До основних законів гідростатики, крім закону Паскаля і гідростатичною формули, можна віднести закон Архімеда: на занурене в рідину або газ тіло діє виштовхуюча сила, яка дорівнює за величиною вазі витісненої рідини (або газу), спрямована проти сили тяжіння і прикладена до центру тяжіння витісненого об'єму .
Закон Архімеда і гідростатичну формулу можна вивести, використовуючи стандартний для механіки прийом, іноді званий правилом троянду. Розу це скорочення до початкових букв алгоритму - розріджене, Відкинувши, заміну, врівноважити. Наприклад, за допомогою алгоритму троянду, закон Архімеда виводиться так:
Якщо занурене в рідину тіло замінити такий ж рідиною, то вийти стан рівноваги - на поверхню тіла діє сила тиску рідини, що врівноважує вагу рідини всередині поверхні.

Рух рідин і газів.

Рух рідин і газів, як і всі інші види руху, що розглядаються в механіці, можна повністю охарактеризувати, оперуючи одиницями вимірювання довжини, часу і сили. Так, діаметр парашута можна вимірювати в метрах, час зниження, скажімо, на 100 метрів - у секундах, а вага вантажу - в ньютонах. Точно так само вхідний перетин насоса можна вимірювати в квадратних метрах, об'ємна витрата середовища - у кубічних метрах в секунду, а потужність - в ньютон-метрах (джоулях) в секунду. Існує багато способів вимірювання таких характеристик течії з використанням різних - механічних і електричних - еквівалентів лінійки, годин і пружинних ваг. Наприклад, швидкість рідин і газів можна оцінювати за кількістю обертів за одиницю часу проградуированного крильчатки (гідрометрична вертушка і анемометр) або по зміні електроопору нагрівається проходять струмом дроту (дротовий термоанемометр); тиск можна визначати за викликається їм відхиленню зігнутої трубки або мембрани (манометр Бурдона і барометр-анероїд) або по струму, генерируемому п'єзокристалом.

Прогнозування характеристик течії.

Якщо б такі вимірювання руху рідин і газів були єдиним заняттям гідроаеромеханіки, це була б дисципліна досить вузького профілю. Набагато більш важливе значення, ніж вимір, має точне прогнозування характеристик течії при заздалегідь відомих або передбачуваних умовах. Очевидно, що недостатньо вміти просто виміряти пропускну здатність побудованого водозливу, - потрібно спочатку надійно спроектувати водозлив, розрахований на максимально можливий потік; точно так же виміряти лагом швидкість судна у плаванні простіше, ніж заздалегідь вказати потужність двигунів, які будуть потрібні новому судну для підтримки заданої крейсерською швидкості; надрукувати в газеті швидкість вітру і атмосферний тиск, виміряні вчора, набагато легше, ніж передбачити погодні умови на завтрашній день. Коротше кажучи, істинний предмет гідроаеромеханіки - встановлення співвідношень між різними характеристиками течії, що дозволяють визначити будь-яку з них, якщо задані інших характеристик, від яких вона залежить.

Рівняння нерозривності.

Хоча гідроаеродинаміка заснована на трьох добре відомих в механіці законах збереження маси, імпульсу і енергії, формулювання цих законів в ній виглядають складніше. Наприклад, звичайне визначення закону збереження маси свідчить, що маса системи тіл залишається незмінною. Для рідини, що тече в трубі, цей закон використовується у формі, званої рівнянням нерозривності. Рівняння нерозривності - співвідношення між швидкістю течії, об'ємною витратою середовища і відстанню між лініями струму. Це рівняння виражає один з основних законів гідроаеромеханіки, згідно з яким об'ємна витрата у всякій трубці струму, обмеженою сусідніми лініями струму, повинен бути в будь-який момент часу однаковий у всіх її поперечних перерізах. Оскільки об'ємний витрата Q дорівнює добутку швидкості поточного середовища V на площу A поперечного перерізу трубки струму, рівняння нерозривності має наступний вигляд:
Q = V ₁ A ₁ = V ₂ A ₂ або ж vS = const (v - швидкість рідини, S - площа перерізу труби, по якій тече рідина. Сенс - скільки води вливається - стільки і має вилитися, якщо умови перебігу незмінні).
Тому там, де переріз велика і лінії струму розріджені, швидкість повинна бути мала, і навпаки. (Всі три частини цього подвійного рівності повинні виражатися в одній і тій же системі одиниць. Так, якщо величина Q виражена в м ³ / с, то швидкість V повинна виражатися в м / с, а площа A - в м ^2.)

