МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ТАВРІЙСЬКИЙ ПРДСТАВІТЕЛЬСТВО ВІДКРИТОГО МІЖНАРОДНОГО УНІВЕРСИТЕТУ РОЗВИТКУ ЛЮДИНИ (УКРАЇНА)
Реферат
З дисципліни
«Математичні основи інформаційної діяльності»
Тема:
«Множини і операції над ними»
студентки 2 курсу
З / 0 Козлової Є.А.
Викладач:
Глушкова Л.В.
Факультет документації
та інформаційної діяльності
Сімферополь, 2004
Безліччю іменується деяка сукупність елементів, об'єднаних за будь-якою ознакою. Якщо є така сукупність, зрозуміло, як єдине ціле, кажуть, що мають справу з безліччю.
Наведене визначення не може розглядатися як математично строге, оскільки поняття множини є вихідним, на основі нього будуються інші поняття математики. Тим не менш, з при виїденого визначення ясно, як можна говорити з безлічі, наприклад, дійсних чисел або безлічі плоских фігур.
Якщо множина складається з кінцевого числа елементів, воно називається кінцевим. Решта безлічі називаються нескінченними. Для безлічі використовуються наступні позначення:
А = {а, b, с, d}
Наведене позначення записано для безлічі А, що складається з елементів а, Ь, с, d.
Кінцеві безлічі можна задати переліком їхніх елементів, нескінченні - не можна. Зазвичай нескінченна безліч задають, вказуючи на властивості, яке мають усі елементи даної множини, при цьому підкреслюють, що такою властивістю не володіють ніякі елементи, що не входять до цього безліч. Така властивість називається характеристичним для розглянутого множини.
Безліч, в якому не міститься жодного елемента, називається порожнім. Позначається воно знаком Æ.
Безліч, що складаються з одних і тих самих елементів, називають співпадаючими. Наприклад, збігаються два кінцевих множини, які відрізняються один від одного порядком їх елементів. Якщо елемент а належить множині А, то пишуть:
а Î А.
В іншому випадку пишуть:
а Ï А.
Якщо одне безліч є частиною іншої множини, кажуть, що перше множина є підмножиною другого. Якщо перше безліч позначити А, а друге В, то позначення таке:
А Ì В.
Для будь-якої безлічі А справедливі висловлювання: безліч А є підмножиною самого себе. Порожня множина є підмножиною будь-якої безлічі.
Як приклад можна навести висловлювання про те, що багато всіх ромбів є підмножиною множини паралелограмів.
Над множинами визначають операції, багато в чому подібні з арифметичними. Розглянемо поняття таких операцій тільки над двома множинами А і В, які є різноманітними підмножинами одного і того ж безлічі U. Остання назвемо універсальним безліччю. Операції над множинами зручно інтерпретувати геометрично за допомогою діаграм Ейлера-Венна (рис. 1 - 4).
Визначення 1. Перетином множин А і В називають їх спільну частину С. Іншими словами, перетин множин А і В утворюють елементи, що належать так само як А, так і В
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Така безліч позначають:
З = А Ç В
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Визначення 2. Об'єднанням множин А і В, називають безліч С, складене з елементів, що належать хоча б одній з цих множин
Визначення 3. Різницею множин А і В називають безліч
З = В \ А,
SHAPE \ * MERGEFORMAT
складене з елементів, що належать безлічі В, але не належать безлічі А
Різниця U \ A називається доповненням множини А до універсальної множини U і позначається:
Геометрична інтерпретація множини
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Якщо застосовувати операції об'єднання та перетину-к підмножини деякої множини D, то знову вийдуть підмножини того ж безлічі D.
Операції об'єднання і перетину володіють багатьма властивостями, схожими на властивості операцій додавання і множення чисел. Наприклад, перетин і об'єднання множин володіють властивостями комутативності та асоціативності. Перетин дистрибутивно щодо об'єднання, тобто для будь-яких множин А, В і С правильне співвідношення:
А Ç (В і С) = (А Ç В) і (А Ç С).
