили в першу зону Брілллюена. Сукупність кривих E (k) для різних енергетичних зон, завданих у першій зоні Брілллюена, дозволяє представити всю зонну схему в межах однієї - наведеної зони Брілллюена.
А)-завівісімость енергії електрона від хвильового вектора для випадку слабкої зв'язку. Штриховий Лінією показана залежність Е (h) для вільного електрона;
Залежності енергії електрона від хвильового вектора для трьох напрямків в h-просторі, коли енергетичні зони не перекриваються (Б) і валентна зона в напрямку kz перекривається із зоною провідності в напрямку ky. Зручно користуватися спрощеним видом енергетичних зон, для чого енергетичну зону представляють у вигляді набору енергетичних рівнів, що належать всьому об'єму кристала (див. рис.). Число Енергетичних рівнів в кожній зоні, очевидно, дорівнює кількості дозволених значень хвильового вектора. При побудові енергетичних рівнів необхідно мати на увазі, що в якості вихідних зон слід вибирати зони Брілюена в тих напрямах, в яких є максимальні значення енергії. Наприклад, для кристала з кубічної гратами такими напрямками є (100) та (100) в k-просторі.
Можливі випадки зонної структури твердих тіл.
У нейтральному ізольованому атомі внутрішні енергетичні рівні повністю заповнені. Зовнішній валентний рівень може бути незаповненим, частково заповненим, заповненим повністю. У залежності від того, яким є зовнішній валентний рівень окремих атомів і в твердому тілі заповнення зон виявляється неоднаковим. Зони, утворені за рахунок внутрішніх рівнів завжди повністю заповнені електронами. У ряді випадків зона, утворена валентними рівнями, може виявитися не повністю заповненої NZ (N - число ат., Z - число ел., 2N - число квантових станів в кожній зоні, NZ/2N = Z / 2 - число заповнених зон.) .
Зону, утворену в твердому тілі за рахунок валентних рівнів окремих атомів, називають валентної зоною. Ступінь заповнення валентної зони електронами визначаються хімічною природою атомів, що утворюють тверде тіло, кристалічною структурою і ще цілим рядом факторів.
В ізольованому атомі вище валентного рівня розташовуються рівні які можуть і не бути заповнені електронами, але на які електрони перейдуть, якщо атом буде порушено. Для цього валентного електрона необхідно подолати енергетичний бар'єр, дорівнює потенціалу збудження атома.
При утворенні з окремих атомів твердого тіла вище валентної зони завжди буде знаходиться повністю вільна від електронів зона, яку називають зоною провідності.
Ступінь заповнення енергетичних зон.
Металеві кристали або мають незаповнену валентну зону, або їх валентна зона перекривається зоною провідності.
Всі одновалентні елементи є металами, оскільки їх валентна енергетична зона заповнена наполовину.
Двовалентні елементи мають повністю заповнену валентну зону. Проте всі вони є металами. Це пояснюється перекриттям валентної зони зоною провідності.
Розглянемо перекриття зон на прикладі берилію (2ел. - IS і 2-2 S). Стани 2p - вільні. При утворенні кристала N атомів формується 1s і 2s зони мають по 2N - дозволених станів. Зона 2s - є валентної. Дозволений атомний рівень 2p, що не містить електронів (їх може бути 6) утворює 6 дозволених але незаповнених електронами станів. Кристали тривалентних елементів Al, Ga, In, Tc що мають по три валентних електрона, мають високу електропровідність, оскільки верхня енергетична зона заповнена на ½. Своєрідну зонну структуру мають елементи четвертої групи періодичної системи. Вуглець у вигляді алмазу є напівпровідник з вузькою забороненою зоною, а в іншій - метал. Зміна структури кристала олова змінює форму зони Брілюена. Свинець є металом.
Валентні електрони ізольованого атома кремнію утворюють один рівень 3s і три рівні 3p. У збудженому стані чотири валентних електрони займають, очевидно, один рівень 3s і один рівень 3p з урахуванням принципу Паулі.
При утворенні кристала кремнію чотири енергетичні рівня расцепляются в чотири зони. Три з них перекривають один одного, утворюючи валентну зону, яка містить 6N станів. Четверта зона, що містить 2N станів, відокремлена від валентної зони і є зоною провідності. У валентній зоні при переході електрона в зону провідності серед електронів утворюється вакантне місце. Це вакантне місце зазвичай називають діркою. Дірка як носій заряду виявляється лише при ковалентного зв'язку між атомами в кристалі. Далі ми розглянемо це більш детально. А тепер перейдемо до зонної структурі твердих тіл.
Якщо зона провідності відокремлена від валентної зони забороненою зоною, то заповнення зони провідності може відбутися тільки тоді, коли електрони валентної зони отримують додаткову енергію, необхідну для подолання енергетичного бар'єра, рівного ширині забороненої зони. Відомі чотири типи зонної структури твердих тіл.