Рівняння Бернуллі.

Одне з найважливіших рівнянь гідромеханіки було отримано в 1738 році швейцарським ученим Данилом Бернуллі. Йому вперше вдалося описати рух нестисливої ​​ідеальної рідини (сили тертя між елементами ідеальної рідини, а також між ідеальною рідиною і стінками судини відсутні). Рівняння Бернуллі має вигляд:
р + р v ² + p gh = const.
2
де р - тиск рідини, р - її щільність, V - швидкість руху, g - прискорення вільного падіння, h - висота, на якій знаходиться елемент рідини.  
Відповідно до рівняння Бернуллі, у разі усталеного течії, для якого не мають суттєвого значення всі інші характеристики поточного середовища, крім густини (питомої ваги), повний напір однаковий у всіх поперечних перерізах трубки струму. Якщо до отвору в стінці труби приєднати манометричні трубку, то рідина в такій трубці підніметься на висоту, рівну гідростатичного напору. Якщо манометричні трубку виставити назустріч потоку, то рідина в манометрі підніметься на додаткову висоту, рівну швидкісного напору. Трубка, що має одночасно торцеве і бічні манометричні отвори, називається трубкою Піто і використовується для визначення швидкості течії за вимірюваним швидкісного напору. Трубки Піто входять в комплект вимірювального обладнання всіх літаків, а також широко застосовуються для вимірювань швидкості течії в трубопроводах, вентиляційних повітроводах, в аеро-і гідродинамічних трубах.
Якщо швидкість течії дорівнює нулю (тобто середовище не рухається), то рівняння Бернуллі зводиться до простого рівняння гідростатики.
Згідно цього рівняння, збільшення висоти в нерухомому середовищі рідини чи газу відповідає однакову зменшення гідростатичного напору. Тому тиск у будь-якій точці нерухомої рідини дорівнює глибині цієї точки під вільною поверхнею, помноженої на питому вагу рідини. На основі цього співвідношення обчислюється тиск рідини на стінки резервуарів, а також проводиться аналіз плавучості і остійності морських та річкових суден.
У тих випадках, коли швидкість течії відмінна від нуля, рівняння Бернуллі спільно з рівняннями нерозривності і закону збереження кількості руху дозволяє вирішувати практично важливі завдання - про витрату середовища, що протікає через вимірювальні діафрагми, поверх вимірювальних і водоскидних водозливів і під затвори шлюзових галерей; про траєкторії струменя рідини; про форму, швидкості і силі хвиль, що діють на судна і хвилеломи. Хоча в таких завданнях зазвичай розглядається протягом води під атмосферним шаром повітря, аналогічні процеси гравітаційного характеру мають місце у випадку перебігу більш холодної (і, отже, більш щільною) води під більш теплою, як і інших рідин і газів різної густини. Таким чином, водним потокам у річках аналогічні океанські течії та вітри, оскільки всі гравітаційні явища підкоряються одним і тим же законам гідроаеромеханіки.

Гравітаційне моделювання.

Число Фруда.

Хоча багато завдань такого роду вирішуються за прийнятною точністю, існує багато інших складних завдань, аналітичне рішення яких поки неможливо. Тим не менш задовільне рішення ряду таких завдань можна знаходити шляхом моделювання з використанням теорії подоби. Вплив сили тяжіння на картину потоку характеризується безрозмірною величиною (критерієм подібності), складеної з якоїсь характерної швидкості V, характерною довжини L, різниці D g питомих ваг верхньої та нижньої поточних середовищ і щільності r однієї з них:

Ця величина називається числом Фруда. Очевидно, що у випадку течії води під атмосферним повітрям ми маємо просто . Подоба буде забезпечено тільки в тому випадку, якщо число Фруда для моделі дорівнює числу Фруда для реального об'єкта (тобто, наприклад, швидкість моделі судна повинна бути зменшена пропорційно квадратному кореню з зменшення розміру). Такого роду експериментальні дослідження зменшених моделей - звичайна практика при проектуванні суден і річкових гідротехнічних споруд, більше того, в даний час методи моделювання поширюються на аналогічні гравітаційні завдання метеорології та океанографії.