У той же час операції над множинами мають ряд властивостей, у яких немає аналогів в операціях над числами. Так, для будь-якої безлічі А вірні дорівнює ства:
А Ç А = А, а також А та А = А.
І також
А і (В Ç З) = (А і В) Ç (А і С)
За допомогою властивостей операції над множинами можна перетворювати вирази, які містять множини, подібно до того, як за допомогою властивостей операцій над числами перетворюють вираження в алгебрі. Подібні дії над множинами та вивчає булева алгебра, яка названа по імені англійського дослідника Дж. Буля (1815 - 1864). Якими характеристиками можна описувати безліч таку! Основною характеристикою кінцевого безлічі Є число його елементів.
Розглянемо дві множини А і В. Якщо в цих множинах знаходиться однакову кількість елементів, то з цих елементів можна скласти пари таїмо чином, щоб кожен елемент з безлічі, як і елемент з безлічі. У входив в одну і тільки в одну пару. Таким чином, між елементами множин. А і В встановлюється так зване взаємно однозначна відповідність. Вважається істинним зворотне твердження: якщо між двома кінцевими множинами А і В можна встановити взаємно однозначну відповідність, то такі множини містять однакову кількість елементів. Було запропоновано аналогічним чином порівнювати між собою нескінченні множини. Якщо між нескінченними множинами можна встановити взаємно однозначну відповідність, значить, ці безлічі мають однакову потужність. Один з творців теорії множин німецький математик Георг Кантор (1845 - 1918) порівнював за допомогою такого методу безлічі, складені з чисел натуральних і чисел раціональних. Він показав, що між такими множинами існує взаємно однозначна відповідність, хоча безліч натуральних чисел є лише частиною множини раціональних чисел. Таким чином, в теорії нескінченних множин твердження «частина менше цілого» втрачає свою силу. Безліч, що мають ту ж потужність, що і безліч натуральних чисел, називають рахунковими.
Таким чином, безліч раціональних чисел зліченна.
Є незліченні множини. Як приклад можна розглянути безліч всіх дійсних чисел (це те ж саме, що безліч точок на прямій лінії). Оскільки пряма неперервна або континуальна, таку незліченну потужність називають потужністю континууму. Потужністю континууму має безліч точок, наприклад, прямокутника, призми, площини, всього простору. Математики всього світу протягом довгих років розглядали проблему - чи існують множини, потужність яких є проміжною між лічильної і потужністю континууму.
У 60-х роках нашого століття американський математик П. Коен і чеський математик П. Вопенко незалежно один від одного довели, що як існування такого безлічі, так і його відсутність не суперечать іншим аксіомам теорії множин.
Сучасна математична наука вводить поняття дискретну безліч і саме поняття безлічі звучить так: під безліччю розуміється набір, сукупність, збори будь-яких об'єктів (які називаються елементами множини).
Безліч, всі елементи якого ізольовані один від одного, називається дискретним. Для вимірювання ступеня ізольованості елементів даної множини вводиться поняття відстані між елементами. Таким відстанню для чисел може бути, наприклад модуль різниці між ними; для точок на площині - геометричне відстань; для двійкових наборів (чисел, кодів) однакової довжини - число розрядів, в яких вони відрізняються (наприклад, відстань між наборами 10110 і 11101). Дискретне безліч визначається як безліч об'єктів, відстань між коні менше деякої наперед заданої величини e.
Кінцеве безліч завжди дискретно (в якості e береться мінімальне з відстаней між елементами цієї множини). Дискретно будь-яка множина цілих чисел (для них e = 1) і будь-яка множина дробів, що мають загальний знаменник m (для яких e = 1 / m). Будь-яке дискретну безліч лічильно, тобто його елементи можна пронумерувати цілими числами.
Проте не всяке рахункове безліч дискретно, наприклад, рахункове безліч не дискретно, так як з ростом n відстань між сусідніми елементами прагне до нуля. Якщо задано дискретну безліч точок прямої з мінімальним відстанню e будь-який відрізок довжини l може містити не більше l / e +1 точок цієї множини.