Кафедра ЕТТ
РЕФЕРАТ
На тему:
«Модель Кронінга-Пенні. Структура енергетичних зон »
МІНСЬК, 2008
Модель Кроніга-Пенні.
d = a + b
E <
У моделі Кроніга-Пенні розглядається рух електронів в лінійній ланцюжку прямокутних потенційних ям. Амплітудне рівняння Шредінгера для руху в такому полі має вигляд:
Як показав Блох, вирішенням цього рівняння є хвильова функція такого типу:
Вона являє собою твір рівняння плоскої біжучої хвилі
Для областей I (U = 0) і областей II (U =
В області потенційного бар'єру хвильовий вектор приймає уявне значення
За допомогою функції Блоха
Визначити А, В, С, D можна з урахуванням того, що функція u (x) і її перша похідна є безперервними в місцях стрибка потенціалу
(З U 1 = 0 до U 2 = U 0)
І має властивості періодичності з періодами рівним d = a + b
Вирішуючи систему з чотирьох рівнянь за умови
Використання цих умов дозволяє визначити не тільки А, В, С, D, але встановити зв'язок між
Для нескінченно тонкого і нескінченно високого бар'єру отримуємо:
Це рівняння виражає залежність енергії електрона E, що входить в змінну
Так як
Відповідно до формули:
заштриховані ділянки визначають область дозволених енергій електрона - енергетичні зони.
Ці зони відокремлені один від одного смугами заборонених енергії - забороненими зонами. Їм відповідають області значень
Зі збільшенням енергії електрона ширина дозволених зон збільшується, а ширина заборонених зон зменшується.
Ширина зон залежить також від параметра Р. При
Висловимо Е з допомогою
Розглянемо залежність енергії електрона від хвильового вектора
Всередині кожної зони енергії електрона безупинно росте з ростом хвильового вектора. При значеннях:
Ми отримаємо формулу Вульфа-Бреггa, яка має умова відображення хвиль від плоскої решітки для випадку, коли кут падіння дорівнює 90 °. Розриви в енергетичному спектрі електрона в кристалі відбуваються при виконанні умови Брегговского відображення електронних хвиль від площини грат. Електрони з такою довжиною хвилі зазнають в кристалі повне внутрішнє віддзеркалення і поширюватися в кристалі не можуть.
Нехай на грати діють промені з довжиною хвилі λ. Промені, відбиті від атомних площин, інтерферують між собою і
посилюють або послаблюють одна одну.
Посилення відбувається в тому випадку, якщо різниця ходу променів відбитих від сусідніх атомних площин, буде целократна довжині хвилі. Різниці ходу променів
Тому умова посилення запишеться:
Промені падають на атомні площині під кутом, що задовольняє цій умові, повністю відбиваються і через грати пройти не можуть. При
У випадку пов'язаного електрона при значеннях хвильового вектора кратних π / a енергія терпить розрив. Зі збільшенням сили зв'язку електрона висота розривів стає більше.
Зони Бріллюена.
При зміні хвильового вектора від Про до ± 2 (π / a), енергія зростає при k = π / a безперервно, вона зазнає перший розрив. При подальшому збільшенні k енергія знову зростає безупинно, поки при k = ± 2 (π / a) не зазнає другий розриву і т.д.
Області значень k, в межах яких енергія електрона змінюється безперервно, а на кордонах зазнає розрив, називаються зонами Бріллюена.
Зона I для лінійної моделі кристала простирається від - π / a до + π / a, зона II - Від -2 (π / a) до - π / a і від + π / a до +2 (π / a) і має протяжність рівну 2 (π / a). Усі зони Брілюена мають одну і ту ж саму протяжність рівну 2 (π / a).
Поняття зон Брілюена поширюється і на випадок двох-і тривимірних решіток. У межах кожної зони енергія електрона змінюється безперервно з зміною хвильового вектора, на межах зон вона зазнає розрив. Твердження про рівність всіх зон Брілюена справедливо для двох-і тривимірних випадків.
Тепер про зворотну решітці. Будь-якої просторової решітці може бути протиставлена зворотна решітка. Зворотній решітка має ті ж геометричними властивостями, що і пряма. В основі оберненої гратки лежить елеметарная осередок, утворена трьома незалежними базисними векторами b1; b2.
Паралельним переносом елементарної комірки (трансляцією) можна отримати всю зворотну грати. Всі вузли оберненої гратки можуть бути описані вектором:
Базисні вектори оберненої гратки (або постійні оберненої гратки) пов'язані з постійними прямий решітки наступними співвідношеннями у вигляді векторних творів:
З наведених виразів видно, що вектор b перпендикулярний як a2 так і a3. Чисельні значення базисних векторів оберненої гратки рівні:
b1 = 2 π / a1; b2 = 2 π / a2; b3 = 2 π / a3
Кожному виду елементарної комірки в прямій решітці відповідає певний вид елементарної комірки у зворотній решітці. Так, простий кубічної осередку відповідає також проста кубічна осередок оберненої гратки з ребрами 2 π / a (див. рис.)
Більш складну зворотний грати мають гранецентрированная кубічна гратка і решітка типу алмазу (див. рис.).
Зона Брілюена тривимірного кристалу збігається з його зворотному гратами. У кристалі в с простої прямокутної гратами енергія електрона є періодичною функцією k з періодами 2π / а 1, 2π / а 2, 2π / а 3 по відповідним осях решітки (див. мал.). Таким чином, простір оберненої гратки представляє собою простір хвильового вектора.
Зона Брілюена для решітки типу алмазу являє собою багатогранник, оточений шістьма площинами типу (100) та вісьмома площинами типу (111). Зона Брілюена лежить в межах хвильового вектора-2π / а ≤ k ≤ 2π / а.