Гідродинаміка Ейлера і Нав'є-Стокса.

Виводячи диференціальне рівняння руху ідеальної рідини, Леонард Ейлер вважав, що сили, що діють на будь-яку поверхню в ній, так само як і в нерухомій рідини, перпендикулярні самої цієї поверхні. Таке припущення дозволило описати рух рідини аналітично. Однак іноді теорія ідеальної рідини Ейлера перестає працювати.
Реальна рідина відрізняється від ідеальної тим, що вона володіє внутрішнім тертям, або в'язкістю. Два дотичних елемента рідини, що рухаються в одному і тому ж напрямку, але з різними швидкостями, впливають один на одного. Сила взаємодії прискорює повільно рухається елемент рідини і уповільнює більш швидкий. Ньютон припустив, що величина цієї сили (сила внутрішнього тертя) пропорційна різниці швидкостей елементів рідини. Закон в'язкого тертя Ньютона говорить, що сила внутрішнього тертя F пропорційна зміні швидкості рідини v в напрямку, перпендикулярному руху, і залежить від площі S зіткнення елементів рідини. Коефіцієнт пропорційності у ньому називається коефіцієнтом динамічної в'язкості (n).
F = n ^dv S
^dy
Рідини, в яких внутрішнє тертя подібним чином залежить від зміни швидкості, називаються рідинами з лінійною в'язкістю, або ньютоновскими рідинами.
Величину коефіцієнта динамічної в'язкості Ньютон визначив за допомогою досвіду: пересуваючи по поверхні рідини плоску пластину з різною швидкістю, він зауважив, що для підтримки певної швидкості потрібно сила, яка при невеликій глибині рідини виявилася прямо пропорційна площі S і швидкості пластини v і назад пропорційна глибині рідини h.
F = n v S
h
Незважаючи на те, що при збільшенні глибини рідини сила в'язкого тертя платівки не стає зникаюче малої, ця формула досить точно описує взаємодію між дотичними елементами рідини. Чим більше різниця швидкостей, тим більше сила, з якою вони впливають один на одного, змушуючи пригальмовувати більш швидкі елементи і розганяючи повільні. У результаті відносний рух у рідині припиняється.
У більш суворої формулюванні лінійна залежність в'язкого тертя від зміни швидкості руху рідини називається рівнянням Нав'є-Стокса. Воно враховує стисливість рідин і газів і справедливо не лише поблизу поверхні твердого тіла, але і в кожній точці рідини. Будь-які гази, для яких виконується умова суцільності, підпорядковуються рівнянню Н-С, тобто Є ньютоновскими рідинами.

Вплив в'язкості на картину перебігу.

В'язкість рідини і газу зазвичай істотна тільки при відносно малих швидкостях, тому гідродинаміка Ейлера - це приватний граничний випадок великих швидкостей гідродинаміки Стокса. При малих швидкостях відповідно до закону в'язкого тертя Ньютона сила опору тіла пропорційна швидкості. При великих швидкостях, коли в'язкість перестає відігравати суттєву роль, опір тіла пропорційно квадрату швидкості.
Цей критерій називається числом Рейнольдса і має вигляд.

число Рейнольдса - безрозмірна величина, яка характеризує відносну роль сил в'язкості.
Воно грає таку ж роль у моделюванні впливу в'язкості, що і число Фруда при моделюванні гравітаційних ефектів, а тому служить основою дослідів, проведених в аеродинамічних трубах з моделями літаків, і градуювань витратомірів для рідин різної в'язкості - загалом, при дослідженні всіх видів течій по трубах і з обтіканням тіл у всіх випадках, коли домінує вплив в'язкості. Якщо рівність чисел Фруда для моделі і натурного об'єкта вимагало зменшення швидкості моделі у зв'язку з її зменшеними розмірами, то рівність чисел Рейнольдса, навпаки, вимагає, щоб швидкість моделі збільшувалася зі зменшенням її розмірів. Тому, щоб не потрібно було надмірно підвищувати швидкість в експериментах із зменшеними моделями, часто застосовують рідкі середовища з меншою в'язкістю чи більшою щільністю; так, в аеродинамічних трубах нерідко підвищують тиск до кількох атмосфер, що дозволяє знизити швидкість за рахунок підвищення щільності.