Поняття дискретного безлічі і пов'язані з поняття дискретного сигналу і дискретного часу надзвичайно важливі для інформатики, як вони лежать в основі поділу всіх пристроїв і систем обробки інформації на два основні класи - дискретні (цифрові) і безперервні (аналогові) пристрої та системи.
Різниця між дискретним і безперервним поданням інформації добре видно на прикладі годин. В електронних годинниках з цифровим циферблатом інформація представляється дискретно - цифрами, кожна з яких чітко відрізняє один від одного. У механічному годиннику із стрілочним циферблатом інформація представляється безперервно - положеннями двох стрілок, причому два різних положення стрілки не завжди чітко вирізнятись (особливо якщо на циферблаті немає хвилинних поділок).
Взагалі будь-яке представлення інформації за допомогою кінцевого безлічі символів (букв, цифр, розділових знаків, математичних знаків) дискретно; графічне представлення (малюнок, креслення) безперервно.
Типовий приклад дискретного пристрою - ЕОМ, стан пам'яті якої представляється послідовністю двійкових цифр - нулів і одиниць, всі операції в ній проводяться з дискретними уявленнями інформації. Типові приклади аналогових пристроїв - вимірювальні прилади, що представляють інформацію становищем стрілки (вольтметр, спідометр), неперервну криву, яка видається на екран (осцилограф) або на папір (кардіограф) і т. д.
Перехід від аналогових представлень інформації до цифрових (наприклад, введення результатів вимірювань ЕОМ) і назад в техніці здійснюється спеціальними пристроями: аналого-цифровими і цифро-аналоговими перетворювачами.
Список використаних джерел
1. Інформатика / під заг. ред. Поспєлова Д.А., М: Педагогіка-прес, 1994;
2. Математика і програмування (універсальна енциклопедія) / під ред. А.А. Щуплецова, - Мн: ТОО »Харвест», 1996;
3. Вікно у світ інформатики / під ред. Коляди М.Г., Дніпропетровськ: Сталкер, 1997.
ТАВРІЙСЬКИЙ ПРДСТАВІТЕЛЬСТВО ВІДКРИТОГО МІЖНАРОДНОГО УНІВЕРСИТЕТУ РОЗВИТКУ ЛЮДИНИ (УКРАЇНА)
Реферат
З дисципліни
«Математичні основи інформаційної діяльності»
Тема:
«Множини і операції над ними»
студентки 2 курсу
З / 0 Козлової Є.А.
Викладач:
Глушкова Л.В.
Факультет документації
та інформаційної діяльності
Сімферополь, 2004
Безліччю іменується деяка сукупність елементів, об'єднаних за будь-якою ознакою. Якщо є така сукупність, зрозуміло, як єдине ціле, кажуть, що мають справу з безліччю.
Наведене визначення не може розглядатися як математично строге, оскільки поняття множини є вихідним, на основі нього будуються інші поняття математики. Тим не менш, з при виїденого визначення ясно, як можна говорити з безлічі, наприклад, дійсних чисел або безлічі плоских фігур.
Якщо множина складається з кінцевого числа елементів, воно називається кінцевим. Решта безлічі називаються нескінченними. Для безлічі використовуються наступні позначення:
А = {а, b, с, d}
Наведене позначення записано для безлічі А, що складається з елементів а, Ь, с, d.
Кінцеві безлічі можна задати переліком їхніх елементів, нескінченні - не можна. Зазвичай нескінченна безліч задають, вказуючи на властивості, яке мають усі елементи даної множини, при цьому підкреслюють, що такою властивістю не володіють ніякі елементи, що не входять до цього безліч. Така властивість називається характеристичним для розглянутого множини.
Безліч, в якому не міститься жодного елемента, називається порожнім. Позначається воно знаком Æ.
Безліч, що складаються з одних і тих самих елементів, називають співпадаючими. Наприклад, збігаються два кінцевих множини, які відрізняються один від одного порядком їх елементів. Якщо елемент а належить множині А, то пишуть:
а Î А.
В іншому випадку пишуть:
а Ï А.
Якщо одне безліч є частиною іншої множини, кажуть, що перше множина є підмножиною другого. Якщо перше безліч позначити А, а друге В, то позначення таке:
А Ì В.