Позначення: [0 2π / а 0], [0 1 0].
Електрони мають хвильовими властивостями, і їх рух через кристал можна уявляти собі як процес поширення електронних хвиль. Якщо для цих хвиль умова Вульфа-Брегом не виконується, то рух електрона описується хвилею, що біжить e ikx та зв'язок енергії E з хвильовим числом є однозначною. При виконанні умови Вульфа-Брегг, тобто в точках k n = nπ / а настає відображення електронних хвиль від атомних площин, інтерференція відображених хвиль з біжать і освіта стоять хвиль. Тому в точках k n = nπ / a електрони слід представляти вже не хвилею, що біжить, а стоячій, що складається з двох однакових біжучих хвиль:
e ikx і e - ikx,
поширюються в протилежні сторони. Ці хвилі дають два рішення рівняння Шредінгера. Для точки k = π / a ці рішення мають такий вигляд:
ψ 1 = A 1 e i (π / a) x - B 1 e-i (π / a) x,
ψ 2 = A 2 e i (π / a) x + B 2 e-i (π / a) x.
Рішенням ψ 1 і ψ 2 відповідають різні енергії. Вирішенню ψ 2 відповідає енергія E min, яка відповідає верхній межі першої зони (точка А); рішенням ψ 1 - енергія E max, що відповідає нижній межі другої зони (точка B). При k трохи меншому π / а енергія електрона менше E min; при k дещо більше π / а власні значення енергії електрона лежать вище E max. У проміжку між E min і E max не лежить жодне власне значення енергії електрона, тобто область між E min і E max представляє собою заборонену зону енергії.
Про структуру енергетичних зон.
У тривимірному кристалі періодичність решітки в різних напрямках різна: a ≠ b ≠ c. Тому в тривимірному векторному просторі (k x, k y, k z) k x = ± nπ / a, k y = ± nπ / b, k z = ± nπ / c, при яких настає бреггівськими відображення електронних хвиль і виникають розриви в енергетичного спектра електрона, для різних напрямків у гратах повинні бути різними.
На малюнку: криві залежності енергії електрона від хвильового числа для напрямів k x, k y, k z. Заборонені смуги, що відповідають цим напрямами, які не перекриваються.
Напрями не перекриваються
Криві залежності енергії електрона від хвильового числа для направлення k x k y k z. Заборонені смуги відповідні цими напрямками не перекриваються.
Заборонені смуги перекриваються.
Тому, хоча певні області енергій заборонені для електронів, що рухаються в одному напрямку, вони є розв'язуваними для електронів рухаються в іншому напрямку. Енергетичний спектр в цілому виявляється квазінепріривним.
2. Випадок. Припустимо тепер, що смуги заборонених енергій для напрямів a, b, c, перекриваються. У цьому випадку існують області енергій, заборонені для електронів рухаються в будь-яких напрямках. Енергетичний спектр таких електронів буде складатися тоді із зон дозволених енергій, розділених смугами заборонених енергій.
Усередині зони хвильове число h змінюється від-П / а до П / а. Положення періодичних крайових умов обмежує k наступними значеннями
k = n2П / L, n = ± 0, ± 1, ± 2, ... ± L / 2
де L - довжина атомної ланцюжка, a - параметр решітки.
З формули видно, що число незалежних значень k одно L / a = N, де N - число атомів у ланцюгу.
Таким чином, в інтервалі-П / а до П / а k може прийняти тільки N різних значень, яким відповідає N різних енергетичних рівнів, для тривимірного кристалу N представляє собою число атомів в кристалі.
Наведені зони.
Розглянуті подання про періодичне характер залежності енергії від хвильового вектора, дозволяють привести залежність до першої зони Брілюена.
Енергія електронів в кожній дозволеної енергетичної зоні є періодичною функцією k при переході з однієї зони Брілюена в іншу. Період цієї залежності для лінійної решітки визначається величиною 2π / а. Це означає, що наступні зони Брілюена дають стану, еквівалентні станом першої зони Брілюена. Інакше кажучи, можна зрушити всі криві E (k) у різних зонах Брілллюена на ціле число періодів 2π / а, так щоб вони потрапили в першу зону Брілллюена. Сукупність кривих E (k) для різних енергетичних зон, завданих у першій зоні Брілллюена, дозволяє представити всю зонну схему в межах однієї - наведеної зони Брілллюена.
А)-завівісімость енергії електрона від хвильового вектора для випадку слабкої зв'язку. Штриховий Лінією показана залежність Е (h) для вільного електрона;
Залежності енергії електрона від хвильового вектора для трьох напрямків в h-просторі, коли енергетичні зони не перекриваються (Б) і валентна зона в напрямку kz перекривається із зоною провідності в напрямку ky. Зручно користуватися спрощеним видом енергетичних зон, для чого енергетичну зону представляють у вигляді набору енергетичних рівнів, що належать всьому об'єму кристала (див. рис.). Число Енергетичних рівнів в кожній зоні, очевидно, дорівнює кількості дозволених значень хвильового вектора. При побудові енергетичних рівнів необхідно мати на увазі, що в якості вихідних зон слід вибирати зони Брілюена в тих напрямах, в яких є максимальні значення енергії. Наприклад, для кристала з кубічної гратами такими напрямками є (100) та (100) в k-просторі.