Турбулентне течія в трубах.

Перебіг в'язкої рідини уздовж кордону може виявитися нестійким по відношенню до малих збурень, якщо число Рейнольдса перевищить деяке значення. Так, наприклад, протягом в трубі постійного діаметра стійко до всіх збурень, якщо число Рейнольдса VD r / m менше приблизно 2000, і тоді формула Пуазейля дає співвідношення між перепадом тиску і швидкістю незалежно від щільності. Але коли число Рейнольдса перевищує вказане критичне значення, будь-яке локальне обурення викликає коливання швидкості або утворення завихрень, які швидко поширюються по всьому потоку, створюючи безладне вторинне рух, зване турбулентним течією. Через незліченних вихорів турбулентний перебіг характеризується значно більшою витратою енергії (більш високими втратами тиску), ніж стійке, або ламінарний, протягом, і формула Пуазейля в цьому випадку замінюється формулою

де коефіцієнт f залежить від числа Рейнольдса і відносної шорсткості поверхні труби. У випадку гладкої труби, наприклад, f = 0,316 / Re ^{1 / 4,} тоді як при аналогічних умовах формула Пуазейля дає f = 64/Re. Чим більше шорсткість поверхні, тим, очевидно, більше величина f; якщо шорсткість труби досить велика, то при великих числах Рейнольдса коефіцієнт f перестає залежати від в'язкого зсуву і повністю визначається нерівностями стінок, що викликають завихрення.

Гідравлічний удар.

З точки зору гідроаеромеханіки рідини і гази дуже схожі між собою. Однак, щільність рідини у багато разів більше щільності газу. Тому гребні гвинти морських і річкових суден порівняно менше пропелерів літаків - важка рідина «працює» ефективніше, ніж легкість повітря. З тієї ж причини рідина може виявитися небезпечнішою і привести до аварії.
При раптовому перекривання води, тиск в трубі зростає на величину pva, де р - щільність рідини чи газу, v - швидкість течії і а - швидкість звуку. Швидкість звуку в трубі з водою дорівнює 1400 м / с, тому саме з такою швидкістю буде поширюватися підвищений тиск по трубопроводу. Якщо десь виявитися неміцний ділянку труби, він буде прорвано. Газ, в порівнянні з рідиною, має набагато меншу щільність, та й швидкість звуку в ньому в кілька разів менше, тому газ, навіть перебуває під великим тиском, не може створити удар, подібний гідравлічному.
Гідравлічний удар може бути спрямований і у зворотний (від заслінки) сторону. Це відбудеться, якщо різко перекрити воду, потік якої досить протяжний. Рідина, рухаючись за інерцією, відірветься від заслінки, а простір між заслінкою і рідиною заповнитися водяною парою під дуже низьким тиском (те саме вакууму). У кінцевому підсумку, потік рідини під дією зовнішнього тиску загальмується, зупиниться і з наростаючою швидкістю рушить у протилежному напрямку.
Гідравлічний удар може також зіграти корисну роль. Якщо пошкодження вже є, відшукати його розташування допоможе невеликий гідравлічний удар. Він створить хвилю, що біжить по трубопроводу, яка, відбившись від місця пошкодження, повернеться через деякий час. З цього часу легко визначити відстань до пошкодженої ділянки.

Явища в прикордонному шарі.

У разі перебігу зазначеного виду по довгій трубі вплив стінок на характер перебігу поширюється і на центральну частину труби. У разі ж обтікання тіла середовищем уповільнює дію в'язкого зсуву вздовж поверхні тіла (на якій швидкість дорівнює нулю) зазвичай поширюється у навколишнє середовище лише на порівняно невелику відстань. Відносна товщина цього т.зв. прикордонного шару залежить від числа Рейнольдса, складеного з відносної швидкості, щільності й в'язкості текучого середовища і відстані від даної точки до передньої кромки тіла. При малих значеннях Re прикордонний шар буде ламінарним, але протягом стає нестійким по відношенню до малих збурень, коли Re наближається до 4 × 10 ^6, а після цього розвивається турбулентність. В'язкий зсув уздовж граничної поверхні тепер аналогічний перепаду тиску уздовж труби і точно так само залежить від числа Рейнольдса. Повна сила опору перебігу F _D, створювана ділянкою поверхні довжиною L і шириною B, дається виразом