Для будь-якої безлічі А справедливі висловлювання: безліч А є підмножиною самого себе. Порожня множина є підмножиною будь-якої безлічі.
Як приклад можна навести висловлювання про те, що багато всіх ромбів є підмножиною множини паралелограмів.
Над множинами визначають операції, багато в чому подібні з арифметичними. Розглянемо поняття таких операцій тільки над двома множинами А і В, які є різноманітними підмножинами одного і того ж безлічі U. Остання назвемо універсальним безліччю. Операції над множинами зручно інтерпретувати геометрично за допомогою діаграм Ейлера-Венна (рис. 1 - 4).
Визначення 1. Перетином множин А і В називають їх спільну частину С. Іншими словами, перетин множин А і В утворюють елементи, що належать так само як А, так і В
SHAPE \ * MERGEFORMAT
U |
У |
А |
C |
Така безліч позначають:
З = А Ç В
SHAPE \ * MERGEFORMAT
U |
У |
АЗ |
Визначення 2. Об'єднанням множин А і В, називають безліч С, складене з елементів, що належать хоча б одній з цих множин
Визначення 3. Різницею множин А і В називають безліч
З = В \ А,
SHAPE \ * MERGEFORMAT
U |
У |
А |
складене з елементів, що належать безлічі В, але не належать безлічі А
Різниця U \ A називається доповненням множини А до універсальної множини U і позначається:
Геометрична інтерпретація множини
SHAPE \ * MERGEFORMAT
U |
А |
Якщо застосовувати операції об'єднання та перетину-к підмножини деякої множини D, то знову вийдуть підмножини того ж безлічі D.
Операції об'єднання і перетину володіють багатьма властивостями, схожими на властивості операцій додавання і множення чисел. Наприклад, перетин і об'єднання множин володіють властивостями комутативності та асоціативності. Перетин дистрибутивно щодо об'єднання, тобто для будь-яких множин А, В і С правильне співвідношення:
А Ç (В і С) = (А Ç В) і (А Ç С).
У той же час операції над множинами мають ряд властивостей, у яких немає аналогів в операціях над числами. Так, для будь-якої безлічі А вірні дорівнює ства:
А Ç А = А, а також А та А = А.
І також
А і (В Ç З) = (А і В) Ç (А і С)
За допомогою властивостей операції над множинами можна перетворювати вирази, які містять множини, подібно до того, як за допомогою властивостей операцій над числами перетворюють вираження в алгебрі. Подібні дії над множинами та вивчає булева алгебра, яка названа по імені англійського дослідника Дж. Буля (1815 - 1864). Якими характеристиками можна описувати безліч таку! Основною характеристикою кінцевого безлічі Є число його елементів.
Розглянемо дві множини А і В. Якщо в цих множинах знаходиться однакову кількість елементів, то з цих елементів можна скласти пари таїмо чином, щоб кожен елемент з безлічі, як і елемент з безлічі. У входив в одну і тільки в одну пару. Таким чином, між елементами множин. А і В встановлюється так зване взаємно однозначна відповідність. Вважається істинним зворотне твердження: якщо між двома кінцевими множинами А і В можна встановити взаємно однозначну відповідність, то такі множини містять однакову кількість елементів. Було запропоновано аналогічним чином порівнювати між собою нескінченні множини. Якщо між нескінченними множинами можна встановити взаємно однозначну відповідність, значить, ці безлічі мають однакову потужність. Один з творців теорії множин німецький математик Георг Кантор (1845 - 1918) порівнював за допомогою такого методу безлічі, складені з чисел натуральних і чисел раціональних. Він показав, що між такими множинами існує взаємно однозначна відповідність, хоча безліч натуральних чисел є лише частиною множини раціональних чисел. Таким чином, в теорії нескінченних множин твердження «частина менше цілого» втрачає свою силу. Безліч, що мають ту ж потужність, що і безліч натуральних чисел, називають рахунковими.
Таким чином, безліч раціональних чисел зліченна.