Можливі випадки зонної структури твердих тіл.
У нейтральному ізольованому атомі внутрішні енергетичні рівні повністю заповнені. Зовнішній валентний рівень може бути незаповненим, частково заповненим, заповненим повністю. У залежності від того, яким є зовнішній валентний рівень окремих атомів і в твердому тілі заповнення зон виявляється неоднаковим. Зони, утворені за рахунок внутрішніх рівнів завжди повністю заповнені електронами. У ряді випадків зона, утворена валентними рівнями, може виявитися не повністю заповненої NZ (N - число ат., Z - число ел., 2N - число квантових станів в кожній зоні, NZ/2N = Z / 2 - число заповнених зон.) .
Зону, утворену в твердому тілі за рахунок валентних рівнів окремих атомів, називають валентної зоною. Ступінь заповнення валентної зони електронами визначаються хімічною природою атомів, що утворюють тверде тіло, кристалічною структурою і ще цілим рядом факторів.
В ізольованому атомі вище валентного рівня розташовуються рівні які можуть і не бути заповнені електронами, але на які електрони перейдуть, якщо атом буде порушено. Для цього валентного електрона необхідно подолати енергетичний бар'єр, дорівнює потенціалу збудження атома.
При утворенні з окремих атомів твердого тіла вище валентної зони завжди буде знаходиться повністю вільна від електронів зона, яку називають зоною провідності.
Ступінь заповнення енергетичних зон.
Металеві кристали або мають незаповнену валентну зону, або їх валентна зона перекривається зоною провідності.
Всі одновалентні елементи є металами, оскільки їх валентна енергетична зона заповнена наполовину.
Двовалентні елементи мають повністю заповнену валентну зону. Проте всі вони є металами. Це пояснюється перекриттям валентної зони зоною провідності.
Розглянемо перекриття зон на прикладі берилію (2ел. - IS і 2-2 S). Стани 2p - вільні. При утворенні кристала N атомів формується 1s і 2s зони мають по 2N - дозволених станів. Зона 2s - є валентної. Дозволений атомний рівень 2p, що не містить електронів (їх може бути 6) утворює 6 дозволених але незаповнених електронами станів. Кристали тривалентних елементів Al, Ga, In, Tc що мають по три валентних електрона, мають високу електропровідність, оскільки верхня енергетична зона заповнена на ½. Своєрідну зонну структуру мають елементи четвертої групи періодичної системи. Вуглець у вигляді алмазу є напівпровідник з вузькою забороненою зоною, а в іншій - метал. Зміна структури кристала олова змінює форму зони Брілюена. Свинець є металом.
Валентні електрони ізольованого атома кремнію утворюють один рівень 3s і три рівні 3p. У збудженому стані чотири валентних електрони займають, очевидно, один рівень 3s і один рівень 3p з урахуванням принципу Паулі.
При утворенні кристала кремнію чотири енергетичні рівня расцепляются в чотири зони. Три з них перекривають один одного, утворюючи валентну зону, яка містить 6N станів. Четверта зона, що містить 2N станів, відокремлена від валентної зони і є зоною провідності. У валентній зоні при переході електрона в зону провідності серед електронів утворюється вакантне місце. Це вакантне місце зазвичай називають діркою. Дірка як носій заряду виявляється лише при ковалентного зв'язку між атомами в кристалі. Далі ми розглянемо це більш детально. А тепер перейдемо до зонної структурі твердих тіл.
Якщо зона провідності відокремлена від валентної зони забороненою зоною, то заповнення зони провідності може відбутися тільки тоді, коли електрони валентної зони отримують додаткову енергію, необхідну для подолання енергетичного бар'єра, рівного ширині забороненої зони. Відомі чотири типи зонної структури твердих тіл.
Тип 1. Така зонна структура спостерігається у металів. На зовнішній валентної оболонці у таких металів знаходяться електрони, в той час як повністю заповнена зовнішня оболонка повинна мати мінімум два електрони, максимум 6. У цьому випадку валентна зона заповнена тільки наполовину. При дії електричного поля на такий кристал електрони отримують додаткову енергію і переходять на більш високі енергетичні рівні. Як видно з рис. 5а, у всіх глибоко лежачих зонах цей процес неможливий, тому що в них всі рівні повністю заповнені електронами. Так як в цьому випадку валентна зона заповнена лише частково, то в ній переходи електронів будуть відбуватися безперешкодно. У такому кристалі під дією електричного поля проходження електричного струму буде мати місце при будь-якій температурі. Таким чином, для одновалентних металів електропровідність практично не змінюється при зміні температури.
Тип II. Зонна структура ряду твердих тіл може характеризуватися наступним чином. У цих матеріалів валентна зона заповнена повністю, але заборонена зона між валентної зоною і зоною провідності відсутня. (Мал. 5б).
Такі тверді тіла володіють хорошою електропровідністю, яка слабо змінюється зі зміною температури. Цей тип зонної структури відповідає металевому стану. В окремих атомах, з яких утворено дане тверде тіло, валентні рівні заповнені повністю. Особливістю, що відрізняє даний тип зонної структури є те, що найближчі до валентним рівні відстоять від останнього на дуже набольших відстані і при зближенні атомів при утворенні твердого тіла валентна зона і зона провідності виявляються взаємно перекритими.
Тип III і тип IV. Зонну структуру цих типів (Мал. 5 в, г) будемо розглядати спільно, так як з фізичної точки зору якісної відмінності між ними немає. Вони відрізняються один від одного тільки кількісно. Але тим не менш кількісні відмінності настільки суттєві, що провідності на два класи: напівпровідників і діелектриків.
У цих випадках валентна зона заповнена повністю і не перекривається із зоною провідності. У твердих тілах, які мають такий зонної структурою, переміщення електронів під дією електричного поля не відбувається до тих пір, поки в результаті порушення частина електронів з валентної зони не буде переведена в зону провідності. Електропровідність твердих тіл, що мають зонну структуру бовдурів, опиняється сильно яка від температури і з збільшенням температури зростає.
Типи III і IV відрізняються один від одного шириною забороненої зони. Природно, що для подолання забороненої зони, що має велику ширину необхідна більш висока температура. Тверді тіла, у яких електропровідність спостерігається при дуже високих температурах, відносять до діелектрика. Діелектрики характеризуються шириною забороненої зони 2 еВ і вище. Всі матеріали, що мають заборонену зону меншої ширини, вважаються напівпровідниками. Усі глибокі зони, що лежать нижче валентної можна виключити з розгляду, так як їх електрони не беруть участь у проходженні електричного струму твердих тілах, в слабких і середніх електричних полях.
Газ вільних електронів
Стани, які може займати електрон в твердому тілі, описуються рівняння Шредінгера:
Рішенням цього рівняння є функція Блоха:
Співвідношення між енергією і хвильовим числом в одномірної періодичної решітці:
подання розширеної зони розподілу:
Функція розподілу Фермі-Діракса при нульовій і ненульовий температурі.
Поверхні з послідовно зростаючими значеннями енергії в першій зоні Брілюена (Поверхня Фермі)
Хвильові функції електронів провідності повинні бути ортогональні функцій станів кістяка атома. (Принцип Паулі ... в іншому випадку стану провідності почнуть заповнювати зайняті стану кістяка атома ... див. Блоха)
Якщо в (1) V (r) = 0 то рішенням (1) буде:
Власні значення енергії будуть
У k-просторі інтервал енергії
Враховуючи рівність
Якщо помножити щільність станів (6) на ймовірність зайнятості рівнів (функція Фермі-Діракса) при Т = 0 і проінтегрувати аж до енергії Фермі
Зручно висловити швидкість на поверхні Фермі через число валентних електронів, і іспрользуя (3), (4) і (7), в результаті отримаємо:
Метали, напівпровідники, діелектрики
Атоми газів можуть розглядатися як, ізольовані, так як вони знаходяться на порівняно великих відстанях один від одного. При атмосферному тиску і кімнатних температурах ці розсіювання приблизно в 100 разів перевищують діаметр атома і атоми практично не взаємодіють один з одним.
Однак оптичні спектри газових молекул, що складаються з двох або більш щільно упакованих атомів, містять більше число ліній, ніж спектри простих атомів, так як взаємодія атомів в молекулі призводить до значного збільшення числа енергетичних рівнів.
При газовому розряді, що відбувається при високому тиску (наприклад, в ртутних лампах високого тиску), внаслідок такого роду обмінного взаємодії виникає практично безперервний спектр випромінювання. З цієї ж причини можна очікувати, що спектр твердих тіл буде містити велику кількість ліній, так як у твердому тілі окремі атоми відстоять один від одного в кристалічній решітці на відстані, рівному всього декільком діаметрам атома. Це ж є причиною сильної електричного зв'язку між атомами твердого тіла.
В атомах металів, які мають від одного до трьох валентних електронів, сила тяжіння цих електронів до власного ядра атома через малі відстаней між атомами в твердому тілі практично скомпенсована кулоновскими силами взаємодії між валентними електронами сусідніх атомів. Зв'язок валентних електронів з ядром слабше в атомах з незаповненою валентної оболонкою в порівнянні з атомами, зовнішня (валентна) оболонка яких повністю заповнена. Внаслідок цього ступінь компенсації сили тяжіння електронів до ядра в решітці металу більше, ніж у решітці напівпровідника або діелектрика, атоми яких мають чотирма і більше валентними електронами. У напівпровідниках і діелектриках сили притягання між ядром і валентними електронами настільки великі, що провідність тіла при кімнатних температурах або майже повністю відсутня (у діелектриків), або виявляється дуже незначною (в напівпровідників).
Завдяки частковою (у діелектриків і напівпровідників) або майже повній (у металів) компенсації сил тяжіння між валентними електронами і ядром атома, а також через ослаблення зв'язку решти електронів у твердому тілі енергетичні рівні електронів перетворюються в енергетичні зони.
Замість моделі енергетичних рівнів електронів ізольованих атомів у разі твердого тіла користуються так званої моделлю енергетичних зон, яку слід розглядати як розвиток енергетичної моделі атомів з дискретними енергетичними рівнями. Основному рівню у схемі вільного (ізольованого) атома відповідає в разі твердого тіла середній потенціал грати, який ідентифікується з верхньою межею валентної зони твердого тіла.
Якщо в результаті повідомлення твердого тіла деякої енергії електрон відокремлюється від «свого» атома, він може квазісвободно переміщатися по кристалу у періодичному потенціальному полі атомів (або іонів) решітки. У зонної моделі цього процесу відповідає перехід електрона з валентної зони в вищерозміщені зону провідності. Мінімальна енергія, необхідна для такого переходу, має різне значення для різних класів твердих тіл (рис. 19).