Є незліченні множини. Як приклад можна розглянути безліч всіх дійсних чисел (це те ж саме, що безліч точок на прямій лінії). Оскільки пряма неперервна або континуальна, таку незліченну потужність називають потужністю континууму. Потужністю континууму має безліч точок, наприклад, прямокутника, призми, площини, всього простору. Математики всього світу протягом довгих років розглядали проблему - чи існують множини, потужність яких є проміжною між лічильної і потужністю континууму.
У 60-х роках нашого століття американський математик П. Коен і чеський математик П. Вопенко незалежно один від одного довели, що як існування такого безлічі, так і його відсутність не суперечать іншим аксіомам теорії множин.
Сучасна математична наука вводить поняття дискретну безліч і саме поняття безлічі звучить так: під безліччю розуміється набір, сукупність, збори будь-яких об'єктів (які називаються елементами множини).
Безліч, всі елементи якого ізольовані один від одного, називається дискретним. Для вимірювання ступеня ізольованості елементів даної множини вводиться поняття відстані між елементами. Таким відстанню для чисел може бути, наприклад модуль різниці між ними; для точок на площині - геометричне відстань; для двійкових наборів (чисел, кодів) однакової довжини - число розрядів, в яких вони відрізняються (наприклад, відстань між наборами 10110 і 11101). Дискретне безліч визначається як безліч об'єктів, відстань між коні менше деякої наперед заданої величини e.
Кінцеве безліч завжди дискретно (в якості e береться мінімальне з відстаней між елементами цієї множини). Дискретно будь-яка множина цілих чисел (для них e = 1) і будь-яка множина дробів, що мають загальний знаменник m (для яких e = 1 / m). Будь-яке дискретну безліч лічильно, тобто його елементи можна пронумерувати цілими числами.
Проте не всяке рахункове безліч дискретно, наприклад, рахункове безліч не дискретно, так як з ростом n відстань між сусідніми елементами прагне до нуля. Якщо задано дискретну безліч точок прямої з мінімальним відстанню e будь-який відрізок довжини l може містити не більше l / e +1 точок цієї множини.
Поняття дискретного безлічі і пов'язані з поняття дискретного сигналу і дискретного часу надзвичайно важливі для інформатики, як вони лежать в основі поділу всіх пристроїв і систем обробки інформації на два основні класи - дискретні (цифрові) і безперервні (аналогові) пристрої та системи.
Різниця між дискретним і безперервним поданням інформації добре видно на прикладі годин. В електронних годинниках з цифровим циферблатом інформація представляється дискретно - цифрами, кожна з яких чітко відрізняє один від одного. У механічному годиннику із стрілочним циферблатом інформація представляється безперервно - положеннями двох стрілок, причому два різних положення стрілки не завжди чітко вирізнятись (особливо якщо на циферблаті немає хвилинних поділок).
Взагалі будь-яке представлення інформації за допомогою кінцевого безлічі символів (букв, цифр, розділових знаків, математичних знаків) дискретно; графічне представлення (малюнок, креслення) безперервно.
Типовий приклад дискретного пристрою - ЕОМ, стан пам'яті якої представляється послідовністю двійкових цифр - нулів і одиниць, всі операції в ній проводяться з дискретними уявленнями інформації. Типові приклади аналогових пристроїв - вимірювальні прилади, що представляють інформацію становищем стрілки (вольтметр, спідометр), неперервну криву, яка видається на екран (осцилограф) або на папір (кардіограф) і т. д.
Перехід від аналогових представлень інформації до цифрових (наприклад, введення результатів вимірювань ЕОМ) і назад в техніці здійснюється спеціальними пристроями: аналого-цифровими і цифро-аналоговими перетворювачами.
Список використаних джерел
1. Інформатика / під заг. ред. Поспєлова Д.А., М: Педагогіка-прес, 1994;
2. Математика і програмування (універсальна енциклопедія) / під ред. А.А. Щуплецова, - Мн: ТОО »Харвест», 1996;
3. Вікно у світ інформатики / під ред. Коляди М.Г., Дніпропетровськ: Сталкер, 1997.