Метали. Провідність металів обумовлена тим, що валентні електрони завдяки слабкому зв'язку з ядром можуть бути легко відділені від атома. Теплової енергії електрона при кімнатній температурі вже достатньо, щоб практично всі атоми металу виявилися іонізованими. У цьому випадку говорять про «електронному газі» електронів, квазісвободно пересуваються в решітці металу. Незначна величина енергії іонізації металевих атомів відображена в зонної моделі в тому, що зона провідності межує з валентної зоною або навіть перекривається з нею.
Поряд з переходом електронів з валентної зони в зону провідності окремі атоми можуть обмінюватися електронами всередині валентної зони (без зміни енергії).
При температурі абсолютного нуля всі електрони в зоні провідності металу розташовуються на нижчих енергетичних рівнях, так що нижня частина зони провідності виявляється повністю зайнятою електронами. Верхня ж частина зони виявляється абсолютно вільною. Верхній енергетичний рівень зони провідності, зайнятий електроном при 0 ° К, називають рівнем Фермі E F. Цей енергетичний рівень відповідає максимальної енергії електрона в металі при 0 ° К.
Діелектрики. Завдяки більш стійкою і міцного зв'язку електронів в діелектриках з атомам зона провідності відокремлена від валентної зони (заповненої у нормальному стані електронами) широкою забороненою зоною. Ширина Δ E цієї зони (у діелектриків: Δ E> 2 еВ, наприклад, у алмазу при кімнатній температурі Δ E = 7 ев) визначає найменшу енергію, необхідну для іонізації атома діелектрика. У нормальному стані зона провідності не зайнята (тобто існує тільки потенційно). Тим не менш перехід електронів з валентної зони в зону провідності при кімнатній температурі не може бути викликаний теплової іонізацією. Перехід до зони провідності можливий лише в результаті зіткнення частинок, якщо енергія вдаряє частинки досить велика.
При такому вигляді іонізації, що має, наприклад, місце при опроміненні діелектрика світлом або при бомбардуванні його електронами, діелектрик стає тимчасово проводять, при цьому може відбутися зменшення опору від 10 до 10 6 разів.
Власні напівпровідники. Власні напівпровідники представляють собою дуже чисті кристали, позбавлені дефектів, з порівняно вузькою забороненою зоною (Δ E <2 ев; наприклад, Δ E = 1,1 еВ у кремнію при кімнатній температурі). У даному випадку переходи електронів з зайнятої валентної зони в зону провідності можливі вже при кімнатній температурі. Завдяки цим переходам у валентній зоні виникають порожні місця (дірки), які ведуть себе подібно квазісвободним частинкам з позитивним зарядом і також обумовлюють виникнення провідності. Оскільки перехід кожного електрона завжди супроводжується утворенням однієї дірки, то концентрація електронів у власному напівпровіднику n завжди дорівнює концентрації дірок р. Напівпровідниками такого роду є, наприклад: вельми чисті германій і кремній.
Домішкові напівпровідники. Ці напівпровідники відрізняються від власних напівпровідників тим, що в решітці таких матеріалів є природні дефекти, природні домішки або штучно введені в грати чужорідні атоми (легований напівпровідник - наприклад, кристал германію, легований індієм). Всі ці дефекти решітки викликають появу в забороненій зоні особливих енергетичних рівнів (домішкових). Так як для іонізації домішкового атома потрібна енергія, рівна по порядку величини 0,01 ев, домішкові рівні лежать у відповідності з цією величиною енергії або безпосередньо під зоною провідності, або над валентної зоною (рис. 12), в залежності від того, чи є домішковий атом постачальником електрона (донором) або пасткою для електрона (акцептором). У першому випадку переважає провідність n-типу, у другому випадку - провідність p-типу, але в обох випадках провідність буде істотно більше, ніж власна провідність чистого напівпровідника.
Рис. 12. Модель можливих енергетичних станів електронів у твердому тілі (зонна модель).
1 - рентгенівські рівні; 2 - валентна оболонка; 3 - енергетичні рівні електронів в ізольованому атомі; ПЗ - зона провідності; ВЗ - валентна (заповнена зона), 33 - заборонена зона (з шириною Δ E Д або Δ E П); n - носії при провідності n-типу, р - носії при провідності р-типу; О - основний рівень; Пр - рівні домішки чужорідних атомів; ПУ - поверхневий рівень (енергетичний рівень на поверхні твердого тіла); (+)-дірка; Ө - електрон ; Е F - рівень Фермі.
ЛІТЕРАТУРА
1. Сивухин Д.В. Загальний курс фізики. Оптика .- М.: Наука, 2000 - 752 с.
2. Зі С. Фізика напівпровідникових приладів. У 2-х кн.-М.: Світ, 2004.
Тип II. Зонна структура ряду твердих тіл може характеризуватися наступним чином. У цих матеріалів валентна зона заповнена повністю, але заборонена зона між валентної зоною і зоною провідності відсутня. (Мал. 5б).
Такі тверді тіла володіють хорошою електропровідністю, яка слабо змінюється зі зміною температури. Цей тип зонної структури відповідає металевому стану. В окремих атомах, з яких утворено дане тверде тіло, валентні рівні заповнені повністю. Особливістю, що відрізняє даний тип зонної структури є те, що найближчі до валентним рівні відстоять від останнього на дуже набольших відстані і при зближенні атомів при утворенні твердого тіла валентна зона і зона провідності виявляються взаємно перекритими.
Тип III і тип IV. Зонну структуру цих типів (Мал. 5 в, г) будемо розглядати спільно, так як з фізичної точки зору якісної відмінності між ними немає. Вони відрізняються один від одного тільки кількісно. Але тим не менш кількісні відмінності настільки суттєві, що провідності на два класи: напівпровідників і діелектриків.
У цих випадках валентна зона заповнена повністю і не перекривається із зоною провідності. У твердих тілах, які мають такий зонної структурою, переміщення електронів під дією електричного поля не відбувається до тих пір, поки в результаті порушення частина електронів з валентної зони не буде переведена в зону провідності. Електропровідність твердих тіл, що мають зонну структуру бовдурів, опиняється сильно яка від температури і з збільшенням температури зростає.
Типи III і IV відрізняються один від одного шириною забороненої зони. Природно, що для подолання забороненої зони, що має велику ширину необхідна більш висока температура. Тверді тіла, у яких електропровідність спостерігається при дуже високих температурах, відносять до діелектрика. Діелектрики характеризуються шириною забороненої зони 2 еВ і вище. Всі матеріали, що мають заборонену зону меншої ширини, вважаються напівпровідниками. Усі глибокі зони, що лежать нижче валентної можна виключити з розгляду, так як їх електрони не беруть участь у проходженні електричного струму твердих тілах, в слабких і середніх електричних полях.
Газ вільних електронів
Стани, які може займати електрон в твердому тілі, описуються рівняння Шредінгера:
Рішенням цього рівняння є функція Блоха:
Співвідношення між енергією і хвильовим числом в одномірної періодичної решітці:
подання розширеної зони розподілу:
Функція розподілу Фермі-Діракса при нульовій і ненульовий температурі.
Поверхні з послідовно зростаючими значеннями енергії в першій зоні Брілюена (Поверхня Фермі)
Хвильові функції електронів провідності повинні бути ортогональні функцій станів кістяка атома. (Принцип Паулі ... в іншому випадку стану провідності почнуть заповнювати зайняті стану кістяка атома ... див. Блоха)
Якщо в (1) V (r) = 0 то рішенням (1) буде:
Власні значення енергії будуть
У k-просторі інтервал енергії
Враховуючи рівність
Якщо помножити щільність станів (6) на ймовірність зайнятості рівнів (функція Фермі-Діракса) при Т = 0 і проінтегрувати аж до енергії Фермі
Зручно висловити швидкість на поверхні Фермі через число валентних електронів, і іспрользуя (3), (4) і (7), в результаті отримаємо:
Метали, напівпровідники, діелектрики
Атоми газів можуть розглядатися як, ізольовані, так як вони знаходяться на порівняно великих відстанях один від одного. При атмосферному тиску і кімнатних температурах ці розсіювання приблизно в 100 разів перевищують діаметр атома і атоми практично не взаємодіють один з одним.
Однак оптичні спектри газових молекул, що складаються з двох або більш щільно упакованих атомів, містять більше число ліній, ніж спектри простих атомів, так як взаємодія атомів в молекулі призводить до значного збільшення числа енергетичних рівнів.
При газовому розряді, що відбувається при високому тиску (наприклад, в ртутних лампах високого тиску), внаслідок такого роду обмінного взаємодії виникає практично безперервний спектр випромінювання. З цієї ж причини можна очікувати, що спектр твердих тіл буде містити велику кількість ліній, так як у твердому тілі окремі атоми відстоять один від одного в кристалічній решітці на відстані, рівному всього декільком діаметрам атома. Це ж є причиною сильної електричного зв'язку між атомами твердого тіла.
В атомах металів, які мають від одного до трьох валентних електронів, сила тяжіння цих електронів до власного ядра атома через малі відстаней між атомами в твердому тілі практично скомпенсована кулоновскими силами взаємодії між валентними електронами сусідніх атомів. Зв'язок валентних електронів з ядром слабше в атомах з незаповненою валентної оболонкою в порівнянні з атомами, зовнішня (валентна) оболонка яких повністю заповнена. Внаслідок цього ступінь компенсації сили тяжіння електронів до ядра в решітці металу більше, ніж у решітці напівпровідника або діелектрика, атоми яких мають чотирма і більше валентними електронами. У напівпровідниках і діелектриках сили притягання між ядром і валентними електронами настільки великі, що провідність тіла при кімнатних температурах або майже повністю відсутня (у діелектриків), або виявляється дуже незначною (в напівпровідників).
Завдяки частковою (у діелектриків і напівпровідників) або майже повній (у металів) компенсації сил тяжіння між валентними електронами і ядром атома, а також через ослаблення зв'язку решти електронів у твердому тілі енергетичні рівні електронів перетворюються в енергетичні зони.
Замість моделі енергетичних рівнів електронів ізольованих атомів у разі твердого тіла користуються так званої моделлю енергетичних зон, яку слід розглядати як розвиток енергетичної моделі атомів з дискретними енергетичними рівнями. Основному рівню у схемі вільного (ізольованого) атома відповідає в разі твердого тіла середній потенціал грати, який ідентифікується з верхньою межею валентної зони твердого тіла.
Якщо в результаті повідомлення твердого тіла деякої енергії електрон відокремлюється від «свого» атома, він може квазісвободно переміщатися по кристалу у періодичному потенціальному полі атомів (або іонів) решітки. У зонної моделі цього процесу відповідає перехід електрона з валентної зони в вищерозміщені зону провідності. Мінімальна енергія, необхідна для такого переходу, має різне значення для різних класів твердих тіл (рис. 19).
Метали. Провідність металів обумовлена тим, що валентні електрони завдяки слабкому зв'язку з ядром можуть бути легко відділені від атома. Теплової енергії електрона при кімнатній температурі вже достатньо, щоб практично всі атоми металу виявилися іонізованими. У цьому випадку говорять про «електронному газі» електронів, квазісвободно пересуваються в решітці металу. Незначна величина енергії іонізації металевих атомів відображена в зонної моделі в тому, що зона провідності межує з валентної зоною або навіть перекривається з нею.
Поряд з переходом електронів з валентної зони в зону провідності окремі атоми можуть обмінюватися електронами всередині валентної зони (без зміни енергії).
При температурі абсолютного нуля всі електрони в зоні провідності металу розташовуються на нижчих енергетичних рівнях, так що нижня частина зони провідності виявляється повністю зайнятою електронами. Верхня ж частина зони виявляється абсолютно вільною. Верхній енергетичний рівень зони провідності, зайнятий електроном при 0 ° К, називають рівнем Фермі E F. Цей енергетичний рівень відповідає максимальної енергії електрона в металі при 0 ° К.
Діелектрики. Завдяки більш стійкою і міцного зв'язку електронів в діелектриках з атомам зона провідності відокремлена від валентної зони (заповненої у нормальному стані електронами) широкою забороненою зоною. Ширина Δ E цієї зони (у діелектриків: Δ E> 2 еВ, наприклад, у алмазу при кімнатній температурі Δ E = 7 ев) визначає найменшу енергію, необхідну для іонізації атома діелектрика. У нормальному стані зона провідності не зайнята (тобто існує тільки потенційно). Тим не менш перехід електронів з валентної зони в зону провідності при кімнатній температурі не може бути викликаний теплової іонізацією. Перехід до зони провідності можливий лише в результаті зіткнення частинок, якщо енергія вдаряє частинки досить велика.
При такому вигляді іонізації, що має, наприклад, місце при опроміненні діелектрика світлом або при бомбардуванні його електронами, діелектрик стає тимчасово проводять, при цьому може відбутися зменшення опору від 10 до 10 6 разів.
Власні напівпровідники. Власні напівпровідники представляють собою дуже чисті кристали, позбавлені дефектів, з порівняно вузькою забороненою зоною (Δ E <2 ев; наприклад, Δ E = 1,1 еВ у кремнію при кімнатній температурі). У даному випадку переходи електронів з зайнятої валентної зони в зону провідності можливі вже при кімнатній температурі. Завдяки цим переходам у валентній зоні виникають порожні місця (дірки), які ведуть себе подібно квазісвободним частинкам з позитивним зарядом і також обумовлюють виникнення провідності. Оскільки перехід кожного електрона завжди супроводжується утворенням однієї дірки, то концентрація електронів у власному напівпровіднику n завжди дорівнює концентрації дірок р. Напівпровідниками такого роду є, наприклад: вельми чисті германій і кремній.
Домішкові напівпровідники. Ці напівпровідники відрізняються від власних напівпровідників тим, що в решітці таких матеріалів є природні дефекти, природні домішки або штучно введені в грати чужорідні атоми (легований напівпровідник - наприклад, кристал германію, легований індієм). Всі ці дефекти решітки викликають появу в забороненій зоні особливих енергетичних рівнів (домішкових). Так як для іонізації домішкового атома потрібна енергія, рівна по порядку величини 0,01 ев, домішкові рівні лежать у відповідності з цією величиною енергії або безпосередньо під зоною провідності, або над валентної зоною (рис. 12), в залежності від того, чи є домішковий атом постачальником електрона (донором) або пасткою для електрона (акцептором). У першому випадку переважає провідність n-типу, у другому випадку - провідність p-типу, але в обох випадках провідність буде істотно більше, ніж власна провідність чистого напівпровідника.
Рис. 12. Модель можливих енергетичних станів електронів у твердому тілі (зонна модель).
1 - рентгенівські рівні; 2 - валентна оболонка; 3 - енергетичні рівні електронів в ізольованому атомі; ПЗ - зона провідності; ВЗ - валентна (заповнена зона), 33 - заборонена зона (з шириною Δ E Д або Δ E П); n - носії при провідності n-типу, р - носії при провідності р-типу; О - основний рівень; Пр - рівні домішки чужорідних атомів; ПУ - поверхневий рівень (енергетичний рівень на поверхні твердого тіла); (+)-дірка; Ө - електрон ; Е F - рівень Фермі.
ЛІТЕРАТУРА
1. Сивухин Д.В. Загальний курс фізики. Оптика .- М.: Наука, 2000 - 752 с.
2. Зі С. Фізика напівпровідникових приладів. У 2-х кн.-М.: Світ, 2004.